2014届广西南宁市高三第二次适应性测试理科数学试题(含答案解析)扫描版
2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １ ０． C １ １． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ 分 ０ ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ２ n １ ３． ㊀㊀１ ４． ３ ２． ８; ㊀㊀１ ５． ４; ㊀㊀１ ６． ． －２; n ＋１ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有 １ ７． Ⅰ) E C 中, ． ＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝ ７, ３ ３ B E ������s i n B ２ ２ １ ʑ s i n øB C E＝ ． ＝ ＝ C E １ ４ ７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２ ３ ５７ ２ ʑc o s øD E A ＝ １－s i n øD E A ＝ １－ ＝ ． ２ ８ １ ４ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ６． C; １ ２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２ ＝ C E２ ＋D E２ －２ C E������D E������ c o s øC E D ＝ ７＋２ ８－２ˑ ７ ˑ２ ７ ˑ ( －
当 x ＝５ ７ ０时, ３ˑ５ ７ ０＋４ ３ ３． ２＝６ ０ ４． ２． y ＝０．
������������������������１ ０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) １ 页(
������������������������１ 特征量 y 的估计值为 ６ ʑ 当 x ＝５ ７ ０时, ０ ４． ２． ２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ． １ ９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝ ＝ ＝ ． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ������������������������４ 分 ʑGM ������E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形 ． ʑG E ʊ MF ． 又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ������������������������６ 分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F． 以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１ ２, ０, ０) , B (３, ０, ４ ３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝ ９００ E B ＝ (３, ４ ３) ． －４, 设平面 E B F 的法向量n１ ＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１ ＝０ n ������E F ＝０, ９ 由 １ 得 ． ң ３ x１ －４ z１ ＝０ ������ y１ ＋４ ３ n１ E B ＝０ ������������������������８ 分 取 y１ ＝ ３ , 得 n１ ＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４ ３) ． －４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２ ＝ ( x２ , z ． y２ ２ ң ３ x ４ ������ － ＝０ ２ ２ y n F C ＝０, 由 ２ 得 ． ң x２ －４ z２ ＝０ －６ y２ ＋４ ３ n２ ������F B ＝０ ������������������������１ 取 x２ ＝４, 得 n２ ＝ (４, ０分 ３, ３ ３) ． n１ ������ n２ ０ˑ４＋ ３ ˑ３＋１ˑ３ ３ ６３ ３ ３ ９ ʑ c o s＜ n１ , n２ ＞＝ ． ＝ ＝ ＝ n１ | n２ | ２ ６ | | ２ˑ １ ６＋９＋２ ７ ２ˑ２ １ ３ ������������������������１ １分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,
广西南宁市高三数学第二次适应性测试试题 理 旧人教版
数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束，务必将试卷和答题卷一并上交。
第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．若集合A={x|－2<x≤1}，B={x|.x≤0或x>l}，则A (R B)等于 A ．（-2，1]B ．（-∞，1]C ．{1}D ．(0，1] 2．已知a+2i=ii b +-1 (a ，b∈R，i 为虚数单位)，则a －b 等于 A ．-2B ．-1C ．1D ．2 3．已知a∈（-2π，0），cos a=53，则tan(a+4π)等于 A ．-71 B ．71 C ．-7 D ．74．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>.0,2,0,12x x x og x 若f （a ）=21，则a 等于 A ．-1或2 B ．2 C ．-1 D ．1或-25．若双曲线-mx 2y 2=4(m>0)的焦距为8，则它的离心率为 A ．332 B ．2 C ．15 D ．15154 6．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x ，表示的平面区域上运动，则x-y 的取值范围是A ．[-2，-1]B ．[-2，1]C ．[-1，2]D ．[1，2]7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为A ．64B ．128C ．-64D ．-1288．已知命题p ：若非零实数a ，b 满足a>b ，则ba 11<；命题q ：对任意实数x∈（0，+∞），211og （x+1）<0．则下列命题为真命题的是A ．p 且qB ．p 或⌝qC ．⌝p 且qD ．p 且⌝q9．某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有A ．91种B ．90种C ．89种D ．86种10．将函数f （x ）=l+cos 2x －2sin 2（x －6π）的图象向左平移m （m>0）个单位后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为A ．6πB ．12πC ．3πD ．2π 11．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，AB⊥BC 且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，则球O 的表面积为A ．80πB ．90πC ．100πD ．120π12．如图，以原点O 为圆心的圆与抛物线y 2 =2px （p>0)交于A ，B 两点，且弦长AB=23，∠AOB=120o ，过抛物线焦点F ，作一条直线与抛物线交于M ，N 两点，它们到直线x=-1的距离之和为27，则这样的直线有 A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卷上用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2014广西高考数学(理)
