量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学 第三章
2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ，它的本征函数用 （r ）表示 p
本征方程为
i（r ） p （r ） p
它的三个分量方程为 i （r ） px（r ） p x i （r ） p y（r ） p y i （r ） pz（r ） p z
ˆ 有确定值，这个确定值就是 H 的本征值。
ˆ 的本征函数 （r ） 当体系处于 P 所描写的状态时，体系 P ˆ 的本征值。 的动量有确定值，这个确定值就是 P
ˆ 当体系处于 F 的本征函数 所描写的状态时，它表示的 ˆ 力学量F 有确定值，这个确定值就是 F 的本征值。
表示力学量的算符的本征值必须是实数。 五、算符的一般性质和运算 1、两个算符的和 设
ˆ 符 F 就可以由其经典表示式 F（P，r ） 将动量 P 换成
例如，确定角动量 L 的算符， r P L
ˆ L r i） ir （
四、算符与它所表示的力学量的关系
ˆ H E 当体系处于 所描写的状态时，体系的能量有确定值 E ˆ 当体系处于 H 的本征函数所描写的状态时，体系的能量
m
Pl （cos） 是一个缔和勒让德多项式
m
1 m 2 2 d Pl （） l （ ） 1 （ 2 1 l ） l m 2 l！ d
m
l m
N lm 是归一化常数,可以通过归一化条件求出,即
0
2
0
Y（，）Y（，） dd 1 sin
Nlm
（l m） 2l 1 ！ （ ） （l m） 4 ！
u
ˆ ˆ ˆ ˆ 是任意函数，如果 Fu Gu Mu ，算符 M 称为
量子力学讲义4-2(最新版)
ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
曾谨言量子力学第3章
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为
ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A
(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A
量子力学 第3章-2(第9讲)
§3.1 算符的运算规则 §3.2 厄米算符的本征值与本征函数 §3.3 共同本征函数 §3.4 连续谱本征函数的归一化
§3.2 厄米算符的本征值与本征函数
定理1: 厄米算符的本征值必为实数
^
证：设 Q 为厄米算符，其本征方程
^
Q
^
^
* Qd (Q )*d
*d * *d
例
几种常见厄米算符的本征函数和本征值
动量算符、角动量算符、动能算符、哈密顿 算符
1.动量算符
1.动量本征方程
i
p
(r
)
p
p
(r
)
i i i
x
p
(
r
)
y
p
(
r
)
z
p
(
r
)
p x
p
(
r
)
p y
p
(r
)
p z
p
(
r
)
I. 求解
采用分离变量法，令：
p
(
r
)
( x )
r
x
sin
cos
r
y
sin
sin
r
z
cos
x
1 cos cos
r
y
1 cos sin
r
z
1 sin
r
x
r
r
x
x
x
y
r
r y
y
y
z
r
r
z
z
z
将（3） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
x
第三章 量子力学中的力学量
第三章量子力学中的力学量[教学目的]：力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢原子的能级与波函数，算符随时间的变化。
由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力学，量子力学中的力学量需用算符表示。
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：,,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。
五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。
第三章量子力学中的力学量3
下面为正交性给一个标准的数学定义 正交性 满足如下关系式： 如果两个函数 ψ , φ 满足如下关系式：
∫
∞
−∞
ψ * ( x ) φ ( x ) dx = 0
则我们称两个函数相互正交。 则我们称两个函数相互正交。 相互正交 注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。 注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。这里为 了简便，我们只举了一维的例子。三维与此类似（ 了简便，我们只举了一维的例子。三维与此类似（积分区域是 x,y,z变化的所有区域 如果是球坐标， 变化的所有区域。 x,y,z变化的所有区域。如果是球坐标，则为 r , θ , ϕ 变化的所 有区域）。此外这里的自变量泛指任意变量，不只局限与坐标 有区域）。此外这里的自变量泛指任意变量， ）。此外这里的自变量泛指任意变量 变量。 变量。 ∞ ∞ ∞ *
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
ˆ 的本征函数， 这些新函数仍然是 F 的本征函数，本征值仍然是 λn ，并且彼此 满足正交归一关系： 满足正交归一关系：
* * ψ njψ nj′dτ = ∑∑ A* Aj′i′ ∫φniφni′dτ = δ jj′ ji ∫ i =1 i′=1 f f
r r
δ 函数有一个重要的性质： 函数有一个重要的性质：
* r r'
r r r r r r ∫ δ ( r − r ') δ ( r − r '')dτ = δ ( r '− r '')
则
r r r r ∫ψ ( r )ψ rr '' ( r ) dτ = δ ( r '− r '')
量子力学3
量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。
5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。
解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。
