数列求和定稿课件讲义和练习.doc
数列求和
一:核心梳理、茅塞顿开
数列求和的常用方法
1.公式法
（1）直接应用等差、等比数列的求和公式；
（2）掌握一些常见的数列的前n项和：123
+++……+n=，1+3+5+……+=
2.倒序相加法：如果一个数列{}n a，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如数列的前n项和就是此法推导的。
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如数列的前n项和就是用此法推导的.
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的拆项公式
有：
1
()
n n k
=
+
，=，
1
(21)(21)
n n
=
-+
，等.
例1．求和：
（1）
)
(
)2
(
)1
(2n
a
a
a n-
+
+
-
+
-
（2）
)1
2
)(1
2(
1
5
3
1
3
1
1
+
-
+
+
⨯
+
⨯n
n
（3）
)1
(
3
2
11
2≠
+
+
+
+-x
nx
x
x n
四、练习题：
1．数列}{n a 的通项公式是)(11
+∈++=N n n n a n ，若它的前n 项和为10，则其项数n 为
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
2．数列 ,211
,,3211
,211
,1n ++++++的前n 项和为
A ．122+n n
B ．12+n n
C ．12
++n n D ．12+n n
3．数列}{n a 的通项是14-=n a n ，n a a a b n n +++= 21
，则数列}{n b 的的前n 项和为
4．设221
)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，
可求
)0()4()5(f f f ++-+- )6()5(f f ++的值为A ．23 B ．2 C ．22 D ．22
6．22222212979899100-++-+- 的值是
7．数列 ,21
)12(,,815,413,211n n +-的前n 项和为n S ，则=n S
8．在等比数列}{n a 中，1221-=+++n n a a a ，则=+++2
222
1n a a a
9．数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式n a = ，前n 项和n S = .
10．若数列{}n a 满足 12a =，1(1)2n n na n a +-+=，则数列{}n a 的通项公式n a =_ __
13．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.621
,33=⋅=S a S n
（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求和：n
S S S 1
1121+++ .
14．设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=
（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n
n n b a c =
，求数列}{n c 的前n 项和n T .
15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。
（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n
T
16若{}
n a 的通项为n a =100项和100S = 。
17若{}n a 的通项为141
2-=n a n ，则前n 项和=n S 。
18.已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ,=-+312215S S S
19.在数列{}n a 中，11=a ，241+=+n n a S ，
(1)设n n n
a a
b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)设,2n
n n a c =求证:数列{}n c 是等差数列； (3)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式。
赠送以下学习资料
和倍差倍问题
学习目标
通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点要学习画线段图。
二、基础知识
1.和倍问题是已知两个数的和及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本的数量关
系：和÷(倍数+1)=较小数 (即1倍数、标准数)
2.差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本公式：差
÷(倍数的差)＝标准数(一倍数)
例题解析
一、和倍问题
例1：某班为“希望工程”捐款，两组少先队员共交废报纸240千克，第一组交的废报纸是第二组的3倍，问两组各交废报纸多少千克？
小结：解答基本的和倍问题，先确定其中一个数作为标准数(1倍数)，再找出两数的和，及其相对应的倍数关系，这样就可以求出标准数，也就可求出另一个数(较大数)。
基本的数量关系：和÷(倍数+1)=较小数 (即1倍数、标准数)
练一练：NBA球星姚明到底有多高？现在已知小明和姚明的身高和是339厘米，姚明的身高大约是小明身高的2倍。你能够算出来吗？
例2：哥哥原有108元，弟弟有60元，如果现在想把哥哥的钱调整到弟弟的5倍，弟弟应给哥哥多少钱？
练一练：妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍？例3：二个同学共做了23道题。如果乙同学再多做1题，将是甲同学做的2倍，二个同学各做了几题？
例4：熊猫水果店运来水果380千克，其中苹果比梨的3倍还少40千克，水果店运来苹果和梨各多少千克?
