初中平面几何辅助线专题复习
初中数学辅助线专题
初中数学辅助线专题初中数学辅助线专题在初中数学中，辅助线是一个常用的解题技巧。
它可以帮助我们简化问题、寻找规律、搭建思维框架，提高解题效率。
下面将介绍几种常见的辅助线及其运用。
1. 垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段或角度垂直的辅助线。
通过画垂直辅助线，可以将问题中的图形分解为更简单的部分，从而更容易求解。
例如，在解决正方形内接圆问题时，可以通过画一条从正方形的一个顶点到内接圆心的垂直辅助线，将问题转化为求直角三角形的斜边长。
2. 平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段或角度平行的辅助线。
通过画平行辅助线，可以将问题中的图形分割为更容易处理的几何图形，为解题提供方便。
例如，在解决平行四边形面积问题时，可以通过画一条平行于底边的辅助线，将问题转化为求两个三角形的面积。
3. 对称辅助线：对称辅助线是指通过已知图形中心的辅助线。
通过画对称辅助线，可以将问题中的图形分割为相等的部分，并且可以利用对称性质解题。
例如，在解决正多边形内角和问题时，可以通过画一条从正多边形中心到顶点的辅助线，将问题转化为求正多边形的内角和与外角和。
4. 中位线：中位线是指连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
中位线具有许多特殊性质，例如三角形三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
通过画中位线，可以将问题中的三角形分割为更简单的几何图形，进而解决问题。
除了以上介绍的辅助线，还有许多其他类型的辅助线可以应用于解决不同类型的数学问题。
当我们遇到一个复杂的几何问题时，可以尝试使用辅助线来简化问题，找到解题的突破口。
通过熟练掌握辅助线的使用技巧，并灵活运用，我们可以更加高效地解决数学问题。
初中几何辅助线大全(详细版)
初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
初中数学几何辅助线作法大全及专题训练(含答案)
∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB＝PM （全等三角形对应边相等） 又∵在△PCM 中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图 7-1：已知 AC＝BD，AD⊥AC 于 A ，BC⊥BD 于 B， 求证：AD＝BC
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角 放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构 造全等三角形，如：
例如：如图 3-1：已知 AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠
例 1：已知如图 1-1：D、E 为△ABC 内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，
在△AMN 中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM 中，MB＋MD＞BD；
（2）
在△CEN 中，CN＋NE＞CE；
（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）
在△DBE 与△CAE 中
A
B
E E(公共角) ∵ DBE CAE(已证)
BD AC(已知)
O
D
图7 1 C
∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
在△ABC 与△CDA 中
A 1
3Leabharlann D1 2(已证) ∵ AC CA(公共边)
初中数学几何辅助线经典100题
初中数学几何辅助线经典100题摘要：初中数学几何辅助线经典100题一、几何辅助线的概念和作用1.几何辅助线的定义2.几何辅助线在解题中的作用二、几何辅助线的常见类型及应用1.角平分线2.线段和差3.中点定理4.倍长中线5.相似三角形6.判定条件7.证明定理三、初中数学几何辅助线经典100题1.题目1-102.题目11-203.题目21-304.题目31-405.题目41-506.题目51-607.题目61-708.题目71-809.题目81-9010.题目91-100正文：初中数学几何辅助线经典100题一、几何辅助线的概念和作用几何辅助线是在解决几何问题时，通过在图形上添加一些特殊的线段，来帮助我们更好地理解和解题的一种工具。
它可以将复杂的几何问题简化为更简单的形式，使问题更容易解决。
几何辅助线在解题中的作用主要体现在以下几个方面：1.揭示图形中隐含的性质：通过添加辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的。
2.聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。
3.化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，通过添加辅助线，将复杂图形转化为简单图形，从而简化问题，使解题更加顺利。
二、几何辅助线的常见类型及应用几何辅助线有很多种，这里我们列举几种常见的类型及其应用：1.角平分线：角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
在解题中，我们常常利用角平分线的性质来证明两个角相等或求解某个角的度数。
2.线段和差：线段和差是指通过两个线段的和与差来求解几何问题。
在解题过程中，我们通常利用线段和差的性质来证明线段相等或求解线段的长度。
3.中点定理：中点定理是指在一个线段上，如果有一个点是线段中点，那么这个点到线段两端的距离相等。
在解题中，我们常常利用中点定理来证明线段相等或求解线段的长度。
平面几何辅助线之旋转专题
