人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
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21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
（2）会用公式法解一元二次方程.
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
人教版九年级上册 21.2.2 公式法——根的判别式及求根公式( 共21张 PPT)
（2）会用公式法解一元二次方程.
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
21.2.2 公式法 课件 人教版数学九年级上册
感悟新知
知2－讲
(2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 a， b， c 的值； ③求出 b2－4ac 的值，判断根的情况； ④把 a， b 及 b2－4ac 的值代入求根公式求解 .
感悟新知
例3 用公式法解下列方程： (1) x2 － 2x+3=0. (2) 2x2 － 7x+4=0； (3) 3x2 － 2 3 x= － 1；
感悟新知
3-2.用公式法解下列方程： (1) y2 － 2y － 2=0； (2) 3x2 － 2x=4； (3) x2+6=2 ( x+1 ) ； (4) 5x2 － 2 5 x+1=0.
知2－练
感悟新知
解：(1)a＝1，b＝－2，c＝－2.
知2－练
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12>0.
方程有两个不等的实数根
字母值是负数，则需将
x=
－
(－ 7 ) ± 2×2
17 ，
即
x1=
7+ 4 17，
x2=
7－ 4
17.
其用括号括起来，不能 漏掉“-”号.
感悟新知
(3)方程化为 3x2－2 3 x+1=0. a=3， b=－2 3 ， c=1. Δ = ( －2 3 ) 2－4× 3× 1=0. 方程有两个相等的实数根
课堂小结
公式法
用公式法 关键 根的
解一元二
判别式
次方程
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
感悟新知
知2－讲
2. 公式法 (1) 定义： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数
直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得 出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法 .
第二十一章21.2.2公式法
栏目索引
易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
21.3.3求根公式法-根的判别式
思考：(01n)如果一直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝ 90°，那么关于x的方程a(x2－1)－2cx＋b(x2＋1)＝0的 根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定根的情况
1.(16n)若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相 等的实数根，则k的取值范围 ． 2.(03郑州)若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个 相等的实数根，则符合条件的一组m、n的实数值可以是 m＝________，n＝________． 3.(94n)当k 时，关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＋ 5＝0有两个不相等的实数根． 4.(91n)方程(2a－1)x2－8x＋6＝0没有实数根，则a的最 小整数值是 ． 5.(87n)若方程x2－(2m－1)x＋m2＋1＝0有实数根，则 m的取值范围是 ．
21.3.3 根的判别式
解方程，并比较它们的根有什么不同？ x2＋2x＝0 x2＋2x＋1＝0 x2＋2x＋2＝0
思考：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由 谁决定？它怎样决定的？
归纳：Δ ＝b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)根的判别式．且： ①Δ ＝b2－4ac＞0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不 相等的实数根：
x1、 2 b b 2 4ac 2a
②Δ ＝b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相 等的实数根：
x1 x2 b 2a
③Δ ＝b2－4ac数 根．
利用根的判别式判断下列方程的根的情况： (1) 2x2－4x－1＝0 (2) 5x－2＝3x2 (3) 2x2－4x＋11＝0 (4) 4x2＋1＝－4x (5) 5x＝2x2 (6) (x－2)(3x－5)＝0
1.(16n)若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相 等的实数根，则k的取值范围 ． 2.(03郑州)若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个 相等的实数根，则符合条件的一组m、n的实数值可以是 m＝________，n＝________． 3.(94n)当k 时，关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＋ 5＝0有两个不相等的实数根． 4.(91n)方程(2a－1)x2－8x＋6＝0没有实数根，则a的最 小整数值是 ． 5.(87n)若方程x2－(2m－1)x＋m2＋1＝0有实数根，则 m的取值范围是 ．
21.3.3 根的判别式
解方程，并比较它们的根有什么不同？ x2＋2x＝0 x2＋2x＋1＝0 x2＋2x＋2＝0
思考：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由 谁决定？它怎样决定的？
归纳：Δ ＝b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)根的判别式．且： ①Δ ＝b2－4ac＞0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不 相等的实数根：
x1、 2 b b 2 4ac 2a
②Δ ＝b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相 等的实数根：
x1 x2 b 2a
③Δ ＝b2－4ac数 根．
利用根的判别式判断下列方程的根的情况： (1) 2x2－4x－1＝0 (2) 5x－2＝3x2 (3) 2x2－4x＋11＝0 (4) 4x2＋1＝－4x (5) 5x＝2x2 (6) (x－2)(3x－5)＝0
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解根的判别式的基本概念。根的判别式Δ = b² - 4ac是判断一元二次方程ax² + bx + c = 0根的性质的重要工具。它是区分方程有实数根、无实数根或有两个相等实数根的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析方程x² - 5x + 6 = 0的判别式Δ，我们会发现Δ = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1 > 0，因此方程有两个不相等的实数根。
-判别式的计算方法：熟练进行判别式的计算，包括对a、b、c的准确识别和代入。
-判别式与根的性质关系：明确Δ的值与方程根的数量及性质（实数或复数，相等或不相等）的对应关系。
举例：对于方程ax² + bx + c = 0，强调a、b、c系数与根的判别式Δ之间的关系，以及Δ值对根的实际情况的决定作用。
2.教学难点
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用。本节课我们将学习一元二次方程的根的判别式，包括判别式的计算方法及其应用。具体内容包括：
1.一元二次方程的根的判别式：Δ = b² - 4ac。
2.根据判别ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的值判断方程的根的情况：
-当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“根的判别式在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“判别式在解决哪些类型的问题时特别有用？”
1.理论介绍：首先，我们要了解根的判别式的基本概念。根的判别式Δ = b² - 4ac是判断一元二次方程ax² + bx + c = 0根的性质的重要工具。它是区分方程有实数根、无实数根或有两个相等实数根的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析方程x² - 5x + 6 = 0的判别式Δ，我们会发现Δ = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1 > 0，因此方程有两个不相等的实数根。
-判别式的计算方法：熟练进行判别式的计算，包括对a、b、c的准确识别和代入。
-判别式与根的性质关系：明确Δ的值与方程根的数量及性质（实数或复数，相等或不相等）的对应关系。
举例：对于方程ax² + bx + c = 0，强调a、b、c系数与根的判别式Δ之间的关系，以及Δ值对根的实际情况的决定作用。
2.教学难点
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用。本节课我们将学习一元二次方程的根的判别式，包括判别式的计算方法及其应用。具体内容包括：
1.一元二次方程的根的判别式：Δ = b² - 4ac。
