一维不定常流-笔记
辽宁石油化工大学工程流体力学第八章
因为 Z 0＝ a 2 A
ua所以波动方程经特征线解法变换的四个常微分方程：
C：Zd0x dt
dQ dt a
dp dt
af
(Q)
0
C：Zd0x dt
dQ dt a
dp dt
af
(Q)
0
第三节 管路水击计算
一、管道水击现象
水击现象：在有压管路系统中，由于阀门突然
确定密度的相对变化率：
压缩系数 ：
p
dV /V dp
1
dp
体积模量 ： K
p dV/V
由微分定理和 MV 可求得：
dp
D(1)dpdtu0
Eb 2 dt K x
考虑压力波传递速度a
上式又可写成： dpa2 u 0
dt
x
二、动量方程
如图8-2所示
压力P密度
g
du
du 可得： dt
du
dx
g
a g
b
二、两个变量的一阶拟线性偏微分方程
设方程组为a11ut a12vt
b1 1ux b1
v 2x
g1
a2
1ut a2
2vt b2
1ux b2
v 2x
g2
N i g A sid n x ( p x)A d x D dpAx
可得： dmuAddxu
dt
dt
Ddx gAdx
pA (pA) dx x
dmu dt
Ni
由A 动量d d d定 u tx 理g A s id n x p xd A 得 x D d x
第一章 气体的一维流动
～
T0 k 1 2 1 M T 2
1.2 状态参数关系式
由等熵关系式
p0 0 k T0 kk1 ( ) ( ) p T
得
0 k 1 2 k1 1 (1 M ) 2 p0 k 1 (1 M ) p 2
p02 1k p02 S cv ln( ) cv (k 1) ln( ) p01 p01
p02 在增熵绝能流中，△S>0，则必定 p 1 ，即p02<p01,总 01
压下降。同理ρ02<ρ01，滞止密度下降。
1.2 状态参数关系式
设σ为两总压的比值即总压恢复系数，所以有
式中 a0 kRT0 ，T0称之为绝能滞止温度或滞止温度。 由上式可以看出，滞止温度沿流线保持不变。只要 知道滞止温度，则沿流线任意点处单位质量的气体 总能量就已确定。
1.2 状态参数关系式
在流线上任意点，如图所示的 测温计所测得的温度，就是T0。 单位质量气体微团的熵值为
在滞止状态的流线上取两点1和2，对于等熵流动 dS=S2-S1=0,则有 k 1 p02 01 01 p02 p01 k 1 ) 0 S2 S1 cv [ln( k ) ln( k )] cv ln(
在增熵流中σ<1，在等熵流中σ=1。在增熵流中说明有机 械能损失，而在等熵流中无机械能损失。σ越小机械能损 失越大。 2.临界状态：速度等于音速的状态。
p02 ， p01
临界状态的气流参数T*、P*、ρ*、V* 、a*分别称为 临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速。
在临界状态V*=a，能量方程可写为 V2 a2 k 1 2 k 1 a kRT* C 2 k 1 2(k 1) 2(k 1) 其中T* 、a*均为常数。
流体力学学习笔记
《高等流体力学》学习笔记王恒宇113121001183重点实验室一维非定常流动中的特征线方程和特征关系一、概念特征曲线：对于双曲型方程组，在x，t平面有一系列曲线，若在这些曲线上，任意给定物理参数的值作为Cauchy问题的初始值，这样Cauchy问题的解一般是不存在的。
这些曲线称为方程组的特征曲线。
特征关系：对在这些曲线上的物理参数或未知函数的值给定一定的关系式。
二、推导设x=x(t)为某一特征曲线，在这条曲线上给定u(t)，ρ(t)，S(t)的值。
研究下面方程组的Cauchy问题∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，ρ∂u ∂t +ρu∂u∂x+∂p∂x=0，（1）∂S∂t+u∂S∂x=0，p=f(ρ,S)。
求解这个问题即要在x=x(t)上求出∂u∂t ，∂u∂x，∂ρ∂t，∂p∂x，∂S∂t，∂S∂x的值。
六个一级微商满足以下六个方程∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，S∂u ∂t +pρ∂ρ∂x+ρu∂u∂x+p S∂S∂x=0，∂S ∂t +u∂S∂x=0，（2）dt ∂ρ∂t +dx ∂ρ∂x =dρ， dt ∂u ∂t +dx ∂u ∂x =du ， dt∂S ∂t+dx∂S ∂x=dS 。
由于x=x(t)是特征曲线，上方程组无解。
因此，x=x(t)应使该方程组系数行列式等于零，即||100u ρ00ρ0p ρρu p S 00100u dt 00dx 000dt 00dx 000dt 00dx ||=0 （3） 化简得，|udt −dx ρdt 0p ρdtρudt −ρdx p S dt 00udt −dx|=ρ(udt −dx )3−ρp ρ(udt −dx )dt 2=0由于p ρ=c 2，可解得：dx dt=u ，u +c ，u −c （4）即方程组（1）的三族不同的特征线。
通过特征线方程可求出相应于每条特征线的特征关系式，这些关系式应使方程组（2）有解。