平面几何辅助线之旋转专题类型一：060造等边的边长，求内部一点是等边如图ABC ,5PB ,4PA ,3PC ,ABC P ,.1∆===∆的度数求若外一点是等边如图APB ,5PC ,4PB ,3PA ,ABC P ,,2∠===∆2220AC BC DC :,30BCD ,AD BD AB ,ABCD ,,3=+=∠==求证中四边形如图类型二:旋转090,造垂直的面积求四边形的长度为另一条对角线都是直角和其中和直角三角形分为等腰直角三角形被对角线四边形如图ABCD ,2AC ,C A ,CBD ABD BD ABCD ,,4∠∠的长求为一边作正方形以中如图PD ,ABCD AB ,4PB ,2PA ,45APB ,PAB ,,50===∠∆GHCG :)2(DFDE :)1(,H AB CG ,EF G ,F BC ,DE DF ,AC E ,AB D ,90ACB ,BC AC ,ABC ,,60==⊥=∠=∆证明证明于点交延长的中点为点于交直线任意一点上是直线若的中点为中如图CEAF BE :ABEFB ,AD F ,CD ABCD E ,,7==∠求证平分且上的点是边上任意一点的边是正方形如图的面积求四边形若为等腰直角三角形求证连接得到顺时针旋转绕点将中已知如图ACED ,2AC ,1BC )2(ACD :)1(CE,CD ,AED ,90A ABC ,135ACB ,ABC ,,800==∆∆∆=∠∆类型三:旋0180,造中心对称______,,86,O ,O ,ABCD ,,9则阴影部分的面积为时和长分别为当菱形的两条对角线的分成阴影和空白部分点的三条直线将菱形过是两条对角线的交点是菱形四边形如图的度数求边上的中线为中在如图BAC ,AC AD ,BC AD ,AC 2AB ,ABC ,,10∠⊥=∆的长度求出线段若不变则说明变化规律若变化的长度是否发生变化线段在移动过程中试问当动点于点作于点交连接且的延长线上在线段动点不重合与点点上在线段动点连接线段擦去折痕的条件下在如图的长求边的面积比为与若连接交于点已知折痕与边如图点处边上的落在使得顶点折叠将矩形的一条边已知矩形EF ,,,?EF ,N M,E,BP MF F,PB MN PM,BN ,AB N )A P,M (AP M BP,OP,AO,,(1),(2)CD 4,:1PDA OCP OA,OP,AP,,O BC ,)1(,P CD B ,ABCD ,8AD ABCD ,11⊥=∆∆=类型四:大角夹半角.______,AC AF 3AE :,AB 2AD ,)3(2FHAE :H,AD CH C 2AB,AD ,(2)ACAF AE ACF,BCE :AB,AD ,(1))F(E,AD AB,,C 60,ABCD 60,)120BAD (ABCD 120,,120000=+==⊥==+∆≅∆==∠t t 则的值为常数探究得若如图深入探究求证于点作过点若如图类比发现②①求证若如图初步尝试不包括线段的端点于点在的两直线分别交线段较短的直角边和斜边所重合角的顶点始终与点且所在平面内旋转在平行四边形的直角三角板如图放置将一块含进行探究的平行四边形为某学习小组对有一内角数学活动课上?AMN )2(NCBM MN :)1(,MN ,N AC ,M AB ,60D ,120BDC ,BDC ,3ABC ,,1300的周长为多少求证连接于点交于点使其两边分别交角为顶点作一个以且是等腰三角形的等边三角形是边长为如图∆+==∠∆∆类型五:旋转任意角它说明理由的差使它的面积等于形以已知点为顶点的多边请你在图中确定一个连接中如图,S S ,,CE ,AC AB ,AE AD ,DAE BAC ,ABC ,,14ADE ABC 0∆∆-===∠=∠∆a 的长求连接且面积之比为菱形使菱形为边作一个菱形以线段延长线上的任意一点对角线是菱形点如图DG ,DG ,5106AF 8,EC 5,:2ABCD,~AEFG ,AEFG AE ,CA ABCD E ,,15==的长求线段时②当①求证于点交延长如图时逆时针旋转绕点当正方形请说明理由若不成立请证明若成立成立吗如图时逆时旋转绕点当正方形成立此时边上分别在是正方形四边形是等腰直角三角形如图BG ,2AD ,4AB CFBD :,G CF BD ,,45A ADEF (2),:,?CF BD ,,)90(0A ADEF (1)CF BD CF,BD ,AC AB,F D,,ADEF ,ABC ,,16000==⊥=<<⊥=∆θθ的值求值时为最大当在旋转过程中逆时针方向旋转绕点将正方形若连接作正方形的中点是点是等腰直角三角形已知如图AF ,AE ,,D DEFG ,2DE BC ,AE ,DEFG ,BC D ,90BAC ,ABC ,,170===∠∆,?MN DN BM,,A MAN (2),?MN DN BM,,DN BM A MAN ,(1)MNDN BM ,DN BM A AMN ,N,M,)(DC ,CB ,A MAN ,45MAN ,ABCD ,,180请直接写出你的猜想系之间又有怎样的数量关和线段旋转到如图的位置时绕点当并加以证明写出猜想之间有怎样的数量关系和线段时旋转到绕点当如图易证时旋转到绕点当如图于点或它们的延长线它的两边分别交顺时针旋转绕点中正方形已知∠≠∠=+=∠∠=∠并证明关系请写出它们之间的数量若不成立请证明若成立中的结论是否仍然成立且上的点分别边中在四边形如图不用证明中的结论是否仍然成立上的点且分别是边中在四边形如图求证且上的点分别是边中在正方形拓展,,:,?)1(,BAD 21EAF ,CD BC,F E,,180ADC B ,AD AB ,ABCD ,)3(?)1(,BAD 21EAF CD BC,F E,,180D B ,AD AB ,ABCD ,)2(FD BE EF :,BAD 21EAF ,CD BC,F E,,90D B ,AD AB ,ABCD )1(,000∠=∠=∠+∠=∠=∠=∠+∠=+=∠=∠=∠=∠=类型一:旋造等边,60031225)23()3234(CD AD AC ,ACD R ,323CD PC PD 23PC 21CD ,30CPD DAP ,AP CD C 150PQB AQP AQB APC 90PQB 5PB ,3QB ,4PQ ,PQB 4AP PQ ,60AQP APQ 3PC QB ,4AP AQ ,60PAQ ,APC AQB ,PQ AQB,60A APC ,:,122222200000+=++=+=∆=-====∠⊥=∠+∠=∠=∠=∠===∆===∠∆=====∠∠=∠∆∆中在因此则的延长线于点交作过点故中在从而是等边三角形故则连接得到逆时针旋转绕点等如图【答案】解t 000000306090APB ,90BPM 3MP ,5BM ,4PB PACMAB ,PAC MAB AMP 60MAP ,MA PA ,MP ,MAB 60A PAC ,:,2=-=∠=∠∴===∴∆≅∆∠=∠∴∆∴=∠=∆∆为等边三角形由旋转可知连接得到逆时针旋转绕点将如图【答案】解222222000000AC BC DC ACDE ,BC CE DE CE DC ,DCE R 906030BCE BCD DCE 60BCE CEBE BC ,BCE ACDE ,60CBE ,BE BC CE ,DBF 60B ABC ,:,3=+===+∆∴=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∆∴==∠=∴∆∆ 又中在即是等边三角形连接得到顺时针旋转绕点将如图【答案】证明t 类型二:旋造垂直,9002222S S 'ACC ACC'AC'AC C'D,C,180ABC ADC ADC ADC 'CDC :'C C ,D B ,90A ABC ,:,4'ACC ABCD 00=÷⨯==∴∆∴=∴=∠+∠=∠+∠=∠∆四边形的面积是等腰直角三角形又在同一条直线上则有点到重合与使点选择绕将三角形如图【答案】解 5242PB 'PP B 'P PD 2'PP ,2PA 90PB 'P ,45'APP ,90'PAP A'P PA ,B P'PD ,AB 'P PAD