抛物线的切线问题教案
切线问题求解教案
切线问题求解教案一、引言在数学的学习中，切线问题是一个具有挑战性的问题。
本篇教案旨在通过合理的讲解和练习，帮助学生更好地理解和解决切线问题。
本教案适用于高中数学教学。
二、教学目标1. 理解切线的定义和性质；2. 学会通过求导数解决切线问题；3. 掌握求解切线问题的常用方法。
三、教学内容1. 切线的定义和性质在引入切线的概念前，首先要给学生讲解函数的导数概念和符号表示。
然后，引入切线的定义：在曲线上一点处，经过该点并与曲线相切的直线就是切线。
切线与曲线相交的点称为切点。
通过实例展示切线的定义和性质，让学生理解并灵活运用。
2. 求解切线问题的方法（1）直接使用切线的定义求解：根据切线的定义，我们可以通过求解切线与曲线方程的交点，以及通过该点的切线斜率来确定切线方程。
（2）使用导数的方法求解：通过函数的导数可以得到函数在某点的切线斜率，再结合切点坐标，可以直接写出切线的方程。
（3）结合几何图形求解：通过画图和几何推导，求解切线问题。
结合实例和练习，让学生了解并掌握不同方法下求解切线问题的步骤和技巧。
四、教学步骤1. 导入知识：简单回顾函数的导数概念和求导法则。
2. 引入切线的概念和性质：讲解切线的定义，并让学生理解切线与曲线的关系及切点的概念。
3. 求解切线问题的方法讲解：详细讲解直接使用切线定义、使用导数的方法和结合几何图形的方法。
4. 案例分析：提供一些具体的切线问题案例，引导学生运用所学方法求解。
5. 合作探究：分组活动，让学生自由讨论并解决切线问题。
6. 总结归纳：总结切线问题的求解方法和注意事项。
五、教学评估1. 课堂练习：在课堂上布置一些切线问题的练习题，检验学生的掌握程度。
2. 作业：布置切线问题的作业，让学生巩固所学内容。
六、拓展延伸1. 应用拓展：介绍切线问题的实际应用场景，如物理学中的运动问题等，激发学生的兴趣。
2. 深化讨论：提出更复杂的切线问题，让学生运用深入学习到的知识进行解决。
浙江省绍兴市高三数学高考复习教案：抛物线中的切线问题新人教版
抛物线的切线问题
教课目的:
①充足利用信息技术,培育学生的研究精神,提升学生发现能力,判断能力②培育学生从例题出发,发掘内在联系,深入研究高考可能出现的抛物线的切线问题
要点:师生共同研究抛物线中切线有关的问题 ,充足利用数形联合,合剪发挥猜想难点:怎样充足发掘抛物线的切线问题
思想方法:从特别到一般,类比概括,数形联合
教课过程
例题：（2020山东高考）如图，设抛物线方程为
y
x
22py(p0)，M为直线y2p上随意一点，过M引抛物线
B
的A
线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列
x O
M 2p
变式1:设A(x1,y1),试用x1,y1表示过A的切线方程
变式2:若M(x,y)是抛物线外随意一点,问:
A，
M，B
三点的横坐标能否成等
差数列?
00
变式3:求过A(x1,y1),B(x 2,y2)两点的直线方程
变式4:若
M(x,
p
)是抛物线准线l: y
2
随意一点,焦点为F, 问:A,B,F三点能否共线?
变式5:若
M(x0,p)是抛物线准线l:y
随意一点,焦点为F,
2
问:直线AM,BM有何地点关系?
