《函数的单调性与导数》教学设计(最新整理)
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 让学生掌握导数的定义，能够计算常见函数的导数。
3. 让学生理解导数与函数单调性的关系，能够利用导数判断函数的单调性。
二、教学内容1. 函数的单调性定义：如果函数f(x)在区间I上，对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上为增函数；如果对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上为减函数。
2. 导数的定义定义：函数f(x)在点x处的导数定义为函数在点x处的切线斜率，记作f'(x)，即f'(x) =lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗。
3. 常见函数的导数（1）常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0。
（2）幂函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
（4）对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
4. 导数与函数单调性的关系（1）如果f'(x) > 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为增函数。
（2）如果f'(x) < 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为减函数。
（3）如果f'(x) = 0，则f(x)可能在某点处改变单调性。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解函数的单调性和导数的定义及计算方法。
2. 采用案例分析法，分析导数与函数单调性的关系。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解：讲解函数的单调性的定义，并通过实例演示如何判断函数的单调性。
3. 讲解：引入导数的定义，讲解常见函数的导数计算方法。
数学《函数单调性与导数》教案
数学《函数单调性与导数》教案教学目标：1. 知道函数单调性的定义，掌握判断单调性的方法。
2. 知道导数的定义，掌握求导的方法。
3. 熟练掌握函数单调性与导数的关系，能够应用相关知识解决实际问题。
教学重点：1. 函数单调性与导数的概念及其关系。
2. 求导数的方法和技巧。
3. 应用函数单调性和导数解决实际问题。
教学难点：1. 求高阶导数，各种复杂函数的单调性判断。
2. 应用函数单调性与导数解决实际问题。
教学方法：1. 讲授法：讲解相关知识点，示范演示，点拨解释。
2. 实验法：以具体例子演示如何判断函数的单调性。
3. 问题解决法：提供丰富的例题及作业，引导学生自主思考，解决问题。
教学过程设计：Part 1：函数单调性的引入1. 通过一个具体的例子引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
2. 介绍单调递增和单调递减的概念，以及如何判断一个函数的单调性。
3. 引导学生思考，研究不同类型函数单调性的特点和判断方法。
Part 2：导数的定义和求导方法1. 导数的概念：定义导数，解释导数的几何意义和物理意义。
2. 求导方法：讲解求导过程，引导学生掌握基本的求导技巧。
3. 常用函数的导数：讲解常用函数的导数公式，让学生记忆。
Part 3：函数单调性与导数1. 函数单调性与导数的关系：引导学生研究函数单调性与导数之间的关系。
2. 求解函数单调性：利用导数判断函数单调性，让学生掌握方法。
3. 应用导数求解实际问题：让学生通过实际问题应用导数，求解函数单调性问题。
Part 4：案例分析1. 给出一些实际问题，让学生通过函数单调性和导数的方法求解。
2. 分组讨论，展示各自的解题思路和方法，互相学习。
Part 5：练习与总结1. 提供一些例题给学生练习，巩固所学知识。
2. 学生自己整理笔记，总结函数单调性与导数的概念及其应用教具准备：1. 教师演示用的白板或黑板、彩色粉笔或白板笔。
2. 学生实验用的计算器。
3. 相关练习题和例题。
《函数的单调性》教学设计[合集5篇]
![《函数的单调性》教学设计[合集5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/36edcbafd5d8d15abe23482fb4daa58da1111c4f.png)
《函数的单调性》教学设计[合集5篇]第一篇：《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．二、教学目标（1）知识与技能目标：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法目标：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．三、教法学法分析教法分析：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．学法分析：1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．四、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．（一）创设情境，提出问题（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．（二）探究发现建构概念[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答． [教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，f(t1）=1，t2=10时，f(t2)=4”对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1<t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢? [学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．（三）自我尝试运用概念1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？[教师活动]问题6：证明f(x)=1在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．x[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断．[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．（四）回顾反思深化概念 [教师活动]给出一组题：1、定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么函数f(x)是R 上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1+a)<f(3-a)，你能确定实数的取值范围吗？[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：（1）阅读课本P29例1、2（2）书面作业：必做：教材作业选做：二次函数y=x2+bx+c在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数b的值唯一吗？探究：函数y=x在定义域内是增函数，函数y=1有两个单调减区间，由这两个基本函x数构成的函数y=x+1的单调性如何？请证明你得到的结论．x[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．五、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．第二篇：函数单调性教学设计函数单调性教学设计关于函数的单调性习题课教学设计，本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅，结合平时的教学，有些教学方面的心得如下，希望专家和同行批评指正。
