定积分的概念(教学内容)
《数学分析》第九章 定积分
n
若极限
||T ||0
lim F (i )ti
i 1
n
存在，
则定义此极限值为力所做的功
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是 计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量 进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归
n 结为形如 f ( i ) xi 的和式极限问题。 i 1
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为
虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是
我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
从中可以得到一个什么样的启示？
小曲边梯形的底：
y
y f (x)
f ( i )
[ xi 1 , xi ]
小曲边梯形的高：
f ( i )
小曲边梯形的面积：
O a
第九章
定 积 分
§1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题
§9.1
定积分概念
一、问题的提出 二、定积分的定义
三、定积分的几何意义
9.1 定积分的概念
教学内容： 1) 定积分概念的引入
2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 4)定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的 建立
xi 1 xi b
x
⑶ 求和
（积零为整）
y
大曲边梯形的面积
f ( i )
S f ( i )xi
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
第一节定积分的概念与性质.
定积分定积分与不定积分是两个不同的概念，前者是数，后者是函数族，但两者之间有着密切的联系．§1 定积分的概念与性质【目的要求】1、了解定积分的定义；2、了解定积分的性质、定积分存在的必要条件和充分条件；3、会熟练应用第一中值定理和估值定理．【重点难点】定积分的概念与定积分的性质．【教学内容】一、定积分概念引例1. 曲边梯形的面积在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形、梯形等平面图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题尚未解决，其原因是用初等数学方法解决这类问题相当困难. 下面将介绍一种求曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.例1所谓曲边梯形，是指由连续曲线()(()0)y f x f x=≥，x轴以及直线==所围成的图形（如图6-1所示）. 现计算它的面积A.,x a x b图6-1分析从图中可以看出，当()a b上为常数时，图形变成矩形，其y f x=在[,]面积为：面积=底⨯高.而对于一般的曲面梯形，其高度是变化的，因而不能直接按矩形面积公式来求，然后，由于()y f x =在区间[,]a b 上的变化是连续，在很小的一段区间上它的变化量非常小. 因此，通过分割曲边梯形的底边[,]a b ，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，而每个小曲边梯形的底边长度非常小，并且其面积近似于一个小矩形的面积. 然后，将这些小矩形的面积相加，就是整个曲边梯形面积的近似值. 当然，随着分割的份数增多，近似程度越来越高.当无限分割[,]a b ，令每个小曲边梯形的底边长度趋于0，那么整个近似值的极限就是我们要求的曲边梯形的面积.先将详细过程叙述如下：(1) 分割：把区间[,]a b 任意分成n 份，设分点为012···n a x x x x b =<<<<=，于是每个小曲边梯形的长度为1i i i x x x -∆=-.过每个分点做x 轴的垂线，则可把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，再设每个小曲边梯形面积为i A .(2) 取近似：对于第i 个小曲边梯形，在其底边1[,]i i x x -上任取一点i ξ，并以()i f ξ为高作矩形，并用该矩形的面积近似替代每个小曲边梯形的面积，即()i i i A f x ξ≈⋅∆，其中1,2,,i n =.(3) 求和：将所有小矩形的面积求和，即得到原曲边梯形的近似面积1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑.(4) 取极限：无限分割区间[,]a b ，使所有小区间的长度趋于0. 为此，记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆.当λ趋向于0时，1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑的极限就是曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i x i A f x ξ→==⋅∆∑.2. 成本问题例 2 某公司对其产品的变化情况满足如下关系式：()5003xf x =-.其中x 表示该产品的数量；()f x 表示当产品数量为x 时，在增加一个单位产品所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C .分析 如同本教材前面章节对边际函数所描述的那样，在经济和商务中遇到的函数自变量往往取正整数，其函数值也是离散型的. 为数学处理方便，下面将其连续化，转化成具有连续倒数的函数来处理. 这是许多结果只能看成近似的，但不影响对实际问题的分析.(1) 分割： 该公司产品产量从300件增加到900件，将其连续化，把区间[300,900]任意分成n 份，设分点为012300900n x x x x =<<<<=.(2) 取近似：考虑产量从1i x -增加到i x 时所增加的成本，1()i f x -作为边际成本在1i x -的值表示当产量为1i x -时增加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加i x ∆单位时，所增加的成本为1()i i f x x -⋅∆.(3) 求和：当产量从300增加到900时，所增加的总成本为11()ni i i f x x -=⋅∆∑.(4) 取极限：为了更精确估计，同样可设12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，当λ趋向于0时，所增加的总成本为101lim ()ni i i C f x x λ-→==∆⋅∆∑.二、定积分定义抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出下述定积分的定义.定义 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点012···n a x x x x b =<<<<=，把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -⋅⋅⋅，各个小区间的长度依次为1102211,,,n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-⋅⋅⋅∆=-.在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ1()i i i x x ε-≤≤，作函数值()i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，并作和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作()d ba f x x ⎰，即()d baf x x ⎰=I =01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑，其中()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间.