人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
人教版九年级上册数学笔记
人教版九年级上册数学笔记以下是一个关于人教版九年级上册数学的笔记示例，供您参考：一、知识点梳理1. 一元二次方程：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
2. 配方法：通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，从而求解方程。
3. 公式法：使用求根公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a) 来求解一元二次方程。
4. 因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程，从而求解方程。
5. 二次函数的图象与性质：了解二次函数 y = ax^2 + bx + c 的开口方向、顶点坐标和对称轴。
6. 二次函数的解析式：根据不同的条件（如顶点式、交点式等）来表示二次函数。
7. 用函数观点看一元二次方程：通过函数来理解一元二次方程，以及一元二次方程的根与函数图象之间的关系。
二、重点题型解析1. 一元二次方程的根的判别式：利用判别式Δ = b^2 - 4ac 的值来判断方程的根的情况。
2. 一元二次方程的根与系数的关系：了解方程的根的和与积与系数之间的关系。
3. 二次函数的图象与性质的实际应用：结合实际问题，利用二次函数的图象和性质来解决实际问题。
三、易错点提醒1. 在配方或因式分解时，要确保每一项都正确地转化。
2. 在使用求根公式时，要确保 a、b、c 的值计算正确，以避免出现根号下负数的错误。
3. 在判断二次函数的开口方向时，要注意 a 的正负，以确保判断正确。
4. 在求解二次函数的实际应用问题时，要充分考虑实际情况，避免出现不符合实际情况的解。
公式法与根的判别式
公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。
解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。
一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。
判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。
根的判别式又称判别式法。
它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。
当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。
公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。
在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。
根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。
判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。
由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。
公式法-九年级数学上册(人教版)
∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根，
即方程一定有两个实数根．
课堂小结
人教版数学九年级上册
1.由配方法解一般的一元二次方程 若b2-4ac≥0得
求根公式 :
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.
5
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（ D
3 6
A．x=
2
3 6
B．x=
2
3 2 3
C．x=
2
3 2 3
D．x=
2
）．
小试牛刀
人教版数学九年级上册
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
a=5，b=-4，c=-1.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程有两个不等的实数根
方程无实数根 .
b b 2 4ac (4) 36 4 6
即x
2a
25
10
1
x1 1，x2
A.2x2-3x-5=0
B.x2+2x+2=0
C.x2-4x=0
D.x2-4=0
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,
第二十一章21.2.2公式法
栏目索引
易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
最新人教版九年级数学上册第二十一章 《公式法》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学·升华一、求根公式一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是：x =a ac b b 242-±-(b 2-4ac ≥0)，在公式的推导过程中由(x +a b 2)2=2244a ac b -到x +a b 2=±2244aac b -=±ac b 42-=24a 这步中， 应等于±2a ,但因为式子前有双重符号±，所以无论a ＞0，还是a ＜0，最终结果都是aac b a b x 2422-±=+. 要点提示运用此公式时需注意：（1）被开方数必须是非负数，否则没有意义.（2）由求根公式可知，一元二次方程的根由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可代入公式求一元二次方程的根.二、用公式法解一元二次方程的步骤(1)把方程化为一般形式，确定a ，b ，c 的值；(2)求出b 2-4ac 的值；(3)若b 2-4ac ≥0，则把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式aac b b x 242-±-=，求出x 1，x 2；若b 2-4ac ＜0，则方程没有实数根. 问题·自主·探究问题 什么是公式法？探究：前面我们已经学习了一元二次方程的解法：配方法.依据平方根的定义，形如(x +m )2 =n (n ≥0)的一元二次方程都可用直接开平方法来解.利用配方法可以解任何形式的一元二次方程，其步骤对每一个一元二次方程来说是类似的.所以将配方法一般化和程式化，以便利用它可以更为便捷地解一元二次方程.利用配方法求得方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解为a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=，则可以作为解一元二次方程的求根公式，利用此公式解方程的方法就叫公式法.典题·热题·新题例1解方程：(3m +2)2-(m -3)2=0.思路解析：用公式法解一元二次方程，应先将方程化为一般形式，从而正确地确定a 、b 、c 及代数式b 2-4ac 的值.解：9m 2+12m +4-(m 2-6m +9)=0，9m 2+12m +4-m 2+6m -9=0，8m 2+18m -5=0，其中a =8,b =18,c =-5.b 2-4ac =182-4×8×(-5)=324+160=484＞0.∴1622188248418±-=⨯±-=m . ∴m 1=41,m 2=-25. 变式引申：用公式法解方程：(t -1)2=t -1.解：将原方程整理成一般形式，得t 2-3t +2=0,其中a =1,b =-3,c =2.b 2-4ac =(-3)2-4×1×2=1＞0,∴t =21)3(±--=213±. ∴t 1=2,t 2=1.例2解关于x 的方程：x 2-m (3x -2m +n )-n 2=0.思路解析：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和b 2-4ac 的值，然后求得方程的根.但解字母系数方程时要注意：①哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；②不要把一元二次方程的一般形式中的a 、b 、c 与方程中的字母系数a 、b 、c 相混淆；③注意含有字母式子的配方、开平方与化简.解：把原方程左边展开、整理，得x 2-3mx +(2m 2-mn -n 2)=0.∵a =1，b =-3m ，c =2m 2-mn -n 2，∴b 2-4ac =(-3m )2-4×1×(2m 2-mn -n 2)=m 2+4mn +4n 2=(m +2n )2≥0.∴x =2)2(32)2(32n m m n m m +±=+±. ∴x 1=2m +n , x 2=m -n .例3已知关于x 的方程x 2-6x +p 2-2p +5=0的一个根是2，则方程的另一个根为 ，p 的值为 .解：将x =2代入已知的方程，得p 2-2p -3=0.解得p 1=3,p 2=-1均合题意.把p =3,p =-1分别代入已知的方程，均得方程x 2-6x +8=0.解得x 1=4,x 2=2.答案：4 3或-1例4（经典回放）对于一元二次方程3y 2+5y -1=0，下列说法正确的是 ( )A.方程无实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根无法确定思路解析：一元二次方程有没有实数根和有怎样的实数根是由判别式b 上标 2 -4ac 的值决定的.答案：C。
