解析几何专题一轨迹问题.
解析几何求轨迹方程
例1：设圆()11:22=+-y x C ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.变式1：已知C B A ,,是直线l 上的三点，切6==BC AB ，圆Q 切直线l 于点A ，又过C B ,作圆Q 异于直线l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.变式2：设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆4222=+y x 交于B A ,两点，P 是直线l 上满足1=⋅PB PA 的点，求点P 的轨迹方程.变式3：ABC ∆的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是a 2，边BC 上的高为b ，边BC 沿一条定直线移动，求ABC ∆外心的轨迹方程.例2：自抛物线x y 22=上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.变式4：已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F .（1）点P A ,满足2-=.当点A 在抛物线C 上运动时，求点P 的轨迹方程.（2）在x 轴上是否存在点Q 关于直线x y 2=的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.例3：过点()0,2-M 作直线l 交双曲线122=-y x 于B A ,两点，已知OB OA OP +=.求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.变式5：设椭圆方程为1422=+y x ，过点()1,0M 的直线l 交椭圆于点B A ,，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足()OB OA OP +=21，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.例4：已知抛物线的方程为()022>=p py x ，过点()p P ,0的直线l 与抛物线相交于B A ,两点，分别过点B A ,作抛物线的两条切线21,l l ，记21,l l 交于点M .（1）证明：直线21,l l 的斜率之积为定值；（2）求点M 的轨迹方程.变式6：已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()0,1-K 的直线l 与C 相交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：点F 在直线BD 上.。
解析几何求圆的轨迹方程专题一师用
专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程 :1 .圆的标准方程：x a? y b2 r2o2 •圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0）特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆2 2 2思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；3 .圆的参数方程：y a r s°s(为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元:(3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，02 )上的点，则圆的普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是(答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)；3(4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_(答: [0 , 2]);(5) 方程x 22- 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0)}， N (x, y) | y x b ,若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& )二、点与圆的位置关系：已知点M x 0,y 0及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 ,(1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。
立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6． 【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDA3P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析 由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）． A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________． 简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．答案 线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆） 9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ． 提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ． 14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=， 即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分 5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是 （ ） A A AP PP PB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ．19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O。
解析几何中的曲线的运动与轨迹
解析几何中的曲线的运动与轨迹在解析几何中，曲线的运动和轨迹是一个重要的概念。