2.根据判别ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的值判断方程的根的情况：
-当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“根的判别式在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“判别式在解决哪些类型的问题时特别有用？”
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人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a (4) 44 2 11
21
x1 2 11, x2 2 11
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
方程无实数根
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
2a
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
②当b2－4ac=0时，b2 4ac =0，方程有两个相等的 4a 2
实数根
x1
x2
b 2a
.
③当b2－4ac<0时，b
2
4ac 4a 2
<0，方程没有实数根.
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
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2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
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随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等
的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）B
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0
D.b2-4ac≥0
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2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ B ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
3. 利用求根公式求5x2+ 1 =6x的根时，a，b，c的值分
方程有两个不等的实数根
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知识点2 用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
写为 x b b2 4ac 的形式，这个式子叫做一元 2a
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
别是（ C ）
2
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解：Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0
方程有两个相等的实数根
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21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
（2）会用公式法解一元二次方程.
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
5.用公式法解下列方程：
（1）x2+x－12=0； 解：a=1，b=1，c=-12
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
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因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
①当b2－4ac>0时，b2 4ac >0，方程有两个不等的 4a 2
实数根 x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac .
=36>0
x b b2 4ac 2a
(4) 36 4 6
25
10
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1 x1 1, x2 5
(4)x2+17=8x.
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0
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例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a (4) 44 2 11
21
x1 2 11, x2 2 11
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Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
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解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
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(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
方程无实数根
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思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
2a
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②当b2－4ac=0时，b2 4ac =0，方程有两个相等的 4a 2
实数根
x1
x2
b 2a
.
③当b2－4ac<0时，b
2
4ac 4a 2
<0，方程没有实数根.
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不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
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2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
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1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等
的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）B
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0
D.b2-4ac≥0
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2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ B ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
3. 利用求根公式求5x2+ 1 =6x的根时，a，b，c的值分
方程有两个不等的实数根
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知识点2 用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
写为 x b b2 4ac 的形式，这个式子叫做一元 2a
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
别是（ C ）
2
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解：Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0
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（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
（2）会用公式法解一元二次方程.
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
5.用公式法解下列方程：
（1）x2+x－12=0； 解：a=1，b=1，c=-12
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
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因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
①当b2－4ac>0时，b2 4ac >0，方程有两个不等的 4a 2
实数根 x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac .
=36>0
x b b2 4ac 2a
(4) 36 4 6
25
10
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1 x1 1, x2 5
(4)x2+17=8x.
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0