河北省2018年中考数学总复习 二次函数专题
河北中考复习之二次函数一、填选题1、在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为则小球距离地面的最大高度是（ ） A 、1米 B 、5米 C 、6米 D 、7米4、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）5、如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、6、如图6，抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+交于点(13)A ，，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论：[来源:] ①无论x 取何值，2y 的值总是正数． ②1a =． ③当0x =时，214y y -=． ④23AB AC =． 其中正确结论是（ ）A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④7、如图，一段抛物线：y=-x （x-3）（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m=8、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．abc ＞0B ．3a ＞2bC ．m （am+b ）≤a-b （m 为任意实数）D ．4a-2b+c ＜09、对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，-1}=-1．若关于x 的函数y=min{2x 2，a （x-t ）2}的图象关于直线x=3对称，则a 、t 的值可能是（ ）二、解答题1、已知一条抛物线经过A （0，3）、B （4，6）两点，对称轴为x53． （1）求这条抛物线的解析式；（2）试证明这条抛物线与x 轴的两个交点中，必有一点C ，使得对于x 轴上任意一点 D ，都有AC+BC ≤AD+BD ．2、如图7，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ′部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和A ′D ′是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ′D ′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4（1）求拱桥DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长； （2）BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB 和A ′B ′的宽； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从OA （或OA ′）区域安全通过？请说明理由．3、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图8所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米，问此次跳水会不会失误？并说明理由。
4、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y 与x 的二次函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）请把（2）中的二次函数配方成2()y a x h k =-+的形式，并据此说明，该经销店要 获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．5、如图13，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．6、研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式2159010y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲、p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系.（注：年利润＝年销售额 － 全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1）、（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的顶点坐标是24()24b ac b a a--，．图13 图11 O z （万元）x （元）9、如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y=x 2+bx+c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点 为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）． （1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，821S ； （3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．10、.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50cm）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：2由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价-成本价）.①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；14、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y （m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．15、已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．16、根据对市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1=kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？17、如图，在直角坐标系中，点P 的坐标是（n ，0）（n ＞0），抛物线y=-x2+bx+c 经过原点O 和点P ．已知正方形ABCD 的三个顶点为A （2，2），B （3，2），D （2，3）．（1）求c ，b 并写出抛物线对称轴及y 的最大值（用含有n 的代数式表示）； （2）求证：抛物线的顶点在函数y=x2的图象上；（3）若抛物线与直线AD 交于点N ，求n 为何值时，△NPO 的面积为 ；（4）若抛物线经过正方形区域ABCD （含边界），请直接写出n 的取值范围18、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低１元，日均多售出２千克．在销售过程中，每天还要支出其它费用500元．设销售单价为x 元,日均获利为y 元．(1) 求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围； (2) 将（1）中所求出的二次函数配方成ab ac ab x a y 44)2(22-++=的形式，写出顶点坐标；在图9所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？(3) 若将这种化工原料全部售出， 比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？（在运算过程中，天数不足一天时，按整天计算．）19、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2） 设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）； （3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？图920、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额―生产成本―投资）为z（万元）．（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？。
河北省2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章函数及其图像第5节二次函数的图像及性质精讲
第五节二次函数的图像及性质规河北五年中考真题及模拟)二次函数的图像及性质1.(2017河北中考)如图，若抛物线y ＝－x 2＋3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像是( D ),A ) ,B ),C ) ,D ) 2．(2017石家庄中考模拟)二次函数y ＝－2(x －3)2－6图像的对称轴和最值分别为( B ) A ．直线x ＝－3，6 B ．直线x ＝3，6 C ．直线x ＝－3，－6 D ．直线x ＝3，－63．(2017保定中考模拟)已知两点A(－5，y 1)，B(3，y 2)均在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)上，点C(x 0，y 0)是该抛物线的顶点．若y 1＞y 2≥y 0，则x 0的取值范围是( B )A ．x 0＞－5B ．x 0＞－1C ．－5＜x 0＜－1D ．－2＜x 0＜34．(2016石家庄四十三中一模)已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图像的开口向下；②其图像的对称轴为直线x ＝－3；③其图像顶点坐标为(3，－1)；④当x<3时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2017唐山中考模拟)某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像时，列出了下面的表格：A ．－11B ．－2C ．1D ．－5二次函数表达式的确定6．(2016保定十七中模拟)如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是( D),A),B),C),D)7．(2017保定中考模拟)若将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，则所得的抛物线是( C)A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1C．y＝2(x＋1)2D．y＝2(x－1)28．(2016保定十七中一模)已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 015的值为__2__016__．9．(2015河北中考)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为y C，求y C的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．解：(1)把x＝2，y＝1代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝2.∴表达式为y＝－(x－2)2＋1(或y＝－x2＋4x－3)．对称轴为直线x＝2，顶点B(2，1)；(2)点C的横坐标为0，则y C＝－h2＋1，∴当h＝0时，y C有最大值为1.此时，l为y＝－x2＋1，对称轴为y 轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小，∴x1＞x2≥0时，y1＜y2；(3)把OA分1∶4两部分的点为(－1，0)或(－4，0)．把x＝－1，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝0或h ＝－2.但h＝－2时，OA被分为三部分，不合题意，舍去．同样，把x＝－4，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝－5或h＝－3(舍去)．