根据积分定义，例1中的曲边梯形的面积A 是函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，即()d ba A f x x =⎰；例2中当产量从300件增加到900件时，所增加的成本为900300()d C f x x =⎰.关于定积分，作以下几点说明：(1) 函数()f x 在区间[,]a b 上可积是指积分()d ba f x x ⎰存在，即无论区间如何分割以及i ξ如何选取，01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑始终存在.(2) 定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用何字母表示无关，即有()d ()d ()d ()d bb b baaaaf x x f y y f t t f u u ===⎰⎰⎰⎰.(3) 在定义中，记号()d b af x x ⎰只有当a b <时才有意义，而当a b =或a b >是没有意义的.但为以后计算及应用方便起见，规定：()d 0aaf x x =⎰， ()d ()d ()b aabf x x f x x a b =->⎰⎰.(4) 几何意义：定积分()d b af x x ⎰的几何意义为由曲线()y f x =，x 轴及直线x a =，x b =所围成的封闭图形在x 轴上方与下方面积的代数和，其中x 轴上方面积为正，下方面积为负.对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在区间[,]a b 上满足怎样的条件，()f x 在[,]a b 上一定可积？这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件.定理 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积.定理 1.2 设函数()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积.最后，举一个按定义计算定积分的例子. 例 3 利用定义计算定积分120d x x ⎰.解 因为被积函数2()f x x =在区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所 以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关. 因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i ix n=，1,2,1i n =-；这样，每个小区间1[,]i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,i n =；取i i x ξ=，1,2,i n =.于是，得和式22111()n nniiii i i i i i f x x x x ξξ===⋅∆=∆=∆∑∑∑=2231111nn i i i i n n n ==⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑=311(1)(21)6n n n n ⋅++① =111(1)(2)6n n ++.当0λ→即n →∞时，取上式右端的极限. 由定积分的定义，即得所要计算的积分为1220011111d lim lim (1)(2)63ni i n i x x x n n λξ→→∞==∆=++=∑⎰. 二、定积分基本性质由定积分的定义与极限运算法则和性质，可以推出下列定积分的基本性质和积分中值定理（下面所涉及的函数在没说明情况下均表示在讨论区间上可积）.1．定积分的基本性质 性质 1[]()()d ()d ()d bbbaaaf xg x x f x x g x x±=±⎰⎰⎰. 对有限个函数1()f x ，2()f x ，,()n f x 亦成立，即[]12()()() d bn afx f x f x x ±±±⎰12()d ()d ()d b b bn aaa f x x f x x f x x =±±±⎰⎰⎰.性质 2 若k 为常数，则()d ()d bbaak f x x k f x x =⎰⎰.性质 3 （区间可加性）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.若()f x 连续且c 介于a 与b 之间，即a b c <<时，该性质从几何意义看是显然的，当不介于a 与b 之间，该性质仍然成立. 因为当a b c <<时，()d ()d ()d cb c a a b f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰， ()d ()d ()d bc c a a bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰.因为 ()d ()d cba cf x x f x x =-⎰⎰，所以()d ()d (()d bcbaacf x x f x x f x x=--⎰⎰⎰ ()d()d cb acf x x f x x =+⎰⎰. 当c a b <<时，可类似证明.性质 4 如果在区间[,]a b 上，有()()f x g x ≤，则()d ()d ()bbaaf x xg x x a b ≤<⎰⎰.性质 5 （估值定值）如果函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则()()d ()()ba mb a f x x M b a a b -≤≤-<⎰，即 ()d baf x xm M b a≤≤-⎰.证 因为()m f x M ≤≤，由性质4得d ()d d bb baaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰，再由性质2和d b ax b a =-⎰，即有 ()()()d b am b a f x xM b a-≤≤-⎰. 估计定值的几何意义是曲边梯形面积介于以区间[,]a b 为底，以最小纵坐标为高的矩形面积与以最大纵坐标为高的矩形面积之间. 性质5可用来估计积分值的大致范围.性质 6 （积分中值定理）设函数()y f x =在区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点()a b ξξ≤≤，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰.证 因为()y f x =在[,]a b 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，()y f x =在[,]a b 上必存在最大值M 和最小值m .若a b =，显然.若a b <，利用性质5，并将不等式除以b a -，得1()d ba m f x x Mb a≤≤-⎰. 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点，使得1()()d ba f f x xb aξ=-⎰. 即()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰. 几何意义（见图6-2）是在曲边梯形底边上至少存在一点ξ，使得该曲边梯形面积等于同一底边、髙为()f ξ的矩形面积.图 6-2其中，1()()d baf f x x b a ξ=-⎰称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的平均值.。
人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
一、课程概述
本课程是人教版高中选修2数学课程中的第21.5章，主要介绍定积分的概念及相关性质。
二、教学目标
1.掌握定积分的概念及其物理意义。
2.掌握定积分的基本性质及计算方法。
3.理解定积分与求导函数之间的关系。
4.能够应用定积分解决实际问题。
三、教学内容
