高中数学试卷选修2-1
高中数学选修2-1经典练习100例
第一章 常用逻辑用语1.条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件2.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的反设为 （ ）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 3. {}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的 （） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）A.不存在2000,310x R x x ∈-+≤B.存在2000,310x R x x ∈-+≤C.存在2000,310x R x x ∈-+>D.对任意的2,310x R x x ∈-+>5.已知命题p ：∀x∈R，x>sinx ，则p 的否定形式为( )A.∃x∈R，x<sinxB.∀x∈R，x≤sinxC.∃x∈R，x≤sinx D．∀x∈R，x<sinx6.下列命题中的说法正确的是( )A ．命题“若2x ＝1，则x ＝1”的否命题为“若2x ＝1，则x≠1”B.“x＝－1”是“2x －5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“x ∃∈R，使得x2＋x ＋1＜0”的否定是：“x ∀∈R，均有2x ＋x ＋1＞0”D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB”的逆否命题为真命题7.下列说法中正确的是 ( )A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“a b ＞”与“a c b c ＋＞＋”不等价C.“220a b ＋＝，则a b ，全为0”的逆否命题是“若a b ，全不为0，则220a b ≠＋”D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8.下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若2x ＝1，则x ＝1”的否命题为“若2x ＝1，则x ≠1”B.“x ＝－1”是“2x －5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“0x ∃∈R，使得x 02＋x 0＋1＜0”的否定是：“x ∀∈R，均有2x ＋x ＋1＞0” D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB”的逆否命题为真命题9.下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a<b”的逆命题是真命题B ．已知x R ∈，则“x 2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件C ．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题D ．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件10.“>x π6”是“>x sin 12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.给出命题p ：若“0>BC AB ，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数c b a ,,满足ac b =2，则c b a ,,成等比数列”．那么下列结论正确的是( )A ．p 且q 与p 或q 都为真B ．p 且q 为真而p 或q 为假C ．p 且q 为假且p 或q 为假D ．p 且q 为假且p 或q 为真12.已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x =25；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x +1>0.给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q p ⌝∨⌝”是假命题； ③命题“q p ∨⌝”是真命题；④命题“q p ⌝∧”是假命题；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③13.给出以下四个命题：①若0ab ≤,则0a ≤或0b ≤;②若b a >则22am bm >;③在△A BC 中,若B A sin sin =,则A=B;④在一元二次方程20ax bx c ++=中,若240b ac -<,则方程有实数根.其中原命题.逆命题.否命题.逆否命题全都是真命题的是( )A.①B.②C.③D.④14.以下命题正确的个数为①命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x ≤≤则”；②命题“若,αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为真命题；③命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≥都有”；④“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件.A ．1 B. 2 C.3 D.415.已知a ，b∈R，下列四个条件中，使a ＜b 成立的必要而不充分的条件是（ ）A ． |a|＜|b|B ． 2a ＜2bC ． a ＜b ﹣1D ． a ＜b+116.给定两个命题q p ,,若p ⌝是q 的必要不充分条件,则p 是q ⌝的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.命题p ：0∀>x ，1sin -≥x ，则A ．p ⌝：0∃>x ，sin 1x <-B ．p ⌝：0∀>x ，1sin -<xC ．p ⌝：0∃>x ，sin 1x >-D ．p ⌝：0∀>x ，1sin -≥x18.设a R ∈，则1a =“”是1(1)3l ax a y +-=“直线:与直线2(1)l a x -:(23)2a y ++=互相垂直的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件19.两个事件对立是两个事件互斥的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件20.【湖南省衡阳市八中2014年高二上学期期末】若0a b >，，则“b a >”是“2233ab b a b a +>+”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件 21.若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n N *∈），则称{}n a 为“等方比数列”.甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件22.下列命题是真命题的是（ ）A. 若ac bc >，则b a >B. 若d c b a >>,，则bd ac >C. 若b a >，则ba 11< D. 若dbc ad c ->->,，则b a > 23.下列全称命题为真命题的是（ ）A ．所有的质数是奇数B ．x ∀∈R ，233x +≥C ．x ∀∈R ，120x -=D ．所有的平行向量都相等24.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（）.A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件25.已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则( )A ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x ≥B ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x ≥C ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x >D ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x >26.下列四个命题中的真命题是( )A ．∀x ∈R，x 2＋3<0B ．∀x ∈N，x 2≥1 C．∃x ∈Z ，使x 5<1 D ．∃x ∈Q ，x 2＝327.若命题“p q ∧”为假，且“q ⌝”为假，则（ ）A ．“q p ∨”为假B ． p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假28.已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件29.下列四个命题:①||333x x x ≠⇒≠≠-或;②命题“a 、b 都是偶数,则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“a ＋b 不是偶数,则a 、b 都不是偶数”;③若有命题p ：7≥7，q :l n 2＞0, 则p 且q 是真命题; ④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真. 其中真命题为( )A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④30.已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则（ ）A ．:,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ．:,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R31. “0>x ”是“0342>++x x ”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件32. “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 33.