这样用方程组（2）的自由项（0，0，0，d ρ，du ，dS ）来代替行列式（3）中的任意一行时，所得到的新的行列式应该等于零。
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流体力学复习资料1.流体的定义；宏观：流体是容易变形的物体，没有固定的形状。
微观：在静力平衡时，不能承受拉力或者剪力的物体就是流体。
2. 流体的压缩性：温度一定时，流体的体积随压强的增加而缩小的特性。
流体的膨胀性：压强一定时，流体的体积随温度的升高而增大的特性。
3. 黏度变化规律：液体温度升高，黏性降低；气体温度升高，黏性增加。
原因：液体黏性是分子间作用力产生；气体黏性是分子间碰撞产生。
4.牛顿内摩擦定律：运动的额流体所产生的内摩擦力F的大小与垂直于流动方向的速度梯度du/dy成正比，与接触面的面积A成正比，并与流体的种类有关，与接触面上的压强无关。
数学表达式：F=μA du/dy流层间单位面积上的内摩擦力称为切向应力τ=F/A=μdu/dy5.静止流体上的作用力：质量力、表面力。
质量力：指与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力。
表面力：指大小与流体表面积有关并且分布作用在流体表面上的力。
6.重力作用下静力学基本方程：dp=-ρgdz 对于均质不可压缩流体：z+p/ρ=c物理意义：几何意义7. .绝对压强：以绝对真空为基准计算的压强。
P相对压强：以大气压强为基准计算的压强。
P e真空度：某点的压强小于大气压强时，该点压强小于大气压强的数值。
P vP=p a+ρgh p e=p-pa p v=p a-p8.压力提的概念：所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。
液体在曲面上方叫实压力体或正压力体；下方的叫虚压力体或负压力体。
9. 研究流体运动的两种方法：①拉格朗日法②欧拉法10.定常流动：流体质点的运动要素只是坐标的函数而与时间无关。
非定常流动：流体质点的运动要素既是坐标的函数又是时间的函数。
11. 迹线：指流体质点的运动轨迹，它表示了流体质点在一段时间内的运动情况。
流线：在流场中每一点上都与速度矢量相切的曲线称为流线。
流线是同一时刻不同流体质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的速度方向。
定常与非定常流动
定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。
所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。
非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。
若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。
流体通常的流动几乎都是非定常的。
分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。
水库的排灌过程就属于准定常流动。
可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。
②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。
活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。
这类流动和定常流动有本质上的差别。
例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。
③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。
阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。
这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。
在空气中的核爆炸也会发生类似现象。
除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。
第三章 流体运动学§3-1 研究流体流动的两种方法及系统和控讲解
§3- 3 流体流动的分类
1.物理性质
2.流动状态 3.时间变数 4.空间变数 (1)理想流体和粘性流体流动 (2)不可压缩与可压缩流体流动 (1)有旋流动和无旋流动
(2)层流流动和湍流流动
定常流动和非定常流动 (1)均匀流动和非均匀流动 (2)一元,二元,三元流动
一.定常、非定常流动
1.定义
2.举例 3.数学表达式及特点
组分方程：
Y fu t ( Y fu ) ( Y fu ) 1 urY fu r u zY fu 1 Dr D R fu r r z r r r z z
§3- 1 研究流体流动的两种方法 及系统与控制体
一.拉格朗日法
1.定义 着眼于流体质点，研究每一个流体质点在运动 2.举例 过程中的位置、速度、加速度等各种物理量的 变化规律，并综合所有流体质点的这种规律， 3.评价 以获得整个流体运动的规律。