2014高考数学【大纲理】一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2．设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 3．设sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>4．若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6． 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=7．曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C D10．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．311．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 BCD ．1212．函数()y f x =的图像与函数()y g x =的图像关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ） A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．8的展开式中22x y 的系数为 ． 14． 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ．15． 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为(1,3)，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 ．16． 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B ． 18． 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=，11,2BC AC CC ===．（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B，求二面角1A AB C --的大小．120．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．21． 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．22． 函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+．参考答案一、选择题 1． D【解析】因为1010(3)10(3)(3)133(3)(3)10i i i i i z i i i i i i --====-=+++-，所以z 的共轭复数为13z i =-，故选D .【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念——共轭复数. 2．B【解析】因为{}{}2{|340}|(4)(1)0|14(1,4)M x x x x x x x x =--<=-+<=-<<=-，而{|05}[0,5]N x x =≤≤=，所以{}{}||04[0,4)M N x x M x N x x ⋂=∈∈=≤<=且，故选B .【考点】1.一元二次不等式；2.集合的交集运算. 3．C【解析】因为sin 33a =︒，cos55cos(9035)sin35b =︒=︒-︒=︒，sin 35tan 35cos35c ︒=︒=︒，由0cos351<︒<，可得sin 35tan 35sin 35cos35c ︒=︒=>︒︒，而正弦函数sin y x =在[,]22ππ-单调递增，所以sin35sin33︒>︒，所以c b a >>，故选C .【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.正弦函数的单调性. 4．B【解析】因为()a b a +⊥，所以()=0a b a +⋅，即2=0a a b +⋅，所以2||1a b a ⋅=-=-，又因为(2)a b b +⊥，所以22(2)=02022||2a b b a b b b a b b +⋅⇒⋅+=⇒=-⋅=⇒=，故选B .【考点】1.平面向量垂直的充要条件；2.平面向量的数量积运算. 5．C【解析】第一步：先从6名男医生中选出2名男医生有2615C =种选法；第二步：从5名女医生中选出1名，有155C =种选法，根据分步计数原理可知选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组的不同选法共有216515575C C =⨯=，故选C .【考点】1.分步计数原理；2.组合问题. 6．A【解析】如下图，1AF B ∆的周长为111221||||||||||||||AF AB F B AF AF F B F B ++=+++1221(||||)(||||)224AF AF F B F B a a a a =+++=+==⇒=33331333c e c a a ==⇒=⨯=⨯=，所以222312b a c =-=-=，从而所求椭圆的方程为22132x y +=，故选A .【考点】1.椭圆第一定义的应用；2.椭圆的几何性质；3.椭圆的标准方程的求法. 7．C【解析】因为1x y xe-=，所以111(1)x x x y exe e x ---'=+=+，根据导数的几何意义可知曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率111|(11)2x k y e -='==+=，故选C.【考点】导数的几何意义. 8．A【解析】如下图，正四棱锥P ABCD -中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接,AE AF ，由球的性质可知PAF ∆为直角三角形且AE PF ⊥，根据平面几何中的射影定理可得2PA PF PE =⋅，因为222222222AB BC AE ++===，所以侧棱长222421832PA PE AE =+=+==，2PF R =，所以2189(32)2484R R =⨯⇒==，所以球的表面积为2818144164S R πππ==⨯=，故选A.【考点】1.球的内接正棱锥的问题；2.平面几何中的射影定理；3.球队表面积计算公式. 9．A【解析】如下图，设21||,||2AF m AF m ==，则根据双曲线的第一定义可得12||||22F A F A m m m a -=-==，所以21||2,||4AF a AF a ==，又因为离心率22ce ca a==⇒=，所以12||4F F a =，在12AF F ∆中，由余弦定理得222222212121212||||||416161cos 2||||2244AF F F AF a a a AF F AF F F a a +-+-∠===⨯⨯，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.余弦定理. 10．C【解析】依题意可得5452a q a ==，所以44452()2n n n a a q --==⨯，所以425510lg lg[2()]lg 2(4)lg lg 2(4)lg lg 2(4)(12lg 2)222n n a n n n -=⨯=+-=+-=+--(12lg 2)9lg 24n =-+-，所以数列{lg }n a 为等差数列，从而所求的前8项和为8[((12lg 2)9lg 24)((12lg 2)89lg 24)]818422S -+-+-⨯+-⨯⨯===，故选C .【考点】1.等比数列的通项公式；2.等差数列的前n 项和公式. 11．B【解析】如下图，作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作//AG CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则BG AG ⊥，设2AB a =，在ABE ∆中，60,90BAE AEB ∠=︒∠=︒，所以AE a =，在Rt AEG ∆中，222cos 24aAG BAG AB a ∠===，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B.【考点】1.三垂线定理及其逆定理；2.异面直线成角的计算. 12．D【解析】设()y f x =的反函数图像上的任意一点(,)x y ，则该点关于直线y x =对称的点为(,)y x ，该点在函数()y f x =的图像上，而点(,)y x 关于直线0x y +=的对称点为(,)x y --，该点在函数()y g x =的图像上，所以()y g x -=-即()y g x =--，这就是(,)x y 应该满足的关系式，这也就是函数()y f x =的反函数.【考点】1.函数图像的对称性；2.反函数的图像与性质. 二、填空题 13．70【解析】根据二项展开式可得展开式的通项为833884822221888()()r r r r r r r r r r rr T C C x y C x y y x-------+===，令38242rr -=⇒=，所以4222241870T C x y x y +==，所求的系数为70. 【考点】二项式定理. 14．5【解析】根据约束条件作出平面区域，如下图中阴影部分，1444zz x y y x =+⇒=-+，由此可知，要使z 最大，则要求直线144z y x =-+的纵截距最大，由图可知，当直线144zy x =-+经过点(1,1)B 时，直线的纵截距最大，此时z 取得最大值145+=.【考点】1.二元一次不等式组所表示的平面区域问题；2.线性目标函数最值的求解.15．43【解析】根据题中条件易判断到直线12,l l 的斜率都存在，设过点(1,3)的切线方程为3(1)y k x -=-即30kx y k -+-=，则由圆心(0,0)7k ==-或1k =，设两直线的夹角为θ，由两直线的夹角计算公式可得2112174tan ||||1173k k k k θ-+===+-.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.