公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 公式法解一元二次方程与根的判别式
教学目标：
1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.
2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.
3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.
4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.
教学重点：
1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.
2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.
教学难点：
1、正确理解“当240b ac -<时，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
一、学习新知，推导公式
我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a
b x -=，那么对于一元二次方程02=++
c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.
用配方法解一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax
解： c bx ax -=+2 移常数项 a
c x a b x -=+2
方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a
ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。

因此对上面这个方程要进行讨论
因为2
040a a ≠>所以 （1）当2
40b ac -≥时，2404b ac a -≥。

利用开平方法，得2b x a += 则2b x a =-
所以x =， （2）当2
40b ac -<时，2404b ac a -<。

在实数范围内，x 取任何值都不能使方程22244)2(a
ac b a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：
x =（04,02≥-≠ac b a ） 这就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.
问题：1、在求根公式中，如果042=-ac b 时，根的情况如何？
2、如何用求根公式求一元二次方程的根？
解答：
1、如果042=-ac b ，那么方程有两个相等的实数根，即a b x x 221-
==. 2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042≥-ac b ，那么可代
入公式求出方程的根，如果042
<-ac b ，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.
二、利用公式引导判别式：
利用求根公式x =，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.
（1）当2
40b ac ->时，方程的根是1222b b x x a a -+--==. （2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a
==-
. （3）当240b ac -<时，方程没有实数根. 提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？
1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.
2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，
当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；
当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
当△=2
40b ac -<时，方程没有实数根.
例题精讲：
例1：用公式法解下列方程：
（1）25610x x ++= （221)(2)1x x x -=-+ 解（1）原方程中5,6,1a b c ===，
224645116b ac -=-⨯⨯=
6410
x -±== 即 15x =-或1x =- 所以，原方程的根是121,15
x x =-=-
（2）把原方程化为一般式，得21)210x x +=
其中1,2,1a b c ===
22421)8b ac -=+=
x ===
即 1x =或3x =--
注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。

例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）223x +=.
解：（1）∵2(5)44(3)730∆=--⨯⨯-=>
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
（2）∵2442380∆=-⨯⨯=-<
∴ 原方程没有实数根.
（3）原方程可化为2
230x -+=
∵2(4230∆=--⨯⨯= ∴原方程有两个相等的实数根.
例3、关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗?为什么？ 解：2(1)41()m m ∆=--⋅⋅-
221m m =++
2(1)m =+
因为m 是实数，所以2(1)0m +≥，即0∆≥.
所以，此方程一定有实数根.
基础训练
一、求下列方程中24b ac -的值：
1、2650x x --=
2、2
8160x x -+=
3、2232x x =- 42x =
5、
211042
x x -= 6、21x x -=
7、2x q px +=- 8、20x x -+=
二、不解方程，判断下列方程根的情况：
1、22520x x -+=
2、21302
x x --
=
3、230x -+=
4、241290x x -+=
5、
211022x x ++= 6230x -+=
7、250x += 8210x x -+=
三、用公式法解下列方程：
1、220x --=
2、222x x +=
3、22220x x +-=
4、2
91220x x -+=
5、241x =+
6、2
910x -+=
四、解答题：
1、当0q >时，请你判断关于x 的方程2
0x px q +-=的根的情况。

2、关于x 的方程2(2)20x m x m -++=一定有实根吗？为什么?
3、如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

能力提高
一、用公式法解下列一元二次方程：
1、2418x x +=
2、3(34)1x x +=-
3、9(1)31x x x -=+
4、4(210x x +=
二、解答题：
1、关于x 的方程2
(3)30mx m x +++=一定有实数根吗？为什么？
2、关于x 的一元二次方程2(4)210k x x ---=
（1）若方程有两个实数根，求k 的取值范围；
（2）当k 是怎样的正整数时，方程没有实数根。

思维拓展
1、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，判断方程22()0cx a b x c +-+=的根的情况。

课后作业
一、用求根公式法解下列方程：
1、25x +=
2、2210x x --=
3、2320x x --+=
4、
21122
x x +=
5、281(31)(23)x x x -=-+
6、2235x x +=-
二、求证：不论k 为任意实数，方程
221(21)3202
x k x k +-++=没有实数根。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。