数学人教版九年级下册用割补法求坐标系中图形的面积
割补法求面积
3
10 4
12
方法总结
切割法：
把不规则的图形切割成已学图形，再把各部分面积加起来
拼补法：
把不规则的图形拼补成已学图形，再用总面积减去补上的图形面积
谢谢观看
练习
图形大世界
——割补法
REPORT
面积公式回顾
面积=边长×边长
面积=长×宽
面积=底×高
面积=底×高÷2
面积=（上底+下底）×高÷2
3cm 3cm
3cm 3cm
左侧图形的面积 该怎么求呢
3cm 3cm
3cm 3cm
我们学过哪些图形的面积公式呢？
可以将不规则的图形切割成两 个或多个已学图形，进行计算：
3×3+3×（3+3）=27（平方厘米）
3cm 3cm
3cm 3cm
我们学过哪些图形的面积公式呢？
可以将不规则的图形拼补成一 个或多个已学图形，进行计算：
(3+3)×（3+3）- 3×3=27（平方厘米）
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
切割法： 3×6×2+10×（3+6+3）=156（平方厘米）
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
切割法： 3×10×2+（3+10+3）×6=156(平方厘米)
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
拼补法： （10+3+3）×（3+6+3）- 3×3×4=156（平方厘米）
《平面直角坐标系中的面积问题》教学设计
A
A
（1） 能否通过小房子的各点坐标求出小房子的面积引入课题 回顾旧知
1.若P （-2,4）则点P 到x 轴的距离为 点P 到y 轴的距离为
2.若A （2,0） B （5,0） 则AB=
若A （0,3），B （0,-5） 则AB=
若A （2,3），B （2,6） 则AB=
若A （4,1），B （-3,1） 则AB=
3.已知：A （1,4），B （-4,0），C （2,0）则三角形ABC 的面积
（二）探索方法
若A （4,0），B （3,3），C （0,2）求四边形OABC 的面积
复习在平面直角坐标系内①两点在
轴上；②两点不在轴上却与坐标轴平行；
两点间的距离。
为解
决简单三角形面积
做铺垫。
通过小组合作交流，不仅可以突破难点，学习更多解题方
法。
同时，利用面积和差求得.渗透转化
思想解；通过不同方法的选择，培养学生设计解决问题方案
时要考虑可行性的习惯；通过一题多解发展学生的创新思维.
（三）巩固练习
已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．学生体验解题方法和技巧，感受解题的快乐。
通过自我展示，提高学生的语言表达能力，锻炼他们的胆识。
（四）归纳方法
1、知识方面
在平面直角坐标系中，求面积的方法有：2、数学思想方面1、通过自己的归纳总结，逐步提高学生提炼方法和技巧的
意识。
2、通过学生的表述，。
求图形面积问题中的数学思想方法
求图形面积问题中的数学思想方法2.河北省承德市第二中学河北省承德市 067000初中数学的学习中有很多求图形面积的问题，图形有多种多样，求图形的面积的方法也有很多种。
一、规则图形面积求解。
规则图形面积求解方法，最基础、最简单、最常用的就是公式法名称图形公式长方形S=ab菱形S= ab正方形S=a2三角形S= ah平行四边形S=ah梯形S= （a+b)h圆S=πr22扇形S=πr 例如：菱形的两条对角线长分别为6和8，则其面积为：S=×6×8=24二、非规则图形面积的求解有很多不是上面的规则图形，不能运用公式法来直接求面积，或者有些虽然是规则图形，但是无法求出公式中对应量，也不能直接求出面积，就得选择其他方法，总结出如下几种方法：（一）坐标系中的割补法1.利用补形法求图形的面积例1：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，你能求出△ABC的面积吗？解：过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B的平行于x轴的直线交于点D和点E，则四边形ADEC为直角梯形．∵A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，∴AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5.＝(AD＋CE)·DE－AD·DB－CE·BE＝×(4＋6)×5－×4×4－×6×1＝∴S△ABC14.2.利用分割法求图形的面积S四边形OBCA ＝S△ACD＋S梯形ODCBS四边形ABCD＝S△ADE＋S△BCF＋S梯形EFCD例2：在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点坐标分别是O(0，0)、A(－4，10)、B(－12，8)、C(－14，0)、求四边形OABC的面积．解：过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则D(－4，0)，E(－12，0)．∴BE＝8，AD＝10，OD＝4，DE＝8，CE＝2.∴S四边形OABC＝S△AOD＋S△BCE＋S梯形ABED＝OD·AD＋CE·BE＋(BE＋AD)·DE＝×4×10＋×2×8＋×(8＋10)×8＝100.（二）转化法例3：如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为(B)A．4 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．16 cm2例4：如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(B)A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n例5：如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，直角∠EOF绕点O旋转．若OE，OF分别与DA，AB延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝S正方形ABCD.还可以具体分为以下几种转化方法：1.直接相加法：如图，半圆的面积+正方形的面积=总面积2.相减法：如图，阴影面积=正方形面积-圆面积3.重新组合法：如图，沿两条对称轴剪开，重新组合成第二个图，阴影部分在四个角处，再用减法。
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
2023年中考数学复习之坐标系中的面积计算
第一讲 坐标系中的面积计算知识导航1.铅垂法求三角形的面积是几何问题中常见问题之一，方法较多，比如面积公式、割补、等积变形三角函数，而在坐标系中求三角形面积，最常用为铅垂法.思路概述（1）A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”（2）过点C 做x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅锤高” 公式：22D C B A ABC y y x x S -⋅-=⨯=∆铅锤高水平宽 解题的关键在于求得D 点坐标.所谓“铅垂法”实则就是割补法，对于此类求坐标系中的三角形面积形成了一套完整的解法，即已知三角形三个顶点即可求此三角形面积，取名“铅锤法”，建议解答题最好先证明.引例1：在平面直角坐标系，已知A （1,1）、B （7,3）、C （4,7），求此△ABC 的面积.引例2：（2019•海南改编）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5经过A （﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；思考：在像引例2这种求面积的问题中，一般选取两定点做水平宽，若第三个点并不在两定点之间，则铅锤高如何做？