设p 211x -≤，q:[]()(1)0x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件， 则实数a 的取值范围是（ ）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭34.如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题35.已知命题p ：x R ∀∈，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,0x R x ∃∈≤B ．,0x R x ∀∈≤C. ,0x R x ∃∈< D ．,0x R x ∀∈<36.设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l 且； ④若γαβα⊥⊥,，则βγ//其中真命题的个数为（ ）个（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）437. “m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件38.下列命题中的假命题是 （ ）A. 02,1>∈∀-x R xB. 2tan ,=∈∃x R xC. 1lg ,<∈∃x R xD. ()01,2>-∈∀*x Nx 39.下列说法错误的是（ ）． A ．“21sin =θ”是“ 30=θ”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a 则0=ab ”否命题是“若0≠a 则0≠ab ” C ．若命题,01,:2<+-∈∃ x x R x p 则01,:2≥+-∈∀⌝x x R x p D ．如果命题p ⌝与命题q p 或都是真命题，那么命题q 一定是真命题40. 3.已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件41.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）．A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要42.命题“若b a >，则),,(22R c b a bc ac ∈>”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )．A ．0B ．2C ．3D ．443.条件42:<<-x p ，条件:(2)()0q x x a ++<；若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞-C ．(,4]-∞-D ． [4,)-+∞44.已知命题：p ∧q 为真，则下列命题是真命题的是( )A ．(p ⌝)∧(q ⌝)B ．(p ⌝)∨(q ⌝)C ．p ∨(q ⌝)D ．(p ⌝)∧q45.下列命题中,正确命题的个数为（ ）①若,则或”的逆否命题为“若且,则； ②函数的零点所在区间是；③是的必要不充分条件A ．0B ．1C ．2 D. 346．"2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）． A ．充分条件不必要 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件47．下列判断错误．．的是( )A ．“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”B ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件C ．若n 组数据()()n n y x y x ,,11⋅⋅⋅的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=rD ．若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题48．设是两个单位向量，其夹角为θ，则“36πθπ<<”是“1||<-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件49．命题“若2015x >，则0x >”的否命题是（ ）A ．若2015x >，则0x ≤B ．若0x ≤，则2015x ≤C ．若2015x ≤，则0x ≤D ．若0x >，则2015x >50．设集合}30|{},01|{<<=<-=x x B x xx A ，那么""m A ∈是""m B ∈的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件51． “21<-x 成立”是“0)3(<-x x 成立”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 52．下列命题中错误．．的是（ ） A ．,(3)(7)(4)(6)x R x x x x ∀∈++≤++B ．,235x R x x ∃∈-++=C ．,x R ∀∈若,a b ≥则22ax bx ≥D ．22,22x R x ∃∈=+53．已知命题:p n ∃∈N ，104n n +<，则p ⌝为（ ） A ．n ∃∈N ，104n n +< B ．n ∀∈N ，104n n+> C ．n ∃∈N ，104n n +≤ D ．n ∀∈N ，104n n+≥ 54. “||2b <是“直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件55． “直线l 垂直于平面α内两直线a ，b ”是“直线l ⊥平面α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件56．已知命题:p 全等三角形面积相等；命题:q 矩形对角线互相垂直．下面四个结论中正确的是（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是真命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是假命题57． “A ，B ，C ，D 四点不在同一平面内”是“A ，B ，C ，D 四点中任意三点不在同一直线上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件58．命题:p 20x x -<是命题:02q x <<的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件59．若,R αβ∈，则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充耍条件D ．既不充分也不必要条件60．以下命题正确的个数是（ ）①命题“R x ∀∈，sin 0x >”的否定是“R x ∃∈，sin 0x ≤”．②命题“若2120x x +-=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2120x x +-≠”． ③若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个61.已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋22y m -＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________．62.对于函数1()93x x f x m +=-⋅，若存在实数0x 使得00()()f x f x -=-成立，则实数m 的取值范围是 ．63.下列命题中，①命题“2(0,2),22x x x ∃∈++<0” 的否定是“2(0,2),22x x x ∀∈++＞0”； ②12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；④“9＜k ＜15”是“方程221159x y k k +=--表示椭圆”的充要条件． ⑤设P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线一点，且120PF PF ⋅=，若21F PF ∆的面积为9，则双曲线的虚轴长为6；其中真命题的是 （将正确命题的序号填上）64．命题“00,20R x x ∃∈≤”的否定是 ．65.已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，则命题p 的否定是_________________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是_______________．66.下列结论：①若命题00:,tan 1;p x R x ∃∈=命题,01,:2>+-∈∀x x R x q 则命题""q p ⌝且是假命题； ②已知直线,01:,013:21=++=-+by x l y ax l 则21l l ⊥的充要条件是3-=b a ； ③命题“若,0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x 则.0232≠+-x x ”④命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠则0x ≠或0y ≠”⑤命题“R,20x x ∀∈>”的否定是“00R,20x x ∃∈≤”其中正确结论的序号是.____________（把你认为正确结论的序号都填上） 67.已知命题p ：“对∀x ∈R，∃m ∈R 使4x －2x +1＋m ＝0”，若命题非p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．68．已知命题:p R x ∃∈，220x x a ++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）69．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： ．70．已知a 、b 、c 是三个非零向量，命题“若a b =，则a c b c ⋅=⋅”的逆命题是 命题（填真或假）．71．