两直线的夹角公式. 16．(,2]-∞【解析】因为()2sin 2cos 4sin cos cos cos (4sin )f x x a x x x a x x x a '=-+=-+=-+，而(,)62x ππ∈时，函数()f x 单调递减，所以()0f x '<在(,)62x ππ∈恒成立，即cos (4sin )0x x a -+<恒成立，因为cos 0x >，所以4sin 0x a -+<即4sin a x <在(,)62x ππ∈恒成立，从而min (4sin )a x <，因为4sin ()62y x x ππ=<<的值域为(4sin ,4sin )62ππ即(2,4)，所以2a ≤.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的单调性与导数. 17．34π. 【解析】根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒= 因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=由三角形的内角和可得344B πππ=-=.【考点】1.正弦定理；2.两角和的正切公式；3.三角形的内角和定理. 18．（1）133n a n =-；（2）10(310)n nT n =--.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+- 若0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤ 当0d <时，数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足540a a ≤⎧⎨≥⎩即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =- 此时103(1)133n a n n =--=- （2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------ 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--1111111111(()()())()31077431331031031010(310)nn n n n ---+---++-=--=-----.【考点】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.数列的求和——裂项相消法求和. 19．（1）证明详见解析；（2）二面角1A AB C --的大小为arc tan 或1arccos4. 【解析】法一：（1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC .又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C .连结1A C .因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ⊥.由三垂线定理得11AC A B ⊥.（2）BC ⊥平面11AAC C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AAC C⊥平面11BCC B . 作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B .又直线1A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A 与平面11BCC B 的距离，1A E =.因为1A C 为11A CC∠的平分线，故11A D A E ==.作DF AB ⊥，F 为垂足，连结1A F .由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C--的平面角. 由1AD ==得D 为C A中点，1=2AC BC DF AB ⨯⨯=，11tan A D A FD DF ∠==所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 。
广西南宁市邕宁高中2014届高三数学上学期第二次月考试题 理 新人教A版
邕宁高中2014届第二次月考数学试卷（理）2013.10.29一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合{}12≤=x x A ，{}10<<=x x B ，则(=B A ）A [)1,1-B ,0( )1C []1,1-D )1,1(- 2复数z 满足i z i 2)1(=-则=z （ ）A i --1B i +1C i +-1D i -1 3已知)1(2)1ln(1)(>-+=x x x f ,则=-)(1x f （ ）A 121-+x eB 122-+x e C 121++x eD 122++x e4在正项等比数列{}n a 中，若1a ，321a ，22a 成等差数列，则=++87109a a a a （ ） A 21+ B 21- C 223- D 223+5若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是 （ ）A ．25-B ．0C ．53D ．526设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则 （ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>7已知0>a 且1≠a ，若函数)(log )(2k x x x f a ++=在),(+∞-∞上既是奇函数，又是增函数，则函数k x x g a -=log )(的图像是 （ ）8已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．离心率相等C ．虚轴长相等D ．焦距相等9若m x x x x =--++∞→)22(lim，数列{}n a 中，11=a ，)2(1≥=n C a mnn ，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）An n 12- B n n 34- C n n 743+ D nn 23- 10把ABCDE 这5个字母排成一排，A ，B 都不和C 相邻的排法有（ ） A 24种 B30种 C 32种 D 36 种 11设向量a ，b ，c 满足1==b a ，21-=•b a ，︒>=--<60,c b c a ,则c 的最大值等于 （ ）A 2B 3C 2D 112已知定义在R 上的函数)(x f 满足：)()6(x f x f -=+，且)3(-=x f y 是奇函数，给出以下命题，正确的是（ ）)()1(x f 是周期函数 )()2(x f 关于点3(-，)0对称 )()3(x f 是偶函数 )()4(x f 关于直线3-=x 对称A )3)(2)(1(B )4)(3)(2)(1(C )4)(2)(1(D )4)(3)(1( 二、填空题：每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡上的相应位置.13已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(y M ，若点M 到抛物线焦点的距离为3，则||OM =__________14 43)1()1(+-x x 的展开式中4x 的系数为______________ 15设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 与OA 成4π的平面截球得到圆C ，若圆C 面积为47π，则球O 的表面积为____________ 16如图正方体中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，P MB 1∆的顶点P 在棱1CC 上运动，有以下四个命题：①P MB 1∆在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 ②P MB 1∆在侧面CD C D 11上的射影图形一定是三角形 ③直线1ND 一定垂直平面P MB 1 ④平面P MB 1一定垂直平面11A ND其中正确命题的序号是____________三、解答题（本大题共6小题，共70分.） 17. (本小题满分10分)设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2013年自主招生．自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75． （1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；（2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的期望．19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，PB PC =，1AB =，BC ，,E F 分别是,BC PC 的中点．PADBCEF（1）求证：AC ⊥平面;PAB（2）当平面PDC 与底面ABCD 所成二面角为3π时， 求二面角F AE C --的大小．20．(本小题满分12分)已知}{n a 满足21+=+n nn a a a ，11=a . （1）求数列}{n a 的通项公式。