方法总结铅垂法本质即割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，确定出其对应的铅锤高！（1）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅锤高. 2铅锤高水平宽⨯=-=∆∆∆BCD ABD ABC S S S（2）取BC 作水平宽，过点A 作铅锤高AD.练一练（2019•宜宾改编）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与直线y ＝kx +b 都经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．2.最值、定值、等值引例3：如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接BP 、PC.（1）最值问题：①当PBC ∆面积最大时，求面积最大值及P 点坐标.②过点P做PH⊥BC交BC于点H，求PH最大值.（2）定值问题若点P在抛物线上且△PBC的面积为3时，求点P的横坐标.思路1：铅垂法列方程求解思路2：构造等积变形（3）等值问题：若点p在抛物线上且△PBC的面积等于△BOC的面积，求P点的横坐标.思路1：化等值问题为定值问题思路2：等积变形3.四边形的面积对于特殊四边形，考虑面积公式，对于一般四边形，连接对角线即可分两个三角形，求两个三角形面积之和即可.引例4:（2019•东营改编）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y 轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.真题演练1.（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2013•宜宾改编）如图，抛物线y1＝x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．3.（2019•绵阳改编）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；4.（2019•聊城改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ．又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．5.（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=21x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于另一点C （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △P AB ＝S △OAB ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；6.（2019•临沂改编）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S ＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM。
九年级数学圆割补法求阴影部分的面积
半径为2，则阴影部分的面积为
2π
通过做以上三组题,你能总结出求阴 影面积的方法吗 相互交流
归纳总结：求阴影部分的面积有三种方法：
1、和差法：①S总体-S空白=S阴 1、和差法 ②把不规则图形分成几个规则图形的面积 之和
2 、整体求解法化零为整将图形位置进行移动平移. 旋转.对称.割补,使其成为规则图形
A、S>P>QD B、S>Q>P
C、S>P=Q D、S=P=Q
(甲)
(乙)
(丙)
3.סּA、סּB、סּC、סּD、סּE相互 A
外离,它们的半径都是1,顺次连
结五个圆心,得到五边形
B
E
ABCDE,则图五个扇形的面积
之和为
3π
2
C
D
4. 在两个同心圆中，三条直径把
大圆分成相等的六部分，若大圆
交BC于D，则图中阴影部分的
D
面积为 1
C
A
3. 某种商品的商标图案如图
（阴影部分）已知菱形ABCD
D
的边长为4，∠A=60°，B⌒D 是以
A为圆心AB长为半径的弧
A
C
C⌒D 是以B为圆心BC为半径
的弧，则该商标图案的面积为 B
43
3 2
专题二：化零为整法
例2. 如图,四个半径为1的圆两两外 离,则图中阴影部分的面积为
九年级数学专题练习
割补法求圆中阴影 部分的面积
复习：加减法求阴影部分的面积
1. 正方形边长为a，以各边为直
径在正方形内画半圆，则图中阴
影部分的面积为
( - 2 )a2
2
2. 如图正三角形ABC的边长为a，
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
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中考数学小专题复习
----用割补法求坐标系中三角形的面积（教学设计）
广州市绿翠现代实验学校东陈云兰
【学习背景】
本学期我校初三数学中考总复习资料选用的是《三段六步专题设计》，“三段六步”指的是复习总结教学模式的一个实操性基本程序，三段是指回顾激活原有知识，思考重建认知结构、提取新知迁移巩固三个阶段。
经过中考第一轮的基础复习，常会遇到在平面直角坐标系中求与三角形面积有关的综合题。
为了能够更好地掌握此类题目的解题方法和解题技巧，特安排此节单课时专题复习课。
目的是通过选取与任教班级学生学情相符的一些例题，通过典例分析和巩固练习，学会研究问题时把数和形结合起来考虑，利用割补的方法把一些不能直接计算的三角面积形转化成可以直接计算的三角形，从而求出相关的面积。
【学情分析】
本班学生是初二重新再分班后的第二层次，有一定的基础，但严重缺乏尖子生和自觉学习能力，每次考试均分在100±5分左右，120分以上的同学也就五六个。
对最后三大题存在畏难情绪，尤其是对一些少见或稍难的题型，没有较好的解题思路去分析问题和解决问题，所以掌握一种最基础最常见的解题方法（割补法），学会在最后三题的第1，2问多拿分，以增强学生的信心和提升数学中考成绩。
【教学目标】
1、理解并会用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积。
2、体会数学中的转化思想和数形结合思想。
【教学重点】
利用割补的方法求面积。
【教学难点】
具有一定的观察能力和化归能力
教学环节：
1、新课引入
例、已知点A（－3，0），点C（0，3），且点B的坐标为（－1，4），计算△ABC的面积。
B
C
A
2、探究割补（假设如果△ABC的某边和该边上的高无法从已知三点坐标直接求出，必须通过图形的割补，你有何解决方法？）
图1 图2
图3 图4
图5 图6 环节二：以抛物线作为知识背景运用割补法的常见题型
（2012.广东广州第24题改编）如图，已知，抛物线2
23y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。
A B C A
B C
A B C A B C A B C A B C
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点
D 的坐标。
环节三：课堂小结
1、用割补法求三角形面积的步骤：
2、割原图时，
补原图时，
环节四、课后作业
如图，抛物线223y x x =-++与坐标轴交于点A 、B 、C.
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）抛物线上是否存在第一象限的点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.。