∴h的值为0或－5.10．(2014河北中考)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的表达式为y＝(－1)n x2＋bx＋c(n为整数)．(1)n为奇数，且l经过点H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；(2)n为偶数，且l经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上；(3)若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．解：(1)n为奇数时，y＝－x2＋bx＋c.∵l经过点H(0，1)和C(2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，－4＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋1，∴y ＝－(x －1)2＋2， ∴顶点为格点E(1，2)；(2)n 为偶数时，y ＝x 2＋bx ＋c ， ∵l 经过点A(1，0)和B(2，0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2， 当x ＝0时，y ＝2，∴点F(0，2)在抛物线y ＝x 2－3x ＋2的图像上，点H(0，1)不在抛物线y ＝x 2－3x ＋2的图像上；(3)所有满足条件的抛物线共有8条．中考考点清单二次函数的概念及表达式1．定义：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4．二次函数表达式的确定：(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式；②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)． (2)步骤：①设二次函数的表达式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．二次函数的图像及其性质二次函数的图像及其性质近五年考查三大题型均有涉及．结合的背景有：(1)与规律探索结合的旋转抛物线；(2)以两个抛物线结合为背景；(3)与正方形结合．设问方式有：(1)求点坐标；(2)判断结论的正误；(3)判断不符合条件的函数图像；(4)求表达式；(5)求最值．5数6._二次函数图像的平移7．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h ，k)即可． 8．平移规律：＝ 续表二次函数与一元二次方程的关系9．当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根． 10．当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根． 11．当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．,中考重难点突破二次函数的图像及性质【例1】(2017孝感中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，反比例函数y ＝b x与一次函数y ＝cx ＋a 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )【解析】∵y＝ax 2＋bx ＋c 的图像的开口向下，∴a<0，∵对称轴在y 轴的右侧，∴b>0，与y 轴正半轴相交，∴c>0，∴反比例函数的图像经过第一、三象限，一次函数的图像经过第一、三、四象限．故选B .【答案】B1．(2017广州中考)a≠0，函数y ＝a x与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图像可能是( D ),A ) ,B ),C ),D )抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像与a ，b ，c 的关系【例2】(2017日照中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图像如图所示，下列结论：①抛物线过原点； ②4a ＋b ＋c ＝0； ③a －b ＋c ＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是( B )A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤【解析】由对称轴为直线x＝2和点(4，0)可判断①；由对称轴为直线x＝2可得b＝－4a，又c＝0可判断②；当x＝－1时，y＝a－b＋c，可判断③；观察图像即可判断④；由函数增减性可判断⑤.【答案】C2．(烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a＋c>b；③2a＋b>0.其中正确的有( B)A．①②B．①③C．②③D．①②③(第2题图)(第3题图)3．(兰州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①abc>0；②4ac<b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c>2.其中正确的结论的个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个二次函数表达式的确定【例3】(2016承德二中模拟)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的表达式；(2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；(3)画出图像，再根据图像直接得出答案．【答案】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－12x －1； (2)当y ＝0时，得12x 2－12x －1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1，∵点A 的坐标为(2，0)，∴点D 坐标为(－1，0)；(3)图像如图所示，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是－1＜x ＜4.4．如图，二次函数的图像与x 轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y 轴于点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B ，D.(1)请直接写出D 点的坐标； (2)求二次函数的表达式；(3)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围． 解：(1)D(－2，3)；(2)设表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3； (3)x ＜－2或x ＞1.。
走进2018年中考数学复习专题攻略走进2018年中考数学复习专题攻略第五讲二次函数压轴研究
走进2018年中考数学复习专题攻略第五讲二次函数压轴问题【专题解析】函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.【方法点拨】二次函数主要是借助动点问题和三角形、四边形相关的研究，分析此类问题主要是化动为静，化大为小，逐一解答的过程。
【类型突破】类型一：函数动点问题（2017•营口）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x ﹣2；（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD ﹣S△EBD=×5×﹣1×=；（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=，∴N（，），同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，当N（，﹣）或（，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．变式练习：（2017黑龙江鹤岗）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b 分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为▱BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，可分别得到S与t的函数关系式．【解答】解：（1）∵|x﹣15|+=0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，∵tan∠CBD=，∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，∴∠ONM=∠CBD，∴=，∵DE∥ON，∴==，且OE=3，∴=，解得OM=6，∴ON=8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y=x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′•OA=15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S=．类型二：二次函数存在点问题研究（2017贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE =S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．变式练习：（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC =S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．类型三：二次函数相似点问题研究( 2017湖南怀化)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x 轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD=，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）；（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S=CE•HF=﹣2（t﹣）2+，四边形CHEF当t=时，四边形CHEF的面积最大为．（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．变式练习：（2017四川眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N 作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC==，①当PA=CA时，则OP=OC=2，1②当PC=CA=时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角（0，），④当PC=CA=时，于是得到结论；形的性质得到P3（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=，求得抛物线的对称轴为直线x==，得到OG=，求得GN=t﹣，根据相似三角形的性质得到HG=t﹣，于是得到结论．【解答】解：（1）把A（3，0），且M（1，﹣）代入y=ax2+bx﹣2得，解得：；（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC==，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，∴P1（0，2）；②当PC=CA=时，即m+2=，∴m=﹣2，∴P2（0，﹣2）；③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P3EC，∴=，∴P3C=，∴m=，∴P3（0，），④当PC=CA=时，m=﹣2﹣，∴P4（0，﹣2﹣），综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）；（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，∵NH∥AC，∴，∴，∴OM=，∵抛物线的对称轴为直线x==，∴OG=，∴GN=t﹣，∵GH∥OC，∴△NGH∽△NOM，∴，即=，∴HG=t﹣，∴S=ON•GH=t（t﹣）=t2﹣t（0＜t＜3）．