练一练：果园里种桃树和梨树共340棵,其中桃树的棵数比梨树的3倍多20棵，梨树种了多少棵？
例5：三捆电线共长273米，其中第二根的长度是第一根长度的2倍，第三根的长度是第二根长度的2倍。三根电线各多少米？
练一练：甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。
例6：某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？
二、差倍问题
例1：某小学参观科普展览，第一天参观的人数比第二天多200人。已知第一天参观的人数是第二天的
3倍，两天参观的各是多少人？
练一练：已知甲、乙两个数的商是4，而这两个数的差是30，那么这两个数中较小的一个是多少？
例2：甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的4倍.甲、乙两个车间原来各有多少人
例3：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多。后来，四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学。这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍。求两班原有图书各多少本
例4：有大、小两猴都有一些桃子。小猴比大猴少13个，如果小猴再给大猴6个，这时小猴的桃子相当于大猴的1半，求大、小两猴原来各有多少个？
练一练：有两块布料，第一块148米，第二块100米，两块布各剪去同样的一段后，剩下的米数第一块是第二块的3倍。两块布各剪去多长？
例5：猪、牛、羊跑步，如果，牛为猪跑得2倍，羊为牛跑的4倍，羊比猪多跑56，那么三动物共跑了多少路？
试一试：两个自然数相除商是15，余数是7，并且被除数比除数大735。求这两个数。
例6：某工厂有两堆煤，第一堆比第二堆多50吨，两堆煤各用去75吨后，剩下的第一堆煤是第二堆煤的3倍。求两堆煤原来各有多少吨？
试一试：用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？
课后作业：
1.小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花？
小瓜种了多少瓜？
2.学校图书馆买来故事书、科技书共1000本，科技书比故事书的2倍多12本，求学校买故事书、科
技书各多少本?
3.果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵。梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵。求梨
树、桃树及核桃树各有多少棵？
4.食堂运来一些大米和面粉，其中大米比面粉多270千克，买的大米刚好是面粉重量的4倍，买来大
米和面粉各多少千克？
5.有两根同样长的铁丝，第一根用去16米，第二根用去6米，剩下的铁丝，第二根的长是第一根的3
倍。两根铁丝原来各多长？
6.甲、乙、丙三人进行口算比赛，已知甲做的题目是乙的2倍，乙做的是丙的3倍，又已知丙比甲少
做了24题，求三人各做了多少题？
人教课标A高考一轮复习精品课件6.4数列的通项及数列求和
§6.4数列的通项及数列求和 基础知识自主学习 要点梳理 1 •若已知数列｛a｝W/£a n+1-a n=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的通项和累加法 2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・ …・f (n)可求，则可用_求数列的通项a.. ©+1 累积法
推导方法:乘公比，错位相减法. ■ % —jq \_q \_q 3 •等差数列前n 项和S 产 推导方法：— 等比数列前n 项和 n(a x +a n ) n(n-V). na x H d ［到序相加法 q#1.
4 •常见数列的前n项 和 (1) (2) (3) ；n(n + V) 2+4+6+…+2n= _____ ; 2 1+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n *1+2+3+…+n= (4) 12+22+32+..+n2= ； n2 (5) 13+23+33+.. +n3= «(n + l)(2n + l) ⑷+ 1)]2 2j
5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相 加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构 成的数列求和. (4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.
6 •常见的拆项公式有 ⑴ 1 n(n + l) 1 1 n n + 1 "2)(2M-1)(2〃 + 1) 2n +1 ⑶ ] Qn + Yn +1 =、/ H +1 —、ft ・
2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题三第2讲 数列求和及其综合应用 Word版含答案
第2讲数列求和及其综合应用 错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法 错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的． (2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋ 1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n . 【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ， 由?????a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得?????11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1 （3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1 . 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ， 所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2) ＋1 －(n ＋1)×2n ＋2] ＝ 3×???? ??4＋ 4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.