二.欧拉法
1.定义
2.举例 3.评价 着眼于流场（充满运动流体的空间）而不是着眼 于个别流体质点的运动，通过研究不同流体质点 在所流经的空间点的物理量随时间的变化规律， 以获得整个流场内流体的运动规律。
1 1 rotv v 2 2
5.点C的运动分解(数学方法)
vxc vx z dx ez dy e y dz y dz z dy
6.有旋运动与无旋运动(判据)
0
vz v y y z vx vz z x v y vx x y
二.均匀流动和非均匀流动
1.定义 2.举例 3.数学表达式及特点
4.一元、二元和三元流动
三.例题（p43.例3-1）
流体力学基础
q = ∫ udA = υ A
A
由此可得出通流截面A上的平均流速为：
q υ= A
在工程实际中，人们关心的往往是整个液体在某特 定空间或特定区域内的平均运动情况，因此平均流速 υ 有实际应用价值。
六、连续性原理
描述了定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的流 描述了定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的流 定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的 的关系。 速 v 与截面积 S 的关系。 取一细流管， 取一细流管，任取两个截面 S ∆t 1 和 S2，两截面处的流速分别为 v1 S v 和 v2，流体密度分别为 ρ1 和 ρ2 。 S v 经过时间 t，流入细流管的流体质量
1 1
∆
2
∆m1 = ρ1∆V1 = ρ1 S1v1∆t
2
同理， 同理，流出的质量
∆m2 = ρ2∆V2 = ρ2 S2v2∆t
常量） 或 ρSv = C （常量） 上式称为连续性原理 质量守恒方程， 连续性原理或 称为质量流 上式称为连续性原理或质量守恒方程，其中 ρSv 称为质量流 量。
流体作定常流动， 流管内流体质量始终不变， 流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变，即 ∆m1 = ∆m2
2 p1 u12 p2 u2 ′ + z1 + = + z2 + + hw 2 g ρg 2g ρg
上面讨论是假设截面上各处速度相等。由于液体的 粘性使通流截面上各处的速度不等，而在实际应用中 我们经常用通流截面上的平均流速、来代替各点处的 实际流速和，这样必然引起动能上的偏差，故引入动 能修正系数，于是实际液体的伯努利方程为
流体力学第十一章
2．临界状态
由能量方程可知，气体在绝热流动过程中，当地声速 a 随着气流速度的增大而减小，
在某个流动截面，气体流速 V 恰好等于当地声速 a，这个状态就是由亚声速向超声速转变
的临界状态，一般称为临界状态。相应的物理参数成为临界参数，以 h*，p*，ρ*，s*，T*和
a*。将 M=1 代入可得：
a* = (kV2 kRT + k −1
2
= k −1 RT0
k
p V2 +=
k
p0
k −1 ρ 2 k −1 ρ0
a2
V2 +
=
a02
k −1 2 k −1
上述各式都是绝热流动的能量方程，是用不同参数表达的同一个方程。能量方程适用
于绝热过程。
利用马赫数表达，为
a0
= (1 +
k
−1
M
2
)
1 2
(7)
a
2
T0 = 1 + k −1 M 2
a2
V2 =
a∗2
a∗2 a02
a02 a2
=
M
2 ∗
a∗2
a
2 0
a02 a2
将式(7)和(11)代入，得
(16)
k +1M 2
M
2 ∗
=
1+
2 k
−1M
2
(17)
2
或
M2 =
k
2 +
1
M
2 ∗
(18)
1−
k k
−1 +1
M
2 ∗
由以上两式可以看出，同马赫数一样，速度系数也是划分气体类型的标准，即
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给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f 2 x c0t 的解。 3、求解球面声波：
0 2 t r 2 r r u 0 2 c 2 2 2 0 2 r 2 c u t r r r 0 0 t 0 r The form of the solution ' s results :
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的； 接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2 n 时，没有质量流穿过间断面； 满足的条件：
法向速度连续： u1n u2 n , 两侧压强相等： p1 p2 ,
第二章
对角部分， 弹性应力 pI , pI 耗散应力 非对角部分， 粘性应力、应力偏量
B-能量方程：
1 E e u 2 , 2 : Potential energy; e : inernal energy
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
C C C p RT 2 0 RT 2 0 R Tw p0 RTw ;
