第3章 力学量用算符表达
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
第3章 力学量用算符表达：习题解答
第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。
② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
02
第2章 一维势场中的 粒子
03
第3章 力学量用算符 表达
04
第4章 力学量随时间 的演化与对称性
05 第5章 中心力场
06
第6章 电磁场中粒子 的运动
目录
07 第7章 量子力学的矩 阵形式与表象变换
08 第8章 自 旋
09
第9章 力学量本征值 问题的代数解法
010 第10章 微扰论
011 第11章 量子跃迁
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真 题详解
第8章 自 旋
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真 题详解
第9章 力学习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真 题详解
第10章 微扰论
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
第1章 波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真 题详解
第2章 一维势场中的粒子
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真 题详解
第3章 力学量用算符表达
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真 题详解
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第三章 力学量用算符表达
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A
任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。
力学量用算符表达PPT课件
^
^
^
^
(1 ,A 2 ) (A 1 ,2 ) (A 2 ,1 ) (2 ,A 1 )
以上两式相减，得
^
^
(2,A1)(A2,1)
两式相加，得
^
^
(1,A2)(A1,2)
此即厄米算符定义的要求，故得证明。
由于实验上的可观测量，必然在任何态下的平均值都是实数，
故相应的算符必须是厄米算符。
此外，设A为厄米算符，则在任意态下，有
A 2(,A ^2)(A ^,A ^)0
第4章
力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第26页
量子力学中力学量的平均值就是该态下力学量的观测值， 而力学量的观测值总为实数，故 力学量算符是厄米算符，且是线性厄米算符（态叠加原 理之要求）。
例题：证明（1）无论厄米算符A与B是否对易，算符 必是厄米算符。
第4章
力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第11页
例子
粒子状态满足薛定谔方程 若ψ1, ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。事实上
仅当是线性算符时才有
第4章
力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
2.算符的运算规则
算符之和 算符 A与B之和记为A+B,定义为
Ψ是任意波函数。 例如体系的哈密顿算符，
算符求和满足交换律和结合律
第4章
力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
线形算符之和仍为 线形算符。
Fang Jun 第13页
算符相等
设算符 Aˆ 和 对Bˆ 体系的任何波函数Ψ 的运算所得结果都相同
第三章 力学量用算符表达
归一化的本征函数为：
( ) e nxnynz
1 3/2
i
p•
r
L
e 1
i
p•r
V
讨论：
y
(a)
(b)
(c)
x
p
A’ p
A p
（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：
（2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz /
L,
可以看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与
[ d *(Oˆ )]*
dOˆ * *
~
d *Oˆ *
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
(12) 厄密算符
1. 定义:
满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
例如：体系Hamilton 算符
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
y
r
sin
d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v，
x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
（二）算符的一般特性
量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件
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﹟
4
2、算符的运算性质 （1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
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5
交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
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7
因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
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2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；
第3章_矩阵力学基础——力学量和算符
1第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。
它的着眼点是波函数),(t x ψ。
薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。
通过在波函数的运动方程中引入 的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。
在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。
它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。
着眼点是力学量和力学量的测量。
他们将力学量看成算符。
通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。
这种量子化，通常称为正则量子化。
在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。
算符的运算归结为矩阵的运算。
本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。
§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。
一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
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注意：一般情况下，算符之积不满足交换律，即
Aˆ Bˆ BˆAˆ
6
这是算符与普通数的运算规则的唯一不同之处。
为简捷描述算符乘积不可交换性引入对易式
(Commutator)
[ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
(6)
不难证明对易式满足如下恒等关系
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ ]
2
本章讨论如下几部分
1 算符的运算规则(性质) 2 角动量算符及其在球坐标系下的表示 3 厄密算符的本征值与本征函数 4 共同本征函数
3
§3.1 算符的运算规则(性质)
1 线性算符 态叠加原理要求，可测物理量的算符必须是线性
算符，即
Aˆ (c1 1 c2 2 ) c1 Aˆ 1 c2 Aˆ 2 (1)
7 算符的函数
设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，幂级数
8
展开收敛
F (x) F (n) (0) x n
n0 n!
则可以定义算符 Aˆ 的函数F ( Aˆ)
F ( Aˆ ) F (n) (0) Aˆ n
n0 n!