y
F B
A
x O
p M
2
思虑:已知抛物线y2=2px,焦点为F,准线为l, 点A( p,y0)为其准线上一点,
2
过A作抛物线的两条切线,切点分别为B、C，D为准线与x轴的交点.有哪些结论?。
高中数学《抛物线切线2》导学案
抛物线切线的性质2例1：过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为 ． 解：根据定理1的公式得，AB 直线方程为：()4300+=⇒+=y x y y p xx ，故斜率为3。
切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。
（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。
且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。
（图1,3） 定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。
证明：（1） 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得pxp x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120 将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()0211011222py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB 方程为()()0000x y x y xx p y y p=+-⇒=+ （2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。
不愤不启不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评
师： 还 有其 他方 法求斜 率 吗？ 生： 待定 系 数 法 设 出方 程 ， 再 用 Ａ ＝０求 切 线 的斜率．
（ 出示 幻 灯 片 ： 切 线方程 ： Ｙ＝ —Ｙ ｏ ， 其 中
课能让这个点有完整体现的课题确实不易． 几经周 折， 最后 选 定近几 年 高考 题 中出 现较 多 的“ 以抛 物 线 切线 为 载 体 的 直 线 与 圆锥 曲线 的位 置 关 系 问 题” 为基 点 的课题 ： 与 抛物线 切线 有关 的问题 ， 针 对 “ 直线 与抛物线 的位置关 系 ” 作进一 步深人 探究． ２ 选“ 题 目” 的“ 变变变 ” 过 程 本课的题 目选 自近几年高考题和模拟题 ， 第一 轮选题时 ， 笔者准备 了 ７个原始的高考题 ， 经试讲 发现 ： 读题 、 求解 析式 花费 时间 太多 ， 导致 整 堂课 容 量小 ， 思想不能体现． 因此第 ２轮选题时精简题 目， 砍 掉 了与课 题无 关 的小题 ， 课题 突出了 ， 但 整 体感 觉 就一 节课 围绕 知识 点做 了几个 例题 ， 只是熟 悉 了 知识点 ， 而没有体现数学思想． 最后确定题 目形式 ： 以一个 高考 题 为母 题 ， 其 余 以变题 的形 式 呈 现 ， 用 统 一 的抛物 线形 式 ， 真正地 把 “ 读 题、 求解 析 式 ” 的 时 间让 路 给“ 探究 、 思考” ， 让 学 生 的 思维 训 练 时 间 得 到进 一 步保证 ． 通过 问题 变式 形式 ， 环 环相 扣 ， 层 层 深入 ， 贯彻 “ 把课堂交还给学生 ， 让 学 生 的思 维 火花 闪耀 ” 的教 学理念 ． ３ 课 堂过 程简 录— — 变式 教 学 整个课 堂设 计 ： 采 用 探究 式 教 学 法 ， 借 助 多媒 体辅助 ， 通过 “ 问题导人一 导疑一导研——导练一 导评 ” ５个 环 节 ， 完 成 以下 教 学 目标 ： （ １ ） 掌 握 以抛 物线的切线为载体 的直线 和圆锥 曲线 综合 问题 ； （ ２ ） 培养利用 、 挖掘 、 整合信息 的能力 ； （ ３ ） 通过 问 题 变式 得 到 一 些 漂 亮 的结 论 ， 激 发 学 生 探 索 的 欲 望， 提 升学 习 和研 究 的兴趣 ．
切线的判定教案
切线的判定教案
教案：切线的判定
一、教学目标
1. 知识目标：了解切线的定义和性质，学会判定一条直线是曲线的切线的方法。
2. 技能目标：掌握使用切线的定义和性质进行判定的方法，能够应用所学知识解决相关问题。
3. 情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，激发学生思考和发问的能力，培养学生学习几何的态度。
二、教学重点
1. 掌握切线的定义和性质。
2. 学会使用切线的定义和性质进行判定。
三、教学难点
学会应用所学知识解决相关问题。
四、教学过程
1. 导入（5分钟）
引导学生回顾之前学过的直线和曲线的定义，复习直线和曲线的性质。
2. 讲解（10分钟）
（1）引入切线的概念，给出切线的定义和性质。
（2）讲解切线的判定方法，包括两种常见的情况：切线与曲线的切点只有一个、切线与曲线的切点有多个。
3. 案例分析（15分钟）
使用切线的定义和性质，结合几个实际问题进行讲解和分析，帮助学生理解和掌握切线的应用。
4. 练习（20分钟）
根据所学知识进行练习，巩固切线的判定方法。
提供不同难度的题目，让学生逐渐提高解题能力。
5. 总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调切线的判定方法和应用。
六、作业布置
布置相关的作业题，要求学生独立完成，并及时批改和讲解。
七、教学反思
本节课的教学重点是切线的判定方法和应用，通过案例分析和实际练习，帮助学生理解和掌握切线的相关知识。
教学过程中，需注意引导学生主动思考和发问，激发学生的学习兴趣。
此外，教师要及时给予学生指导和反馈，及时纠正错误，提高学生的学习效果。
