人教A版高中数学必修五2.5.1《等比数列》
2 ,1,
2 , 2
规范解答
求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…
a4 5 (3)
4 1
5 1 a 5 ( 3 ) 405. 135 , 5
（2）1.2，2.4，4.8，…
a4 1.2 2 4 1 9.6 ,
( 3) 2 1 3 , , , 3 2 8
1、文字语言：一般，如果一个数列从第2项起，每 一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就 叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公 (q≠0） 比通常用字母q表示。
等比数列的每一 2、数学符号语言：（递推公式） 项都不为0，即 an≠0。 an an1 * q(n 2) 或 q(n N ) an1 an
数学是有用的---陈省身语
等比数列
课前小练
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
同一常数 通项公式 性质
数学是有用的
数学是有用的
情景（1）--懂圣贤语
古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯．他用 象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年— 前1700年间数学研究的一些成果．其中有这样一题， 题中画了一个阶梯，其各级注数为7,49,343,2401,16807. 并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上 并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解谜.2000 多年中无人能解释．你能解释吗？
复习回顾一
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
比较下列数列
(1) 1, 2, 2 2 , 23 ,
……
, 263
1 1 1 1 , , , , …… (2) 2 4 8 16
(3）
7 2 3 4 5 6 ， 9，9 ，9 ，9 ，9 ，9 9
概念内涵与外延四
如果等比数列 {an}的首项是a1 ,公比是q,那么 这个等比数列的第n项an如何表示?
法一：
（不完全归纳法）
a3 a2 q q ∵ a1 a2 ∴ a2 a1 q
……
an q a n 1
a3 a2 q a1 q 2 ……
an a1 q
n 1
a 1 q 2 20 解得 5 a 1 q 160
求an.
q 2 a1 5
n 1 a 5 2 因此， n
课堂练习
求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…
(3) 2 1 3 , , , 3 2 8
(4 )
概念内涵与外延三
等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>1数列递增吗？q<1数列递减吗？
概念内涵与外延四
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>1数列递增吗？q<1数列递减吗？
说明： (1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
2
若G2=ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
概念巩固
求下列两组数的等比中 项： （ 1） 4， 9； （2） 4 3， 4- 3
(1) 6
(2) 13
例题剖析
例1、在等比数列{an}中，已知:
求an.
规范解答
例1、在等比数列{an}中，已知: 解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
（4）36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？
从第2项起，每一项与前
一项的比都等于同一常数.
类比仿写一
由等差数列仿写等比数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
等比数列定义
1)、 16，8，4，2， 1， … ； 公比是0.5
公比是-5 2)、 5，-25，125，- 625，…； 3) 、1，0，1，0，1，…； 4)、 2，2，2，2，2，…； 5)、 0，0，0，0，0，…； 不是 公比是1 不是
6)
1,x,x ,x ,x , x=0时，不是；
2 3 4
否则是.公比为x
指数爆炸
把一张纸折叠51次， 得到的大约是地球与 太阳之间的距离！
数学是有用的
情景（2）--数学是有用的：培智慧根
数学是有用的
情景（2）--培智慧根
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿， 通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为 第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类 推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那 么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成 一个什么样的数列呢?
41
a5 1.2 2 5 1 19.2.
2 3 a4 3 4
5 1 9 2 3 27 , a , 5 32 3 4 128
(4 )
2 ,1,
2 , 2
4 1
a4
2 2 2
1 , a5 2
复习回顾二 等差中项
若a,A,b三个数成等差数列，则 A叫做a,b的等差中项。
2A=a+b
类比仿写二
2.等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数 G， பைடு நூலகம்a、G、b成等比数列，那么 G就叫做a与b的等比中项
在这个定义下，由等比数列的 定义可得 G b
a G G ab 即G ab
数学是有用的
情景（1）--懂圣贤语
庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
1 1 1 1 1， ， ， ， ， … 2 4 8 16
数学是有用的
情景（2）--培智慧根
给你一张足够大的纸，假设 其厚度为0.1毫米，那么当你 把这张纸对折了51次的时候， 所达到的厚度有多少？
其中a1 120, q 120, n 5
因此a5 12012051 2.5 1010
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.
例３ 已知｛an｝、｛bn｝是项数相同的等比 数列，试证｛anbn｝是等比数列.