给出下列四个命题：①若a b <，则22a b <；②若1a b ≥>－，则11a b a b≥++； ③若正整数,m n 满足m n <，则2n m n m -≤（）； ④若0x >，且1x ≠，则1ln +2x lnx≥. 其中真命题的序号是________．（请把真命题的序号都填上）72．命题“(,0)x ∃∈-∞，使得34x x <”的否定是 ．73．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．74．写出命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题: ．75．在下列结论中，①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件正确的是 ．76．命题P ：直线2y x =与直线20x y +=垂直；命题Q ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线，则命题P Q ∧为 命题（填真或假）．77．已知x y R ∈、，那么命题“若x y 、中至少有一个不为0，则220x y +≠．”的逆否命题是 ．78．已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．79．已知命题p ：12=x ，命题q ：1=x ，则p 是q 的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）80．已知}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈，则实数m 的取值范围 ．81.“函数()sin()f x x ϕ为奇函数” 是“0ϕ”的 条件．82．命题“∃实数,x y ，使得1x y +>”的否定是 ．83．命题0:p x R ∃∈,020x ≤，命题:(0,),sin q x x x ∀∈+∞>，其中真命题的是 ；命题p的否定是84．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . 85.已知，：64≤-x p 032≥+x x q ：，若命题“ p 且q ”和“¬p ”都为假，求x 的取值范围．86.若p :q :且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.87.已知命题p ：关于x 的一元二次方程022=++m x x 没有实数根，命题q ：函数)161lg()(2m x mx x f +-=的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.88.已知命题1:132x p --≤；22:210,(0)q x x m m -+-≤> 若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围．89.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．90.已知命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>，命题P 且Q 为假，P 或Q 为真，求实数a 的取值范围.91.设有两个命题：:p 关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；:q 函数f (x )＝－(4－2a )x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，则实数a 的取值范围是多少？92.已知434:2≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．93.已知0c >，设p ：函数xy c =在R 上单调递减，q ：不等式21x x c +->的解集为R ，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 真命题，求c 的取值范围94.已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取 值范围．95.已知p:01322≤+-x x ,q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x（1）若a=21，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.96.已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根；q ：不等式244(2)10x m x +-+>的解集为R ；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围。
高中数学理科数学选修2-1
选修(xuǎnxiū)2-1复习题一．选择题（共14小题(xiǎo tí)）1．（2015•济南校级模拟）以下(yǐxià)说法错误的是（）A．命题(mìng tí)“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分(chōngfèn)不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥02．（2015•张掖模拟）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题3．（2015•枣庄校级模拟）命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）4．（2015•琼海校级模拟）已知命题p：“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题q：“a”的充要条件为“lna＞lnb”，则下列复合命题中假命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨￢q D．p∧（￢q）5．（2015•青羊区校级模拟）点F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆上存在点A使△AF1F2为正三角形，那么椭圆的离心率为（） A．B． C．D．﹣1 6．（2015•郑州三模）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或77．（2015•江西校级模拟）设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（） A．或 B．或2 C．或2 D．或8．（2015•天津校级一模）已知a＞b＞0，椭圆C1方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2离心率之积为，则C2的渐近线方程（） A．x±y=0 B．x±2y=0 C．x±y=0 D．2x±y=09．（2015•咸阳一模）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2：经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点 B，则椭圆C的离心率为（） A．B． C．2 D．10．（2015•济南一模）在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A．9x﹣16y+7=0 B．16x+9y﹣25=0 C．9x+16y﹣25=0 D．16x﹣9y﹣7=011．（2016•成都模拟(mónǐ)）已知双曲线的左右焦点(jiāodiǎn)分别为F1，F2，若E上存在(cúnzài)点P使△F1F2P为等腰三角形，且其顶角(dǐnɡ jiǎo)为，则的值是（）A． B．C．D．12．（2015•新课标I）已知椭圆(tuǒyuán)E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（） A．3 B．6 C．9 D．1213．（2015•柳州校级一模）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=﹣4x或y2=﹣36x14．（2015•宜宾模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣8y二．填空题（共9小题）15．（2015•新郑市校级一模）已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是．16．（2015•奉贤区一模）设命题α：1≤x＜4，命题β：x＜m；若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．（用区间表示）17．（2015•栖霞区校级模拟）若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．18．（2014秋•许昌月考）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．19．（2015秋•葫芦岛校级期中）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=2：1，则△PF1F2的面积等于．20．（2015•兰州一模）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，则椭圆C的标准方程为．21．（2015•杭州校级模拟）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．22．（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．23．（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点(dǐngdiǎn)重合，C1的方程(fāngchéng)为﹣y2=1，若C2的一条(yī tiáo)渐近线的斜率是C1的一条(yī tiáo)渐近线的斜率的2倍，则C2的方程(fāngchéng)为．三．解答题（共7小题）24．（2015•宜宾县模拟）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．25．