高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用
高一数学复习考点知识讲解课件第2课时等差数列前n项和的性质及应用考点知识1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．答案1629解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．二、等差数列中前n 项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .知识梳理等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ， 解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和； ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找； ②运用二次函数求最值．跟踪训练2在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解(1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15， 所以⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项和S n 取得最小值为S 3＝S 4＝－18.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列{}a n 的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？ 提示S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列． 知识梳理1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 例3已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10(10－1)2d ＝100，100a 1＋100(100－1)2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110(110－1)2d ＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 方法二∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法三由⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，构造新的等差数列b 1＝S 1010＝10，b 10＝S 100100＝110， 则d ＝19(b 10－b 1)＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫－9910＝－1110， 所以b 11＝S 110110＝b 10＋d ＝110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1110＝－1， 所以S 110＝－110.方法四直接利用性质S n ＝m ，S m ＝n ，S m ＋n ＝－(m ＋n )，可知S 110＝－110. 反思感悟利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，S mm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝S mm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.1．知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用．(2)等差数列前n项和的最值问题．(3)等差数列中的片段和问题．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为()A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案D解析∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．2．等差数列{}a n 中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于()A ．12B ．18C ．24D ．30答案D解析根据题意，得在等差数列{}a n 中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，…也成等差数列，又由S 3＝3，S 6＝9，得S 6－S 3＝6，则S 9－S 6＝9，S 12－S 9＝12，则S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝3＋6＋9＋12＝30.3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()A.825两B.845两C.865两D.885两答案C解析设10个兄弟由大到小依次分得a n ()n ＝1，2，…，10两银子，由题意可得 设数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和为S n ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＝6，S 10＝100，即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝6，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝865，d ＝－85.所以长兄分得865两银子．4．已知S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝－2，S 20222022－S 20202020＝2，则S 20212021＝________.答案2018解析∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，设其公差为d .∵S 20222022－S 20202020＝2，∴2d ＝2，d ＝1.∵a 1＝－2，∴S 11＝－2.∴S n n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.∴S 20212021＝2018.课时对点练1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于() A ．10B ．100C ．110D ．120答案B解析∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100.2．若等差数列{a n}的前m项的和S m为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A．30B．70C．50D．60答案C解析∵等差数列{a n}中，S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和S n()A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值答案B解析易知数列{2n－19}的通项公式为a n＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列．令a n＝0，得n＝192.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．已知在等差数列{}a n 中，前n 项和为S n ，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，则当S n 取最大值时，n 等于()A ．1010B ．1011C ．2020D ．2021答案A解析在等差数列{}a n 中，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，故公差d <0，所以a 1010>0，a 1011<0，所以当S n 取最大值时，n ＝1010.5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()A ．45B ．36C ．28D ．21答案D解析由题意分析可得a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式a n ＝n ()n ＋12，a 6＝6×()6＋12＝21. 6．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．7．已知等差数列前n项和为S n，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.答案－13解析由性质S n＝m，S m＝n，S m＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.8．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S 9－S 6＝5.9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．10．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 方法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．11．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝14，则S 6S 12等于() A.18B.726C.14D.12答案C解析由等差数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，设S 3＝k ，S 6＝4k ()k ≠0，则S 9＝3S 6－3S 3＝9k ，S 12＝3S 9－3S 6＋S 3＝16k ，所以S 6S 12＝14. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 4＝S 9，当S n 最大时，n 等于()A ．6B ．7C ．6或7D ．13答案C解析因为S 4＝S 9，所以4a 1＋4×32d ＝9a 1＋9×82d ，化简得a 1＋6d ＝0，所以a 1＝－6d ，因为a 1>0，所以d <0，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－6dn ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－132dn ，它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n ＝132，因为n ∈N *，所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值．14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案10解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A ．7B ．8C ．9D ．10答案C解析设电梯所停的楼层是n (2≤n ≤12)，则S ＝1＋2＋…＋(n －2)＋2[1＋2＋…＋(12－n )]＝(n －2)(n －1)2＋2×(12－n )(13－n )2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－533n ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5362－53224＋157， 开口向上，对称轴为n ＝536≈9，故S 在n ＝9时取最小值S min ＝3×92－53×9＋3142＝40. 16．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .21 / 21 ∵S 7＝7，S 15＝75， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12. ∴T n ＝14n 2－94n .。
人教版高中数学第二章3等差数列前n项和教育课件
(1解 ) ： a11
Sn
n12n1
2
n 2n 2
n2
牛刀小拭
例 2.在 等 差 数 列 {an}中 ， 已 知 a 1 10,d4, Sn54,求 n 的 值 . 知三求一
解 :
Sn
na1
n(n1)d 2
n26n2 70
10nn(n1)454 n9或 n3
2
n的值为 9.