曲线的运动指的是曲线上的点在一定的条件下随时间变化的过程，而轨迹则是曲线上所有点组成的总体路径。
本文将通过对曲线的运动和轨迹的详细解析，帮助读者更好地理解这一概念。
一、曲线的运动曲线的运动是指曲线上的点在时间变化下的位置变化。
在解析几何中，曲线的运动通常与各种参数有关。
具体而言，我们可以通过改变参数的数值，来观察曲线上的点是如何随着时间变化而发生位移的。
例如，我们考虑平面直角坐标系中的抛物线y = ax^2。
其中a是一个实数，表示抛物线的开口方向和大小。
在这个例子中，曲线的运动是由参数a决定的。
当a的取值为正时，抛物线的开口向上；当a的取值为负时，抛物线的开口向下。
此外，曲线的运动还可以通过其他参数来改变，比如平移、旋转和缩放等。
通过这些参数的调整，我们可以观察到曲线上的点如何在平面中发生位置的变化。
二、曲线的轨迹曲线的轨迹是指曲线上所有点的总体路径。
当曲线上的点随时间变化而发生位移时，它们形成的路径就是曲线的轨迹。
通过对曲线的运动进行分析，我们可以确定曲线的轨迹的一些特性。
例如，考虑直线y = kx + b，其中k和b都是实数。
当k为0时，直线变成了水平线，其轨迹是一条与x轴平行的直线。
当k为正数时，直线的斜率为正，轨迹是一条从左下方向右上方倾斜的直线。
当k为负数时，直线的斜率为负，轨迹是一条从左上方向右下方倾斜的直线。
除了直线，其他曲线的轨迹也可以通过对曲线的运动进行观察和分析来确定。
通过观察曲线上的点随时间变化而发生的位移，我们可以得到曲线的轨迹的一些性质，比如形状、方向和大小等。
三、实例分析为了更好地理解曲线的运动和轨迹，我们来看一个具体的例子：圆的运动与轨迹。
考虑平面直角坐标系中的一个单位圆x^2 + y^2 = 1。
我们可以通过改变圆心的坐标来观察圆的运动和轨迹。
当圆心的坐标为(0,0)时，圆的轨迹是一个以原点为中心的单位圆。
解析几何中的轨迹问题
解析几何中的轨迹问题求轨迹方程的一般方法：1、待定系数法（定义法）：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线、圆、直线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2、直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3、代入法（相关点轨迹法）：如果动点(,)P x y 的运动是由另外某一点'00(,)P x y 的运动引发的，而点'00(,)P x y 的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则用动点(,)P x y 表示出相关点'00(,)P x y 的坐标，然后把'00(,)P x y 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
4、几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
5、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
6、交轨法（两条动曲线交点的轨迹）：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
课前练习：1、已知两点M （-2,0）、N （2,0），点P 坐标平面内的动点，满足0MN MP MN MP ⋅+⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r，则动点P的轨迹方程为（ ）A 、28y x = B 、28y x =- C 、24y x = D 、24y x =-2、 P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +3、圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A 、041222=---+y x y xB 、01222=+-++y x y xC 、01222=+--+y x y xD 、041222=+--+y x y x 4、一动圆M 与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：（ ）A 、抛物线B 、圆C 、椭圆D 、双曲线一支5、在平面直角坐标系中，A （3,1）、B （-1,3），若点C 满足12OC OA OB λλ=+uuu r uu r uu u r ，其中1λ、2λ是实数，且1λ+21λ=，则点C 的轨迹方程是典型例题：例1、（1）已知ABC ∆的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+则点C 的轨迹方程（2）△ABC 的顶点为A(5-，0)、B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线3=x 上， 则顶点C 的轨迹方程是( )A 、116922=-y x B 、191622=-y x C 、116922=-y x )3(>x D 、191622=-y x )4(>x 例2、过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
解析几何轨迹与方程
?? x ? R ?cos? ? ? sin ? ?
? ?
y
?
R?sin ?
?
?
cos ?
?
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1
a 2 b2
第一种参数方程以角度 ?
为参数：?? ?
x y
? ?
a cos? bsin ?
, ???
?
?
?
?
?
?
? ? a b 2 ? a 2 t 2
ห้องสมุดไป่ตู้
其参数方程为 ? x ? 2Rcos? (1? cos? )
? ?
y
?
2Rsin ?
(1?
cos?
)
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从 圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成 的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
其坐标式参数方程为
一、曲面的方程
定义 2.2.1 如果一个方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?与一个曲面
? 有着关系：
①满足方程 ? F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?的 ?x, y, z?是曲面 ?
上的点的坐标；
