一元一次方程的应用(等积问题)
5.3 一元一次方程的应用(2) 等积变形--
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，源自把它改 变成球。解：形状改变，体积不变
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形 边框（如图中阴影部分），已知铺这个边 框恰好用了192块边长为0.75米的正方形 花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑 底面的边长是多少米?
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6
答：纪念碑建筑底面的边长为6米. 方案二
本题还有哪些解法？
1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的 关系，尤其相等关系是建立方程的关键。 2、对于等积变形(面积）问题，它的基本数量关系是相关的 面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的 方法来计算阴影部分的面积，面积不变。
3
x
3
阴影部分的面积= 192块边长为0.75正方形花岗岩的面积 阴影部分的面积= 4个长为(x+3)米、宽为3米的长方形 解： 设纪念碑建筑底面的边长为米，根据题意，得
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6 答：纪念碑建筑底面的边长为6米.
2x 5 x 2 x3
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人， 在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处 植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两 处各多少人？ 分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量 及其关系能用表格去表示吗？
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人， 在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处 植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两 处各多少人？ 分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量 及其关系能用表格去表示吗？ 原有人数 甲 处 23 乙 17 处
一元一次方程的应用等积变形问题
抚松外国语七年级数学“一元一次方程的应用等积变形问题〞师生共用导学稿审核: 序号:【学习目标】1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；重点：找相等关系，设未知数列方程．难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。
一．自主探究〔前置性学习〕探究活动〔一〕本课内容必备：圆柱体积公式：长方体体积公式：如图，圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)〔二〕知识盘点：〔三〕学习中还有哪些疑问没有解决？二．合作探究〔一〕交流展示〔二〕体验成功1、用直径为4cm的圆钢〔截面为圆形的实心长条钢材〕铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，那么需要截取多长的圆钢？2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的方钢多长？3、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？4、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？5、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？假设装不下，那么瓶内水面还有多高？假设未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
6、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？7、一个直径为米高为米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。
一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)
一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积
变形)
1.假设原长方形的长为x，宽为y，则根据周长公式
2(x+y)=26，可得x+y=13.将长减少1，宽增加2后得到的正方
形的边长为y+2，因此有y+2=x-1.将这两个方程联立解得x=9，y=4，所以原长方形的长为9cm，宽为4cm。
2.圆锥体的体积为1/3πr^2h，圆柱体的体积为πr^2h，两
者相等，因此可得圆柱体的高为8×(30/10)^2=72cm，所以圆
柱体内的水高为8cm。
3.设新的长方形宽为x，则根据折叠后周长不变可得
2x+10=18，解得x=4，因此新的长方形的长为9cm，宽为4cm。
4.正方体的体积为20^3=8000cm^3，盛水量筒的容积为
12×h，其中h为水面升高的高度，因此有12h=8000，解得
h=666.67cm，所以水面升高了666.67/12≈55.56cm。
5.设大长方形面积为S，则重叠部分面积为S/6，小长方
形面积为S/4，阴影部分面积为224cm^2，因此有S/6-S/4=224，解得S=1344，所以重叠部分面积为S/6=224cm^2.