数列求和定稿课件讲义和练习.doc
数列求和 一:核心梳理、茅塞顿开 数列求和的常用方法 1.公式法 （1）直接应用等差、等比数列的求和公式； （2）掌握一些常见的数列的前n项和：123 +++……+n=，1+3+5+……+= 2.倒序相加法：如果一个数列{}n a，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如数列的前n项和就是此法推导的。 3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如数列的前n项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的拆项公式 有： 1 () n n k = + ，=， 1 (21)(21) n n = -+ ，等. 例1．求和： （1） ) ( )2 ( )1 (2n a a a n- + + - + - （2） )1 2 )(1 2( 1 5 3 1 3 1 1 + - + + ⨯ + ⨯n n （3） )1 ( 3 2 11 2≠ + + + +-x nx x x n 四、练习题：
1．数列}{n a 的通项公式是)(11 +∈++=N n n n a n ，若它的前n 项和为10，则其项数n 为 A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 2．数列 ,211 ,,3211 ,211 ,1n ++++++的前n 项和为 A ．122+n n B ．12+n n C ．12 ++n n D ．12+n n 3．数列}{n a 的通项是14-=n a n ，n a a a b n n +++= 21 ，则数列}{n b 的的前n 项和为 4．设221 )(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法， 可求 )0()4()5(f f f ++-+- )6()5(f f ++的值为A ．23 B ．2 C ．22 D ．22 6．22222212979899100-++-+- 的值是 7．数列 ,21 )12(,,815,413,211n n +-的前n 项和为n S ，则=n S 8．在等比数列}{n a 中，1221-=+++n n a a a ，则=+++2 222 1n a a a
详解数列求和的方法+典型例题.docx
详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一， 除了等差数列和等比数列有求和公式外， 大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式 n( a 1 a n ) na 1 n(n 1)d S n 2 2 2、等比数列的前 n 项和公式 na 1 (q 1) S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q (q 1) 1 q 1 q 3、常用几个数列的求和公式 n 1 n(n 1) （ 1）、 S n k 1 2 3 n k 1 2 n 2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 1) （ 2）、 S n k 1 2 3 n n n n k 1 6 n k 3 13 23 33 n 3 [ 1 n(n 1)] 2 （ 3）、 S n k 1 2 第二类：乘公比错项相减（等差 等比） 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 { a n b n } 的前 n 项和，其中 { a n } ， { b n } 分别是等差数列和等比数列。 例 1：求数列 { nq n 1 } ( q 为常数 ) 的前 n 项和。解：Ⅰ、若 q =0， 则 S n =0 Ⅱ、若 q =1 ，则 1 ( 1) 1 2 3 nn n S n Ⅲ、若 q ≠ 0 且 q ≠ 1， 2 则 S n 1 2q 3q 2 nq n 1 ①
(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第五章数列第4节数列求和及数列的综合应用讲义理
考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题. 知 识 梳 理 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝?????na 1 ，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 3.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系. [微点提醒]
2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)
数列求解通项的方法总结 方法一、公式法 当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。 1、等差数列通项公式： d n a a n )1(1-+= 2、等比数列通项公式： 例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N * ，求数列{c n }的前n 项和． 1 1-=n n q a a
方法二、利用前n 项和与通项的关系 已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝ { )1() 2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1 的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。 例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．求{a n }的通项公式； （2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n = ，求数列{b n }的前n 项和． 变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n 项和为T n ，求T n ．
数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
数列通项与求和 一．求数列通项公式 1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。） 例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{} n a 的通项公式． 2 项和为S ，满足3如,1对所有的4。 例．52 1a a ⋅⋅ ⋅(例．已知数列{}n a 满足31=a ，n n a n a 1 1+=+，求n a 。 答案：2 3n a n = 6．已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差．等比数列）。 （1）形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式
①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -= 1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例．已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ． 答案：123n n a +=- ②()n f 为一次多项式，即递推公式为s rn pa a n n ++=+1 例 ③(n f （2）n rq ，其中p q 1 + 例（3型（2）的方法求解。 例．已知数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。 答案：1731 (443n n a -=-- 7．形如1 1n n n a a ka b --=+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。 例．1,1 3111 =+⋅= --a a a a n n n
高中数学数列求和练习题及参考答案2023