1. 定积分的概念
•定积分的引入
•定积分的定义
•定积分的几何意义
•定积分的物理意义
2. 定积分的基本性质
•定积分的线性性质
•定积分的区间可加性
•定积分的估值定理
•定积分的中值定理
3. 定积分的计算方法
•利用定积分计算面积和体积
1。
定积分的概念(教案)
1.5.3．定积分的概念一、复习回顾：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算dx x ⎰102 、 dx x ⎰103 的值.2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1⎰b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=ca b a dx x f dx x f )()(+ 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ⎰= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()ba f x dx ⎰=（3）在[,]a b 上)(x f 变号，()ba f x dx ⎰=⑤练习：1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
（1）dx x ⎰20sin π（2）dx x ⎰-212 （3）dx x ⎰-1232、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1）0sin 22=⎰-dx x ππ ， 0sin 20=⎰dx x π （2）dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin ππ3、计算下列定积分（1）dx b a ⎰1 （2）11x dx -⎰． （3） 50(24)x dx -⎰（4）dx x ⎰-1021 （5）120(2)x x dx -⎰三、课堂小结：①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义。
定积分
第五章定积分一、教材分析定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。
古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。
直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。
因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。
定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学要求1、理解定积分的概念及性质2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。
熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。
4、了解反常积分的概念5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）三、教学重点与难点重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。
四、教学内容及课时划分§5—1 定积分的概念与性质 3课时§5—2 微积分基本公式 2课时§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时§5—4 反常积分 2课时习题课 2课时合计 12课时五、本章知识结构图第一节 定积分的概念与性质教学目的：1．理解定积分的定义 2．掌握定积分的性质 教学重点、难点：1．重点：定积分的概念的形成 2．难点：用定积分定义求定积分 教学课时：3 教学过程：一、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设)(x f y =在 []b a ,上非负、连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线)(x f y =所围成的图形，称为曲边梯形。
求曲边梯形的面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[a,b]分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-],它们的长度依次为： 1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形（i=1,2,…,n ）,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 10)(lim ξ2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且)0(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=-把[21,T T ]分成n 个小段 [10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t 相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21在[i i t t ,1-]上任取一个时刻1()i i i i t t ττ-≤≤，以i τ时的速度()i v τ来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：()i i i S v t τ∆≈∆ ),,2,1(n i = 进一步得到：1122()()()n n S v t v t v t τττ≈∆+∆++∆ =1()ni i i v t τ=∆∑设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得： 01l i m ()ni i i S v tλτ→==∆∑ 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ，路程01lim ()ni i i S v t λτ→==∆∑.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间[a,b]分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x . 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,,),i i f x i n ξ∆= 并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ξ怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[a,b]上可积。
定积分定积分的概念与性质