6.(1) 第一个中的水体积为π(4^2)×16=256π，第二个的底
面积为π(8^2)=64π，因此第二个中的水高为256π/64π=4cm。
2) 将1插入2后，1中的水体积为π(4^2)×10=160π，2中的水体积为π(8^2)×10=640π，因此水位上升了640π-
256π=384π，所以水面升高了384π/(π(8^2))≈1.5cm。
一元一次方程的等积变形问题
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子，可以消去分母，使方程化为一元一次方程。
通过这种方式，可以将方程中的某些项消去，简化方程。
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子
等积变形的步骤与技巧
#O3
识别等积变形的机会
观察方程 在解一元一次方程时，要时刻观察方程的形式，判断是否可以通过等积变形简化问题。 寻找等式两边的共同因子 如果等式两边有共同因子，可以通过提取共同因子简化方程。 寻找等式两边的同类项 如果等式两边有同类项，可以通过合并同类项简化方程。
03
重量不变问题
在称重过程中，当两个物体质量相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
01
体积不变问题
在容器中装有一定体积的水，将水倒入另一个容器，保持水的体积不变，可以通过等积变形来求解相关问题。
02
面积不变问题
在平面几何中，当两个相似图形面积相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
数学题目中的等积变形ຫໍສະໝຸດ 在解代数方程时，可以通过等积变形将方程转化为更易于解决的形式。
在几何图形中，可以通过等积变形将图形转化为更易于计算面积或体积的形式。
几何图形的等积变形
代数方程的等积变形
等积变形在解题中的应用
简化计算过程
通过等积变形可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而简化计算过程。
寻找未知数
在某些问题中，可以通过等积变形来寻找未知数，从而解决问题。
解决实际问题
在解决实际问题时，等积变形可以帮助我们更好地理解问题，并找到合适的解决方案。
等积变形的注意事项与挑战
#O5
等积变形的适用范围
等积变形适用于解一元一次方程时，当方程的解为分数或根号形式时，需要进行等积变形。
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
一元一次方程应用之等积变形篇
物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．
一元一次方程解航行问题
要解航行问题，就要所有量之间的关系。
首先，要弄清几个速度之间的关系：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
其次，要弄清速度、时间和路程的关系：
顺流路程＝顺流速度×顺流时间
逆流路程＝逆流速度×逆流时间
弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。
为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：
航行问题找三量，
静速水速和路程，
一个已知一设元，
余下一个列方程；
若遇三量都具体，
时间关系列方程。
针对上面的问题，下面文章举例说明！。
一元一次方程的应用(等积变形)
1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的 关系，尤其相等关系是建立方程的关键。
2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体 过程可省略不写。
3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式， 相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算 阴影部分的面积，面积不变。
4 3.2(2 x6.4) 2
方案四
2 3.2(x 6.4) 2 3.2x
3.2 x
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗岩，形成一个宽为3.2米的正方 形边框（如图中阴影部分），已知铺这个 边框恰好用了144块边长为0.8米的正方形 花岗岩,问纪念碑建筑底面的边长是多少 米?
一元一次方程的应用(5）
---等积变形问题
老乌鸦，我喝 不到大量筒中 的水！
5㎝
若能将水倒入小量 筒中，比原来的升 高了5cm，你就可 以喝到水了！
x㎝
x㎝
6㎝
4㎝
请根据以上信息，求出原来大量筒中水的高度。
请寻找生活中类似例子，并指出这个过程 中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？
请指出下列过程中，哪些量发生了变化？ 哪些量保持不变？
善于利用图形的面积、体积、周长及质量等 捕捉等量关系，从而列出方程。
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
例2：用直径为200mm的钢柱锻造一块长、 宽、高分别为300mm，300mm，80mm的长方 体毛坯底板，应截取圆柱多少长？（圆柱的
3.4_一元一次方程的应用-等积变形问题
80
300 300
三、根据等量关系列 出方程；
精讲
例题
200
分
析
思考4：如何解这个方程？ x
•（200/2)2 • x = 300×300×80
化简的3.14x=720，故x≈230。
80
四、解方程，求出未 知数的值；
300 300
精讲
例题
200
分
析
答：略。 x
80
300 300
五、检验求得的值 是否正确和符合实 际情形，并写出答 案.
在这个问题中的基本 等量关系有什么特征?
相等关系:总量=各部分量的和
某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人， 乙组有25人，后来由于需要，又从甲组抽调了部 分同学去乙组，结果乙组人数是甲组的2倍。问从 甲组抽调了多少人去乙组？
分析： 设从甲组抽调了x人去乙组。 甲组
三 应用迁移巩固提高 用 方 程 决 题 解 问 怎样调配劳动力
大声读我们的课堂口号：
挑战自我 留心处处皆学问 细心题题有发现 专心路路有收获 恒心步步登高峰
•温故而知新
说说列方程解应用题的一半步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1审：分析题意，找出等量关系，分析题中数量及 其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2设：用字母的一次式表示有关的量. 3建模：根据等量关系列出方程. 4求解：解方程，求出未知数的值. 5作答 ：检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案.