（2015春•潍坊期末）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f （x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．26．（2015秋•辽宁校级期中）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0，若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．27．（2015•银川模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．28．（2015秋•葫芦岛校级期中）已知双曲线的中心(zhōngxīn)在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率(xīn lǜ)为，且过点（4，﹣）．点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程(fāngchéng)；（2）求证(qiúzhèng)：•=0；（3）求△F1MF2面积(miàn jī)．29．（2015春•儋州校级期末）双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，﹣2）．（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．30．（2015•嘉兴二模）已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．内容总结。
高中数学选修2-1练习题
常用逻辑用语一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________． 9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4; q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y2k1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤ D.()()22101yx x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q ＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212xyq pq+=+ B.2212xyq pp+=-+ C.2212xyp qq+=+ D.2212xyp qp+=-+二．填空题7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13→D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( ) A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______. 8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 422=⇒=．2x =-∴2x =+．2AE =-∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422=⇒=2x =-∴2x =+．2AE =-∴。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．在正四棱锥P ABCD -中，1PA PB PC PD AB =====，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为（ ） A ．7010B ．355 C ．3510D ．7052．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313B ．21313C 26D 2263．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．124．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥B ．12l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定5．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π 6．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．223C ．324D ．127．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．08．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．105B ．1010C ．32D ．629．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33310．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114AE AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ）A ．14B ．34-C ．1D ．1211．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A 15B 15C 5 D 512．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ）A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--二、填空题13．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2．点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B ，底面ABC 的动点，且1A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q的轨迹的长度为___________．14．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．15．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且 22EF =，现有如下四个结论： ①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值. 其中正确结论的序号是______．16．把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A B 、两点间的球面距离______________．17．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．18．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围 是 ．19．已知P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11A D 上的动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值为__________． 20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，在多面体ABCDEF 中，等腰梯形ABCD 所在平面垂直于正方形CDEF 所在平面，1,2DA AB BC CD ====．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BF 与平面ADE 所成角的正弦值．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ． （2）求二面角B AE C --的余弦值．23．如图，四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =（1）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值.24．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.25．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形且90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==，CD SD =，点M 是SA 的中点.（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 26．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △为等腰直角三角形，90APC ∠=︒，ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，2AC =.（1）证明：PB AC ⊥； （2）若三棱锥P ABC -3A PCB --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，利用三点共线的思想，分别求出点R ，Q ，利用两点距离公式求解，后利用导数求最值，进一步求出答案. 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设1(,,0)2Q a ，(,,)R m n q 因为211(0(,0),22P C -，112(,22PC =-， 又因为R 在PC 上，PR PC λ= 所以2(,m m q =，112(,),22λλ-， 所以R 1122(,),2222λλ=--+， 所以222211122222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++，2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-，1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时，取最小值，即20a λ-=，1202a λ-+= 所以11,36a λ==时取最小值， 所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以PQ CQ=10所以当||QR 达到最小值时，||||PQCQ 的值为10故选：A. 