第五章 定积分本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式2.用“特性”(奇偶对称)3.分段函数的定积分 2 积分上限函数求导及应用3 定积分计算中应注意的问题第一节．定积分的概念与性质教学内容和重点: 1 理解定积分定义 2 掌握性质和几何意义 一. 定积分的引入1. 数学上: 求曲边梯形的面积 ① 曲边梯形 ② 面积的求法ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限i x ∆既表示第i 个小区间,也表示长度. A=01lim ()ni i f i x λξ→=∆∑max{}i x λ=∆2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2T T ] ② 求法: S=01lim ()ni i i V t λξ→=∆∑③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样 ⅱ 式子均为特定和式结构的极限 二. 定积分的概念1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限) 若01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑ ∃,则称01lim ()()nb i ia i f x f x dx λξ→=∆⎰∑2. 定积分存在的两个充分条件① 若f(x)∈C[a,b]⇒()baf x dx ⎰∃ (f(x)在[a,b]上可积)② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)⇒()ba f x dx ∃⎰3. 几个注意的问题① 定积分∃,对任意分法和任意取法都成立⇒采取特殊的分法,取法(比如等分) ② 0n λ→→∞等分③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关()()()b b baaaf x dx f u du f t dt ==⎰⎰⎰④ 定积分的几何意义1.()0().()2.()0()3.()()b a bb aabaf x A f x dx f x dx f x A f x dxf x f x dx -⎧>⇒=⎪⎪<⇒=+⎨⎪⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰面积有正有负是面积的代数和5. 定积分定义的应用① 利用几何意义来求定积分 如:04π=⎰221y x y =+= 如:设x ∀∈[a,b],有f(x)>0,f ’(x)>0,f ”(x)<0,则()()f b b a ->()b a f x dx ⎰>()()()2f a f b b a +->()()f a b a -大小顺序如何? S 曲梯>S 梯>S 矩 ② 求特定和式数列的极限如: 求111lim()12n n n n n→∞++⋅⋅⋅++++作等分:101111111lim lim lim ()11nn i n n n i i f dx i n i n n x nξ→∞→∞→∞=====〉=+++∑∑∑⎰ =[㏑(1+x)]10=㏑2 (在12,1之间) ③ 用定义求定积分 (等分 令i i x ξ=) 如:1lim lim (12)nbian n i b a b a b a b a b axdx x a a a n n n n n n→∞→∞=-----==++++⋅⋅⋅++∑⎰=lim((12))n b a b ana n n n→∞--+++⋅⋅⋅+=2(1)()lim()()122n b a b a n n b a na b a a n n →∞--+-+=-+ =221()2b a - 事实上:2221()22bb aax xdx b a ==-⎰三. 定积分的性质:1. 假设可积.2. 所求等式性质 a,b 大小无关系.3. 不等式性质要求上限必须大于下限4. 一个规定,6个性质 ① 规定: ⅰ()0aa f x dx =⎰ⅱ()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰ 0i x ∆<② 性质: ⅰ 线性性质. [()()]baf xg x dx ±⎰. ()kf x dx ⎰ⅱ 积分曲间可加性. ()bcbaacf x dx =+⎰⎰⎰注: ⑴c 可在a,b 之间,也可在a,b 之外⑵bcdebaac de=+++⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ 1b adx b a =-⎰ (几何面积为b-a)ⅳ 保号性: 若[,]x a b ∀∈,有()0f x ≥()0ba f x dx ⇒≥⎰(b>a)推论: ⑴[,]x a b ∀∈,有()()()()bbaaf xg x f x dx g x dx ≤⇒≤⎰⎰⑵()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ⅴ 估值性质: 设()[,],()m f a b f M x x ≤≤∈()()()bbaam b a f x dx Mdx M b a -≤≤=-⎰⎰ⅵ 积分中值定理: 设()[,]f x C a b ∈ ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由介值定理: ()[,]f a b ξξ∈∃其中，至少 几何意义: ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰S 曲梯=S 矩③ 定积分的应用——例题分析例1． 比较积分值的大小ⅰ 1100xdx ⎰⎰与㏑（1+x ）dx > (㏑(1+x)<x<1x e -ⅱ 21⎰㏑xdx 与21⎰㏑2xdx > (㏑x<1)例2． 估计积分值ⅰ 52414(1sin )x dx ππ-+⎰ ⅱarctan xdx（251sin 44x ππ+在，上连，必有最值）551224444ππππππ=-≤⋅⋅⋅≤-=（）（）例3．设()[0,1]0()1f x C f x ∈≤<且. 试证：1lim ()0n n f x dx →∞=⎰证明：1lim ()lim ()(10)0n n n n f x dx f ξ→∞→∞=-=⎰ex ：P233.1 6 (1.4)。
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授课题目定积分的概念
课时数1课时
教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。
重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。
难点：定积分概念的理解。
学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基
于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒
体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，
引导学生探索性学习。
教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺
垫，起到了承上启下的作用。
而且定积分概念的引入体
现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变
代变”的基本思想。
所以无论从内容还是数学思想方面，
本次课在教材中都处于重要的地位。
教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲
解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的
积极性。
教学手段
传统教学与多媒体资源相结合。
课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册
教学内容与过程
一、定积分问题举例
1、曲边梯形的面积
设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。
由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下：
（1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ
把],[b a 分成n 个小区间
],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ∆∆∆,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ∆≈∆ξ ]).,[(1i i i x x -∈∀ξ
（3）求和：曲边梯形面积∑∑==∆≈∆=n i i i
n i i x f A A 1
1
)(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→∆=n i i
i x f A ξλ其中
}.,,m ax {1n x x ∆∆=Λλ
2、变速直线运动路程
设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i
x 1-i x i ξ。