高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。
因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大 于零时，其函数为 单调递增；函数的 导数值小于零时， 其函数为单调递 从函数的单调性 和导数的正负关 系的讨论环节中， 不断的比较了函 数和导函数的图 像，因此设置该 题，从熟悉的函数 到该题，题LI 更容 易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式 广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤 是什么教师根据一个学 生的作图进行讲 解.学生对所学知识 进一步巩固和熟 练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。
3.3.1、函数的单调性与导数教案
3.3.1、函数的单调性与导数【教学目标】1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
【教学重点】利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
【教学难点】利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
【教学过程】 一、创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二、新课讲授1、提出问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？2、知识探究：通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．3、函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 4、知识归纳：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．5、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三、典例分析例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3、如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4、求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．小结：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5、已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6、已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)四、随堂训练1、求下列函数的单调区间： (1) f (x )=2x 3－6x 2+7 (2) f (x )=x1+2x (3) f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ (4) y=xlnx 2、函数()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上（ ）A 、是增函数B 、是减函数C 、有最大值D 、有最小值 3、函数y=x+2x（x>0）的单调减区间为（ ）A. （2，＋∞）B. （0，2）C. （ 2 ，＋∞）D. （0， 2 ） 4、若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 有（ ）A 、()0f x >B 、()0f x <C 、()0f x =D 、不能确定5、函数24y x x a =-+的增区间是 ；减区间是 ；6、函数3()f x x x =-的增区间是 和 ；减区间是 ；7、32()41f x x x x =-+-在区间 递增。
函数的单调性与导数教学设计(终稿)
图1 图2问题1：从起跳到最高点，即(0,)t a ∈时，运动员的速度v 于0，这段时间其高度h 如何变化呢？ 从最高点到入水，即(,)t a b ∈时运动员的速度v 小于0，这段时间其高度h 又如何变化呢？我们知道，()v t 正好是'()h t ，由此请同学们猜想在某区间内，导数的符号与原函数单调性的关系。
预设学生活动：通过观察高台跳水视频，结合自身经验，感受速度和高度的单调性之间的关系。
预设学生回答：运动员从起跳到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数。
相应地，()'()0v t h t =>；从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减小，即()h t 是减函数。
相应地，()'()0v t h t =<；由此猜想，在某区间内，若导数为正，则原函数在此区间单调递增；若导数为负，则原函数在此区间单调递减。
（二） 探究新知孤证不足为凭，这种规律是否具有一般性呢？活动二：绘制一些函数，验证你的猜想是否正确。
预设学生活动：通过图形计算器，或者直接徒手绘制草图，通过图象直观感知函数的单调性与导数的关系1.画出原函数图象，观察其单调性，并直接计算其增减区间里的导函数，发现函数的单调性和其导数的正负的关系。
设计意图：使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用。
承上是因为这个例子贯穿导数这章的整个教材，在导数的概念，导数的几何意义等节都出现了，学生对这个情境非常熟悉，教材在导数的几何意义那节，已经明确的提到了某点导数的正负和该点附近单调性的关系。
启下是可以通过这个例子，学生发现导数和单调性的联系，引出接下来的探究活动。
另外，刚结束的里约奥运会上，我国包揽了10米高台跳水的4枚金牌。
因此，这个情境也具有较好的时效性和爱国主义教育价值。
2.画出原函数图象，观察其单调性，并作出其上任意一点的切线，通过切线的斜率来判断导数的正负和原函数的单调性的关系。
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案教案标题：函数的单调性与导数教案教案目标：1. 理解函数的单调性的概念及其在数学中的应用。
2. 掌握使用导数判断函数的单调性的方法。