【点睛】空间直角坐标系距离公式的理解：（1）两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的对角线的长度．（2）两点间的距离公式与坐标原点的选取无关，经过适当转化也可以求异面直线间的距离，点到面以及平面与平面的距离等． 本题主要是R 的坐标利用三点共线的思想去求.2．C解析：C 【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 11，2），A 0，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1AE =（0，12-），1AC=（1，2）， 设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ11111313A E AC A E AC ⋅===⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．A解析：A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ． 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．5．C解析：C 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ． 所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱6，故662R ==因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(63R πππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．6．B解析：B 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B ，)12B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()12B C =--， 11cos ,A B BC <>1111AB BC A B B C ⋅=⨯=14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM与1BC的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M B C所成角的余弦值.与1【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C所成角的余弦值为1111cos ,510AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解． 9．D解析：D【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案. 【详解】 设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．B解析：B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-. 故选：B .【点睛】 本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．B解析：B【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值．【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则31,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(2AE =-，12，)t ，3(2BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710， 2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t -∴<>===+，解得2t =．∴(2AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =， AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||2sin ||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得AM xAB yAC=+，即(1)OM x y OA xOB yOC=--++，判断标准是验证OA，OB，OC三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M，A，B，C一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C三点不共线，点O是平面ABC外一点，对于A由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M在面ABC上；对于B，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与,,A B C一定共面对于C，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M与,,A B C一定共面对于D，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与,,A B C一定共面综上知，能得到点M与,,A B C一定共面的一个条件为C.故选：C．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．二、填空题13．【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心且与BC平行的线段进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2可得答案【详解】∵点P是侧面BCC1B1内的动点且A1P∥平面BCM则P点的轨迹是过解析：4 3【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．【详解】∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面ABC相交得到的的线段m，故线段m过△ABC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：23×2=43，故答案为4 3【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．14．【解析】【分析】取MC中点O连结AOBO推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1AO＝BO＝AO⊥MCAO⊥平面BMCAO⊥BO由此能求出AB两点之间的距离【详解】取MC中点O连结AOBO∵△ABC中∠C＝10【解析】【分析】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝32，BO ＝72，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离．【详解】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点， ∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，∴AO 2131()2- BO 22011172cos120121422BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=+=, 10． 【点睛】 本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．①②③【分析】根据平面可判断①；根据可判断②；利用体积公式判断③；设用向量法求出的夹角的范围判断④【详解】连接由可知平面而平面故①正确；由且平面平面可得平面故②正确；三棱锥的体积为定值故③正确；建立解析：①②③【分析】根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①；根据11//B D BD 可判断②；利用体积公式判断③；设11D E a =，用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④.【详解】连接BD ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥，可知AC ⊥平面11BB D D ，而BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确；由//EF BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得//EF 平面ABCD ，故②正确；1132A BEF BEF V S AC -=⋅ 112211232=⨯=， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确；建立坐标系如图所示;设11202D E a a ⎛=≤≤ ⎝⎭, 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，22,1E ⎫⎪⎪⎝⎭， 2121,,12222F a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 221,,122AE a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，2121,,12222BF a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ， 则22322cos 22a a AE BF AE BF a a θ-+⋅==⋅-+ 212122a a =--+2232222a a a ⎛-+=-+ ⎝⎭∴当0a =时，cos θ取得最大值2， θ∴的最小值为30，即异面直线,AE BF 所成的角不为定值，故④错误； 故答案为：①②③【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角，综合性比较强，属于中档题.16．