②曲面 ? 上的任何一点的坐标 ?x, y, z?满足方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?， 那么方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?就叫做曲面 ? 的方程，而曲 面 ? 叫做方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?的图形.
一一对应的关系叫做 柱坐标系，或称空间半极坐标系 ，并把有序
平面解析几何中的轨迹方程求解练习题
平面解析几何中的轨迹方程求解练习题1. 直线的轨迹方程求解1.1 已知两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，求过这两点的直线的轨迹方程设直线的斜率为k，根据直线的斜截式方程可得： y - y1 = k(x - x1) (1)将点P2(x2, y2)代入方程(1)，得：y2 - y1 = k(x2 - x1) (2)整理方程(2)可得：y = kx - kx1 + y1 (3)所以轨迹方程为y = kx - kx1 + y11.2 已知直线方程Ax + By + C = 0，求直线的轨迹方程将直线方程改写为斜截式方程可得：y = -A/B * x - C/B (4)所以轨迹方程为y = -A/B * x - C/B2. 圆的轨迹方程求解2.1 已知圆的圆心坐标为O(a, b)，半径为r，求圆的轨迹方程设圆上任意一点P(x, y)，根据点到圆心的距离公式可得：OP² = (x - a)² + (y - b)² (5)OP² = r² (6)将方程(6)代入方程(5)可得：(x - a)² + (y - b)² = r² (7)所以轨迹方程为(x - a)² + (y - b)² = r²2.2 已知圆的直径的两个端点分别为P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，求圆的轨迹方程设圆的圆心为O(x, y)，半径为r，根据圆心到直径的中点的距离等于半径可得：((x + x1)/2 - x)² + ((y + y1)/2 - y)² = r² (8)((x + x2)/2 - x)² + ((y + y2)/2 - y)² = r² (9)将方程(8)和方程(9)进行化简，可得：(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)/4 (10)所以轨迹方程为(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)/43. 抛物线的轨迹方程求解3.1 已知抛物线的焦点为F(p, q)，准线为直线y = -p，且焦距为4a，求抛物线的轨迹方程设抛物线上任意一点P(x, y)，根据焦点到准线的距离等于焦距可得：PF² = (x - p)² + (y - q)² (11)y + p = 2a (12)PF = 4a (13)将方程(12)代入方程(11)和方程(13)，可得：(x - p)² + (y - q)² = (y + p - 2a)² (14)所以轨迹方程为(x - p)² + (y - q)² = (y + p - 2a)²3.2 已知抛物线的顶点为V(h, k)，对称轴为直线x = h，求抛物线的轨迹方程设抛物线上任意一点P(x, y)，根据顶点到抛物线上任意一点的距离公式可得：PV² = (x - h)² + (y - k)² (15)PX = PH (16)将方程(16)代入方程(15)，可得：(x - h)² + (y - k)² = (x - h) (17)所以轨迹方程为(x - h)² + (y - k)² = x - h综上所述，平面解析几何中直线、圆和抛物线的轨迹方程求解方法分别为以上所示。
专题：解析几何中的动点轨迹问题
专题：解析几何中的动点轨迹问题学大苏分教研中心 周坤轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。
解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。
本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。
OK ，不废话了，开始进入正题吧...Part 1 几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。
()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，，()()011101a a xx y b b y λλλλλλλ+⋅⎧⎧=+=⎪⎪⎪+⎨⎨++⋅=⎪⎪=⎩⎪+⎩， 2225a b +=代入()()222221125y x λλλ+++=()()222221252511x y λλλ+=++222514P x y λ=+=当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;②01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③；例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程.()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有()()()()1133131313x x y y ⎧+-=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩11332312x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩化简即：22114x y +=代入223331422x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得 所以点P 的轨迹为()22116139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭二、两条动直线的交点问题例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x =，设长为2的线段AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，， ()()131113QM x y QB t t =--=+-+-，，，， ////PM PAQM QB ∴，，()()()()()()()1313123x t t y x t t y ⎧+-=+-⎪∴⎨--=-⎪⎩34222x y t x y x t x y +⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩32242x