2014年高考试题理科数学真题及答案(新课标II)Word版解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。
所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。
广西南宁市2024届普通高中毕业班第二次适应性测试数学试题
广西南宁市2024届普通高中毕业班第二次适应性测试数学试题一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点为(),a b ，且i 4z +=，则（ ） A ．()2214a b ++= B ．()22116a b ++= C ．()2214a b ++=D ．()22116a b ++=2．已知12,F F 分别是椭圆22:1165x yM +=的左、右焦点，P 为M 上一点，若1||3PF =，则2||PF =（ ） A ．2B ．3C ．5D ．63．某体育场A 区域看台的座位共有10排，从第1排到第10排的座位数构成等差数列，已知第1排、第4排的座位数分别为10，16，则A 区域看台的座位总数为（ ） A ．205B ．200C ．195D ．1904．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且;l m αβ⊂⊂，下列命题为真命题的是（ ）A ．若l P m ，则αP βB ．若αP β，则l P βC ．若l m ⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，则l P m5．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A ．12B ．18C ．20D ．60．6．如果方程0(),F x y =能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程0(),F x y =中，把y 看成x 的函数()y y x =，则方程可看成关于x 的恒等式()(),0F x y x =，在等式两边同时对x 求导，然后解出()y x '即可．例如，求由方程221x y +=所确定的隐函数的导数y '，将方程221x y +=的两边同时对x 求导，则220x y y '+⋅=（()y y x =是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得(0)xy y y '=-≠．那么曲线ln 2xy y +=在点()2,1处的切线方程为（ ）A ．310x y -+=B ．350x y +-=C ．350x y --=D ．2370x y +-=7．在研究变量x 与y 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据()()112255,,,,,(,),(6,28),(0,28)x y x y x y L利用此样本数据求得的经验回归方程为7ˆ101667yx =+，现发现数据()6,28和()0,28误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为ˆ4yx m =+，且51140i i y ==∑则m =（ ） A ．8B ．12C ．16D ．208．如图，正四棱台容器1111ABCD A B C D -的高为12cm ，10cm AB =，112cm A B =，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）A B C D二、多选题9．若表示集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M ，N 可能是（ ）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}{}2|1,1M x x N x x =<=-C ．{}1|log ,|e e xx M x y x N y y ⎧⎫====+⎨⎬⎩⎭D ．(){}(){}22,|,,|}M x y x y N x y y x ====10．已知函数()()sin (0,0,0π)f x M x M ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，A ，B 为()f x 的图像与x 轴的交点，C 为()f x 图像上的最高点，ABC V 是边长为1的等边三角形，2OB OA =，则（ ）A ．()0f =B ．直线136x =是()f x 图像的一条对称轴C ．()f x 的单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的单调递增区间为()512π,2πZ 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭11．设拋物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点()0,3P 的直线与抛物线E 相交于点,A B ，与x 轴相交于点,2,10C AF BF ==，则（ ）A ．E 的准线方程为=2y -B ．p 的值为2C ．AB =D ．BFC △的面积与AFC △的面积之比为9三、填空题12．在等比数列{}n a 中，561,3a a ==，则8a =．13．若过点(0,1)P 可作圆22(1)(2)5x y a -+-=-的两条切线，则a 的取值范围是． 14．定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,1对称，函数()()2g x f x x =-的图象关于直线2x =对称．若(0)0f =，则(1)(2)(50)f f f +++=L ．四、解答题15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22tan sin 1tan A a BA b=+． (1)求角A 的大小；(2)若b c +，ABC V ABC V 的周长． 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，2,AB E =是CD 的中点.(1)证明：平面PBC ⊥平面PAE . (2)求二面角D AP E --的余弦值. 17．已知函数()ln f x x ax =-(1)若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围， (2)若函数()()1g x f x x =-+恰有两个零点，求a 的取值范围，18．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点(D 到左､右焦点的距离之差为6， (1)求双曲线C 的方程，(2)已知()(),3,03,0A B -，过点()5,0的直线l 与C 交于,M N （异于,A B ）两点，直线MA 与NB 交于点P ，试问点P 到直线2x =-的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，19．2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练(1)求抽到甲参与传球训练的概率；(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为ξ，求ξ的分布列及期望；(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为12，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为12,33，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为12,33，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．。
数学文、理科答案