类型四：二次函数特殊点问题研究（2017呼和浩特）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P 点横坐标x的取值范围．（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a （x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH ⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根据相似三角形的性质得到x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+，0），于是得到结论；（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，=﹣8．∴抛物线的对称轴为x=2．∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，∴yM设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，∴OD=OA=，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴，∴x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+，0），∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，∴当x=时，∠PCO=∠ACO，当2+＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；（3）解方程组，解得：，∴D（﹣1，28），∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，∵﹣1≤t＜0，∴当t=﹣1时，S=18；最大②当0＜t＜时，S=t•8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵=6；0＜t＜，∴当t=﹣1时，S最大③当＜t＜2时，S=t•8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，∵＜t＜2，∴此时S为最大值．变式练习：（2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x 轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD=，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）；（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S=CE•HF=﹣2（t﹣）2+，四边形CHEF当t=时，四边形CHEF的面积最大为．（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．【提高巩固】1.（2017黑龙江鹤岗）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP =4S△ABD，求点P的坐标．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2 （2）由，得，，∴D（，﹣），∵S△ABP =4S△ABD，∴AB×|yP|=4×AB×，∴|yP|=9，yP=±9，当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．3．（2017浙江湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；（3）开放性答案，代入法即可解题；【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，∴抛物线L1解析式为y=；同理可得：，解得：，∴抛物线L2解析式为y=；（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，由题意得：，解得：，∴抛物线L解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；∴点D坐标为（，），1∴DG==，AG=；解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m；同理可得：抛物线L2∴EH==，BH=，∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，∴∠ADG=∠EBH，∵在△ADG和△EBH中，，∴△ADG～△EBH，∴=，∴=，化简得：m2=12，解得：m=±；（3）存在，例如：a=﹣，﹣；当a=﹣时，代入A，C可以求得：解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m；同理可得：抛物线L2∴点D坐标为（，），点E坐标为（，）；∴直线AF斜率为，直线BF斜率为；若要AF⊥BF，则直线AF，BF斜率乘积为﹣1，即×=﹣1，化简得：m2=﹣20，无解；同理可求得a=﹣亦无解．4．（2017内蒙古赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．5．（2017广西河池）抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．【分析】（1）由抛物线解析式可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，结合二次函数的对称性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，则可求得PE的长，可求得P点坐标；（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当∠OCQ=∠OCA时，利用两角的正切值相等可得到关于x的方程，可求得Q点的横坐标，再结合图形可比较两角的大小．【解答】解：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，∴B（3，0），C（0，3），∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（2）∵OB=OC，∴∠ABC=45°，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为x=1，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，∴∠PBA==°，∠DPB=∠APB=°，∴∠PBD=°﹣45°=°，∴∠DPB=∠DBP，∴DP=DB，在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，∴PE=2+2，∴P（1，2+2）；当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，﹣2﹣2）；综上可知P点坐标为（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，∴==，即=，解得x=0（舍去）或x=5，∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．6．（2017哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据S△ABC =S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；（3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ 交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBQ≌△OCH，△OSR ≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan ∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，﹣ t﹣3），可得﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，求得t，再根据MN=d求解即可．【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y=x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，y=x2﹣2x﹣3，y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴∠ABC=45°，AC=，AB=4，∵PE⊥x轴，∴∠EMB=∠EBM=45°，∵点P的横坐标为1，∴EM=EB=3﹣t，连结AM，∵S△ABC =S△AMC+S△AMB，∴AB•OC=AC•MN+AB•EM，∴×4×3=×d+×4（3﹣t），∴d=t；（3）如图2，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为x=1，∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），∴CD=2，过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，∴DK=1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB=90°，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，∴四边形OHQI为矩形，∵∠OCQ+∠OBQ=180°，∴∠OBQ=∠OCH，∴△OBQ≌△OCH，∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，∴∠SOG=90°，∴∠ROG=45°，∵OR=OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR=GR，∴SR=CS+BR，∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，∴∠BOR=∠TBK，∴tan∠BOR=tan∠TBK，∴=，∴BR=TK，∵∠CTQ=∠BTK，∴∠QCT=∠TBK，∴tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，∵SK2+RK2=SR2，∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2，解得m1=﹣2（舍去），m2=；∴ST=TD=，TK=，∴tan∠TBK==÷3=，∴tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，∵CF′=OE′=t，∴PF′=t，∴PE′=t+3，∴P（t，﹣ t﹣3），∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，解得t1=0（舍去），t2=．∴MN=d=t=×=．。
河北省2018年中考数学总复习 精讲试题 第二编专题突破篇专题6二次函数与综合应用