y x x y x y +-=-+-+()()()()32422x y x y x y x +-+=-+-228y x -=例4 已知12A A 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，线段MN 为垂直于实轴的弦，求直线1MA 与2NA 的交点P 的轨迹()()()()()11111200P x y M x y N x y A a A a --解：设，，，，，，，，，，1122A P A MA P A N k k k k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1111y yx a x ay y x a x a⎧=⎪++⎪⎨-⎪=⎪-+⎩ 1111y y y yx a x a x a x a-⋅=⋅+-+- 22122221y y x a x a =--- 2211221x y a b -= 22221112221y x x a b a a-∴=-= 2212221y b x a a=- 22222y b x a a ∴=-- 222222a y b x a b =-+()2222010x y a b x x a b >>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；2220a b x y a =>+=当时，是圆；()2222010x y b a y x a b>>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；三、动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M 与定圆2216x y +=相切，并且与x 轴也相切，求动圆圆心M 的轨迹()()0M x y y ≠解：设，，224M x y y +=-当圆与定圆内切时，，224M x y y +=+当圆与定圆内切时， 224x y y ∴+=±222168x y y y +=±+2816y x ±=-M 的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点) ()()2211202088y x y y x y =-≠=-+≠或例6 已知圆221:(3)4C x y ++=，222:(3)100C x y -+=，圆M 与圆1C 和圆2C 都相切，求动圆圆心M 的轨迹()()11113,0,3,0,6,C C C C -=解：,M r 设动圆的半径为12(1),,M C C 若圆与外切与内切则122,10MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩121112,MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2126263a a c c ====，，，，22227b a c =-=，2213627x y +=椭圆的方程为12,M C C (2)若圆与、都内切则12210MC r MC r⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 12118MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆2222842637a a c c b a c =====-=，，，，， 221167x y +=椭圆的方程为四、动圆锥曲线中相关点的轨迹例7 已知双曲线过(3,0)A -和(3,0)B ，它的一个焦点是1(0,4)F -，求它的另一个焦点2F 的轨迹()2F x y 解：设，，2121AF AF BF BF -=-由双曲线定义， ()()()()2222113004530045AF BF =--+-==-+-=，，2255AF BF -=-若，222255AF BF AF BF ∴-=-=，，204F x y =≠±的轨迹是直线（）2255AF BF -=-+若，22106AF BF AB +=>=，2F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，210,5,26,3,4,a a c c b ===== 22142516x y y +=≠±椭圆方程为（）22204142516x y F x y y =≠±+=≠±的轨迹是直线（）或椭圆（）例8 已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -和(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F 的轨迹方程()F x y l M 解：设焦点，，准线与圆相切于，1111AA l A BB l B ⊥⊥作于，于，1124AF BF AA BB OM +=+==，F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2422213a c AB a c b ======，，，，，()221043x y F y +=≠轨迹的方程是Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
、直接法
解析几何专题一
轨迹问题
建系一一设点一一列式一一代换一一化简一一检验 例1长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、 列式 y 轴上移动，求AB 中点P 的轨迹方程。
例2已知两个定点 A(-1,0)、B(2,0)，求使 MBA 2 MAB 的点的轨迹方程。
例3 一动圆被直线x+2y=0和x-2y=0截得的弦长分别为8和4,求动圆圆心的轨迹方程。
二、定义法 例4动点P 到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2,则P 的轨迹是() (A)直线 (B)椭圆(C)双曲线(
D)抛物线 例5求经过原点，并以F(2,0)为它的一个焦点，长轴长为6的椭圆中心的轨迹方程。
例6已知两个圆O i 和02，它们的半径分别是1和2,且|OQ 2 | 4，动圆M 与圆O i 内切，又与圆 02外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
、代入法
2 2
例7 P 在以F 1、F 2的双曲线—L 1上运动，则叶汗2P 的重心G 的轨迹方程为
16 9 U
y 2 36内一点，A 、B 是圆上两个动点且满足 APB 90，求矩形APBQ
2
仝1，过点M （0,1）的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P
4 满足oP i （oA OB ），点N 的坐标为（1,1），当I 绕点M 旋转时，求: （1）动点P 的轨迹方程；（2）