AB 'P 90A PAD ,ABCD ,:,522220000=+=+==∴===∠=∠=∠∴==≅∆∆∆ 可得得到旋转顺时针绕点可将为正方形因为四边形如图【答案】解GHCG GDGH HDGGHD 90GDC HDG ,90GCD GHD 90CDH ABCD CDGGCD DGCG FGEG DG EF G ,90EDF FGEG CG EF G ,90ACB DG,)2(DFDE CDFADE CDF ADE CD AD DCF A CDF ADE R CDFADE 90CDF EDC EDF DEDF 90CDF 45DAE DCF ,90EDC EDA ABCD BCAC BDAD CD BCAC ,AB D ,90ACB CD,)1(:,600000000=∴=∠∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠∴⊥∠=∠∴=∴==∴=∠==∴=∠=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠∴⊥==∠=∠=∠+∠∴⊥∴===∴==∠ 又的中点为的中点为连接如图中和在又的中点为连接如图【答案】证明t CEAF CE CG EG BE GEBG EBGFBC 5BC//AD EBGFBC 43423221CGAF ,31,G 5BCGABF BCG ,90B BAF ,:,70+=+==∴∠=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴∆∆ 即得到点逆时针旋转绕将如图【答案】证明221122212221DE CD 21AD AC 21S S S 1BC DE 90ADC ADE CDE 135ADE ,)1(22AD AC CD 2AD AC ,45ACD ADC ACD ,:)2(ACD ADAC ,90CAD AEDABC 90ABC AED ,:)1(,8CDE ACD ADEC 022000+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+=∴===∠-∠=∠∴=∠=+=∴===∠=∠∴∆∆∴==∠∴∆≅∆∴∆≅∆∆∆四边形知由是等腰直角三角形如图解是等腰直角三角形得到的旋转如图证明【答案】 类型三:旋造中心对称,180012122421O 248621,86:12,9故答案为阴影部分的面积点是菱形两条对角线的交菱形的面积和分别为菱形的两条对角线的长解析【答案】=⨯=∴=⨯⨯=∴ 00001209030EAC ABAE BAC 30BAE BE AB 21,2BE AB ,2AC AB 90EAC E BEAC EDBADC DCDB ,EDB ADC ,DE DA EDB ADC DCDB ,BC AD 90EAC ,AC AD BE ,AD DE ,E AD ,:,10=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∴==∠=∠∴=∴∆≅∆∴=∠=∠=∆∆=∴=∠∴⊥=即中和在平分连接使到点延长如图【答案】解52, EF ,N M,,)1(52PB 21EF 5448PB 90C 8,BC 4,PC :(1)PB 21QB 21PQ 21QF EQ EF QB 21QF )AAS (NFB MFQ NB MQ BNF QMF BFN QFM NFB MFQ BNFQMF AN //MQ PQ 21EQ PQME ,MQ MP QMBN ,PM BN MQMP MQPABP APB AN//MQ ,AB AP ,Q PB ,AN //MQ ,,EF )2(10CD 102OP AP AB 5:4)8(90C ,PCO R 8CO ,OP 4AD 21CP 2141DA CP PA OP 4:1PDA OCP PDA~OCP CD 32902190B APO 903190D C ABCD ,)1(:,112202220它的长度为的长度不变线段在移动过程中当点的条件下在中的结论可得由中和在于点交作如图的长度不发生变化线段的长为边解得由勾股定理得中在则设的面积比为与又由折叠可得是矩形四边形如图【答案】解∴==∴=+=∴=∠===+=+=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠∆∆∠=∠∴=∴⊥==∴==∴∠=∠=∠∴=∴===∴=+-==∠∆-====∴===∴∆∆∆∆∴∠=∠∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠=∠+∠∴=∠=∠∴ x x x t x x类型四:大角交半角2FHAE CHACFH AE HCF~ACE ACECHF 60ECF 60ACH 30CAD 90ACD BAC 90ACD AD CD AC 32CH AH AC ADCH 3DH AD AH 42AB AD 3CH ,2CD ,DH ,:(2)ACAB BE AE AF AE AFBE ACF,BCE ACFBCE ACFBCE AC BC CAFB ACF BCE ACFBCE 60ACE ACF ACE BCE 60ECF ACBC ,60ACB ,60CAD B ACD ,ABC ABAD 60B D 120BAD ,ABCD ,:)1(,1202222200000=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠=∠∴=∠∴=∠=∠∴=∠∴=+∴=+=∴⊥=-=∴==∴=====∴∴∆≅∆∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠==∠=∠=∠∴∆∆∴==∠=∠∴=∠ xxx x 由题意得，设如图证明＋＝＋＝②中和在都是等边三角形是平行四边形四边形①如图证明【答案】7732123314AC AF 3AE 3414AM 3HN 3AH FN 33HN 3AHN AM EM )FN NH AH (3)AM EM (3AF AE 3212AH ,33AM a3,HC CM HM ,22CN HC 30CHN AHM 90M ,60MAH ,3EM ,3CM ,6FN ,NC 31EM FN CM CN 3CNCM AB AD CN AD CM AB EMFN CM CN CEM~CFN 90CNF M AECCFN 180CFN AFC 180AFC EAEC 180EAF ECF H AD CM ,M BA ,BABA CM ,N AD CN ,7)3(000故答案为则设＝３，＝交于点与延长线于交于作如图==+∴=-+=-++==-++-====∴==-===∴=∠=∠∴=∠=∠======∴=∴⋅⋅=∴∆∆∴=∠=∠∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠+∠⊥⊥a a a a a HN a a b a a6AC AB AN CN MB AM MN AN AM :AMN CNMB BF MB MF MN )SAS (DMF DMN DN DF