年可能还出现在压轴题的位置上解题策略此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分．,重难点突破)二次函数的实际应用【例1】(2016石家庄中考模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg ，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )有如下关系：w ＝ax 2＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式； (2)当销售价定为24元/kg ，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算所得利润；(3)将w ＝150代入w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数表达式可知w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200，所以当x ＝29时利润最大．【答案】解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w ＝ax 2＋bx －160，得⎩⎪⎨⎪⎧72＝a ×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝120. ∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式为w ＝－2x 2＋120x －1 600；(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg 时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为25元/kg ；(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，当x≤29时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．1．(2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(t )与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y 2(t )与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1)求y 1与时间t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)设国内、国外市场的日销售总量为y t ，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t?(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值．解：(1)设y 1＝at 2＋bt ，把点(30，0)和(20，40)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧900a ＋30b ＝0，400a ＋20b ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝6.∴y 1＝－15t 2＋6t(0≤t≤30，t 为整数)．设y 2＝kt ＋b ，当0≤t<20时，y 2＝2t ，当20≤t≤30时，⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝40，30k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝120，∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t<20，且t 为整数），－4t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）；(2)由y ＝y 1＋y 2，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋8t （0≤t<20，且t 为整数），－15t 2＋2t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）.由图像可知，销售第20天，y ＝80， ∴y ＝75时，t ＜20，即－15t 2＋8t ＝75，t 2－40t ＋25×15＝0，解得：t 1＝15，t 2＝25>20(舍)．即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t ；(3)当0≤t＜20时，y ＝－15t 2＋8t ＝－ 15(t －20)2＋80.此时，y 随t 的增大而增大．∵t 为整数， ∴当t ＝19时，y 最大，为79.8 t ．当20≤t≤30时，y ＝－15t 2＋2t ＋120＝－15(t －5)2＋125.∵当t ＞75时，y 随t 的增大而减小，∴当t ＝20时，y 的最大，为80 t .综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y 值最大，最大值为80 t .【方法指导】先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题．二次函数图像综合问题【例2】(2016河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图像G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．【解析】(1)设点P(x ，y)，只要求出xy 即可解决问题；(2)先求出A ，B 两点的坐标，再求出对称轴以及点M 坐标即可解决问题；(3)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP 左侧，L 的顶点就是最高点，当对称轴在MP 右侧，L 与MP 的交点就是最高点；(4)画出图形求出C ，D 两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【答案】解：(1)设点P(x ，y)，则MP ＝y ，OM ＝x.OA ＝2x.∵OA·MP＝12， M 是OA 的中点，∴2x ·y ＝12，即xy ＝6； ∴k ＝xy ＝6.(2)当t ＝1时，令y ＝0，即0＝－12(x －1)(x ＋3)，解得x ＝1或－3. ∵点B 在点A 左边，∴B(－3，0)，A(1，0)． ∴AB ＝4，∴L 的对称轴是直线x ＝－1，M 的坐标为(12，0)，∵12－(－1)＝32， ∴MP 与L 对称轴之间的距离为32；(3)∵A(t，0)，B(t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.又∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，0， 当t －2≤t2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t ＞4时，L 与MP 的交点为最高点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12（x －t ）（x －t ＋4），x ＝t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝－t28＋t.即此时的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t 28＋t ；(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋ 2.2．(2017天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)求A ，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l 的函数表达式；(其中k ，b 用含a 的式子表示)(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；(4)设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)当y ＝0时，ax 2－2ax －3a ＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x ＝－1＋32＝1； (2)∵直线l ：y ＝kx ＋b 过A(－1，0)，∴0＝－k ＋b ，即k ＝b ，∴直线l ：y ＝kx ＋k. ∵CD ＝4AC ，点A 的横坐标为－1，∴点D 的横坐标为4，代入抛物线得y ＝5a ， ∴将(4，5a)代入y ＝kx ＋k 得k ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ；(3)如图①，过E 作EF∥y 轴交直线l 于F ，设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，a x ＋a)，EF ＝ax 2－2ax －3a －ax －a ＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CEF ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a ，∴△ACE 的面积的最大值为－258a.∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25；(4)以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形．由(2)知，D(4，5a)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴设P(1，m)．①如图②，连接AP.若AD 是矩形ADPQ 的一条边，由中点公式可得12(x A ＋x P )＝12(x D ＋x Q )，解得x Q ＝－4，将x＝－4代入y ＝ax 2－2ax －3a 得y ＝21a ，∴Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ 是矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD 2＋PD 2＝AP 2，∴52＋(5a)2＋32＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，解得a 1＝77(不合题意，舍去)，a 2＝－77.∴P(1，－2677)；②如图③，若AD 是矩形APDQ 的对角线，由中点公式得12(x A ＋x D )＝12(x Q ＋x P )，解得：x Q ＝2，将x Q ＝2代入y ＝ax 2－2ax －3a 得y ＝－3a ，∴Q(2，－3a)，m ＝5a －(－3a)＝8a ，则P(1，8a)．∵四边形APDQ 是矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP 2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，解得a 1＝12(不合题意，舍去)，a 2＝－12.∴P(1，－4)．综上所述，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－2677或(1，－4)．。
【教育资料】河北省2018年中考专题二次函数的图像和性质教学案(word 无答案)学习精品