课堂小结
数 列 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d 等 比 数 列
规范解答
例2、 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一 代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一 粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时 大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位 有效数字）？
解： 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成等比数列，记为a n
指数爆炸
数学是有用的
情景（3）--固君子本
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意， 哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在30 天中，每天借给穷人10万元．借钱第一天，穷人还1 分钱；第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是 前一天的2倍，30天后，互不相欠。穷人听后觉得很 划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难。
数学是有用的
情景（4）--为民生计
“时间”“年初本金”“年末本利和”三 个量之间的对应关系， 各年末本利和(单位：元)组成了下面数列： 10 000×1.019 8，10 000×1.019 82， 10 000×1.019 83，10 000×1.019 84， 10 000×1.019 85.
类比归纳 名 等差数列 称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从第2 项起，每一项与它 前一项的 比 都等于 同一个非 0 常数 , 那 么这个数列叫做等 比数列. 这个常数 叫做等比数列的公 比，用q表示.
概念内涵与外延一
1. 公比是等比数列，从第2项起，
每一项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的 公比是同一个非零常数。 3.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
概念内涵与外延二
若an+1=anq(n∈N+,q为常数），则 数列{an}是否是等比数列？反之能 成立吗？
答：
不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0,等式 an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起，每一项与它 前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不 能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N仍恒成 立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符合 等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。 所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列{an}不一 定是等比数列。反之能成立。
2 2 2
5 1
2 , 4
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决 下个世纪世界性饥饿问题的法宝。
例题剖析
例2、袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代 120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有 效数字）？
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件25
[变式 1] (2014·衡水调研)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，
a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( )
A．7
B．5
C．－5
D．－7
(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝30， 求 an 和 Sn.
解析：(1)设数列{an}的公比为 q，
由aa44·＋a7a＝7＝a52·a，6＝－8， 得aa74＝＝－4，2 或aa74＝＝4－，2，
A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
解析：显然，{bn}不可能是等比数列；{cn}是等比数列；证 明如下：
cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2…am(n－1)＋m； cn＋1＝amn＋1·amn＋2…amn＋m； ccn＋n 1＝amn－a1m＋n1＋·a1·mamn－n＋12＋…2…amanm＋mn－1＋m＝qmqm…qm＝(qm)m＝qm2.
答案：A
5．(2014·唐山一模)等比数列{an}的公比 q＞1，a12＋a13＝3，
a1a4＝12，则 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8 等于(
)
A．64
B．31
C．32
D．63
解析：∵a12＋a13＝a2a＋2aa3 3＝3，a2a3＝a1a4＝12，∴a2＋a3＝32， ∴a2，a3 为 x2－32x＋12＝0 的两个根，又∵q＞1，∴a2＜a3，∴a2 ＝12，a3＝1，q＝2，∴S8＝1411－－228＝2545，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＋a8＝S8－a1－a2＝63.
答案：C
题型三 等比数列的性质及应用 【例 3】 已知等比数列前 n 项的和为 2，其后 2n 项的和为 12，求再后面 3n 项的和．
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件31
1.等比数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列，这个常数就叫做等比 数列的公比（常用字母q表示）.
2.等比数列{an}的递推公式：
a n q(n 2) a n1
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
等比数列
1 如图是某种细胞分裂的模型，那么这 种细胞每次分裂的个数组成一个什么数 列？
1，2，4，8，….
2 我国古代学者提出：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭.” 即一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也取不完.那么每日 取得的木棒的长度构成一个什么数列？
1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
（1）1，2，4，8，….
（2）1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
3.如果在a与b中间插入一个数G，使 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项。
下面四个等比数列的通项公式分别是什么?