NDM FDM DM DM DMF DMN 60CDN BDM 60MDN CNBF ,DN DF ,CDN BDF CDNBDF BDF120D CND ,90DCA DBA 60BCA BAC ABC 3ABC 30DBC BCD 120BDC ,BDC :)1(,13000=+=+++=++∆∴+=+==∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆=∠+∠∴=∠==∠=∠∴∆≅∆∴∆∆=∠=∠∴=∠=∠=∠∴∆=∠=∠∴=∠∆的周长是中和在得到逆时针旋转绕点将如图得等边三角形是边长为且是等腰三角形证明【答案】 类型五:旋转任意角ADEABC ADEABD ACE ABD ADEABD ABCE BCED ACEAVBD 0ADE ABC S S S S S S S S S S S S CAE,BAD AC AB CAE BAD AE AD CAE BAD CAEBAD DACDAE DAC BAC DAE BAC :S S BCED BD,:,14∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-=--+=--=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∠-∠=∠-∠∴=∠=∠=四边形四边形中和则在即理由的差的面积等于则四边形连接如图【答案】解α26BE DG 2615OB OE BE EOB R 13)10(OA AB OB AOB R ,AC BD ABCD 10AB 2AE ,5:2AB :AE 5OA AE OE 268AC EC AE ,32AC OA 6AC 5106AF 5:2AG :AF 5:2ABCD,~AEFG BEDG BAE DAB A DAG ,ABCD ~AEFG ,O AC BD ,:,1522222222==∴=+=+=∆∴=-=-=∆⊥=∴===+=∴=-=-==÷=∴=∴==∴=∴∆∠∆∴中在中在中菱形又且又且面积之比为菱形菱形的度数可以得到顺时针旋转绕点将菱形于点交连接如图【答案】解t t CFBD )SAS (CAF BAD AFAD CAF BAD ACAB CAF BAD CAFBAD DACDAF CAF DACBAC BAD 90DAF BAC ,AF AD ,AC AB ,ADEF ,ABC ,:BCF )1(,160=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∴∠-∠=∠∠-∠=∠=∠=∠==∴∆中和在是正方形四边形是等腰直角三角形如图理由成立【答案】5108CG BC BG BGC R CG3843104CG CM BA BM CMG ~BMA 3104AM AB BM 38344AM AC CM 34AB 31AM 31CN FN FCN tan AB AM ABM tan ABM R 24AC AB BC ,3AN AC CN ,4AB AC ,ABC 1AE 21FN AN 2DE AD AE 2DE AD ,ADEF ,N AC FN ,:CFBD 90BAC BGC CMG~BMA CMGBMA GCMABM CAFBAD ,M AC BG ,:)2(222222220=-=∆∴=∴=∴∆∆=+==-=-=∴==∴====∠∆∴=+==-=∴==∆===∴=+=∴==⊥⊥∴=∠=∠∴∆∆∴∠=∠∠=∠∴∆≅∆中，在中在中在等腰直角中在正方形于点作过点如图②解于点交设如图①证明t t F 1323EF AE AF AEF R 90E ,DEFG 321DE AD AE ,1BC 21AD ,2BC ,BC D ,90BAC ,ABC ,AE ,AE D ,E D,A,,:,17222200=+=+=∆∴=∠=+=+===∴==∠∆中在中正方形此时的中点是点是等腰直角三角形的长最大上时在线段且点三点在一条直线上当如图【答案】解tFDBE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD 21EAF EAD DAF EAD BAG AFAG ,DAF BAG ADFABG ADAB ADFB 180ADC ADF ,180ADC B AG,DF BG ,BG BE ,:FDBE EF ,FD BE EF )3(,FD BE EF )1)(2(FDBE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD21EAF EAFBAD 323121,AF AG ADFABG ADAB ,90D ABC ABG AG,DF BG ,G EB ,)1(,MNBM DN ,AEN AMN ,ADE ABM ,AE ,MB DE DC ,)2(,,AEN AMN ,ADE ABM ,BM DE ,AE ,E ND ,,MN DN BM )1(:,18000-=∴-=∴=∴∆≅∆∴=∠=∠∴∠=∠=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠+∠=∠+∠=-=+=+=+=∴+==∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠=∠-∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠=∴∆≅∆∴==∠=∠=∠==-∆≅∆∆≅∆=∆≅∆∆≅∆==+ 连接使上截取在如图证明应当是不成立结论仍然成立中的结论又连接使到延长如图【答案】拓展可得到结论同理再证易证连接上截取在如图即可得出结论再证易证使连接到延长如图【答案】解类型一:旋造等边,60031225)23()3234(CD AD AC ,ACD R ,323CD PC PD 23PC 21CD ,30CPD DAP ,AP CD C 150PQB AQP AQB APC 90PQB 5PB ,3QB ,4PQ ,PQB 4AP PQ ,60AQP APQ 3PC QB ,4AP AQ ,60PAQ ,APC AQB ,PQ AQB,60A APC ,:,122222200000+=++=+=∆=-====∠⊥=∠+∠=∠=∠=∠===∆===∠∆=====∠∠=∠∆∆中在因此则的延长线于点交作过点故中在从而是等边三角形故则连接得到逆时针旋转绕点等如图【答案】解t 000000306090APB ,90BPM 3MP ,5BM ,4PB PACMAB ,PAC MAB AMP 60MAP ,MA PA ,MP ,MAB 60A PAC ,:,2=-=∠=∠∴===∴∆≅∆∠=∠∴∆∴=∠=∆∆为等边三角形由旋转可知连接得到逆时针旋转绕点将如图【答案】解222222000000AC BC DC ACDE ,BC CE DE CE DC ,DCE R 906030BCE BCD DCE 60BCE CEBE BC ,BCE ACDE ,60CBE ,BE BC CE ,DBF 60B ABC ,:,3=+===+∆∴=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∆∴==∠=∴∆∆ 又中在即是等边三角形连接得到顺时针旋转绕点将如图【答案】证明t 类型二:旋造垂直,9002222S S 'ACC ACC'AC'AC C'D,C,180ABC ADC ADC ADC 'CDC :'C C ,D B ,90A ABC ,:,4'ACC ABCD 00=÷⨯==∴∆∴=∴=∠+∠=∠+∠=∠∆四边形的面积是等腰直角三角形又在同一条直线上则有点到重合与使点选择绕将三角形如图【答案】解 5242PB 'PP B 'P PD 2'PP ,2PA 90PB 'P ,45'APP ,90'PAP A'P PA ,B P'PD ,AB 'P PAD AB 'P 90A PAD ,ABCD ,:,522220000=+=+==∴===∠=∠=∠∴==≅∆∆∆ 可得得到旋转顺时针绕点可将为正方形因为四边形如图【答案】解GHCG GDGH HDGGHD 90GDC HDG ,90GCD GHD 90CDH ABCD CDGGCD DGCG FGEG DG EF G ,90EDF FGEG CG EF G ,90ACB DG,)2(DFDE CDFADE CDF ADE CD AD DCF A CDF ADE R CDFADE 90CDF EDC EDF DEDF 90CDF 45DAE DCF ,90EDC EDA ABCD BCAC BDAD CD BCAC ,AB D ,90ACB CD,)1(:,600000000=∴=∠∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠∴⊥∠=∠∴=∴==∴=∠==∴=∠=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠∴⊥==∠=∠=∠+∠∴⊥∴===∴==∠ 又的中点为的中点为连接如图中和在又的中点为连接如图【答案】证明t CEAF CE CG EG BE GEBG EBGFBC 5BC//AD EBGFBC 43423221CGAF ,31,G 5BCGABF BCG ,90B BAF ,:,70+=+==∴∠=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴∆∆ 即得到点逆时针旋转绕将如图【答案】证明221122212221DE CD 21AD AC 21S S S 1BC DE 90ADC ADE CDE 135ADE ,)1(22AD AC CD 2AD AC ,45ACD ADC ACD ,:)2(ACD ADAC ,90CAD AEDABC 90ABC AED ,:)1(,8CDE ACD ADEC 022000+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+=∴===∠-∠=∠∴=∠=+=∴===∠=∠∴∆∆∴==∠∴∆≅∆∴∆≅∆∆∆四边形知由是等腰直角三角形如图解是等腰直角三角形得到的旋转如图证明【答案】 类型三:旋造中心对称,180012122421O 248621,86:12,9故答案为阴影部分的面积点是菱形两条对角线的交菱形的面积和分别为菱形的两条对角线的长解析【答案】=⨯=∴=⨯⨯=∴ 00001209030EAC ABAE BAC 30BAE BE AB 21,2BE AB ,2AC AB 90EAC E BEAC EDBADC DCDB ,EDB ADC ,DE DA EDB ADC DCDB ,BC AD 90EAC ,AC AD BE ,AD DE ,E AD ,:,10=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∴==∠=∠∴=∴∆≅∆∴=∠=∠=∆∆=∴=∠∴⊥=即中和在平分连接使到点延长如图【答案】解52, EF ,N M,,)1(52PB 21EF 5448PB 90C 8,BC 4,PC :(1)PB 21QB 21PQ 21QF EQ EF QB 21QF )AAS (NFB MFQ NB MQ BNF QMF BFN QFM NFB MFQ BNFQMF AN //MQ PQ 21EQ PQME ,MQ MP QMBN ,PM BN MQMP MQPABP APB AN//MQ ,AB AP ,Q PB ,AN //MQ ,,EF )2(10CD 102OP AP AB 5:4)8(90C ,PCO R 8CO ,OP 4AD 21CP 2141DA CP PA OP 4:1PDA OCP PDA~OCP CD 32902190B APO 903190D C ABCD ,)1(:,112202220它的长度为的长度不变线段在移动过程中当点的条件下在中的结论可得由中和在于点交作如图的长度不发生变化线段的长为边解得由勾股定理得中在则设的面积比为与又由折叠可得是矩形四边形如图【答案】解∴==∴=+=∴=∠===+=+=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠∆∆∠=∠∴=∴⊥==∴==∴∠=∠=∠∴=∴===∴=+-==∠∆-====∴===∴∆∆∆∆∴∠=∠∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠=∠+∠∴=∠=∠∴ x x x t x x类型四:大角交半角2FHAE CHACFH AE HCF~ACE ACECHF 60ECF 60ACH 30CAD 90ACD BAC 90ACD AD CD AC 32CH AH AC ADCH 3DH AD AH 42AB AD 3CH ,2CD ,DH ,:(2)ACAB BE AE AF AE AFBE ACF,BCE ACFBCE ACFBCE AC BC CAFB ACF BCE ACFBCE 60ACE ACF ACE BCE 60ECF ACBC ,60ACB ,60CAD B ACD ,ABC ABAD 60B D 120BAD ,ABCD ,:)1(,1202222200000=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠=∠∴=∠∴=∠=∠∴=∠∴=+∴=+=∴⊥=-=∴==∴=====∴∴∆≅∆∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠==∠=∠=∠∴∆∆∴==∠=∠∴=∠ xxx x 由题意得，设如图证明＋＝＋＝②中和在都是等边三角形是平行四边形四边形①如图证明【答案】7732123314AC AF 3AE 3414AM 3HN 3AH FN 33HN 3AHN AM EM )FN NH AH (3)AM EM (3AF AE 3212AH ,33AM a3,HC CM HM ,22CN HC 30CHN AHM 90M ,60MAH ,3EM ,3CM ,6FN ,NC 31EM FN CM CN 3CNCM AB AD CN AD CM AB EMFN CM CN CEM~CFN 90CNF