算符的对易关系两力学量同时有确定值的条
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准.
(36)
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同 时有确定值的条件。 ˆ 有一组共同本征函数 n ，而 ˆ和G 如果两个算符 F ˆ 对易。 ˆ 和 G 且 n 组成完全系，则算符 F
证明：
Fn nn , Gn nn , 而 ann
n n
n 由于 为任一波函数，所以
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
关系。显然（1）（2）两种操作之间结果不同：
x px px x i
记为
x, px i
(3)
(4)
(5)
其中 为任意波函数 x px px x i
A B AB BA
（5）式称为算符 x 和 px 的对易关系(comutation relation),等式不为零，我们说，x 与 px 不对易。
(25)
(26)
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写 为：
l , l 0, l , l 0, l , l 0 x x y y z z lx , lz i lz , l y , lz i lx , lz , lx i l y
同理
y, p y i
z , pz i
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同）
3.7 算符对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
第13讲共同本征函数、测不准关系
ˆx, p ˆ y, p ˆz. p
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . H z
例 3：
ˆ H
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
§8 测不准关系
（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三）角动量的测不准关系
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 例 1： 例 2： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
例如：
ˆF ˆ ˆ F ˆG G ˆF ˆ ) 0 ˆ F ˆG (G
ˆ ,L ˆ ] 0 [L x z
= 0 的态，Y
m
= Y00
？
Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个， 而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。
定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。
（一）测不准关系的严格推导
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
问题：
不确定度：
（1）测不准关系的严格推导
x
p
3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。
(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
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[ [
Lˆx Lˆ y
, ,
Lˆ y Lˆz
] ]
i i
Lˆz Lˆx
[
Lˆz
,
Lˆx
]
i
Lˆ y
[Lˆ , Lˆ ] i
Lˆ
,
123 1
εαβγ—列维--斯维塔(Levi-Civita)符号
角动量算符定义: Lˆ Lˆ i Lˆ
三、非对易关系的物理意义——测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation )
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系
两力学量同时有确定值的条件
测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously
with determine value Uncertainty relation
xpˆ x
i
x
x
,
pˆ x x
i
(x )
x
i
x
x
i
xˆpˆ x pˆ x xˆ i
(xˆpˆ x pˆ x xˆ) [xˆ, pˆ x ] i
(xˆpˆ x pˆ x xˆ) xˆ, pˆ x i
(
yˆpˆ
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
同理可证:
[ [
Lˆ Lˆ
, ,
xˆ ] i pˆ ] i
xˆ pˆ
[
Lˆ2
,
Lˆ
]
0, (
x,
y, z)
[Lˆx, pˆ 2] pˆx[Lˆx, pˆx ][Lˆx, pˆx ]pˆx pˆ y[Lˆx, pˆ y ][Lˆx, pˆ y ]pˆ y pˆ z[Lˆx, pˆ z ] [Lˆx, pˆ z ]pˆ z 0 0 pˆ y (i pˆ z ) i pˆ z pˆ y pˆ z (i pˆ y ) i pˆ y pˆ z 0
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件
测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities
x[Lˆ , x] [Lˆ , x]x y[Lˆ , y] [Lˆ , y]y z[Lˆ , z] [Lˆ , z]z
[Lˆx , r 2 ] x[Lˆx , x] [Lˆx , x]x y[Lˆx , y] [Lˆx , y]y z[Lˆx , z] [Lˆx , z]z
simultaneously with determine value
Uncertainty relation
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation)
[例题]证明(原课件):
[ pˆ x , F(x)] i
F x
解:取任意函数,由于
[ pˆ x , F (x)]
i
[ F
x
F ]
x
i [F F F ] i F
x
x x
x
因是任意的函数,所以
[ pˆ x , F (x)] i
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
1,基本对易式:
[xˆ , pˆ ] i
,
1 0
( ) ( )
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
0 0 y(i z) (i z) y z(i y) i yz 0 [Lˆy , r 2] 0,[Lˆz, r 2] 0
又因为 [Lˆ , pˆ 2 ] [Lˆ , pˆx2 ][Lˆ , pˆ y2 ] [Lˆ , pˆ z2 ]
pˆx[Lˆ , pˆx ][Lˆ , pˆx ]pˆx pˆ y[Lˆ , pˆ y ][Lˆ , pˆ y ]pˆ y pˆ z[Lˆ , pˆ z ][Lˆ , pˆ z ]pˆ z
F x
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
[例题]证明(原课件): [Lˆ , r 2 ] 0,[Lˆ, pˆ 2] 0 解:因为 [Lˆ , r 2] [Lˆ , x2 ][Lˆ , y2 ][Lˆ , z2 ]
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
2,角动量算符的对易式: Lˆ rˆ pˆ
[Lˆx , Lˆy ] Lˆx Lˆy Lˆy Lˆx ( ypˆ z zpˆ y )(zpˆ x xpˆ z )
(zpˆ x xpˆ z )( ypˆ z zpˆ y ) ( ypˆ x xpˆ y )( pˆ z z zpˆ z ) i Lˆz
y
pˆ y
yˆ )
[ yˆ,
pˆ y
]
i
(zˆpˆ z pˆ z zˆ) [zˆ, pˆ z ] i
[xˆ, pˆ y ] [xˆ, pˆ z ] [ yˆ, pˆ x ] [ yˆ, pˆ z ] [zˆ, pˆ x ] [zˆ, pˆ y ] 0
第三章 量子力学中的力学量