切线的判定教案
切线的判定教案教案标题：切线的判定教学目标：1. 理解什么是切线，掌握切线的定义。
2. 学会使用切线的定义和几何性质来判定给定曲线上某一点的切线。
3. 能够运用所学知识解决与切线相关的问题。
教学准备：1. 教师：黑板、彩色粉笔/白板、马克笔、教学投影仪。
2. 学生：教科书、练习册、几何工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入切线的概念，通过提问的方式激发学生对切线的认知：你们知道什么是切线吗？在生活中或其他学科中有没有遇到过切线的概念？2. 学生回答后，教师简要介绍切线的定义和几何性质。
二、理论讲解（15分钟）1. 教师通过示意图和几何性质的解释，详细讲解切线的定义和性质。
2. 教师提供一些实际生活或几何问题，引导学生思考如何运用切线的定义和性质来解决问题。
三、示范演示（15分钟）1. 教师选择一个简单的曲线，如圆或抛物线，选取一个点作为示范点，演示如何判定该点处的切线。
2. 教师详细解释演示过程中所使用的步骤和推理，引导学生理解切线的判定方法。
四、练习与巩固（20分钟）1. 学生个人或小组合作完成练习册上的相关练习题，巩固所学内容。
2. 教师巡回指导学生解题过程，解答学生提出的问题。
五、拓展应用（10分钟）1. 教师提供一些拓展应用题，要求学生结合实际情境或其他学科知识，运用切线的判定方法解决问题。
2. 学生个人或小组展示解题过程和结果，进行讨论和交流。
六、总结与评价（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调切线的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行自我评价，教师进行点评和提出建议。
教学反思：在教案撰写过程中，教师需要充分考虑学生的学习需求和实际水平，选择合适的教学方法和教学资源。
同时，教师应注重培养学生的动手能力和解决问题的能力，通过练习和拓展应用的环节，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
切线的判定教学设计(一)
切线的判定教学设计(一)
切线的判定
教学目标
•了解什么是切线
•掌握切线的判定方法
•能够应用切线的判定方法解决相关问题
教学内容
1.切线的定义
2.切线的判定方法
3.相关练习题
教学步骤
1. 切线的定义
•切线是指与曲线仅有一个交点且在此点与曲线有相切关系的直线。
2. 切线的判定方法
•在计算切线时，常用的方法有以下两种：
1.函数法：通过求解函数的一阶导数，判定曲线在某一点的
斜率是否与切线斜率相等。
2.几何法：通过求解曲线上一点的切线与曲线的交点，判断
交点个数来确定是否为切线。
3. 相关练习题
1.使用函数法判断以下曲线在指定点的切线：
–曲线：y=2x2+3x−5
–点：(1,0)
2.使用几何法判断以下曲线在指定点的切线：
–曲线：y=sin(x)
–点：(π/2,1)
总结
•切线是与曲线仅有一个交点且在此点与曲线有相切关系的直线。
•切线的判定方法可以通过函数法和几何法进行。
•函数法：判定曲线在某一点的斜率是否与切线斜率相等。
•几何法：判断曲线上一点的切线与曲线的交点个数来确定是否为切线。
通过本节课的学习，希望同学们能够掌握切线的基本概念和判定方法，并能够熟练应用于解决相关问题。
练习题的完成可以有效巩固所学知识。
数学教案-切线的判定和性质
数学教案-切线的判定和性质一、教学目标：1.理解切线的概念。
2.掌握各种情况下切线的判定方法。
3.了解切线的性质。
二、前置知识：1.函数的概念和性质。
2.导数的概念与性质。
3.利用导数求函数的最值和最大值问题。
三、教学重点：1.切线的概念。
2.切线的判定方法。
四、教学难点：1.切线的性质。
五、教学内容：1. 切线的概念在数学中，曲线的切线是曲线上的一条直线，它刚好在该点与曲线重合。
在高中数学中，我们学习了函数和导数的概念，而切线的定义正是基于导数的概念。
2. 求切线的方法2.1 直接利用导数求切线假设有一个函数f(x)，它在x0处可导，则f(x)在x0处的导数f′(x)就是曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。
因此，该点的切线方程为：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)2.2 其他方法（1）给定曲线的极坐标方程，则r′(θ)就是极点到曲线上一点的切线斜率。
（2）给定曲线的参数方程x=f(t),y=g(t)，则f′(t)和g′(t)分别是切线在点(f(t),g(t))处的斜率。
3. 切线的性质（1）函数在某一点处连续，且在该点处有导数，则该点处的切线可以唯一地确定。
（2）如果函数在某一点处有导数，则该点处的切线垂直于函数在该点处的法线。
（3）两条曲线f(x)和g(x)在相交点处的切线，如果它们切线斜率不相同，则它们相交于该点。
令f(x)=g(x)，并用f′(x)和g′(x)分别代替f(x)和g(x)的斜率，即可得到以下公式：f(x)=g(x)f′(x)=g′(x)其中，x为切点横坐标。
（4）如果函数y=f(x)在点x0处有一个水平切线，则必有f′(x0)=0。
（5）如果函数y=f(x)在点x0处有一个垂直切线，则必有f′(x0)不存在。
（6）对于任意函数f(x)，如果f′(x)>0，则f(x)单调递增；如果f′(x)<0，则f(x)单调递减。
六、教学案例分析：1. 知识点回顾我们先让学生回顾一下导数的概念和性质，以及常见的求导法则。
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抛物线的切线问题
天台平桥中学 杨启
一、教学目标、重点、难点
1．知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线
线位置关系问题的应用.