二次函数的图像、性质及解析式【知识梳理】【方法集会】一．二次函数的概念（一）二次函数的定义一般地，形如c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.二．二次函数的图象性质二次函数c bx ax y ++=2）（0≠a 的性质 1、对称轴：a b x 2-= 2、顶点坐标：)442(2ab ac a b --， （1）最值：当0>a 时有最小值ab ac 442- 当0<a 时有最大值ab ac 442- （2）单调性：二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的变化情况（增减性）当0>a 时，对称轴左侧a b x 2-<，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧a b x 2-> ，y 随x 的增大而增大；当0<a 时，对称轴左侧a b x 2-<， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧a b x 2->，y 随x 的增大而减小；二次函数k h x a y +-=2)(）（0≠a 的性质1、对称轴： x h =2、顶点坐标： (,)h k3、最值：0a >时有最小值k0a <时有最大值k ；二次函数21()()y a x x x x =--）（0≠a 的性质 1、对称轴： 212x x x +=2、与x 轴的交点坐标为21(,0),(,0)x x（六）二次函数的图象与系数的关系3、a 的符号决定抛物线的开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．4、a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大．5、a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．简要概括为“左同右异” ． 6、c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．（七）根据二次函数的图象判断代数式符号1、24b ac -决定了函数图象与x 轴的交点情况：当240b ac ->，有两个交点；当240b ac -=，有一个交点；当240b ac -<，没有交点．2、当1x =时，可以得到a b c ++的值；当1x =-时，可以得到a b c -+的值三．二次函数解析式的确定一、待定系数法1、一般式：2(0)y ax bx c a =++≠．2、顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．3、交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠．【考点突破】考点1：二次函数的概念例1、已知函数2222()(32)2mm y m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？变式1、如果函数22(1)1k k y k x kx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k =____．考点2：二次函数的图像与性质例1、解决下列问题：1、抛物线233y x =+的顶点坐标为_________，对称轴为________．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．2、抛物线23(2)y x =-的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．例2、若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为______．变式1、 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序 是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，例3、关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是________．例4、二次函数2()y a x m n =++的图象如图，一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限例5、二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号．变式1、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出下列五个结论： ①abc >0；②4ac -b 2<0；③4a +c <2b ；④3b +2c <0；⑤m (am +b )<a -b （m ≠-1）．其中正确结论的序号是___________________．考点3：二次函数解析式及几何变换 例3、将二次函数22y x =的图象先向右平移1的解析式为( )A ．()2213y x =--B ．()2213y x =-+C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =++变式1、函数25(1)2y x =+-的图象可由函数25y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A.右移一个单位，下移两个单位B.右移一个单位，上移两个单位C.左移一个单位，下移两个单位D.左移一个单位，上移两个单位【模考链接】1、如图1，已知一次函数3y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b ，c 的值．（2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△AOB 内（包括△AOB 的边界），求h 的取值范围．（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接PA ，PC ，PG ，分别以AP ，AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 、等边△AGQ ，连接QR ．求证：PG =RQ ；2、如图1，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．12y x =-2164y x =-+A B ，AB ，AB AB ，P AB P AB ，P。
中考数学总复习课时训练(专题(13)二次函数的图象与性质(一)附详细解析参考答案
课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。
河北省2018年中考数学总复习二次函数专题（无答案）
河北中考复习之二次函数一、填选题一、填选题 1、在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为的图象大致为2、某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s m/s）之间满足二次函数）之间满足二次函数y=201x2（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5m 5m，则开始刹车时的速度为（，则开始刹车时的速度为（，则开始刹车时的速度为（ ）A ．40m/sB ．20m/sC ．10m/sD ．5m/s 3、一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：（秒）满足下面函数关系式：h=h=h=﹣﹣5（t ﹣1）2+6+6，，则小球距离地面的最大高度是（则小球距离地面的最大高度是（ ） A 、1米B 、5米C 、6米D 、7米 4、如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2x=2，点，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（的坐标为（00，3），则点B 的坐标为（的坐标为（ ） A ．（．（22，3） B ．（．（33，2） C ．（．（33，3） D ．（．（44，3）5、如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（的函数图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、6、如图6，抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+交于点(13)A ，，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论：．则以下结论： ①无论x 取何值，2y 的值总是正数．的值总是正数． ②1a =． ③当0x =时，214y y -=． ④23AB AC =．其中正确结论是（其中正确结论是（ ） A ．①②．①② Ｂ．②③Ｂ．②③ Ｃ．③④Ｃ．③④ Ｄ．①④Ｄ．①④ 7、如图，一段抛物线：、如图，一段抛物线：y=-x y=-x y=-x（（x-3x-3）（）（）（00≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180180°得°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180180°得°得C 3，交x 轴于点A 3；…；… 如此进行下去，直至得C 13．若P （3737，，m ）在第13段抛物线C 13上，则m=8、已知二次函数y=ax 2+bx+c +bx+c（（a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．abc abc＞＞0 B ．3a 3a＞＞2b C ．m （am+b am+b））≤a-b a-b（（m 为任意实数） D ．4a-2b+c 4a-2b+c＜＜0 9、对于实数c 、d ，我们可用min{ min{ c c ，d d }}表示c 、d 两数中较小的数，如min{3min{3，，-1}=-1-1}=-1．．若关于x 的函数y=min{2x 2，a （x-t x-t））2}的图象关于直线x=3对称，则a 、t 的值可能是（ ） A ．3，6 B ．2，-6 C ．2，6 D ．-2-2，，61010、、求一元二次方程x 2+3x-1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=x1的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3-x-1=0的解的个数有（的解的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个O xy AOxyBOxyCOxyD二、解答题二、解答题1、已知一条抛物线经过A （0，3）、）、B B （4，6）两点，对称轴为x =53． （1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式； （2）试证明这条抛物线与x 轴的两个交点中，轴的两个交点中，必有一点必有一点C ，使得对于x 轴上任意一点轴上任意一点 D D ，都有AC+BC AC+BC≤≤AD+BD AD+BD．．2、如图7，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD DGD′部分为一段抛物线，顶点′部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，米，AD AD 和A ′D ′是两侧高为5.5米的支柱，的支柱，OA OA 和OA OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ′D ′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4 （1）求拱桥DGD DGD′所在抛物线的解析式及′所在抛物线的解析式及CC CC′的长；′的长；′的长； （2）BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB 和A ′B ′的宽；′的宽； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从OA OA（或（或OA OA′）区域安′）区域安全通过？请说明理由．全通过？请说明理由．3、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图8所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。
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100
的附加费，设月利润为 w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费） ．
（ 1）当 x = 1000 时， y =
元 /件， w 内 =
元；
（ 2）分别求出 w 内， w 外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围） ；
（ 3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国
内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；
（ 4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完， 请你通过分析帮公司决策， 选择在国内还
是在国外销售才能使所获月利润较大？
2
参考公式：抛物线
y
ax2
bx
c(a
0) 的顶点坐标是 (
b 4 ac ,
b )．
2a 4a
例 2．我市某外资企业生产的一批产品上市后
30 天内全部售完，该企业对这批产品上市后
求斜面 EG 的倾斜角∠ GEF 的正切值
例 4． 如图，在水平地面点 A 处有一网球发 射器向空中发射网球， 网球飞行路线是一条抛 物线，在地面上落点为 B．有人在直线 AB 上 点 C（ 靠点 B 一侧 ）竖直向上摆放无盖的圆柱 形桶，试图让网球落入桶内．已知 AB＝ 4 米， AC＝ 3 米，网球飞行最大高度 OM =5 米，圆柱 形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米（ 网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计 ）． （1）如果竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内．