【分析】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为且是等边三角形即中由余弦定理得的值利用弧长公式求得两点间的球面距离【详解】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为则根据点位于北纬30°东经20°点位于北解析：5arccos 8R 【分析】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，r =，且ABC 是等边三角形，即2AB R =，AOB 中，由余弦定理得AOB ∠的值，利用弧长公式求得,A B 两点间的球面距离.【详解】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，130OAO ∠=， 则3cos302r R ==， 根据A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，可得160AO B ∠=，1AO B ∴是等边三角形，即AB r R ==， ABC 中，由余弦定理可得2222232cos 4AB R R R R AOB ==+-⋅∠，求得5cos 8AOB ∠= ,5arccos 8AOB ∴∠=， ,A B ∴两点间的球面距离5arccos 8AB R AOB R =⋅∠=⋅.故答案为：5arccos 8R ⋅ 【点睛】 本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型. 17．【解析】∵∴∴故答案为 解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，1 2OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63318．【详解】试题分析：以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则∴∵点在线段上运动∴且∴∴故答案为考点：空间向量数量积的运算解析：[]0,1【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--，∴，故答案为[]0,1．考点：空间向量数量积的运算.19．【解析】试题分析：因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点：1异面直线所成的角；2线面垂直线线垂直 解析：33【解析】试题分析：因为AB //CD ，所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α．因为1111ABCD A BC D -是正方体，所以11CD ADD A ⊥面，因为11DP ADDA ⊂面，所以DC DP ⊥．所以cos CD CP α=，当1CP CA =时，min 13(cos )33CD CD CA CDα===． 考点：1、异面直线所成的角；2、线面垂直、线线垂直．20．【解析】试题分析：因为在平行六面体中所以则考点：本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构造向量将空间两点之间的距离转化为向量模的运算是解答本题的关键 解析：【解析】试题分析：因为在平行六面体中，，所以,则．考点：本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1510【分析】（Ⅰ）由面面垂直的性质定理得到DE ⊥平面ABCD ，从而得到DE AC ⊥，再由勾股定理的逆定理证明CA AD ⊥，即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，四边形CDEF 为矩形，所以CD DE ⊥，又平面ABCD 平面CDEF CD =，所以DE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，在底面ABCD 中，过,A B 作,AN BM DC ⊥，交CD 于,N M ，因为1,2DA AB BC CD ====，所以12DN CM ==，所以2213122AN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2233322AC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222AD AC CD +=，所以CA AD ⊥，又AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂面ADE ，所以AC ⊥面ADE ；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则31,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭，)3,0,2F ，所以31,222BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由（1）可知AC ⊥面ADE ，则面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =，设BF 与平面ADE 所成角为θ，则2223152sin 1031222n BF n BFθ===⋅⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BF 与平面ADE 所成角的正弦值为1510；【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）证明见解析；（2）2211. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ． （2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD =由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =--设二面角B AE C --的平面角为θ，所以622cos cos ,11322AD m θAD m AD m⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（215. 【分析】（1）AC 与BD 交于点O ，连接FO ､FD ，证明FO AC ⊥，FO BD ⊥，然后得到FO ⊥平面ABCD 即可；（2）以O 为原点，OA ､OB 、OF 分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面BFC 和平面ACF 的法向量，然后可算出答案.【详解】（1）证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO ､FD ，∵FA FC =，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO AC ⊥， ∵四边形BDEF 为菱形，60DBF ∠=︒， ∴FD FB =，∴FO BD ⊥， 又ACBD O =，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD （2）易知OA ，OB ，OF 两两垂直以O 为原点，OA ､OB 、OF 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒ 则2BD =，∴1OB =，3OA OF ==故(0,0,0)O ，(0,1,0)B ，()3,0,0C -，()3F ∴(3,0,3CF =，3,1,0CB，()0,1,0OB =设平面BFC 的一个法向量为(,,)n x y z =则33030n CF x z n CB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =-- 显然，()0,1,0OB =为平面ACF 的一个法向量 ∴15cos ,5OB n OB n OB n⋅<>==-⋅ 由图知，二面角A FC B --的平面角为锐角 ∴二面角A FC B --的余弦值为155【点睛】关键点睛：用向量法求解空间角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.24．（1）证明见解析；（2）63-. 【分析】（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN . 因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC . 所以//ME PA ，//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ， 所以//ME 平面PAD ， 同理，//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ， 所以平面//MNE 平面PAD . 因为MN ⊂平面MNE ， 所以//MN 平面PAD ；（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ， 所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥. 因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥， 因为PB AB B ⋂=，PB 、AB平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥.又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =. 