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
人教版数学九年级上册21.2.2公式法解方程教案
最后，我深感教学反思的重要性。通过反思，我可以更好地理解学生的需求，调整教学方法，让数学课堂变得更加生动有趣，也更具实效性。我会继续努力，让每一位学生都能在数学的学习中找到乐趣和成就感。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆与理解和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用抛物线模型来演示求根公式的应用。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过一元二次方程求根公式的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理与论证能力。
2.强化运算能力：引导学生运用求根公式解决实际问题，熟练掌握公式运算过程，提高数学运算速度和准确性。
3.增强数学建模能力：让学生在实际问题中运用一元二次方程求解，培养将现实问题抽象为数学模型的能力。
在案例分析环节，我尝试将实际问题引入课堂，让学生们看到数学知识在现实生活中的应用。从学生的反应来看，这种方法似乎能够激发他们的兴趣，但我也观察到，将问题转化为数学模型对他们来说并不容易。我考虑在接下来的课程中，增加一些关于如何建立数学模型的指导，帮助学生更好地理解这个过程。
实践活动和小组讨论的部分，学生们表现得相当积极。他们通过小组合作，不仅加深了对一元二次方程的理解，还学会了如何与他人合作解决问题。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，我需要适时地引导他们回到主题上来。
人教版数学九年级上册第21章第2节解一元二次方程公式法求根公式中判别式的应用 初中数学教学课件PPT
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根． 2.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0有两个实
根，则m的取值范围是
.
解： b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m 1 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能
有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
难点突破 例1:不解方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0. ∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
知识讲解
应用2： 已知方程根的情况， 求方程中字母系数所满足的条件
3.已知关于x的方程x2-kx-2=0,求证：方程总有两个不 相等的实数根。
10
小结 【课堂小结】
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
求根公式中根 应用2：已知一元二次方程根的情况，求方程中
的判别式应用
字母系数所满足的条件
应用3：证明方程根的情况
通过以上例题介绍了求根公式中判别式的三种应用，其实它的 应用不仅仅是这些，比如与几何知识的问题，在解决二次函数的 相关问题、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解以及求最 值问题等都有应用。因此可以看出一元二次方程的判别式在初中 数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
九年级-上册-第21 章第2节
课题：解一元二次方程—公式法 求根公式中根的判别式的应用
难点名称：1.一元二次方程根的判别式使用条件的忽略； 2.当方程有实根时，求方程中字母系数的取值范围。
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新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
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因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
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（2）会用公式法解一元二次方程.
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
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ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0
b b2 4ac x
2a
(4) 44 2 11 21
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x1 2 11, x2 2 11
知识点2 用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
写为 x b b2 4ac 的形式，这个式子叫做一元 2a
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
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B.b2-4ac＞0
=36>0
x b b2 4ac 2a
(4) 36 4 6
25
10
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1 x1 1, x2 5
(4)x2+17=8x.
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
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人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
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2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
方程无实数根
人教版九年级共21张 PPT)
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
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随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等
的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）B
A.b2-4ac=0
①当b2－4ac>0时，b2 4ac >0，方程有两个不等的 4a 2
实数根 x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac .
2a
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解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
②当b2－4ac=0时，b2 4ac =0，方程有两个相等的 4a 2
实数根
x1
x2
b 2a
.
③当b2－4ac<0时，b
2
4ac 4a 2
<0，方程没有实数根.
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