|NP 丨的最值。
例8已知P （4,0）是圆X 2
的顶点Q 的轨迹方程。
四、参数法
例9已知点M 在圆13x 2 13y 2 15x 36y 0上，点N 在射线OM 上，且满足| OM | |ON | 12 ,
求动点N 的轨迹方程。
例10设椭圆方程为X 2
2. ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B( a ,0),C(a ,0)且满足条件
2 2
轨迹方程是
16x 2 16y 2
16y 2
16x 2
A. 2
c 2
1(y 0)
B.」 c 2
1(x 0)
a 3a
a 3a
C 16x 2 C. a 2
16y 2
3a 2
1的左支(y 0)
D 16
y 2
a 2
16y 2 3a 2
1的右支(y 0)
3.设圆(x
1)2
y 2
25的圆心为C,A(1,0)是圆内 定点， Q 为圆周上一动点，线段 AQ 的垂直平分线 与CQ 交于M ，则M 的轨迹方程为
A.4x 2
4y
2
1 B.4X 2
4y 2
1 4x 2
C.4x
4y 2
1 D.4x 2
4y 2
1 21 25 21 25 25 21 25 21 4. F 1> F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点， 从任一焦点向 F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线,
作业:
一、选择题
1.已知两点A 迹方程为
A.(x 2)2
C.(x 2)2
(2,0), B (1,0),动点P 不在x 轴上，且
y
2
4(y 0)
y 2
4(y 0)
B.(x D.(x APO
1)2 1)2
2
y
2
y
BPO ，其中0为原点，则点P 的轨 1( y 0) i(y 0) sinC si nB
1
-si nA,贝U 动点A
的
垂足为P ,则P 点的轨迹为
A 圆
B.椭圆
C 双曲线 D.抛物线
5.设动点P 是抛物线y
是
2x 2
1上任意一点，定点A(0,1)，点M 分PA 所成的比为2,则点M 的轨迹方程
A.y 6x
2
6.已知圆x
2
迹方程是
1 3
2
y
A.x 2
y 2
1 3
ABC 内接与圆，且 B.y 3x
2
1 点 A(1,0), C.y
3x 2
D.y 6x 2
BAC 60 , 当BC 在圆上运动时, 3
BC 中点的轨 2
1 y 4
4x 的顶点O 作两条互相垂直的直线
B.X 2
C.x 2
7. 过抛物线y 2
轨迹方程是
A.y 2
2x
8. 设动点P 在直线x 动点Q 的
轨迹是
A 圆 B.两条直线
1/ 1、 —(X -) 4 4
分别交抛物与A 、B 两点，则线段AB 的中点P 的
y 2
2(x 1)
D.x 2
y 2
8 B.y 2 2x 8
C.y 2 2x 8
D.y 2
2 8
1上, O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角 OPQ ，则
C.抛物线 D 双曲线
9.已知动点P(x, y)满足5j (x A.两条相交直线 10若ac 1,则抛物线y A.y 0( x 0)
二、填空题
11 .两条直线ax
2 2
1) (y 2) B.抛物线 2
ax
B.x 0(y
2x c 的焦点
0) 12点P 在以F i 、 y 1
0 和 x ay 1
2
F 2为焦点的双曲线
x
16
0(a
2
y
9
|3x 4y 12 |,则P 点的轨迹是
D.椭圆
c 双曲线
F 的轨迹方程
C.x 4y 0( x 0) 1)的交点的轨迹方程是
D.4x y 0(x
0)
1上运动，则 F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 13 .过抛物线y 2
程是
4x 的顶点O 作相互垂直的弦
OA 、OB ，则抛物线顶点 0在AB 上的射影M 的轨迹方
为圆心的圆与椭圆 x 2 2y 2
14. 设以 P (2,2) 三、解答题
15. 设 2 m 0,在直角坐标系中，通过点
佼于A 、B 两点，贝y AB 的中点M 的轨迹方程是
M ( m,0)的直线I 与双曲线x 2 y 2 4有唯一的交点P ,
(1)设X 为点P 的横坐标，证明|F1 P| a - x
a
(2)求点T 的轨迹方程
10：两条直线则抛物线1 y0和ax<2 ayx 1C 的焦点 F1的轨迹方勺轨迹方程是
A.y 0( x 0)
二、•点填在以F 1、
B.x 0©2 0) 2 F 2为焦点的双曲线 x y
16 9
4x 的顶点和O 作相互垂直的弦 2 y 2 C.x 4y 0( x 0) D.4x y 0(x 0) 1上运动，则 F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 0A 的交点的轨迹方程顶点 0在AB 上的射影M 的轨迹方
2 F 2为焦点的双曲线 — 为圆心的圆与椭圆 16 2勺 4x 的顶点0作相互垂直的弦 12 •程是在以F 1、
14. 设以 P (2,2) 三.过抛物线y 程是
15设 2一 系中，通
14
.而与双(线的渐近线交勺圆与椭圆B 两点
三、解求直线I 的方程
15. 设2 m 0,在直角坐标系中，通 而与双曲线
的渐近线交 于A 、B 两点 (1)
求直线I 的方程
当m 变化时，求
当m 变化时，求
X 2
16 •已知-V a
过点 2y 2 过点 1上运动，则 F I F 2P 的重心G 的轨迹方程是
1交于A 、B 两点，贝y AB 的中点M 的轨迹方程 OA 、OB ，则抛物线顶点 0在AB 上的射影M 的轨迹方 M ( m,0)的直线I 与双曲线x 2 y 2
4有唯一的交点P , 佼于A 、B
两点，贝y AB 的中点M 的轨迹方程是
M ( m,0)的直线I 与双曲线x 2 y 2 4有唯一的交点P ,
ABC 的重心的轨迹方程
ABC 的重心的轨迹方程
2
詩1(a b IF 1QI 2a ，点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点
0)的左、右焦点分别是 b 0)的左、右焦点分别是
Fi( c,0)、F 2(C ,0).Q 是椭圆外的动点，满足 T 在线段F 2Q 上，并且满足 PT TF 2 0, ITF 2I 0 F i( c,0)、F2(C ,0).Q 是椭圆外的动点，满足 T 在线段F 2Q 上，并且满足 PT TF 2
0, ITF 2I 0
2
2
F I Q 与该椭圆的交点，点
(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S b2,若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。