2 （1）1，2，4，8，…. （1）an= n1
（（23））11，，2120,，142,0218，,2…03.，…（. 2）
an=
(
1 2
)
n
1
（4）1000×1.0198，1000×1.01982，
1000×1.01983，1000×1.01984，…
2019-2020人教A版数学必修5第2章 2.5 第1课时 等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和1．等比数列前n 项和公式思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① 用公比q 乘①的两边，可得 qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，②由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1（1－q n ）1－q(q ≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.思考：等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示] 根据等比数列的定义，有：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q ，再由合比定理，则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q ，进而可求S n .1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为( ) A ．1－x n 1－xB ．1－x n －11－xC ．⎩⎨⎧1－x n1－x （x ≠1），n （x ＝1）D ．⎩⎨⎧1－x n －11－x （x ≠1），n （x ＝1）C [当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1（1－x n ）1－x ＝1－x n1－x.]2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则S 5＝________． 31 [S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－251－2＝31.]3．数列12，24，38，416，…的前10项的和S 10＝________． 509256[S 10＝12＋24＋38＋…＋929＋10210， 则12S 10＝14＋28＋…＋9210＋10211.两式相减得，12S 10＝12＋14＋18＋…＋1210－10211＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12－10211，所以S 10＝509256.]4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．11(1.15－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a.]n (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . [解] (1)由题意知 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝30，a 1（1＋q ＋q 2）＝155， 解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11. (2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312. 法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12. 又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． 从而⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，所以q 为2或12.1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．1．在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .[解] (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝1，S 8＝a 1（1－q 8）1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0， a ＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.061，∴a ＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [（1＋0.01）6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元．解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．2．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝25×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×[1－(45)n]<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法．【例3】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0，1)，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .思路探究：(1)根据a 1，a 2，a 3－18成等差数列求得公比q ，写出通项公式； (2)由b n ＝na n 可知利用错位相减法求和． [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18， 即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0，1)，所以q ＝12， 所以a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得b n ＝na n ＝n2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1， ②作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，S n ＝2－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.1．本题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2.2．本题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n.错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.1．判断正误(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q 来求．( )(2)若首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na .( )(3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n ＝na .(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q (q ≠0且q ≠1)变形为S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且q ≠1)，若令a ＝a 11－q，则和式可变形为S n ＝a －aq n .2．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－45 A [S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝3（1－25）1－2＝93.]3．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________．510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12，而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2（1－28）1－2＝510.]4．求和：12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n .[解] 设S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 则12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12－12n －1×121－12－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n .。
高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第1课时等比数列的前n项和公式含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ， 又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ， 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)． 又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3， 于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组 能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n}仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)． 答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件5
关于等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式 及前n项和公式构造关于a1和d或q的方程或方程组解决，如 果在求解过程中能够灵活运用等差等比数列的性质，不仅 可以快速获解，而且有助于加深对等差等比数列问题的认 识.
注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公 比q是否为1的讨论.
三、预测押题不能少 1．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得， (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0， 得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n， 得an＝2n.
数列与函数的交汇
数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综 合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题 目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结 合，考查数列的基本运算与应用．
一、经典例题领悟好
[例1] (2013·湖南五对任意的正数x，y都有f(x·y )
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n2＋n＋4n＋31－4.
等差、等比数列的判定与证明 一、基础知识要记牢 数列{an}是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。
人教a版必修五课件：等比数列(53页)
(1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [分析] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q
的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
[解]
3 a1q ＝2， 6 a1q ＝8.
(1)方法一：因为 ① ②
3 a4＝a1q ， 6 a ＝ a q 7 1 ，
3．等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成 等比数列 ，则G叫做x和y的 等比中项．
2 G (2)如果G是x和y的等比中项，那么 ＝xy，即G＝± xy .
思考感悟
1．如何理解等比数列的定义？
提示：(1)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比 是同一个常数，定义中“同一个”常数非常重要，切不可 丢掉． (2)常数列是等差数列，但不一定是等比数列，如 0,0,0„就不是等比数列．
新知初探
1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比 等于 同一常数 ，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2．等比数列的通项公式 如果一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的
n－1 a q 通项公式是an＝ 1 .
所以
② 3 3 由 得q ＝4，从而q＝ 4，而a1q3＝2， ① 2n－5 2 1 n－1 于是a1＝ 3＝ ，所以an＝a1q ＝2 . q 2 3
方法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4. 所以an＝a4q
n－4
3 n－4 2n－5 ＝2· ( 4) ＝2 3 .