3. 能够应用函数的单调性和导数的概念解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾函数的概念，并提醒他们函数图像上的一些特征，如上升、下降、水平等。
2. 引出函数的单调性的概念，解释函数在特定区间上的单调性表示函数值的增减趋势。
探究：1. 提供一个简单的函数图像，让学生观察并讨论函数在不同区间上的单调性。
2. 引导学生思考如何使用导数来判断函数的单调性。
3. 解释导数的概念，以及导数与函数单调性之间的关系。
4. 通过几个例子，演示如何使用导数来判断函数的单调性。
实践：1. 提供一些函数的导数表达式，让学生根据导数的正负判断函数的单调性。
2. 给学生一些函数图像，让他们通过观察图像判断函数的单调性，并用导数来验证他们的结论。
3. 给学生一些实际问题，让他们应用函数的单调性和导数的概念解决问题。
总结：1. 总结函数的单调性的概念及其判断方法。
2. 强调导数与函数单调性之间的关系。
3. 鼓励学生在实际问题中运用所学知识。
拓展：1. 提供更复杂的函数图像和问题，让学生进一步应用函数的单调性和导数解决问题。
2. 引导学生思考如何使用函数的单调性和导数来优化问题的解决方案。
评估：1. 设计一些练习题，考察学生对函数的单调性和导数的理解和应用能力。
2. 给学生一些实际问题，让他们运用所学知识解决问题，并评估他们的解决方案的合理性和准确性。
教案扩展：1. 引导学生探究函数的凹凸性与导数的关系。
2. 拓展教案内容，介绍更高级的函数性质和导数应用。
注意事项：1. 根据学生的学习水平和理解能力，适当调整教案的难度和深度。
2. 鼓励学生积极参与讨论和实践，培养他们的数学思维和问题解决能力。
3. 提供足够的练习和实践机会，巩固学生对函数单调性和导数的掌握程度。
函数的单调性与导数(获奖教案
函数的单调性与导数(获奖教案
一、概念介绍
1.单调性
单调性是一种函数的性质，即函数在其中一区间内的值单调增加或单调减少，不存在最大值和最小值，数学上称为函数的单调性。
函数的单调性是一种函数的微分性质，即函数在其中一区间内的值只有一个方向上有变化，也就是说，在其中一点之后，它的值只会减少或者增加，不会出现拐点的现象。
2.导数
导数是一种多元函数的微分性质，即函数在多元空间内的值只有一个方向上有变化，若函数y=f(x)的x方向的变化只影响y的变化，则可以称其为一阶导数，即为f'(x)。
一般情况下，导数也是函数的单调性，只不过是在多元空间中。
二、单调性和导数的关系
1.单调性和导数的关系
2.单调性的定理
单调性的定理是：当函数在其中一区间内的值单调增加时，其导数大于等于0；当函数在其中一区间内的值单调减少时，其导数小于等于0。
即：
若函数f(x)为单调递增的函数，则f'(x)>=0;
若函数f(x)为单调递减的函数，则f'(x)<=0。
从定义来看，单调性可以用导数的正负性来判定，如果函数的导数的正负性是一致的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《函数的单调性与导数》教学设计
教材分析
1、内容分析
导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础.
由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性.
2、学情分析
在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识.
用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣.
教学目标
依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标：
1、知识与技能目标：
借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
2、过程与方法目标：
习引入
则
=因为x 1x 2，，
当时；
当时
所以函数在区间上单调递减，在区
间
上单调递增
解法二：图像法
（2）“图象法”
探求新知形成概念
问题：如何确定函数f(x)=2x 3－6x 2＋7的单调区间？ 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么能否用导数来研究函数的单调性呢?
前面我们用定义和图像已经知道
二次函数的单调性及单调区间，下面我用几何画板来展示曲线上任何一点的导数的变化。
切线的方程.rar
一般的，函数的单调性与其导函数的正负有如下的关系：让学生在短时间内尝试完成，结果发现用
“定义法”作差后判断正负很麻烦，而用“图象法”时，图象又很难画出.
教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验
证。
由观察、猜想到归纳、总结，
在某个区间（a,b ）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；如果
，那么函数
在这个区间内是常函数．
思考：
能推出为增函数，反之是否成立？
是f(x)为增函数的充分不必要条件（举例f(x)=x 3））例题讲解
例题1：求函数f(x)=2x 3－6x 2＋7的单调区间解：f(x)‘‘=6x 2－12x ．
令6x 2－12x>0，解得x<0或x>2．令6x 2－12x<0，解得0<x<2．
因此，当x ∈(0, 2)时，f(x)是减函数．f(x)也是增函数．
当x ∈(－∞, 0)和当x ∈(2, ＋∞)时，函数f(x)是增函数，三次函数图像.rar
尝试练习1：（2009江苏卷）函数 的单调减区间为
2：函数 的单调增区间
为 。
3：函数f(x)=x+elnx 的单调递增区间( )
(A)、(0，+∞) (B)、(-∞,0)
(C)(-∞,0)和(0，+∞) (D)、R 例题2：如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）
注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
师板书规范合理的解题过程并强调用导数求函数单调区间的方法
练习由易到难1、让学生熟悉利用导数求函数单调区间的方法，
2、考察单调区间时必
须保证定义域优先.练习采用提问、投影
演示等形式讲解。
教师引导学生思考应
用导数信息确定函数大致图像，利用导数的正负可以判断函数的增减性，求函数的单调区间，同样，利用导数的正负还可以
绘制函数的大致图象。
通过此题进一步培养学生看图及识图的能力。
一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这
时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图象就较“平缓”.尝试高考：设f ‘‘(x)是函数f(x)的导函数，f ‘‘(x)的图象如下,则f (x) 的图象的大致形状为: ( )
小结
通过这节课的学习，你都学到了什么？1、知识方面：
导数法判定单调性的步骤：（1）求定义域；（2）求导数；（3）
，则 为增（减）函数；
2、方法方面：数形结合
通过学生自己归纳和总结进一步理解本节课的重要内容及解题方法
本课作业
必做题：
习题1.3A 组1, 2;选作题：
1、(2011年高考江苏卷2)函数
的单调增
区间是__________
2、已知函数f （x ）=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
给不同层次的学生不
同的提升空间。