南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学（理科）答案 一、选择题1.B2. A3.C4.A5.D6.D7.C8.C9.A 10.C 11.D 12. B 二 、填空题 13． 14； 14 .17615. 827 16． 2三．解答题17． 解：（1）当2n ≥时1--=n n n S S a 21n =+，13a =也满足21n a n =+，12+=n a n ..............................6分（2）11n n a a +111()22123n n =-++，n T 111()2323n =-+11646n =-+1.6<......................12分18． 解: (1)1()28757928.n i ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑2221()2955750.nii xn x =-=-⨯=∑.280.5650b ∧-==-.9(0.56)712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯=所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+......................4分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关；将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量,0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克).........7分 (3)由(1)知7x μ==,3.2σ=，则(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.....................12分 19．解:(1) 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系 设M 是BD 的中点,连接1MC .C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB M 是BD 的中点,∴11C D C B =. M 是BD 的中点, ∴1MC ⊥BD），（430,1E，3(,44M ， )33,0(1，C ,∴13(,44MC =-,(1,0,4DE =.131004MC DE =-⨯++=,∴1MC ⊥DE .∴平面EBD ⊥平面BD C 1.............................6分(2)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量32B（,1C ，3(2DB =，1DC = 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z =,则(1,m =-.cos ,||||DA mDA m DA m •<>=⨯7= 二面角1CC D B .....................12分 20. 解：（1）由题意得抛物线方程为24y x =设直线l 的方程为4x my =+.令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,.∴32m =.∴直线l 的方程为2380x y --=..............................6分(2)设00(,)P x y ,直线:4,l x my =+由,O P 关于直线:4l x my =+对称得2288(,)11m P m m-++代入抛物线2C :24y x =,可得11,m =21m =- 直线l 的方程为4x y =+或4x y =-+.设椭圆为2211x y λλ+=-,(1)λ>. 联立直线和椭圆,消去x 整理得22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-=0,∆≥解得172λ≥.则217,2a ≥ ∴椭圆1C 分21.解：（1）a x ax x x g x f x F ---=-=1ln )()()(,(0)x .'211()F x a x x. ①若0≤a 时，0)(>'x F ，则)()()(x g x f x F -=在），（∞+0上是增函数 ②若 0>a 时，则)()()(x g x f x F -=在），（aa24110++上是增函数)()()(x g x f x F -=在），（∞+++aa 2411上是减函数. .............................6分 （2）①当0)(≤x f ，0)(≥x g 同时恒成立时， 由x xa ax x x f ln 0ln )(≥≤-=，恒成立得：1ea 由01,0)(≥+≥a x x g 恒成立得：0≥a .∴1ea.②当0)(≥x f ，0)(≤x g 同时恒成立时，a 不存在； ③当0<a 时，由0ln )(=-=ax x x f ，01)(=+=a xx g ,联立方程组解得：e a综上：1ea或e a ......................12分22. 解: (1) 点A 的极坐标3)4π；.............................4分 (2)由(1)得∴M 的直角坐标为(1,1)-圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=.设直线m 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)..代入2240x y y +-=得22(sin cos )20t t αα-+-=.设,B C 的参数依次为12,t t ,则122(sin cos )t t αα+=+.||||||MB MC -2|sin cos |αα=+sin()|4πα=+，||||||MB MC -的最大值为.....................10分23.解：（1）当3x <-时得43x -<<-；当31x -≤<-时得31x -≤<-. 当1x ≥-时得0x <所以10x -≤<.不等式4|3||1|<+++x x 的解集为{}04|<<-x x ；. .............................6分. （2）证明：40,40a b -<<-<<.则ab a b a -<<+4,0)4(,b a ab b a 2222---<-同理b a b a ab 2222-<++,所以2|||22|a b ab a b -<++.....................10分2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学（文科）答案一、选择题1． B 2． B 3． A 4． A 5． C 6． A 7． C 8． C 9． A 10． D 11. A 12． B 二、填空题 13． 14 14．176 15． 3416． 2三．解答题17． 解：（1）当2n ≥时1--=n n n S S a 21n =+.13a =也满足21n a n =+ 数列{}n a 的通项公式为12+=n a n ............................6分 （2）11n n a a +111()22123n n =-++，n T 111()2323n =-+1164669nn n =-=++...............................12分 18．解: (1)1()28757928.n i ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑2221()2955750nii xn x =-=-⨯=∑,280.5650b ∧-==-,.9(0.56)712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯=.所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+............................8分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关;将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克).. ............................12分19．解：(1) 连接CA .AB =AD ,CD =CB , ∴AC ⊥BD .A 1A ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥A 1A .. A 1A 与AC 相交于A, ∴BD ⊥平面A 1AC C 1.CE 在平面A 1AC C 1, ∴BD ⊥CE . ..........................6分 (2)设M 是BD 的中点,连接EM 和1MC .由(1)得BM ⊥平面E CC 11,60AB AD CB CD BCD ====∠=,90=∠CDA ,AC=2,BM=2.. ∆E CC 1的面积=122⨯=11132B C CE V -==.............................12分 20. 解：（1）由题意得抛物线方程为24y x =设直线l 的方程为4x my =+.令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,.∴32m =.∴直线l 的方程为2380x y --=...........................6分(2)设00(,)P x y ,直线:4,l x my =+由,O P 关于直线:4l x my =+对称得2288(,)11m P m m-++代入抛物线2C :24y x =,可得11,m =21m =- 直线l 的方程为4x y =+或4x y =-+.设椭圆为2211x y λλ+=-,(1)λ>. 联立直线和椭圆,消去x 整理得22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-=0,∆≥解得172λ≥.