高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。 一、简单求和练习 1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。 解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为： S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200 所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。 2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。 解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。 二、综合应用题
1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。 解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到： 139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2) 化简得： 139 = (n/2)(2n + 4) 278 = n(2n + 4) 2n^2 + 4n - 278 = 0 解这个一元二次方程，得到n ≈ 11 所以，该等差数列的项数为11。 2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。 解析：根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到： 105 - 2m = (m/2)(5 + (5 + 3(m - 1))) 化简得： 105 - 2m = (m/2)(8m + 2) 210 - 4m = m(8m + 2)
高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料：第六章数列6.4数列求和(解析版)
§6.4 数列求和 考纲展示► 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 考点1 公式法求和 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －2 d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n 1－q ，q ≠1. 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法： 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (2)并项求和法： 在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(1002 －992 )＋(982 －972 )＋…＋(22 －12 )＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法． (1)[教材习题改编]一个球从100 m 高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( ) A ．100＋200×(1－2－9 ) B ．100＋100(1－2－9 ) C ．200(1－2－9 ) D ．100(1－2－9 )
答案：A (2)[教材习题改编]已知函数f (n )＝n 2 cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________. 答案：－100 解析：因为f (n )＝n 2 cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2 ，n 为奇数，n 2 ，n 为偶数， 所以f (n )＝(－1)n ·n 2 ， 由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1) n ＋1 ·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1) n ＋ 1 ·(2n ＋1)，得 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数． (1)设数列{a n }的通项公式是a n ＝x n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，x ＝1，x －x n 1－x ，x ≠1 解析：当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝ x －x n 1－x . (2)设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：S n ＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 0，n 为偶数， －1，n 为奇数 解析：若n 为偶数，则S n ＝0；若n 为奇数，则S n ＝－1. [典题1] (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1 2(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 ________． [答案] 27 [解析] 由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1 2(n ≥2)， 可知数列{a n }是首项为1，公差为1 2的等差数列， 故S 9＝9a 1＋ －2×1 2 ＝9＋18＝27.
2023年高考数学一轮复习讲义——数列求和
§6.5 数列求和 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识梳理 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ① 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ② 1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1n －1－1n ＋1.( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得． ( × ) (4)求数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ ) 教材改编题 1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 答案 D 解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12 ，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( ) A ．50 B ．75 C ．100 D ．125 答案 B 解析 a 2＋a 4＋…＋a 100 ＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75. 3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1) ，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________. 答案 2 022 解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
数列求和专题讲义
数列求和专题讲义 一、知识梳理 1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2d . 2．等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1) 2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1).(4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1) 6. 注意：数列求和的常用方法 (1)公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式求和． (2)分组转化法：把数列转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ① 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12)121121(+--n n ；③1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和． (6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 二、基础检测 题组一：思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12)1 11 (+- n n .( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( ) (5)如果数列{a n }是周期为k 的周期数列，那么S km ＝mS k (m ，k 为大于1的正整数)．( )