4 a2＋a5＝a1q＋a1q ＝18， ③ (2)方法一：因为 2 5 a3＋a6＝a1q ＋a1q ＝9. ④
高中数学人教A版必修5《等比数列》教案
《等比数列》教案教学目标:1、通过实例，理解等比数列的概念2、探索并掌握等比数列的通项公式3、通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。
教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。
教学难点：等比数列与其对应函数的关系。
教学过程：一 、复习旧知：1、等比数列的定义及通项公式2、等差数列的通项公式与一次函数之间的关系二、探究新知1、(1)有人说：如果能将一张厚度为 的报纸对折、再对折。
对折50次后，报纸的厚度超过了地球与月球间的距离，你信吗？每次对折后报纸的厚度依次构成数列:(2)《庄子》一书中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭！”（3）某人年初向银行贷款1万元，如果贷款年利率是6%，那么，5年内各年末应该还款总额依次为：1×1.06, 1×1.062, 1×1.063，1×1.064, 1×1.065结合实例分析上述几个数列的共同特点。
mm050、.2050 ...... 2050 ,2050.2050......2050,20502,050 2,05050325032⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯、、、、、、、、 (32)1,161,81,41,21,12、探究等比数列的定义定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示 (q ≠0)．3、类比等差数列探究等比数列的通项公式（一）不完全归纳法 （二）累乘法4、探究通项公式与指数函数间的关系思考：教材第50页的探究题课后探究：当 满足什么条件时，等比数列 是递增数列、递减数列？三、例题精析例1：在等比数列{a n}中， (1)a 4＝2，a 7＝16，求a n ； (2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝ ，求a n . 变式训练：变式训练：已知数列 满足 ， （1）求证：数列 是等比数列 （2）求 的表达式. 四、课堂练习1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B.16或－16 C.32 D.32或－322．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) 320 【例1】 在等比数列{a n }中,已知a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,求a n . 分析:设公比q,列出关于a 1和q 的方程组来求解. 解:设等比数列{a n }的公比为q, 则有 a 5-a 1=a 1q 4-a 1=15,a 4-a 2=a 1q 3-a 1q =6,①② 由①÷②,得q=12或q=2. 当q=12时,a 1=-16. 当q=2时,a 1=1. 故a n =-16· 12 n -1或a n =2n-1. 【例2】 已知数列{a n }满足lg a n =3n+5,求证:{a n }是等比数列. 分析:可由lg a n =3n+5求出a n ,再证明a n+1a n 是与n 无关的常数. 证明:∵lg a n =3n+5,∴a n =103n+5. ∴a n+1=103(n+1)+5=103n+8.∴a n+1a n =103n+8103n+5=1 000. ∴数列{a n }是等比数列.{}n a 12,111+==+n n a a a {}1+n a {}n a q a 1和{}n aA．4 B．8 C．6 D．323．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于() A．64 B．81 C．128 D．2434．若数列{a n}的前n项和S n＝23an＋13，则{a n}的通项公式是a n＝________.。
人教A版高中数学必修五2.5等比数列(二)
12
n
最大时，求n的值
例5：设二次方程 an x2 an1x 1 0(n N *)有
两个实根 和 ，且满足 6 2 6 3.
（1）试用 an表示an1.
（2）求证：{an
2}是等比数列
3
补充作业：
1．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的立方 和为81，求这三个数。
2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数 成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16， 第二个数与第三个数的和是12，求这四个数
组成公比为qm的等比数列
书 P53 3
二.新课讲授
例2．在等比数列{an}中， （1）a5=2,a10=10，则a15
（2）a2 a4 2a3 a5 a4 a6 36, 那么 a3 a 5
（3）若则a5a16+a9a12=30,求
log15 a1 log15 a2 log15 a3 log15 a19 log15 a20
2、(中项公式法)判断an与an+1·an-1的关系 3、(通项公式法)判断an= b·cn (bc≠ 0 为常数)
二.新课讲授
1.等比中项的应用
例1．有四个数，前三个成等比数列，其积 为216，后三个数成等差数列，其平方和为56， 求这四个数。
注意（：1）等比数列中若三个数成等比数列，可以设为
a, aq, aq2或
b．若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，
那么{can}也是等比数列
(3)在等比数列中
m+n=p+q=2s,则 anam apaq as2
特殊地: (an )2 an1 an1(n 2)
(4)在等比数列中，序号成等差数列的项依原 序构成的新数列是等比数列。
人教a版高中数学必修5配套课件：2.5.1等比数列的前、n项和
【变式与拓展】
1．(2013 年新课标Ⅰ)设首项为 1，公比为23的等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
2．5 等比数列的前 n 项和
2．5.1 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式． 2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相 减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{ an}的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式为___S_n＝__a_1_1_1－_－_q_q_n___ (q≠1)，
解：由题意，得
若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2. 若 q≠1，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6. 解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.
综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.
[方法·规律·小结] 1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1. 2．用错位相减法不仅能推导等比数列求和公式，还可以在 其他特定类型的数列求和中应用．
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在 于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及 前 n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】 3．已知在等比数列{an}中，a1＝13，q＝13. (1)Sn 为数列{an}前 n 项的和，证明：Sn＝1－2an；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
题型 2}的各项均为正数，其前 n 项中，数 值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80， S2n＝6560，求： (1)前 100 项之和 S100； (2)通项公式 an.