则217,2a ≥∴椭圆1C 分21. 解：（1）x ax x f 63)(2-='.()f x 在[0,1]为减函数，∴063)(2≤-='x ax x f 在[0,1]恒成立.即2ax 在(0,1]x 内恒成立.(0,1]x 时22x,∴2≤a ...........................4分（2）)2(363)(2-=-='ax x x ax x f①当0=a 时，013)(23=+-=x ax x f ，()f x 有两个零点，不符合条件; ②当0>a 时，函数()f x 存在一个零点000<x x 且,不符合条件.③当0<a 时，由于在），（∞+0内13)(23+-=x ax x f 为减函数，且,0)0( f (1)20f a =-<，所以函数()f x 存在一个零点000>x x 且则()f x 在2(,)a上是减函数，在2(,0)a是增函数，在(0,)是减函数.()f x 在22x a处取得极小值.若函数()f x 存在唯一的零点0x 且0x >0，则0)2(>af ,解得2a <-.综上所述：2a <-. ............................12分22. 解: (1) 点A 的极坐标3)4π..........................4分 (2)由(1)得∴M 的直角坐标为(1,1)-圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=.设直线m 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)..代入2240x y y +-=得22(sin cos )20t t αα-+-=.设,B C 的参数依次为12,t t ,则122(sin cos )t t αα+=+.||||||MB MC -sin()|4πα=+，||||||MB MC -的最大值为........................10分23.解：（1）当3x <-时得43x -<<-；当31x -≤<-时得31x -≤<-. 当1x ≥-时得0x <所以10x -≤<.不等式4|3||1|<+++x x 的解集为{}04|<<-x x ；.. ..........................6分 （2）证明：40,40a b -<<-<<.则ab a b a -<<+4,0)4(,b a ab b a 2222---<-同理b a b a ab 2222-<++,所以2|||22|a b ab a b -<++............................10分。
2014年高考广西理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年广西，理1，5分】设10i3iz =+，则z 的共轭复数为（ ）（A ）13i -+ （B ）13i -- （C ）13i + （D ）13i - 【答案】D【解析】∵()()()10i 3i 10i 1030i 13i 3i 3i 3i 10z -+====+++-，∴13i z =-，故选D ． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．（2）【2014年广西，理2，5分】设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）（A ）(0,4] （B ）[0,4) （C ）[1,0)- （D ）(1,0]- 【答案】B【解析】由2340x x --<，得14x -<<．∴{}{}234014M x x x x x =--<=-<<，又{}05N x x =≤≤，∴{}{}[)14050,4MN x x x x =-<<≤≤=，故选B ．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2014年广西，理3，5分】设0sin33a =，0cos55b =，0tan35c =，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b>> 【答案】C【解析】由诱导公式可得()cos55cos 9035sin 35b =︒=︒-︒=︒，由正弦函数的单调性可知b a >，而sin35tan35sin35cos35c b ︒=︒=>︒=︒，∴c b a >>，故选C ．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．（4）【2014年广西，理4，5分】若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 【答案】B【解析】由题意可得，2()10a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-；()222220a b b a b b b +⋅=⋅+=-+=，∴22b =， 则||2b =，故选B ．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题． （5）【2014年广西，理5，5分】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）（A ）60种 （B ）70种 （C ）75种 （D ）150种 【答案】C【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有2615C =种选法，再从5名女医生中选出1人，有155C =种选法，则不同的选法共有15×5=75种，故选C ．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．（6）【2014年广西，理6，5分】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）（A ）22132x y += （B ）2213x y += （C ）221128x y += （D ）221124x y +=【答案】A【解析】∵1AF B ∆的周长为43，∴443a =，∴3a =，∵离心率为33，∴1c =，∴222b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22132x y +=，故选A ．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （7）【2014年广西，理7，5分】曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）（A ）2e （B ）e （C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】函数的导数为()()1111x x x f x e xe x e ---'=+=+，当1x =时，()12f '=，即曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率()12k f '==，故选C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． （8）【2014年广西，理8，5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）（A ）814π （B ）16π （C ）9π （D ）274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴()()22242R R =-+，∴94R =，∴球的表面积为2981444ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，故选A ．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． （9）【2014年广西，理9，5分】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）（A ）14 （B ）13（C ）24 （D ）23【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴2ce a==，即2c a =，点A 在双曲线上，则12||||2F A F A a -=，又12||2||F A F A =，∴解得14F A a =，22F A a =，122F F c =，则由余弦定理得222222222222212121221244164123431cos 22228244AF F F AF a c a c a c a a a AF F AF F F a c ac ac a +-+----∠======⋅⨯⨯，故选A ．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．（10）【2014年广西，理10，5分】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】C【解析】∵等比数列{}n a 中42a =，55a =，∴452510a a ⋅=⨯=，∴数列{}lg n a 的前8项和 ()()()41281284545lg lg lg lg lg 4lg 4lg104S a a a a a a a a a a =+++=⋅=⋅=⋅==，故选C ．