小学数学等差数列求和专项讲义
等差数列求和（一） 、知识要点 数列：若干个数排成一列称为数列。 项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“ 通项公式”和项“数公式”。通项公式：第n 项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋ 1 二、精讲精练 【例题1】有一等差数列： 3.7，11.15 ，⋯⋯，这个等差数列的第100 项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是 3.公差是4，项数是100。要求第100 项列表分析找规律： 总结：通项公式：第n 项=首项+（项数－1）×公差所以，第100 项=3+（100 －1）×4=399. 练习1： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求 1.4 ，7，10 ⋯⋯这个等差数列的第30 项 3.求等差数列 2.6 ，10，14⋯⋯的第100 项 【例题2】有一个数列：4，10，16 ，22.⋯，52.这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52. 总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，
再加 1. 总结： 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋ 1 所以，项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9 项练习2： 1.等差数列中，首项=1.末项=39 ，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列： 2.5，8，11.⋯，101. 这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11.16 ，21.26 ，⋯，1001. 这个等差数列共有多少项？ 【例题3】有这样一个数列： 1.2.3.4 ，⋯，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析：如果我们把 1.2.3.4 ，⋯，99，100与列100，99，⋯，3.2.1 相加，则得到（1+100 ）+（2+99）+（3+98）+⋯+（99+2）+（100+1 ），其中每个小括号内的两个数的和都是101. 一共有100 个101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2.就是所求数列的和。1+ 2+ 3+ ⋯+99+100= （1+ 2+ 3+ ⋯+99+100 +100+99+98+ ⋯+2+ 1）=（1+100）×100÷2=5050 总结发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+ ⋯+49+50 2)6+7+8+ ⋯+74+75 3) 100+99+98+ ⋯+61+60
数列求和专题教案
数列专题复习-----数列求和 教学目标： （一）知识与技能 1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式； 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． （二）过程与方法 通过一些经典的实例，利用求和公式及特殊数列的求和方式更深一层次的认识数列求和． （三）情感、态度与价值观 培养学生勤学，勤想，勤动脑的数学学习理念，更多地接触知识才会站在更高的位置看问题，解决问题。 教学重点： 等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用． 教学难点： 非等差、等比数列的求和． 教学方法：边讲边练 教学过程： 一．数列求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪ ⎨⎧≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 二、学生活动 1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法） 2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法． 三、数学运用 1、错位相减法求和 { a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.1122n n n S a b a b a b =+++ 例1． 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S 解：由题可知，设132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--
解密04 数列求和及综合问题(分层训练)-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练
解密04 数列求和及综合问题 A 组 考点专练 一、选择题 1.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023 【答案】C 【解析】因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－1 2 n ， 则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1 210，又m >T 10＋1 013， 所以整数m 的最小值为1 024. 2.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项的和为( ) A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020 【答案】D 【解析】设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7， a 1＋9d ＝19， 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧a 1＝1， d ＝2，∴a n ＝2n －1，设b n ＝a n cos n π， 则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2， b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…， ∴数列{a n cos n π}的前2 020项的和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×1 010＝2 020. 3.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1 a 99＝( ) A.99 98 B.2 C.99 50 D.99100 【答案】C 【解析】对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ， 则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1） 2， 则1a n ＝2 n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭ ⎫1n －1n ＋1，
数列求和方法(带例题和练习题)
数列的求和 数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =++++ +=+∑… 4、 222221 1 123(1)(21)6 n n k S k n n n n ===+++ +=++∑ 5、 2 3 333 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+⎡⎤ = ==+++ +=⎢⎥⎣⎦ ∑ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2 2 1-++++n x x x (0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例4．求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++⋅⋅⋅+++的值 例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
