求根公式及根的判别式
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
求根公式及根的判别式
求根公式及根的判别式在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。
我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是（2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
（全国初中数学竞赛题）例题2 已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。
求a b a b b a ba --++的值。
例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ，（2）关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ）A 、不存在；B 、有一组；C 、有两组；D 、多于两组；例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。
⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①两边开平方，得所以②配方，得所以所以③配方，得所以所以④因为所以=4＋20=24所以所以⑤配方：所以所以⑥整理，得所以⑦移项，提公因式，得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.解：当a=0时，原方程有实根为若a≠0时，当原方程有两个实根.故，综上所述a的取值范围是.小结：此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.(2)满足k<4的最大整数，即k=3.此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得所以m的值为0或例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
12求根公式法
求根公式法一、知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
- 1 -(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)； (2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10- 2 -所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：- 3 -(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程的根的公式
一元二次方程的根的公式一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
解一元二次方程的关键是求出方程的根，而求根的公式被称为一元二次方程的根的公式。
一元二次方程的根的公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)在这个公式中，x表示方程的根，±表示两个根的取值可能性，b²-4ac表示判别式，√表示平方根，a、b、c分别表示方程的系数。
根据这个公式，我们可以通过代入方程的系数，计算出方程的根。
但在计算之前，我们需要先判断方程的根的情况，即判别式的值。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
在解一元二次方程时，我们需要注意以下几点：1. 判别式的值决定了方程的根的情况：大于0时有两个不相等的实根，等于0时有两个相等的实根，小于0时没有实根；2. 当判别式大于0时，我们可以使用根的公式直接计算出方程的两个实根；3. 当判别式等于0时，我们可以使用根的公式计算出方程的两个相等的实根；4. 当判别式小于0时，我们无法直接计算出方程的实根，而是得到两个共轭的复根，其中实部为-b/(2a)，虚部为√(4ac-b²)/(2a)。
下面我们通过几个例子来说明一元二次方程的根的公式的应用。
例1：解方程x²-4x+3=0。
根据方程的系数，我们得到a=1，b=-4，c=3。
将这些值代入根的公式，我们可以计算出方程的根。
判别式为b²-4ac=(-4)²-4(1)(3)=16-12=4，大于0，说明方程有两个不相等的实根。
根的公式为x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，代入系数得到x = (4 ± √4)/(2)。
化简得到x = (4 ± 2)/(2)，即x = 3或x = 1。
求根公式法解一元二次方程及方程根的判别式的应用
1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。
3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。
4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。
6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。
即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。
例1、用公式法解下列方程1，21202x x -++= 2，2121233x x --+= 分析：可先将方程转化为整系数方程，再用求根公式 解：1，整理得：2240x x --= a=1 b=-2 c=-4224(2)41(4)20b ac ∆=-=--⨯⨯-=212x ∴==±即x 1=1， x 2=1 （2）整理得：23250x x +-= a=3 b=2, c= -5△ = b 2﹣4ac=2243(5)64-⨯⨯-=∴x=214233--±=⨯ 即x 1=1 ， 253x =-。
例2.用因式分解法解下列方程。
（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=分析：这两个方程二次项系数都不是1，但也能将左边分解为两个一次因式乘积的形式。
（2x-1）（3x-1）=0 210x ∴-=或310x -= 即1211,.23x x == （2）261360x x ++=()()32230x x ++=320230x x ∴+=+=或 即1223,.x x =-=-0,ab a ≠∴例4.选择适当的方法解下列方程()21310x x --= ()223)12-=(1)()()223243x x -=- (2)()()112x x --=例5 若关于x 的方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
二次方程的根
二次方程的根介绍二次方程是高中数学中非常重要的一个概念。
对于一个二次方程 $ax^2+bx+c=0$，我们需要求出它的根（解），这对于解决某些实际问题非常有用。
根的个数与判别式二次方程的根有三种情况：1. 当判别式 $D=b^2-4ac$ 大于零时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当判别式 $D=b^2-4ac$ 等于零时，方程有两个相等的实数根。
3. 当判别式 $D=b^2-4ac$ 小于零时，方程没有实数根，但可能有复数根。
根的求解公式根据求根公式，我们可以用以下公式来求解二次方程的根：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$其中，$D$ 是判别式的值。
实例分析例子1：求解方程 $x^2+2x+1=0$解：根据判别式的公式，我们可以计算出判别式的值：$$D = 2^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$$因为判别式等于零，所以方程有两个相等的实数根。
代入求根公式，可以得到根的值：$$x = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$$所以方程的根为 $x=-1$。
例子2：求解方程 $x^2-5x+6=0$解：计算判别式的值：$$D = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$$因为判别式大于零，所以方程有两个不相等的实数根。
通过求根公式，可以得到根的值：$$x_1 = \frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = 3$$$$x_2 = \frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = 2$$所以方程的根为 $x_1 = 3$ 和 $x_2 = 2$。
总结二次方程的根可以通过求根公式来计算，根的个数可以通过判别式的值来判断。
掌握这些概念和方法，能够帮助我们解决一些实际问题。
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加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。
我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是
（2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
（全国初中数学竞赛题）
例题2 已知0132=+-a a ，那么=++
--2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65
例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a
例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及
0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○
2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。
求
a
b a
b b a b a --++的值。
例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ，
（2）关于x 的方程0122
23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是
例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ）
A 、不存在；
B 、有一组；
C 、有两组；
D 、多于两组；
例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x
（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。
（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。
（湖北省荆门市中考题）
例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。
（重庆市竞赛题）
例题10 已知0))((4)(2=----z y y x z x ，求证：2y=x+z
对应练习题：
1.若x=0是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，则m= （荆州市中考题）
2.三角形的每条边的长是都是方程0862=+-x x 根，则三角形的周长是 （2008黑龙江中考题）
3.已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的衩数根，那么代数式
)252(6332--+÷--x x x x x 的值为
4.已知关于x 的方程02322=-+a ax x 的一个根为1，求它的另一根。
5.已知αβ是方程02||322=--x x 的两个实数根，求
||||βααβ+的值。
6.如果m,n 是奇数，关于x 的方程02=++n mx x 有两个实数根，则其实根的情况是（ ）
A 、有奇数根，也有偶数根；
B 、既没有奇数根，也没有偶数根；
C 、有偶数根，没有奇数根；
D 、有奇数根，没有偶数根；
7.若关于x 的方程042=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 （2008厦门中考）
8.若关于x 的方程01)1(2
=+--mx x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是
9.等腰三角形ΔABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m=
10.已知ΔABC 的三边长为a,b,c ，判断方程0)(222222=+---b x b a c x a 有无实数根。
11.已知关于x 的方程02)1(223=+--+a ax x a x 有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是
12.若方程a x x =-|5|2有且只有相异二实根，则a 的取值范围是
13.已知a>0，b>a+c,判断关于x 的方程02
=++c bx ax 的根的情况。
（河南省竞赛）
14.关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。
15.如图，BC DC BC AB ⊥⊥,，垂足分别为B 、C ，
（1）当AB=4，DC=1，BC=-4时，在线段BC 上是否存在点P ，使AP ⊥PD ？如果存在，求线段BP 的长，如果不存在，请说明理由。
（2）设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a,b,c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP
⊥PD ？（南京市中考题） A B C D。