W 元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
例 2．某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件。市场调 查反映：如果每件的售价每涨 1 元（售价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10 件。设
最新-河北省2018年中考数学讲座 二次函数的考法分析 精品
二次函数的考法分析考法一： 1、考法要点2、举例说明例1已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x… 32- 1- 12- 012 1 32 … y…54- 2-94- 2-54- 074…则该二次函数的解析式为22y x x =+-．例2．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2例3． 如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直标 系中的图象，根据图形判断 ① c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0； b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号）② 、④ ．例4．如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 最大值为(D )A ．－3B ．1C ．5D ．8例5．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4例6．如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0xyO2y ax bx c =++经过x 轴上的点A B ，．（1）求点A B C ，，的坐标．（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．例7．已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．例8．已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个点.（1）求C 1的顶点坐标； （2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标； （3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围.考法二1、考法要点2、举例说明例1． 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.例2．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23y=x 3x 15－＋＋的一部分，如图。
中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一 线段问题1. 如图，抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)，与y 轴交于点C ，连接AB .(1)求抛物线的表达式；(2)若E 是线段AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点E 作y 轴的平行线，分别交抛物线，x 轴于F ，D 两点，若DE ＝2DF ，请求出点E 的坐标．第1题图2. 平面直角坐标系中已知抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y轴交于点C (0，－4).(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ，B ，C 重合)，作 PD ⊥x 轴，垂足为D ，连接PC . ①如图，若点P 在第三象限，且tan ∠CPD ＝2，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E ′落在y 轴上时，请直接写出四边形 PECE ′的周长．第2题图 备用图类型二 面积问题1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点G 为线段BC 上方的抛物线上一点，过点G 作GH ∥AC 交BC 于点H . (1)求抛物线的解析式；(2)连接AG ，AH ，BG ，设h ＝S △AGB －S △AHB ，点G 的横坐标为t ，求h 关于t 的函数解析式，并求出h 的最大值．第1题图2. 在平面直角坐标系中点O 是坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，3)，对称轴为直线x ＝2. (1)求a ，b 的值；(2)已知点B ，C 在抛物线上，点B 的横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1.过点B 作x 轴的垂线交直线OA 于点D ，过点C 作x 轴的垂线交直线OA 于点E . (ⅰ)当0＜t ＜2时，求△OBD 与△ACE 的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形的面积为32 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由．类型三存在性问题典例精析例如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点．(1)若点M为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例题图①【思路点拨】判断等腰三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC为腰时：分别以点B，C为圆心，BC长为半径画圆，与直线x＝1的交点即为所求作的点；②BC为底时：作线段BC的垂直平分线，与直线x＝1的交点即为所求作的点．(2)在抛物线上是否存在一点N，使得△BCN是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；例题图②【思路点拨】判断直角三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC 为直角边时：分别过点B ，C 作BC 的垂线，与抛物线的交点即为所求作的N 点； ②BC 为斜边，点N 为直角顶点时：以BC 的中点为圆心，12 BC 的长为半径作圆，所作的圆与抛物线的交点即为所求作的N 点．(3)若点Q 为第一象限内抛物线上一点，过点Q 作QG ⊥x 轴，垂足为G ，连接AC ，OQ .是否存在点Q ，使得△QGO ∽△AOC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】判断相似三角形存在性问题，通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．例题图③(4)若点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，是否存在点E ，使得以D ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】判断平行四边形存在性问题，一般要进行分类讨论． ①当DE ，FC 是平行四边形对角线时； ②当DF ，EC 是平行四边形对角线时； ③当DC ，EF 是平行四边形对角线时．再利用平行四边形对角线的性质结合中点坐标公式求点坐标即可．例题图④(5)若点H是x轴上一点，点K是平面任意一点，是否存在点H，使得以点A，C，H，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】判断矩形存在性问题，一般要进行分类讨论．①当AC为矩形的边时，∠ACH＝90°；②当AC为矩形的对角线时，∠AHC＝90°.再利用勾股定理求解即可．例题图⑤(6)若点S是第一象限抛物线上一点，过点S作ST⊥BC于点T，连接AC，CS，是否存在点S使得△CST中有一个角与∠CAO相等，若存在，求出S点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】判断角度存在性问题，一般要进行分类讨论．①若∠SCT＝∠CAO；②若∠CST＝∠CAO.再构造直角三角形，利用三角函数求解即可．例题图⑥对接中考1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)，点B(5，0)，交y轴于点C.(1)求b，c的值；(2)点P(x0，y0)(0＜x0＜5)是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，将一块自制的直角三角板放置在平面直角坐标系中顶点为坐标原点，A(0，－3)，B(6，0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O，抛物线L经过点A′，B′，B.(1)求抛物线L的解析式；(2)点Q为平面内一点，在直线AB上是否存在点P，使得以点A，B′，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图拓展类型二次函数性质综合题1. 在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中(1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；(3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示)；(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此抛物线上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，试比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)若自变量x的值满足－1≤x≤1，与其对应的函数的最大值为18，请直接写出b的值．3. 在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.(1)若OC＝2OB，求抛物线的解析式；(2)若抛物线的最大值为6，求a 的值；(3)若点P (x 0，m )，Q (52，n )在抛物线上，且m ＜n ，求x 0的取值范围．参考答案类型一 线段问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)∴将A (4，0)，B (－4，4)分别代入y ＝14x 2＋bx ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4b ＋c ＝04－4b ＋c ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12c ＝－2∴抛物线的表达式为y ＝14 x 2－12x －2；(2)由点A (4，0)，B (－4，4)可得直线AB 的表达式为y ＝－12 x ＋2设点E (x ，－12 x ＋2)，其中－4<x <4，则F (x ，14 x 2－12 x －2)∴DE ＝2－12 x ，DF ＝|14 x 2－12 x －2|分两种情况讨论：①当点F 在x 轴上方时，即2－12 x ＝2×(14 x 2－12 x －2)解得x 1＝－3，x 2＝4(舍去) 将x ＝－3代入y ＝－12 x ＋2中得y ＝72∴E (－3，72)；②当点F 在x 轴下方时，即2－12 x ＝2×(－14 x 2＋12 x ＋2)解得x 1＝－1，x 2＝4(舍去)将x ＝－1代入y ＝－12 x ＋2得y ＝52 ，∴E (－1，52)；综上所述，当DE ＝2DF 时，点E 的坐标为(－3，72 )或(－1，52).2. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)，与y 轴交于点C (0，－4)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋83＋c ＝0c ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43c ＝－4∴抛物线的函数解析式为y ＝43 x 2＋83x －4；(2)①如解图①，过点C 作CE ⊥PD 于点E第2题解图①则∠PEC ＝∠CED ＝90° ∵C (0，－4) ∴OC ＝4∵PD ⊥x 轴，垂足为D ∴∠PDO ＝90°，∠DOC ＝90° ∴四边形DOCE 是矩形 ∴DE ＝OC ＝4 设P (x ，43 x 2＋83 x －4)∴CE ＝－x∴PE ＝PD －DE ＝－(43 x 2＋83 x －4)－4＝－43 x 2－83 x∵tan ∠CPD ＝CEPE ＝2∴－x －43x 2－83x ＝2解得x 1＝－138 ，x 2＝0(不合题意，舍去)当x ＝－138 时，43 x 2＋83 x －4＝－7716∴P (－138 ，－7716)；②四边形PECE ′的周长为353 或853.【解法提示】设P (m ，43 m 2＋83 m －4)，对于y ＝43 x 2＋83 x －4，当y ＝0时，43 x 2＋83 x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴B (－3，0)，∴OB ＝3，在Rt △BOC 中由勾股定理得BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5.当点P 在第三象限时，如解图②，过点E 作EF ⊥y 轴于点F第2题解图②则四边形DEFO 是矩形，∴EF ＝DO ＝－m ，∵点E 与点E ′关于PC 对称，∴∠ECP ＝∠E ′CP ，CE ＝CE ′，PE ＝PE ′，∵PE ∥y 轴，∴∠EPC ＝∠PCE ′，∴∠EPC ＝∠ECP ，∴PE ＝CE ，∴PE ＝CE ＝CE ′＝PE ′，∴四边形PECE ′是菱形，∵EF ∥OA ，∴△CEF ∽△CBO ，∴CE CB ＝EFBO，∴CE 5 ＝－m 3 ，∴CE ＝－53m ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把B (－3，0)，C (0，－4)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝－4，∴直线BC 的解析式为y ＝－43 x －4，∴E (m ，－43 m －4)，∴PE ＝－43 m 2－4m ，∵PE ＝CE ，∴－43 m 2－4m ＝－53 m ，解得m 1＝－74 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－74 )＝3512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×3512 ＝353；当点P 在第二象限时，如解图③第2题解图③同理可得43 m 2＋4m ＝－53 m ，解得m 1＝－174 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－174 )＝8512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×8512 ＝853 ；综上所述，四边形PECE ′的周长为353 或853.类型二 面积问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝025a ＋5b ＋5＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝4 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如解图，过点G 作GD ∥y 轴交BC 于点D ，连接CG ∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x ＋5＝5 ∴C (0，5) ∵GH ∥AC ∴S △AGH ＝S △CGH∴h ＝S △AGB －S △AHB ＝S △AGH ＋S △BGH ＝S △CGH ＋S △BGH ＝S △BGC . 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0) 将B (5，0)，C (0，5)代入y ＝kx ＋b 1中∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b 1＝5 ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5∵点G 的横坐标为t (0＜t ＜5)，∴G (t ，－t 2＋4t ＋5)，D (t ，－t ＋5) ∴GD ＝－t 2＋4t ＋5－(－t ＋5)＝－t 2＋5t ∴h ＝S △BGC ＝S △CGD ＋S △BGD ＝12 GD ·t ＋12 GD ·(5－t ) ＝－52 (t －52 )2＋1258∵－52＜0，0＜t ＜5∴当t ＝52 时，h 取最大值，最大值为1258.第1题解图2. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，9a ＋3b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，连接OB ，AC第2题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，易知直线OA 的解析式为y ＝x ∵点B ，C 在抛物线上，点B 横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1 ∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1) ∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2 ∵0<t <2 ∴1<t ＋1<3∴S △OBD ＋S △ACE ＝12 OM ·BD ＋12 CE ·AF ＝12 t ·(－t 2＋3t )＋12 [－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2；(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BE ，CD第2题解图②∵BD ∥EC∴四边形DBEC 为梯形此时，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1) ∵DQ ＝1∴S 四边形DBEC ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [－t 2＋3t －(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·1＝t －1当S 四边形DBEC ＝32 时，可得t －1＝32 ，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BC第2题解图③此时BD ＝t 2－3t ，CE ＝(t ＋1)2－3(t ＋1)∴S 四边形DBCE ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [t 2－3t ＋(t ＋1)2－3(t －1)]·1＝t 2－2t －1令t 2－2t －1＝32 ，解得t 1＝142 ＋1<3，t 2＝－142 ＋1<3，均舍去；综上所述，t 的值为52.类型三 存在性问题典例精析例 解：(1)存在 设点M (1，m )由题意得BC ＝32 ，BM ＝4＋m 2 ，CM ＝1＋（m －3）2①当BC 为腰时 a ．若BC ＝BM ，如解图①例题解图①即32＝4＋m2解得m＝±14则M1(1，14)，M2(1，－14)；b．若BC＝CM，如解图②即32＝1＋（m－3）2，解得m＝3±17，则M3(1，3＋17)，M4(1，3－17)；②当BC为底边时，则CM＝BM，如解图②，即1＋（m－3）2＝4＋m2解得m＝1，则M5(1，1)；∴综上所述，满足条件的点M的坐标为(1，14)或(1，－14)或(1，3＋17)或(1，3－17)或(1，1)；例题解图②(2)存在设点N(x，－x2＋2x＋3).①当点C为直角顶点时，如解图③，则∠N1CB＝90°，过点N1作N1H⊥y轴于点H∵△BOC是等腰直角三角形∴∠BCO＝45°∴∠N1CH＝180°－90°－45°＝45°∴△N1CH是等腰直角三角形∴N1H＝HC，即x＝－x2＋2x＋3－3解得x1＝0(舍去)，x2＝1∴N1(1，4)；例题解图③②当点B 为直角顶点时，如解图③，则∠CBN 2＝90°，过点N 2作N 2G ⊥y 轴，过点B 作BG ⊥x 轴交N 2G 于点G∴同理可得∠BN 2G ＝45°，△BN 2G 是等腰直角三角形 ∴N 2G ＝BG ，即3－x ＝－(－x 2＋2x ＋3) 解得x 1＝－2，x 2＝3(舍去) ∴N 2(－2，－5).综上所述，满足条件的点N 的坐标为 (1，4)或(－2，－5)； (3)存在∵点Q 在第一象限内抛物线上 ∴设Q (m ，－m 2＋2m ＋3)，0＜m ＜3 ∵QG ⊥x 轴∴G (m ，0)，OG ＝m ，QG ＝－m 2＋2m ＋3 ∵△AOC ∽△QGO ∴AO QG ＝CO OG ，即1－m 2＋2m ＋3 ＝3m解得m 1＝5＋1336 或m 2＝5－1336 (舍去)此时点Q 的坐标为(5＋1336 ，5＋13318 )；(4)存在设E (m ，－m 2＋2m ＋3)，F (n ，0)，易得抛物线顶点D 的坐标为(1，4)，点C 的坐标为(0，3)①如解图④，当DE ，FC 是平行四边形对角线时 ∵平行四边形对角线互相平分 ∴DE ，FC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝n ＋04－m 2＋2m ＋3＝0＋3 解得m ＝1＋5 或m ＝1－5∴E 1(1＋5 ，－1)或E 2(1－5 ，－1)；例题解图④②如解图⑤，当DF ，EC 是平行四边形对角线时，同理DF ，EC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＝m ＋04＋0＝－m 2＋2m ＋3＋3 解得m ＝1＋3 或m ＝1－3 ∴E 3(1＋3 ，1)或E 4(1－3 ，1)；例题解图⑤③当DC ，EF 是平行四边形对角线时，DC ，EF 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋0＝m ＋n 4＋3＝－m 2＋2m ＋3＋0方程组无实数解．综上所述，满足条件的点E 的坐标为(1＋5 ，－1)或(1－5 ，－1)或(1＋3 ，1)或(1－3 ，1)； (5)存在如解图⑥，由题意知，A (－1，0)，C (0，3)，设点H 的坐标为(p ，0) ∴AH 2＝(p ＋1)2，CH 2＝p 2＋32，AC 2＝12＋32＝10 当AC 为矩形的边时，∠ACH ＝90° ∴AH 2＝CH 2＋AC 2即(p ＋1)2＝p 2＋32＋10，解得p ＝9 ∴点H 的坐标为(9，0)；当AC 为矩形的对角线时，∠AHC ＝90° ∴此时点H 与原点重合，点H 的坐标为(0，0). 综上所述，满足条件的点H 的坐标为(9，0)或(0，0)；例题解图⑥(6)存在如解图⑦，过点S 作SZ ⊥x 轴于点Z ，交BC 于点X ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴OA ＝1，OC ＝OB ＝3，易得直线BC 的函数解析式为y ＝－x ＋3 ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵SZ ⊥x 轴∴∠BXZ ＝∠SXT ＝45° ∵ST ⊥BC ∴XT ＝ST设S (m ，－m 2＋2m ＋3)，且0＜m ＜3，则X (m ，－m ＋3) ∴CX ＝m 2＋（－m ＋3－3）2 ＝2 m ，SX ＝－m 2＋3m ∴ST ＝TX ＝22 SX ＝－22 m 2＋322m ∴CT ＝CX －TX ＝2 m －(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m ①若∠SCT ＝∠CAO∴tan ∠SCT ＝tan ∠CAO ＝OCOA ＝3∵tan ∠SCT ＝STCT ＝3∴ST ＝3CT ∴－22 m 2＋322 m ＝3×(22 m 2－22m )解得m ＝32 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(32 ，154 )；②若∠CST ＝∠CAO 则tan ∠CST ＝tan ∠CAO ＝3 ∵tan ∠CST ＝CTST ＝3∴3ST ＝CT ∴3×(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m 解得m ＝52 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(52 ，74)；综上所述，存在点S ，使得△CST 中有一个角与∠CAO 相等，点S 的坐标为(32 ，154 )或(52 ，74).