M AECCFN 180CFN AFC 180AFC EAEC 180EAF ECF H AD CM ,M BA ,BABA CM ,N AD CN ,7)3(000故答案为则设＝３，＝交于点与延长线于交于作如图==+∴=-+=-++==-++-====∴==-===∴=∠=∠∴=∠=∠======∴=∴⋅⋅=∴∆∆∴=∠=∠∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠+∠⊥⊥a a a a a HN a a b a a6AC AB AN CN MB AM MN AN AM :AMN CNMB BF MB MF MN )SAS (DMF DMN DN DF NDM FDM DM DM DMF DMN 60CDN BDM 60MDN CNBF ,DN DF ,CDN BDF CDNBDF BDF120D CND ,90DCA DBA 60BCA BAC ABC 3ABC 30DBC BCD 120BDC ,BDC :)1(,13000=+=+++=++∆∴+=+==∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆=∠+∠∴=∠==∠=∠∴∆≅∆∴∆∆=∠=∠∴=∠=∠=∠∴∆=∠=∠∴=∠∆的周长是中和在得到逆时针旋转绕点将如图得等边三角形是边长为且是等腰三角形证明【答案】 类型五:旋转任意角ADEABC ADEABD ACE ABD ADEABD ABCE BCED ACEAVBD 0ADE ABC S S S S S S S S S S S S CAE,BAD AC AB CAE BAD AE AD CAE BAD CAEBAD DACDAE DAC BAC DAE BAC :S S BCED BD,:,14∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-=--+=--=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∠-∠=∠-∠∴=∠=∠=四边形四边形中和则在即理由的差的面积等于则四边形连接如图【答案】解α26BE DG 2615OB OE BE EOB R 13)10(OA AB OB AOB R ,AC BD ABCD 10AB 2AE ,5:2AB :AE 5OA AE OE 268AC EC AE ,32AC OA 6AC 5106AF 5:2AG :AF 5:2ABCD,~AEFG BEDG BAE DAB A DAG ,ABCD ~AEFG ,O AC BD ,:,1522222222==∴=+=+=∆∴=-=-=∆⊥=∴===+=∴=-=-==÷=∴=∴==∴=∴∆∠∆∴中在中在中菱形又且又且面积之比为菱形菱形的度数可以得到顺时针旋转绕点将菱形于点交连接如图【答案】解t t CFBD )SAS (CAF BAD AFAD CAF BAD ACAB CAF BAD CAFBAD DACDAF CAF DACBAC BAD 90DAF BAC ,AF AD ,AC AB ,ADEF ,ABC ,:BCF )1(,160=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∴∠-∠=∠∠-∠=∠=∠=∠==∴∆中和在是正方形四边形是等腰直角三角形如图理由成立【答案】5108CG BC BG BGC R CG3843104CG CM BA BM CMG ~BMA 3104AM AB BM 38344AM AC CM 34AB 31AM 31CN FN FCN tan AB AM ABM tan ABM R 24AC AB BC ,3AN AC CN ,4AB AC ,ABC 1AE 21FN AN 2DE AD AE 2DE AD ,ADEF ,N AC FN ,:CFBD 90BAC BGC CMG~BMA CMGBMA GCMABM CAFBAD ,M AC BG ,:)2(222222220=-=∆∴=∴=∴∆∆=+==-=-=∴==∴====∠∆∴=+==-=∴==∆===∴=+=∴==⊥⊥∴=∠=∠∴∆∆∴∠=∠∠=∠∴∆≅∆中，在中在中在等腰直角中在正方形于点作过点如图②解于点交设如图①证明t t F 1323EF AE AF AEF R 90E ,DEFG 321DE AD AE ,1BC 21AD ,2BC ,BC D ,90BAC ,ABC ,AE ,AE D ,E D,A,,:,17222200=+=+=∆∴=∠=+=+===∴==∠∆中在中正方形此时的中点是点是等腰直角三角形的长最大上时在线段且点三点在一条直线上当如图【答案】解tFD BE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD 21EAF EAD DAF EAD BAG AFAG ,DAF BAG ADFABG ADAB ADFB 180ADC ADF ,180ADC B AG,DF BG ,BG BE ,:FDBE EF ,FD BE EF )3(,FD BE EF )1)(2(FDBE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD21EAF EAFBAD 323121,AF AG ADFABG ADAB ,90D ABC ABG AG,DF BG ,G EB ,)1(,MNBM DN ,AEN AMN ,ADE ABM ,AE ,MB DE DC ,)2(,,AEN AMN ,ADE ABM ,BM DE ,AE ,E ND ,,MN DN BM )1(:,18000-=∴-=∴=∴∆≅∆∴=∠=∠∴∠=∠=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠+∠=∠+∠=-=+=+=+=∴+==∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠=∠-∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠=∴∆≅∆∴==∠=∠=∠==-∆≅∆∆≅∆=∆≅∆∆≅∆==+ 连接使上截取在如图证明应当是不成立结论仍然成立中的结论又连接使到延长如图【答案】拓展可得到结论同理再证易证连接上截取在如图即可得出结论再证易证使连接到延长如图【答案】解。
中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)
专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
平面几何辅助线之轴对称专题
AP DP 2 AD 2
AD BC 5 2,AP DP 5 OM AB,OQ // DP
OD OB,OQ 1 DP 5 , BQ 1 BP
22
2
1 (AB AF) 1,AQ 6, 2
AO AQ2 OQ2 62 ( 5)2 13 22
AM AN AO 13 ,MN 2AM 13 2
类型三:图形中的对称问题