2．能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归
与转化的数学思想.
3．情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问
题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.
4．教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物
线的位置关系问题.
二、教学过程
（一）引入
在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力. （二）典型例题
例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.
（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；
（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.
分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.
（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.
（3）先写出逆命题，再利用斜率相等.
解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，
将该方程代入2y x =得02=--c kx x .
令A ),(211x x ,B ),(2
2
2x x ，则c x x -=21. 222
22121=+-=+=⋅c c x x x x , .2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或
(2)由题意知),2
(2
1
c x x Q -+， 直线AQ 的斜率为12
12
1212112122
2x x x x x x x x x c x k AQ =--=+-
+=
又2y x =的导函数为x y 2='，
所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设),(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则12x k AQ =. 又直线AQ 的斜率为0
12
1210121x x x x x x x c x k AQ
--=
-+=， 10
12
1212x x x x x x =--∴
2121012x x x x x +=∴
)0(2
12
10≠+=
∴x x x x 所以点P 的横坐标为2
2
1x x +，即逆命题成立.
评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.
例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C 1：2x y =，椭圆2C ：14
2
2
=+y x . （1）设21,l l 是C 1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21 ，证明：点M 的纵坐标为定值；
（2）在C 1上是否存在点P ，使得C 1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C 1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.
分析：（1）设出切点坐标),(211x x ,),(2
2
2x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，
)(2222
2x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.
（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.
解：(1)设切点分别为),(211x x ,),(2
2
2x x ， 由x y 2='可得
)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ① 的方程2l 2
222x x x y -= ② 联立①②并解之，得
⎪⎩⎪⎨⎧
=+=2
1212x x y x x x 即为点M 的坐标),2
(212
1
x x x x +
21l l ⊥ 12221-=∴x x ，所以4
1
21-==x x y M
即点M 的纵坐标为定值4
1
-.
（2）设),(200x x P ，则C 1在点P 处的切线方程为2002x x x y -=， 代入2C 方程04422=-+y x ，得 044)44(4030220
=-+-+x x x x x ， 设),(),,(4433y x B y x A ，则
2
4043202043444,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164
020>-+=∆x x 由（1）知41-=M y ，从而41243-=+y y ，即4
1)(2
0430-=-+x x x x ， 进而得4112
02
40-=-+x x x ，解得3120=x 经检验3
1
2
0=
x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为)31,33(±
评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错. （三）练习
（2006全国II ，21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，
且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明⋅为定值； （II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
解：(I)由题意，设直线AB 的方程为1+=kx y 代入24x y =得0442=--kx x
设),(),,(2211y x B y x A 则4,42121-==+x x k x x
又2
x
y ='所以切线方程分别为42211x x x y -=，422
22x x x y -=从而
)1,2
(2
1-+x x M
所以2
2
21x x k FM +-
=
，故14222121-=+⋅+-=
⋅x x x x k k FM 即⊥ 所以0=⋅AB FM 为定值.
(II) 由λ=得21x x λ=-，又有421-=x x 所以λλ14,42
221==x x ，由（I ）可知点M 在抛物线的准线上，所以21
221++=++=λ
λy y AB
21
2)2(
||221++=++=λ
λx x FM 所以23
)21
(||||21++=⋅=Λλ
λFM AB S ABM
由基本不等式可求得面积最小值为4. 四）课堂小结
1．通过本节课学习，我们发现这些题中都有一个相似的地方：过抛物线外一点作抛物线的两条切线，同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。
2．“坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用。
（五）作业 1．（2008山东，理22）如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程. 2．（2005江西，理22）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
三、板书设计
屏幕
第一版例1
第二版例2。