例题解图⑦对接中考1. 解：(1)由题意可知，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－1，0)，点B (5，0)∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝025＋5b ＋c ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝－5； (2)①如解图，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ∴S △PBC ＝S △CPD ＋S △PDB由(1)可知，c ＝－5，故点C 的坐标为(0，－5) 易知BC 的表达式为y ＝x －5∵点P 的坐标为(x 0，y 0)(0<x 0<5)，点P 在抛物线上 ∴y 0＝x 20 －4x 0－5设点D 的坐标为(x 0，x 0－5)∴|PD |＝x 0－5－x 20 ＋4x 0＋5＝－x 20 ＋5x 0∴S △PBC ＝12 ×|PD |×5＝12 ×(－x 20 ＋5x 0)×5 ＝－52 (x 0－52 )2＋1258∴当x 0＝52 时，△PBC 面积最大，最大值为1258；第1题解图②存在．由题意可知，∠EPF ＝90°，△PEF 为等腰直角三角形 ∴PE ＝PF∵PE ⊥x 轴，PF ∥x 轴，且点E 在线段BC 上，点F 在抛物线上 由(2)可知PE ＝－x 20 ＋5x 0 易知PF ＝|4－2x 0|∴|PF |＝|PE |，即|4－2x 0|＝|－x 20 ＋5x 0|解得x 0＝4或x 0＝7－332 或x 0＝－1(舍去)或x 0＝7＋332 (舍去)当x 0＝4时，解得y ＝－5当x 0＝7－332 时，解得y 0＝3－3332∴综上所述，当△PEF 为等腰直角三角形时，点P 的坐标为(4，－5)或(7－332 ，3－332 ).2. 解：(1)由题意得A ′(－3，0)，B ′(0，－6)，B (6，0)已知抛物线L 经过点A ′，B ′，B ，设抛物线L 的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －6)(a ≠0) 将点B ′(0，－6)代入抛物线解析式中得－6＝a (0＋3)(0－6)，解得a ＝13∴抛物线L 的解析式为y ＝13 (x ＋3)(x －6)＝13 x 2－x －6；(2)存在．∵A (0，－3)，B ′(0，－6) ∴AB ′＝3设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 将A (0，－3)，B (6，0)代入直线AB 的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－36k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝12∴直线AB 的解析式为y ＝12 x －3∵点P 在直线AB 上∴设点P (m ，12m －3)，分情况讨论：①当以AB ′为边且AP 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m )2＝9解得m 1＝655 ，m 2＝－655∴点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)；②当以AB ′为边且B ′P 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m ＋3)2＝9解得m 1＝0(舍去)，m 2＝－125∴P (－125 ，－215 )；③当以AB ′为对角线时 ∵AB ′＝3∴AB ′的中点坐标为(0，－92 )由菱形的性质可得y P ＝－92即12 m －3＝－92 ，解得m ＝－3 ∴P (－3，－92)；综上所述，点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)或(－125 ，－215 )或(－3，－92). 拓展类型 二次函数性质综合题1. 解：(1)把点(2，1)代入y ＝x 2－2tx ＋3中 得4－4t ＋3＝1解得t ＝32； (2)∵抛物线对称轴为直线x ＝t①若0<t ≤3∵a ＝1>0∴当x ＝t 时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴t 2－2t 2＋3＝－2解得t ＝±5 .∵0＜t ≤3∴t ＝5 ；②若t >3，∵a ＝1>0∴当0≤x ≤3时，y 随x 的增大而减小∴当x ＝3时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴9－6t ＋3＝－2解得t ＝73(不符合题意，舍去). 综上所述，t 的值为5 ；(3)∵A (m －2，a )，C (m ，a )关于对称轴直线x ＝t 对称∴m －2＋m 2＝t ，即m －1＝t ，且点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧． 在y ＝x 2－2tx ＋3中令x ＝0，则y ＝3∴抛物线与y 轴交点为(0，3)∴此交点关于对称轴直线x ＝t 的对称点为(2m －2，3).∵a <3，b <3且t >0∴4<2m －2，解得m >3.当点A ，B 都在对称轴左边时∵a <b∴4<m －2，解得m >6∴m >6；当点A ，B 分别在对称轴两侧时∴B 到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离∴4－(m －1)>m －1－(m －2)，解得m <4∴3<m <4.综上所述，m 的取值范围为3<m <4或m >6.2. 解：(1)由题意得，－b 2a＝2 解得b ＝－4a∴4ac －b 24a ＝12a －（－4a ）24a＝3－4a ∴抛物线顶点M 的坐标为(2，3－4a )；(2)y 2＜y 1，理由如下：由题可知，抛物线的对称轴为直线x ＝2∴A (x 1，y 1)关于直线x ＝2的对称点为(4－x 1，y 1)∵x 1＜2＜x 2，x 1＋x 2＜4∴2＜x 2＜4－x 1∵a ＞0∴抛物线开口向上∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大∴y 2＜y 1；(3)b 的值为－12或20.【解法提示】由(1)知，b ＝－4a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－4ax ＋3，当a ＞0时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，函数值y 最大，最大值为a ＋4a ＋3，∴a ＋4a ＋3＝18，解得a ＝3，∴b ＝－4a ＝－12；当a ＜0时，抛物线开口向下，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝1时，函数值y 最大，最大值为a －4a ＋3，∴a －4a ＋3＝18，解得a ＝－5，∴b ＝－4a ＝20.综上所述，b 的值为－12或20.3. 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－4a 2a＝2，抛物线与x 轴的交点为A (1，0)，B ∴B (3，0)∴OB ＝3.∵OC ＝2OB∴OC ＝6.∴抛物线开口向下∴C (0，－6).把A (1，0)，C (0，－6)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋c ＝0，c ＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋8x －6；(2)由解析式可知抛物线的最大值为4ac －（－4a ）24a ＝4ac －16a 24a＝c －4a . ∵抛物线的最大值为6∴c －4a ＝6.∵抛物线过点A (1，0)∴a －4a ＋c ＝0，即c －4a ＝－a∴－a ＝6，即a ＝－6；(3)已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，a ＜0∴(52 ，n )与(32，n )关于对称轴对称 当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得x 0＜32； 当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得x 0＞52. 综上所述，x 0的取值范围为x 0＜32 或x 0＞52.。
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习及详细答案
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习及详细答案一、二次函数1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +，∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ， ∴∠BDE=∠BCO ， ∵∠BDE=∠PDF ， ∴∠PDF=∠BCO ， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD ∽△BOC ，∴=PED PDBOC BCV V 的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC 的周长=12，∴2334125m mL -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365，∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ， ∴∠PCQ=∠CPD ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴CD=PD ， ∴CD=DP=PQ=QC ， ∴四边形CDPQ 是菱形， 过D 作DG ⊥y 轴于点G ， 设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|，∵PD=CD ， ∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=，y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大， 80x ∴=时，w 有最大值， 当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是． 【解析】 【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62bx a=-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．5．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围.【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<．综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围； （2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣14； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2，又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ，解得：12k k ==又∵k ≥﹣14， 即：k【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键.7．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：x =即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．8．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。