X+0. 8 2
X
∴长方形的长为2.9米，宽为2.1米，S=2.9×2.1＝6.09米 ， （1）中的长方形围成的面积：3.2×1.8＝5.76米2 比（1）中面积增大6..09－5.76＝0.33米2
浙教版七年级上册数学 5.4一元一次方程的应用2(等积变形)(共23张PPT)
4、请列出方程解答
有一个底面直径是20cm，高9cm的形圆柱， 工人叔叔要把它锻造成地面直径是10cm的形 圆柱，工人叔叔想知道锻造后的圆柱有多少 高？你能告诉他吗？
20cm
9cm
?cm
10cm
?cm
9cm
20cm
10cm
1、本题中有什么等量关系？
锻造前圆柱的体积=锻造后圆柱的体积
2、根据这个等量关系怎样列方程？
30m
60m
x 30m
30m
解：设长方形的长为x米，根据题意，得
30x=(30+60)×30÷2
解这个方程，得
x=45
60-45=15（米） 45-30=15（米）
答：应将梯形的上底边缩短15米，下底边延长15米。
1.一书架能放厚为6.3cm 的书45本.现在准备 放厚为2.1cm 的书,问能放这种书多少本?
解：形状改变，体积不变
做一做 若用一根长60cm的铁丝围成一个长方形
1、如果宽是长的 2 ， 求这个长方形的长和宽?(只
需列出方程)
3
题中有什么等量关系？
长方形的周长=铁丝的长度
x 解：设长为x
cm，则宽为
2 3
cm，根据题意，得
2
2(x+ x)=60
3
2、同样60厘米长的铁丝围成一个长方形，如果 宽比长少12厘米，求这个长方形的面积.
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
xcm
xห้องสมุดไป่ตู้
20cm
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思考：请大家结合此题的解题过程总结列方程解应用题的一般步骤。
1：审题，设未知数；先看题目，弄清题意和题中的数量关 系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数；
2：找相等关系；分析题意，找出相等关系； 3：列方程；用方程把相等关系表示出来； 4：求解；解方程，求未知数的值； 5：检验并解答；检验所求出的解是否既能使方程成立， 又能使应用题有意义．并写出答案（注意有单位要写单 位）；
这一节中我们将主要学习以下几种类型应用题的解法
等积问题
ห้องสมุดไป่ตู้
行程问题 一元一次 方程应用
利率问题
销售问题
比列问题
等积问题：此类问题所包含相等关系往往是前后体积相等
例：用直径为4厘米的圆柱体钢，铸造3个直径 为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截 取多长的圆柱形钢？
分析 此题中存在的相等关系是：
3.2 一元一次方程的应用
列方程解应用题的核心思路
方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一 个相等关系．因此对于应用题中所提供的条件， 应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相 等关系表示成方程． 我们先通过一个例子来说明 怎样寻找一个相等的关系并把它转化为方程。
例：王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸年龄是她年 的2倍？
200 x 300
体 积
= 长
方 体
体
300
积
90
解
设应截取的圆柱体钢长为xmm，由题得
3.14×（ ）² x=300×300×90
解得：x≈258
答：应截取约258mm长的圆柱体钢。
请大家完成名校课堂43页当堂训练1，2，3题
截取的圆柱形钢的体积=铸造后三个圆柱的体积 解：设需截取x厘米的圆柱形钢，由题得 π ( )² x=3π ( 解得：x=12 )² ×16 提示： 圆柱体体积=π r² h
答：需要截取12厘米的圆柱形钢。
练习：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、 宽、高分别为300mm，300mm和90mm的长方体毛坯，应截取 多少毫米长的圆柱体钢（计算时π 取3.14，结果精确到 1mm）？ 分析：此题中的等量关系为？ 圆 柱 体
分析： 题目让我们求的未知数是什么？ 几年。 我们可用字母来表示这个未知数，如x。
题目中的相等关系是什么？
x年之后，爸爸年龄=王玲年龄×2 即： 36+x = 2（ 12+x ）
解：设再过x年，她爸爸年龄是她年龄的2倍。
则由题得，36+x=2（12+x） 解得： X=12 注：解方程过程应在草稿纸上完成。 答：再过12年，她爸爸年龄是她年龄的2倍。
牛刀小试： 按步骤解应用题 1：审题，设未知数； 2：找相等关系； 原来重量-运出重量 =剩余重量 3：列方程； 4：求解； 5：检验并解答；
例：某面粉仓库存放的面粉运 出 15％后，还剩余42 500千 克，这个仓库原来有多少面粉？ 解：设仓库原来有x千克面粉。
则由题得：x-15％x=42 500 解得：x=50000千克 答：仓库原来有50000千克面粉。