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2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
◉ 连续谱“归一化”的本征函数
应满足
( , ) ( )
而
0 (x x0 )
x x0 0 x x0 0
b
a
f
(x)(x
x0 )dx
f
(x0 ) 0
a x0 b (a,b) x0
“正交归一”的动量本征函数为
,
3
2
-
1
1, 2 1, 1
,
2
-
1
1, 2 1, 1
0
得
2
,
2
2 , 1
1, 2 1, 1
1, 2 * 1, 1
1 ,
2
1 , 1
2 * , 1
1, 2 1, 1
1
,
1
0
从而证得：
(1, 1) 2, 2 2, 12
2. 算符“涨落”之间的关系－不确定 关系：
Aˆ 2 Bˆ 2 1 *[Aˆ , Bˆ ]dx 2 4
定值 ，则体系处于 un ，它满足方程
Aˆ un Anun
称上述方程为算符的本征方程
量子力学第三个基本假设：在量子力学 中，一个直接可观测的力学量，对应于一
个线性厄米算符 Aˆ ；当对体系进行该力学
量的测量时，一切可能测得值，只能是算 符的本征方程的本征值。
例 轨道角动量在 z 方向分量 Lˆ Z 的本 征值和本征函数。
显然
1 eizx
U(x) 2i c z dz
(x) U(x) 1 eizxdz 2 c
1 eikxdk
2
下面给出另一些 δ 表示式（作为函数 参量极限）
c
δ
(x)
1 π
lim
α 0
x2
α α
2
1 lim sin Lx L x
lim eix 2 i
lim 1 ex 2 0
mxm(m1) (x) xm1(m) (x) 0
xm1(m)(x) 0
例：求 xu(x) (x) 之解 因 x(x) (x) , 所以特解是 (x)
而相应齐次方程是
xu(x) 0
有解 (x) 。从而得通解
u(x) (x) c(x)
事实上
xu(x) (x) u(x) (x) c(x)
)dx
2
0
x
lim
0
(x2
)2
2 dx
1
lim
0 0
(x2
)2
2dx 2
1
lim
0
y2
2 dy
1
lim ( arctan )
0 2
1
x
(x 2
)dx
1
2 0
所以，
(x)
x
(x
2
)
1 2
(x)
0
0 0 0
0 0 0
这表明，无条件地给出等式
x (x2 ) (x)
两个算符，在一个态中，一般都有涨 落，Aˆ 2 ，Bˆ 2 不同时为零。在什么条件
下，Aˆ ，Bˆ 有共同本征函数组
A. 算符“涨落”之间的关系 1. Schwartz不等式
如果 1 , 2 是任意两个平方可积的
波函数，则
1, 12, 2 1, 2 2
证：令
3
2
-
1
1, 2 1, 1
而
3
(x) cnun (x) cn u*n (x)(x)dx
n
u
已归一化
n
所以
(x)
n
un
(x)u*n
(x)(x)dx
由此可见，
un(x)u*n(x) (x x)
n
上述表示式称为本征函数的封闭性，
它表明本征函数组可构成一 函数
例1 Lˆ z 的本征函数
m
1 eim 2
m 0,1,2,3
1 [(, Aˆ Bˆ ) (, Bˆ Aˆ )]
2i
1 ,[Aˆ , Bˆ ] 2
(, Aˆ ) (Aˆ †, ) (Aˆ , ) (, Aˆ )*
3. 在任何状态下，平均值为实的线性 算符必为厄米算符。
(, Aˆ ) (, Aˆ )* (Aˆ , )
显然，若 Aˆ 是厄米算符，则
Aˆ 2 0
Ⅱ.厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程 要使“涨落”为零，即测量值只取确
xm1(m) (x) 0
x(x) 0 x(x) (x)
假设 x(n1) (x) (n 1)(n2) (x)
(n1)(x) x(n)(x) (n 1)(n1)(x)
xn (x) n(n1) (x)
x(x) 0
假设 xm(m1) (x) 0
mxm1(m1) (x) xm(m) (x) 0
m ()
1 eim 2
lz m
m 0, 1, 2
要求 Lˆ Z 是厄米算符（保证本征值为实
数）
lz
1 , 3 , 5 , 2 2 2
0, 1, 2, 3,
B. 力学量算符的本征值和本征函数性质 1. 力学量的每一可取值都是实数（即 本征值）；
2. 相应不同本征值的本征函数是正交 的
2. 函数的性质 下面给出 函数的性质，是表示当
它们在积分中出现时，左边表示可被右边 表示代替
(x) (x)
(ax) 1 (x) a
x(x) 0
b
f (x)(x a)dx f (a) b b
f (x)(x a)dx f (a) b
b,b a
b0
b
f (x)x(x)dx f (0) 0 0 b
x1
))
例
(x2 a2 )
1
(x a)
1
(x a)
(x2 a2 )
(x2 a2 )
xa
xa
1 (x a) 1 (x a)
2a
2a
1 (x a) (x a)
2x
于是有推论
x (x2 ) (x)
但是由
x (x2 )dx
0
x(x2 )dx x(x2 )dx
0
i[Aˆ , Bˆ ] A B
2
证明： 如令
1 (Aˆ A) 2 (Bˆ B)
1,2 2
1 2i
1,
2
2
, 1
2
1 2i
(Aˆ A), (Bˆ B)
(Bˆ B), (Aˆ A)
2
1 2i
, (Aˆ A)(Bˆ B)
, (Bˆ B)(Aˆ A)
2
＝ 1 , Aˆ Bˆ Aˆ B ABˆ AB , Bˆ Aˆ BAˆ Bˆ A BA 2i
k(x)
1 eikx 2
或
px (x)
1 eipxx 2
“正交归一”的坐标本征函数
x(x) (x x)
◉ 任一波函数可按其展开
(x) cd
c 2 d 为测量 ˆ 取值在区域 d
中的概率
4.4 4.5 4.9 4.14
第 十 一讲
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化” B. 函数 C. 本征函数的封闭性
的态必可表为
c11 c22 c33
所以，在一体系中（以 描述），
测量力学量 Aˆ ，取值 An的概率幅为
Ci
(
ci cj 2 )1
2
(n , ) (n ,n )1 2(,)1
2
j
D. 直接可观测的力学量的本征函数构成 一完备组。
如 n 是力学量 Aˆ 的本征函数组， 则任一波函数可以以 n 表示
推论：如有方程 A B ，则
A B c(x) xx
例 x d ln x 1, 所以， dx
d ln x 1 c(x)
dx
x
由于
b
d dx
ln
xdx
ln
b
ln
a
a
b
1 x
dx