所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ， 所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,34n n n n n n⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】 方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可. 25．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）根据已知条件证明BD CD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得到BD ⊥平面SCD ；（2）根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解出SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ，设==AB AD a ，2BC a =，依题意，四边形ABED 为正方形， 且有BE DE CE a ===，BD CD ==， ∴222BD CD BC +=，则BD CD ⊥. 又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD底面ABCD CD =，∴BD ⊥平面SCD（2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ， ∵平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD底面ABCD CD =，SH CD ⊥，SH ⊂平面SCD ，SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒. 由（1）得，2SD a =，∴在Rt SHD 中，2SD a =，62SH a =， 在ADH 中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得222222cos 45222AH a a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作//DF SH ，∴DF ⊥底面ABCD ，∴DB 、DC 、DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则)2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,2S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,,022A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,,424M a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MBD 的法向量(),,n x y z =，由202022n DB ax n DM ax ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得30,,12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又0,,2SD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴sin cos ,n SD θ=<>==， ∴SD 与平面MBD所成角的正弦值为14. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果. 26．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）根据PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，得到PDAC ⊥，再根据ABC 为正三角形，D 为中点，得到BD AC ⊥.然后利用线面垂直的判定定理证明.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，由 1132P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==， 求得h ，由以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设为平面PBC 的一个法向量(),,n x y z =，又DB 是平面PAC 的一个法向量，然后由cos ,DB n DB n DB n⋅=求解..【详解】（1）∵PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，. ∴PD AC ⊥，又ABC 为正三角形，D 为中点， ∴BD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ，BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD . 又PB ⊂平面PBD ， ∴PB AC ⊥.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，sin60BD BC =︒=∴11333233P ABC V AC BD h h -=⨯⨯⨯⨯==， ∴1h =. 又112PD AC ==， ∴PD ⊥平面ABC .如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，()0,0,1P∴()0,3,0=DB ，()1,0,1CP =，()1,3,0CB =. 设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得31y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴31,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.又DB 是平面PAC 的一个法向量， ∴7cos ,7DB n DB n DB n⋅==-∴二面角A PC B --7【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。
高中数学选修2-1、2-2综合试题
④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（ ）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。
1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 （ ）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。
高中数学选修2-1综合试卷
高中数学选修2-1综合试卷数学选修2-1一、选择题1.椭圆的焦点坐标为（XXX.）。
2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于（B）。
3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（45°），则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。
4.已知中，点O为正方体的中心，异面直线所成角为60°，则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。
5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（8）。
6.命题“的否定是（）。
7.给出如下四个命题：1.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；2.命题“若，则”的否命题为“若，则”；3.“，”的否定是“，”；4.在中，“”是“”的充要条件。
其中正确的命题的个数是（B）。
8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（0）。
9.若A点坐标为（-3,0），是椭圆的最大值为（4），的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则（AP+PF=6）。
10.若点O和点F分别为椭圆的最大值为3的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则（OP²=OF²+FP²）。
11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（y=±(x²/2)）。
12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且∠BAC=∠BCD=45°，平面ABCD且平面PCD所成角的正弦值为（1/3），则PB与平面的法向量为（-2,1,2）。
二、填空题13.抛物线的准线方程为（y=p）。
14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是（0<k<1）。
15.“”是“直线和直线平行”的充要条件。
16.给出下列命题：直线l的方向向量为（1,2,3），直线l的方向向量1，2，3，直线m的方向向量2,1,1，平面的法向量1,2，-1，则向量1,2，-1与平面垂直；平面经过三点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，u=2,3，-1是平面的法向量，则真命题的是（命题1和命题3）。
高中数学选修2-1 第一章《 常用逻辑用语》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。
高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)