课堂小结
(1 )S n a 1 a 2 a 3 a n
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
高一数学人教版必修等差数列前n项和性质及应用课件
（1） 利用 an :
A.85 B.145 C.110 D.90
例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
（4）求 an 前 n 项和 Tn？
高 一 数 学 （ 人教版 ）必修 5第二章 2.3等 差数列 前n项和 性质及 应用2 课件(共 17张P PT)
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1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
S n n 是 等 差 数 列 ， 公 差 为 d 2 .
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例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明
理由.
a1+2d=12
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
等差数列的前n项和ppt课件
02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
等差数列前n项和的公式推导
公式推导
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中a1是第一项，d是公差。
推导过程
组合数学
等差数列的前n项和在组合数学中 也有广泛应用，例如计算组合数 的公式。
数学分析
在数学分析中，等差数列的前n项 和可用于研究函数的极限、积分 等概念。
在物理中的应用
力学
01
在研究匀加速直线运动时，等差数列的前n项和可用于计算位移、
速度和加速度等物理量。
波动
02
在波动现象中，等差数列的前n项和可用于描述波动方程的解。
等差数列的前n项和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列的前n项和的求解方法 • 等差数列的前n项和的应用 • 习题与解答
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任 意两个相邻项的差是一个常数，这个 常数被称为公差。
数学表达
对于等差数列 {a_n}，如果每一项满 足 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 d 是公 差，则该数列为等差数列。
详细描述
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，其中d是公差。通过通项公式，我们可以 推导出前n项和的表达式为Sn = n/2 * [2a1 + (n-1) * d]，从而求出前n项和。
04
等差数列的前n项和的应用
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》课件
16
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课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 2】 (1)一个等差数列共 2011 项，求它的
奇数项和与偶数项和之比；
(2)一个等差数列前 20 项和为 75，其中的奇数项和与偶
数项和之比为 1∶2，求公差 d.
解 (1)等差数列{an}共有 1006 个奇数项，1005 个偶数 项，
解法三：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13 最大．最大值为 169.
21
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解法四：∵a1＝25>0，
由aann＋＝1＝252－5－2n2－ n≤10≥. 0，
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探究 4 等差数列前 n 项和的比例问题 例 4 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn， Tn 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝___61_52____； (2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项 的和与奇数项和的比为 32∶27，求该数列的公差 d. 答案 (2)见解析
(5)数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数 列Sn为等差数列．
n
5
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn 一定同时存 在最大值和最小值．( × ) (2)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则数列 Sm，S2m， S3m，…(m∈N*)为等差数列．( × ) (3)若等差数列{an}的公差 d>0，则该数列 Sn 一定有最小 值，d<0 则该数列 Sn 一定有最大值．( √ )
4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用课件ppt
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中
有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
延伸探究 3在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,
求数列{|an|}的前n项和.
11
2 111
∴Sn=- n + n.∴S110=- ×110 + ×110=-110.
100
10
100
10
(方法
11 + 100
2)S100-S10=a11+a12+…+a100=90× 2 =-90,
11 + 100
110×( 11 + 100 )
∴
=-1,∴S110=
=-110.
- 2 + 2 , ≤ 34,
3 2 205
+ 3 502, ≥
2
2
+
35.
205
2
3 2 205
=2n - 2 n+3
502.
方法技巧已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定通项公式an;
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还
前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项
和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
变式训练 1在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和的最小值,并指出
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
等差数列的前n项和课件
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。