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． （11）【2014年广西，理11，5分】已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）（A ）14 （B ）24 （C ）34 （D ）12【答案】B【解析】如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ，∵AB l ⊥，∴60BAE ∠=︒，又135ACD ∠=︒，∴45EAF ∠=︒，在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，3BE a =，在Rt AEF ∆中，则EF a =，2AF a =，在Rt BEF ∆ 中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，()()()2222222222cos 24222a aa AB AF BF BAF AB AF a a+-+-∴∠===⋅⨯⨯，故选B ． 【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想想能力和作图能力，属于难题．（12）【2014年广西，理12，5分】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）（A ）()y g x = （B ）()y g x =- （C ）()y g x =- （D ）()y g x =-- 【答案】D【解析】设(),P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点，则P 关于y x =的对称点(),P y x '一点在()y f x =的图象上，又∵函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，∴(),P y x '关于直线0x y +=的对称点(),P x y ''--在()y g x =图象上，∴必有()y g x -=-，即()y g x =--，∴()y f x =的反函数为：()y g x =--，故选D ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年广西，理13，5分】8()x y y x -的展开式中22x y 的系数为 ．【答案】70【解析】8x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()833842218811rr r rr r r r r x y T C C x y y x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3384222r r-=-=，求得4r =，故展开式中22x y 的系数为4870C =．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．（14）【2014年广西，理14，5分】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ．【答案】5【解析】由约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立023x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()1,1C ．化目标函数4z x y =+为直线方程的斜截式，得144zy x =-+．由图可知，当直线144zy x =-+过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时max 1415z =+⨯=．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （15）【2014年广西，理15，5分】直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l的夹角的正切值等于____________． 【答案】43【解析】设1l 与2l 的夹角为2θ，由于1l 与2l 的交点()1,3A 在圆的外部，且点A 与圆心O之间的距离为OA =r =sin r OA θ==，cos θ=，sin 1tan cos 2θθθ==，22tan 14tan 211tan 314θθθ===--． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．（16）【2014年广西，理16，5分】若函数()cos2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ．【答案】(],2-∞【解析】由()2cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =+=-++，令sin t x =，则原函数化为221y t at =-++．∵(,)62x ππ∈时()f x 为减函数，则221y t at =-++在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为减函数，∵221y t at =-++的图象开口向下，且对称轴方程为4a t =．∴142a ≤，解得：2a ≤．∴a 的取值范围是(],2-∞．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2014年广西，理17，10分】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B ．解：根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒=因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=，所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=，由三角形的内角和可得344B πππ=-=．【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．（18）【2014年广西，理18，12分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+-若，0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立；若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤；当0d <时， 数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足5400a a ≤⎧⎨≥⎩，即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因 为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =-，此时103(1)133n a n n =--=-．（2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------， 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--1111111111(()()())()31077431331031031010(310)n n n n n =---+---++-=--=-----．【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题． （19）【2014年广西，理19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===．（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小． 解：解法一： （1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ． 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ．连结1A C ．因为侧面11AA C C 为菱形，故11AC A C ⊥． 由三垂线定理得11AC A B ⊥．（2）BC ⊥平面11AA C C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B ．作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B ．又直线1//A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A与平面11BCC B 的距离，13A E =．因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故113A D A E ==．作DF AB ⊥， F 为垂足，连结1A F ．