2020年高三理科数学一轮复习讲义6.4【数列求和】
年高三理科数学一轮复习讲义 【数列求和】 最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 知识梳理 1.特殊数列的求和公式 (1) 等差数列的前 n 项和公式： S n ＝n （ a 1＋ a n ）＝na 1＋n （ n － 1）d. 22 (2) 等比数列的前 n 项和公式： na 1， q ＝ 1， S n ＝ a 1－ a n q ＝ a 1（ 1－q n ），q ≠1Ｗ. 1－ q1－q 2.数列求和的几种常用方法 (1) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错 位相减法求解 . (4) 倒序相加法 如果一个数列 { a n } 的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的 前 n 项和即可用倒序相加法求解 . [ 微点提醒 ] 1.1＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋ n ＝ n （ n ＋ 1） . 2 2.12＋22＋ ＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1） . 6 1
3.裂项求和常用的三种变形 1 1 1 (1) n （ n ＋ 1） ＝ n －n ＋ 1 . 1 1 1 － 1 (2) （ 2n －1）（ 2n ＋ 1） ＝ 2 2n ＋ 1 . 2n － 1 1 ＝ n ＋ 1－ n. (3) n ＋ n ＋ 1 基础自测 1.判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×” ) (1) 若数列 { a n } 为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 S n ＝ a 1－a n ＋ 1 .() 1－ q (2) 当 n ≥2 时， 2 1 1 1 － 1 ).( ) ＝ ( n －1 2 n － 1 n ＋ 1 (3) 求 S n ＝ a ＋ 2a 2＋ 3a 3＋ ＋ na n 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 .( ) n － 1 (4) 若数列 a 1，a 2－a 1 ， ，a n － a n － 1 是首 项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 3 .() 2 解析 (3)要分 a ＝0 或 a ＝1 或 a ≠ 0 且 a ≠ 1 讨论求解 . 答案 (1)√ (2) √ (3)× (4) √ 2.(必修 5P47B4 改编 ) 数列 { a n } 中， a n ＝ 1 ，若 { a n } 的前 n 项和为 2 019 ，则项数 n 为 ( ) n （n ＋ 1） 2 020 A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021 解析 a ＝ 1 ＝1－ 1 ， n n n （n ＋ 1） n ＋ 1 n ＝ 1－ 1＋ 1－1 ＋＋ 1－ 1 ＝1－ 1 ＝ n ＝ 2 019 ，所以 n ＝ 2019. S 2 2 3 n n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1 2 020 答案 B 3.(必修 5P56 例 1 改编 ) 等比数列 { a n } 中，若 a 1＝ 27， a 9 ＝ 1 ， q>0， S n 是其前 n 项和，则 S 6＝ ________. 243 解析 由 a 1 ＝27， a 9 ＝ 1 知， 1 ＝ 27·q 8 ， 243 243 2
2020届高三数学第一轮复习《数列求和》讲义
数列求和问题 要点梳理 1. 等差数列前n 项和S n ＝_ n a 1＋a n 2 __＝__ na 1＋ n n －1 2 d ___， 推导方法：__倒序相加法_____； 等比数列前n 项和S n ＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ ， q ＝1， ＝ ， q ≠1. na 1 a 11－q n 1－q a 1－a n q 1－q 推导方法：乘公比，错位相减法. 2.常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝___ n n ＋1 2 _____； (2)2＋4＋6＋…＋2n ＝__ n 2 ＋n ______； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝__ n 2 ____； (4)12 ＋22 ＋32 ＋…＋n 2 ＝___ n n ＋1 2n ＋1 6 _____； (5)13 ＋23 ＋33 ＋…＋n 3 ＝___[n n ＋1 2 ]2 _______. 3.数列求和的常用方法 （1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。 （2）拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。 （3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。 （4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。 （5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法。若}{n a 为等差、 }{n b 为等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用此法。 （6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过观察数列通项公式特点和规律，判断求和类型，寻找合适的求和方法. 求和过程中同时要对项数作出准确判断. 含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论. (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成. ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来
2023届数学二轮复习讲练测：专题04 数列的通项、求和及综合应用(精讲精练)(原卷版)
专题04 数列的通项、求和及综合应用 【命题规律】 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注． 【核心考点目录】 核心考点一：等差、等比数列的基本量问题 核心考点二：证明等差等比数列 核心考点三：等差等比数列的交汇问题 核心考点四：数列的通项公式 核心考点五：数列求和 核心考点六：数列性质的综合问题 核心考点六：实际应用中的数列问题 核心考点七：以数列为载体的情境题 【真题回归】 1．（2022·浙江·高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3 n n n a a a a n *+==-∈N ，则（ ） A ．100521002 a << B ． 1005 10032 a << C ．100731002a << D ．1007 10042 a << 2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 3．（2022·全国·高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． (1)证明：11a b =； (2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数． 4．（2022·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221n n S n a n +=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；