12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学校：班级：姓名： 学号;○装 订 线○ 高中数学试卷选修2-1测试卷一、单选题（共12题；共36分）1.（2020高二下·大庆期末）下列三个结论：①命题 p ：“ ∃x 0∈R ,x 02−x 0−1>0 ”的否定 ¬p ：“ ∀x ∈R ,x 2−x −1≤0 ”；②命题“若 x −sinx =0 ，则 x =0 ”的逆否命题为“若 x ≠0 ，则 x −sinx ≠0 ”；③“命题 p ∧q 为真”是“命题 p ∨q 为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.（2020高二下·北京期末）焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（ ） A. y 2=12x B. y 2=3x C. x 2=6y D. y 2=6x3.（2020高二下·通州期末）命题“ ∀x ∈R ， x +1⩾0 ”的否定是（ ） A. ∃x ∈R ， x +1<0 B. ∀x ∈R ， x +1<0 C. ∃x ∈R ， x +1⩾0 D. ∀x ∈R ， x +1⩽04.（2020高二下·新余期末）“ k >3 ”是“方程x 2k−3−y 2k+3=1 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（2020高二下·商丘期末）已知双曲线x 23−y 2=1 的左.右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 点P 在双曲线上，且满足 |PF 1|+|PF 2|=2√5 ，则 ΔPF 1F 2 的面积为 ( )A. 1B. √3C. √5D. 126.（2020·平邑模拟）已知O 为坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0) 的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2√33B. √2C. √3D. 27.（2020高二下·广州期末）正方体 ABCD −EFGH 的棱长为1，点M 在正方体的表面 EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径. 已知点M 到A 的最短路径 d(M,A) 等于点M 到点G 的最短路径 d(M,G) . 则 d(M,G) 的最大值为( )A. √52B. 54C. 1+√22D. 5√268.（2020·九江模拟）第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A. 20°B. 28°C. 38°D. 48°9.（2020·厦门模拟）一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ∠B =∠F =90° ， ∠A =60° ， ∠D =45° ， BC =DE ．现将两块三角板拼接在一起，取 BC 中点 O 与 AC 中点 M ，则下列直线与平面 OFM 所成的角不为定值的是（ ）A. ACB. AFC. BFD. CF10.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ： x 2a 2−y 2b2=1 （a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 11.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C. x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=112.（2020高二下·丽水期末）已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的一个焦点，若直线 y =kx 与椭圆相交于A ,B 两点，且 ∠AFB =60° ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. (√32，1) B. (0，√32) C. (0，12) D. (12，1)二、填空题（共4题；共12分）13.（2020高二下·徐汇期末）如图，以长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的顶点D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 (4,3,2) ，则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为________14.（2020高二下·北京期末）已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ， b >0) 的离心率为 √2 ，则该双曲线的渐近线方程为________．15.（2020高二下·天津期末）命题“ ∃x <0 ， (12)x <1 ”的否定是________.16.（2020高二下·上海期末）双曲线 mx 2+y 2=1 的虚轴长是实轴长的2倍，则 m = ________三、解答题（共6题；共52分）17.（2019高一上·上海月考）证明：“已知 a 、 b ∈R ，若 a 2+2ab +b 2+a +b −2≠0 ，则 a +b ≠1 .”为真命题.2○装订线○域答学校： 班级： 姓名： 学号;○装 订 线○答案解析部分一、单选题 1.【答案】 D【考点】四种命题间的逆否关系，复合命题的真假，命题的否定【解析】【解答】命题 p ：“ ∃x 0∈R ,x 02−x 0−1>0 ”的否定 ¬p ：“ ∀x ∈R ,x 2−x −1≤0 ”；所以①正确；命题“若 x −sinx =0 ，则 x =0 ”的逆否命题为“若 x ≠0 ，则 x −sinx ≠0 ”； 所以②正确； 若“命题 p ∧q 为真”则 p ，q 均为真，所以“命题 p ∨q 为真”； 若“命题 p ∨q 为真”，则 p ，q 至少有一个为真，所以“命题 p ∧q 不一定为真”，因此“命题 p ∧q 为真”是“命题 p ∨q 为真”的充分不必要条件；所以③正确 故答案为：D【分析】根据命题的否定、逆否命题的概念、复合命题的真假依次判断选择. 2.【答案】 D【考点】抛物线的定义【解析】【解答】因为焦点在 x 轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为 y 2=2px(p >0) ， 因为焦点到准线的距离为 3 ，所以 p =3∴y 2=6x 故答案为：D【分析】根据焦点位置确定抛物线方程形式，再根据焦点到准线的距离确定结果. 3.【答案】 A 【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“ ∀x ∈R ， x +1⩾0 ”为全称命题，则命题的否定为 ∃x ∈R ， x +1<0 ， 故答案为：A.【分析】全称命题的否定是特称命题，先否定量词，再否定结论. 4.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，双曲线的标准方程 【解析】【解答】因为当 k >3 时， k −3>0 ， k +3>0 ，方程 x 2k−3−y 2k+3=1 表示双曲线； 当方程x 2k−3−y 2k+3=1 表示双曲线时， (k −3)(k +3)>0 ，即 k >3 或 k <−3 ，不能推出 k >3 ，所以“ k >3 ”是“方程 x 2k−3−y 2k+3=1 表示双曲线”的充分不必要条件，故答案为：A【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的方程即可判定. 5.【答案】 A【考点】双曲线的定义【解析】【解答】由双曲线的定义可得 |PF 1|−|PF 2|=2√3 ，又 |PF 1|+|PF 2|=2√5 ，两式联立得： |PF 1|=√5+√3 ， |PF 2|=√5−√3 ，又 |F 1F 2|=4 ，所以 |PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2 ，即 ΔPF 1F 2 为直角三角形，所以 S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|=1 . 故答案为：A【分析】由双曲线的定义可得 |PF 1|−|PF 2|=2√3 ，联立 |PF 1|+|PF 2|=2√5 可求出 |PF 1|，|PF 2| 的长，进而可求三角形的面积. 6.【答案】 A【考点】向量在几何中的应用，双曲线的简单性质【解析】【解答】如图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：y ＝± bax ，则点F （c ，0），A （c ， bc a），设点B （x 0 ， −bx 0a），∵BF ∥OA ，∴ k OA =k BF ，即 ba =−bx 0ax 0−c，解得：x 0 =c2 ，所以 B(c2,−bc 2a )∴ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c2，−3bc 2a) ， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(c2，−bc 2a)又∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，∴ −c24+3b 2c 24a 2= 0，即a 2＝3b 2 ．∵c 2＝a 2+b 2， ∴a 2＝3（c 2﹣a 2），即3c 2＝4a 2 ， 所以离心率e =c a=2√33．故答案为：A ．【分析】设双曲线的半焦距为c ，利用题设条件分别求出A 、B 的坐标，再利用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得到a 与c 的关系式，即可求出离心率． 7.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算【解析】【解答】将正方形 ABFE 和正方形 FEHG 展开成平面图形如下图所示.连接 AG 交 EF 于O ，根据矩形的对称性可知O 是线段 EF 的中点，且 OA =OG . 过O 作 PQ ⊥AG ，分别交 AH,BG 于 P,Q .由于 d(M,A) 等于 d(M,G) ，所以M 点的轨迹为线段 OP ， 则 d(M,G) 的最大值为 PG =PA .在 Rt △AOP 中， OE ⊥AP ，由射影定理得 OE 2=PE ⋅AE ，所以 (12)2=PE ×1⇒PE =14.4○装订线○在此题学校： 班级： 姓名： 学号;○装 订 线○所以 AC 1⇀=(−4,3,2) 。