由三垂线定理得1A F AB ⊥，故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角．由22111AD AA A D =-=得D 为C A 中点，15=25AC BC DF AB ⨯⨯=，11tan 15A D A FD DF ∠==． 所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 15． 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系C xyz -，由题设知1A D 与x 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内（1）设1(,0,)A a c ，由题设有2,(2,0,0),(0,1,0)a A B ≤，则(2,1,0),(2,0,0)AB AC =-=-，1(2,0,)AA a c =-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-………………2分由221||2(2)2AA a c =⇒-+=，即2240a a c -+=①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥． ……………………5分 （2）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，所以10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ===-，所以0(2)0y a x cz =⎧⎨-+=⎩，令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a ∴=-， 点A 到平面11BCC B 的距离为2222222|||cos ,|2||(2)44CA m c c cCA m CA c m c a a a c ⋅⋅<>=====+--++， 又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ……8分 于是1(1,0,3)AA =-，设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥所以10,0n AA n AB ⋅=⋅=，所以3303202p r r p p q q p⎧⎧-+==⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎩，令3p =，则23,1,(3,23,1)q r n ===，又(0,0,1)p =为平面ABC的法向量，故22211cos ,4||||(3)(23)11n p n p n p ⋅<>===⋅++⨯，所以二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． ………………………………………………………12分【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． （20）【2014年广西，理20，12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立．（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ====，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =++0.31=．（2） X 的可能取值为0，1，2，3，4，0(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=001001222(1)()()()()()()()()()()0.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)20.5(10.4)0.25P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-=2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==，(2)1(0)(1)(3)(4)0.38P X P X P X P X P X ==-=-=-=-== 所以X(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题． （21）【2014年广西，理21，12分】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．（1）求C 的方程；（2）过的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：（1）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p =，所以8PQ p =，822p p p QF x p=+=+，由题设得85824p p p+=⨯．解得2p =-或2p =，所以C 的方程为24y x =．（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +．214(1)AB y m =-=+，又'l 的斜率为m -，所以'l 的方程为2123x y m m=-++将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+=，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m +=-，2344(23)y y m =-+故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-．3MN y =-= 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即2222222222224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得210m -=，解得1m =或1m =-，所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（22）【2014年广西，理22，12分】函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+． 解：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，2'2[(2)]()(1)()x x a a f x x x a --=++，（i ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则'()0f x >，()f x 在2(1,2)a a --上是增函数；若2(2,0)x a a ∈-，则'()0f x <，()f x 在2(2,0)a a -上是减函数； 若(0,)x ∈+∞，则'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上是增函数；（ii ）当2a =时，'()0f x ≥，'()0f x =成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （iii ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则'()0f x >，()f x 在(1,0)-上是增函数；若2(0,2)x a a ∈-，则'()0f x <，()f x 在2(0,2)a a -上是减函数；若2(2,)x a a ∈-+∞，则'()0f x >，()f x 在2(2,)a a -+∞上是增函数．（2）由（1）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞上是增函数，当(0,)x ∈+∞时，则()(0)0f x f >=，2ln(1)(0)2xx x x +>>+．又由（1）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数．当(0,3)x ∈时，则()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明23+22n a n n <≤+． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）设当n k =时结论成立，即23+22k a k k <≤+．当1n k =+时，成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞ 上是增函数；12222+2ln(1)ln(1)2+23+2+2k k k a a k k k +⨯=+>+>=+，13333+2ln(1)ln(1)3+23+3+2k k k a a k k k +⨯=+≤+<=+， 即当1n k =+时有123+33k a k k +<≤+，结论成立． 根据（i ）、（ii ）知对任何*n N ∈结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。