如 F (x) ex 则可定义
F( d
可以证明标积满足 ( , ) 0 ( ,)* (, ) （按定义证明）
( , c11 c22 ) c1( ,1) c2 ( ,2 ) (c11 c2 2 ,) c1*(1,) c2* ( 2 ,)
(c1和c2为任意常数 )
11
所得结果都相等。即
Aˆ Bˆ
(3)
ψ为任意的波函数(量子态)。算符相等记作
Aˆ Bˆ
4 算符之和
定义为：对任意波函数有
( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ Fˆ
(4)
那么 Fˆ Aˆ Bˆ 5
如一个粒子的哈密顿算符 Hˆ Tˆ Vˆ
9 转置算符
算符 Aˆ 的转置算符标记为 A~ˆ 或 Aˆ ' ，其定义为
d * A~ˆ dAˆ *
(式中和是任意两个波函数 )
即 ( , A~ˆ ) (*, Aˆ*)
例如
~ x x
由此还可证明
(按定义及
即
Aˆ A~ˆ *
可证 ( Aˆ BˆCˆ ) Cˆ Bˆ Aˆ
13
11 厄米算符
满足下列关系的算符 Aˆ 就为厄米算符
( , Aˆ ) ( Aˆ , ) 或 Aˆ Aˆ
第3章 力学量 用算符表达
由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子状态的 描述用波函数描写（与经典不同） 。量子力学中 微观粒子力学量（如能量、动量等）的性质也不 同于经典粒子。经典粒子在任何状态下，它的力 学量都有确定的值。微观粒子由于其波粒二象性， 力学量的取值一般没有确定的值（首先，坐标与 动量不能同时有确定值）。这种差别的存在，使 得我们不得不用和经典力学不同的方式，既用算 符表示微观粒子的力学量。本章讨论表示力学量 算符的性质，以及用算符表示后，量子力学中一 般规律所取的方式。具体内容如下：
显然算符的求和满足交换律和结合律，可证两个
线性算符之和仍然是线性算符。
5 算符之积
算符Aˆ 与Bˆ之积记为 Fˆ Aˆ Bˆ
定义为 Fˆ ( Aˆ Bˆ ) Aˆ (Bˆ) (5)
ψ是任意的量子态(波函数)。即 Aˆ Bˆ对ψ的运算 结果等于先用 Bˆ 对ψ运算，然后再用 Aˆ 对 (Bˆ )
其中ψ1和ψ2是任意两个波函数，c1和c2是两个任意 常数。满足(1)式的算符就是线性算符。如动量算
符就是线性算符。但量子力学中碰到的算符并不
都是线性算符(如取复共轭)。 2 单位算符I
它是保持波函数不变的操作(运算)，即
I
(2)
4
3 算符相等 两个算符相等是指对体系的任何波函数ψ的运算
~pˆ x pˆ x
另外易证 ( Aˆ Bˆ )' Bˆ ' Aˆ '
12
10 厄米共轭算符
算符 Aˆ 的厄米共轭算符记为 Aˆ ，其定义为 ( , Aˆ ) ( Aˆ , )
由此可得
( , Aˆ ) (, Aˆ )* (*, Aˆ * *)
( Jacobi恒等式)
7
6 逆算符
设Aˆ 能够唯一的解出 ，则可定义算符 Aˆ
之逆 Aˆ 1 为
Aˆ 1
说明：1）并非所有的算符都有逆算符存在(如投
影算符)
2 ) 若Aˆ的逆存在,则 AˆAˆ1 Aˆ1Aˆ I
( Aˆ Bˆ )1 Bˆ 1Aˆ 1
pˆ* (i)* i pˆ
为下面介绍算符的转置、厄米共轭等的方便，我
们先介绍两个波函数(量子态)ψ与 的“标积”，
定义为
( ,) d *
10
积分是对体系的全部空间进行的，d 是坐标空间
体元。若变量取分立值，则积分变为求和。计算 标积也可在其他表象中进行。
d
) e dx
n
dn
dx
n0 n! dxn
两个或多个算符的函数也可类似定义
如
F( Aˆ, Bˆ) F (m,n) (0,0) Aˆ m Bˆ n m,n0 m!n!
9
8 复共轭算符
算符 Aˆ 的复共轭 Aˆ *是如下构成的：即把 Aˆ 的
表达式中所有量换成其复共轭。 例如坐标表象中的动量算符的复共轭
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [ Aˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ, Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ]Cˆ
[
Aˆ Bˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, Cˆ ]Bˆ
Aˆ[ Bˆ ,
Cˆ ]
[ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ , Aˆ ]] [Cˆ ,[ Aˆ, Bˆ ]] 0