8.画出如图中小船关于虚 线的轴对称图形
9,已知,如图,在四边形ABCD中, AD BC, DAB CBA, (1)试判断AB与CD的位置关系, 并说明理由 (2)四边形ABCD是轴对称图形吗 ? 试说明理由
类型四:轴对称图形ห้องสมุดไป่ตู้构造与应用
10,如图,在ABC中, ABC 600 , ACB 400 , P为ABC的平分线与ACB的平分线的交点, 求证 : AB PC
故选C
2【, 答案】B
如图, 作C关于AB的对称点C', 连接C' D与AB相交于点M ,
此A时 C,点 CM D为CBMD, ADBM为的直最径小,值C时' D的为位直置径,,由垂径定理, AC AC', BD AC'
CM DM的最小值是8cm,
故选B
3【, 答案】13 2 2
如图, 作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N, 连接MN交AB于F, 交AD于E, 连接OM交AB于Q, 则OEF的周长最小, OEF周长的最小值 MN 由作图的: AN AO AM, NAD DAO, MAB BAO DAB 450,MAN 900 过D作DP AB于P,则ADP是等腰直角三角形,
2
2
OEF周长的最小值是13 2 2
初中数学中考复习几何辅助线规律总结(共102条)
初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。
【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。
【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。
【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。
【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。
【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。
【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。
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初中平面几何辅助线专题复习目录第01讲辅助线的初步认识第02讲截长补短法第03讲中点模型——倍长中线第04讲三垂直模型第05讲角平分线模型（一）第06讲角平分线模型（二）第07讲手拉手模型——全等第08讲最短路径问题第09讲平面直角坐标系中的几何问题第01讲辅助线的初步认识【知识提要】初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容，同时也是学生学习的难点之所在。
当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
辅助线的添加通常有两种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
本节课我们就以启东作业中的问题为例，来介绍常见的辅助线的画法.【典型例题】例1：小春在做数学作业时，遇到一个这样的问题：如图，AB=CD，BC=AD，请说明∠A =∠C 的道理.BC=AD，所以只需连接BD，构造全等三角形即可.D例2. 如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗？【思路点拨】要证明线段之间的不等关系，要将线段放在三角形中，利用三边关系来证明。
△ABC 和△OBC 中无法解决，所以只需要将OB （OC ）延长交AC （AB ）于点D ，在△ABD （△ACD ）和△OCD （△OBD ）利用三边关系解决即可.归纳：构造线段时辅助线的写法： 1. 连接**。
例如：连接AB2. 延长**。
①例如：延长AB 交CD 于E 点；②延长AB 到E ，使BE = AB . 例题3：已知：如图AB ∥DE . 求证：∠B +∠C +∠D = 360°【思路点拨】要证明这三个角的和是360°，可以 构造周角，2个180度或四边形的内角和来证明。
通过作平行线就可实现角的位置的转移，将角移动到 适当的位置。
归纳：构造平行线时辅助线的写法： 1. 过*作* ∥ *。
例如：过点A 作AB ∥CD.练习：叙述并证明三角形内角和定理。
例题4：已知：如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P求证：点P 也在∠BAC 的平分线上。
【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线，要证明P角平分线上，只需要过P 向AM 、AN 、BC归纳：构造垂线，中线，角平分心线时辅助线的写法： 1. 垂线：过*作*⊥*于点*。
例如：过点A 作AB ⊥CD 于点B .CE ANB2. 中线：过*作*边上的中线*。
例如：过A 作BC 边上的中线AD.3. 角平分线：过*作*的平分线*。
例如：过点A 作∠BAC 的平分线AD . 练习：已知：△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B = C【归纳总结】通过本节课的学习，你知道辅助线是做什么的吗？ 常见的辅助线如何画呢？第02讲 截长补短法【知识提要】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系。
我们前面已经学过了线段的和与差，下面我们来用一个具体的例子来介绍截长补短法.给定三条长短不一的线段a ，b ，c ，如何来得到这三者之间的数量关系呢？1. 不等关系：显然，我们可以通过测量每条线段的长度，然后猜测他们之间的不等关系。
但是如果要给出严格证明，我们就要通过这三条线段构造三角形，利用三边关系来证明。
2. 等量关系显然，我们可以通过测量每条线段的长度，然后进行比较来猜测线段之间的等量关系。
但是如果要给出严格的证明，我们可以构造线段的和或者差来证明.①截长法：在长线段上截取一条与某一短线段相同的线段，再证剩下的线段与另一线段相等.B②补短法: 在短线段上补一条与另一短线段相同的线段，再证新的线段与长线段相等.【典型例题】例题1：已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 平分∠BAC 求证：AC =AB +BD【思路点拨1】要证明AC = AB +BD ，可以使用截长法， 在AC 上截取AE = AB ，然后只需要证明BD = CE 即可. 证明：在AC 上截取AE = AB ，连接DE问题：为什么不在AC 上截取CE = AB ，接着去证明AE = BD ?【思路点拨2】要证明AC = AB +BD ，可以使用补短法， 延长AB 至E ，使得BE = BD ，然后只需要证明AE = AC 即可. 证明：在AC 上截取AE = AB ，连接DE例题2：已知：正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF = 45º 求证：EF = DE + BFBCBCF变式：已知：正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF = 45º，请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？练习1：已知：如图，AD // BC ，∠1=∠2，∠3=∠4, 点E 在DC 上 . 试说明AD + BC = AB 成立的理由.练习2：已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD, CE ⊥AB 于E ，AB +AD = 2AE ，则∠B 与∠ADC 互补. 为什么？练习3：已知：如图，在△ABC 中，∠A = 60º ，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 相交于点O. 试判断BE , CD , BC 的数量关系，并加以证明.【归纳总结】通过本节课的学习，你知道什么是截长补短法吗？截长补短法通常用于解决怎样的问题？AEAB第03讲 中点模型——倍长中线【知识提要】中点：点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，则点M 就叫做线段AB 的中点。
如图所示，如果M 是线段AB 的中点，则12AM BM AB ==.很多题目中都会给出“点*是线段**的中点”这样的条件，那么看到中点除了联想到线段相等之外，我们还能联想到什么？中点有哪些作用呢？已知三角形一边上的中点，可以考虑：1. 倍长中线：2. 倍长与中点有关的线段辅助线画法：辅助线画法：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE . 延长ED 至F ，使ED =DF ，连接CF . 【典型例题】例题1：已知：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线求证：1()2AD AB AC <+【思路点拨】要证明1()2AD AB AC <+ ，也就是2AD AB AC <+，因为AD 是中线，所以倍长AD ，构造全等三角形，从而将2AD ， AB ，AC 放在一个三角形中，利用三边关系去解决.B延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造全等三角形。
延长过中点的线段，使所延长部分与线段相等，然后连接相应的顶点，构造全等三角形。
B变式1：已知：在△ABC 中，AB = 5，AC = 3，求中线AD 的取值范围. 【思路点拨】在例题的基础之上，借助三角形的三边关系得出AD 的取值范围.变式2：已知：如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边. 求证：AB + AC > AD + AE 【思路点拨】因为D 、E 是BC 的三等分点，则D 是BE 的中点，E 是 CD 的中点，利用例题1的结论得到两个不等式，则结论显然.例题2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是BC 的中点，试比较BE + CF 与EF 的大小.【思路点拨】此题需要将BE ，CF ，EF 集中在一个三角中。
题目中 出现了中点D ，可以考虑倍长过中点的线段ED 或FD ，从而构造 全等三角形，利用三角形三边关系来证明.变式：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º， E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是BC 的中点，试说明BE ，CF 与EF 之间的数量关系. 【思路点拨】在本题中，这三条线段除了具有例2中的数量关系，但是△ABC 为直角三角形，所以BE ，CF 与也可以构成特殊的三角形.BCBBCDCB练习1：已知：D 是AB 中点，∠ACB = 90°.求证：12CD AB练习2：已知：CD = AB ，∠BDA =∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：∠C =∠BAE练习3：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE = EF ． 求证：AC = BF练习4：已知：如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 上，且E 是CD 的中点，过D 作DF ∥AB 交AE, AC 于点F , G ，DF=AC. 求证：AG = FG【归纳总结】通过本节课的学习，看到中点，你知道如何倍长中线吗？倍长中线可用于解决什BCBEBD么样的问题？第04讲 三垂直（全等）模型【知识提要】直角三角形作为一种重要的三角形。
它的边，角都具有很多特殊的性质。
1. 直角三角形的内角和为180度，直角三角形的两锐角互余。
2. 边：直角三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三遍；特别地，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 在直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半；反过来，在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度.除了以上的性质，直角三角形还具有很多其他重要的性质，在未来的学习我们会一一碰到。
当两个直角三角形组成如下基本图形时，可以构成三垂直全等模型.（三垂直的全等模型是从勾股定理证明时所用的弦图模型中提炼出来的，所以也叫作弦图模型）当这两个直角三角形位置发生变化之后，也可以形成如下的基本图形。
【典型例题】例题1：已知：如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE = ED . 求证：AB EC【思路点拨】题目中出现了三垂直全等模型，直接证明全等即可。
在证明全等时，注意其中导角的技巧.变式1：已知：如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，AE ⊥BD ，AE = BD . 求证：AB = BC例题2：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.（1）当直线MN 不与底边AB 相交的时，求证：①△ADC ≌△CEB ； ②DE = AD + BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE =AD - BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。