10、间断面及其关系 在 粘性流体和热传导中，流体之间有内摩擦和热量的传递，即耗散效应， 致使各物理量随时间及位置的变化是连续的， 在理想流体中，忽略粘性和热传导，物理量的变化可能出现间断；
相比于平面波，球面波的区别：
f r c0t r
（1） ：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减； Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或 表面积增大)，导致强度降低； （2） ：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
r c0t r c0t f d f d c0 f r c0t c 0 0 u 0 2 2 0 0 r r r
c
b p 0
t
Байду номын сангаас
ｆ
2 2 2 c0 g 波动 Eq. t 2 2、求解一维平面的波动方程，给出波的形式：
ｅ and f int o d :
2 2 2 c , F1 x c0t F2 x c0t , u f1 x c0t f 2 x c0t 0 2 2 t x x f p 0 0c0 f1 x c0t f 2 x c0t t c 12 p 0 f1 x c0t f 2 x c0t c0 c0
一维不定常流与冲击波-笔记
讲师：程军波 九所 李维新 编 教材： 《一维不定常流与冲击波》 《一维不定常流动力学教程》 卢芳云 编 《一维不定常流体力学》 课程内容： 第一章 流体动力学方程组：流体、状态、伯努利方程等 第二章 特征线：处理一维问题，黎曼不变量 第三章 简单波：稀疏波、压缩波 第四章 冲击波 第五章 自模拟运动 第六章 爆轰波 周毓麟 编
其中，多出的后一项的差别。 平面波中，波传播之处压力密度增加，通过后，恢复初始值 0, u 0 ，波区 域内的物质都是受压缩的； 球面波中，波通过之后介质要恢复为静止，不仅 0 ，还要求速度的第二项为 零。因扰动中物质受压，一部分区域的密度 0 ，则必有一段区域 0 ，即： 球面声波的受压区域后面必定跟随一个稀疏波。 4、特征线 有小扰动时，特征线存在；静止区域内，也可以通过偏微分方程给出特征线； 5、绝热运动的特征方程
第一章
流体动力学方程组
他们的位置随时间变化的规律。
1、拉格朗日方法：关注流体质点，给出每个流体质点自始至终的运动过程，即
dQ 0 dt
Q , U
欧拉方法：关注空间节点上流体运动变化情况。如果所有空间节点的变化情 况都知道了，整个流体的运动状况就清楚了。
Q Q Q Q u v w 0 Q , U t x y z 2、爆轰过程是快过程，不同的组分来不及通过扩散产生扩散流，即流项中的扩 散流部分可以忽略不计， 各组分都只有相同的宏观速度， 于是质量守恒方程：
p p 2 p , S p 0 , S 0 2 p c0 S S p 2 0c0 u 0 d c substitute int o a : t Due to : u , ｅ
pIu u ，
j Eu q pIu u E p u q u ，
一般情况下，介质的内能增量有以下几部分： （1） 、周围介质对本介质做的压缩功， （2） 、外界对介质输入的热量； （3） 、介质表面上应力做的功； （4） 、介质本身释放的能量。
5、动量和能量方程：能量=动能+内能+势能；
A-动量方程：
u uu F t
动量密度： u
动量密度的源： F
运流： 即随质点运动带走的动量密度流 uu 扩散流：介质中的应力张量 导致动量的扩散，因此，表面上将产生流过该面 的扩散流： 动量密度的流：运流 和 扩散流： j uu 扩散流解析：
几类状态方程：
A-理想气体： p RT , 理想气体只是温度的函数； e e T , B-多方气体： e CV T
de CV dT , e0 T0 0,
内能与温度成正比，
p p c2 RT , S
C-凝聚介质： 8、凝聚介质： 凝聚介质的小扰动传播速度即声速，与气体的不同，他与温度无关，而是有介质 的弹性压缩率决定。 凝聚介质的特性 其状态方程， 包含两部分， 温度低和温度高时的情形， 内里包含弹性的特性， 后续在利用时可以参照此处关于状态方程的信息。 9、伯努利方程：定常绝热运动的方程
E E p u q u R Fu t
能量密度： E , E e
1 2 u 2
能量的源两部分：本身释放的能量、外力做功 总能的流： 运流： 随质点运动带走的 Eu ，
R F u
能量流：热传导在单位时间内流过单位面积的能量流 q ， 做功：应力单位时间内在单位面积上所作的功： u 能量流项： 运流 + 扩散流 (能量流+做功)
三大守恒方程组：
6、热力学方程 热力学第一定律：有能量守恒给出。包含能量传递方式。 de dQ pd 熵：指体系的混乱程度。热能除以温度所得结果，标志热量转化为功的程度。
dS dQ T
热二定律：俗称，熵增定律。 热力学的几个定律： 热力学第零定律：两个热力学系统每一个都与第三个处于热平衡，那么它们也必 定处于热平衡 。 热力学第一定律：能量守恒定律，内能等于热传导和做功； 热力学第二定律：熵增加原理； 热力学第三定律：绝对零度时，所有纯物质的熵值都为零； 内能、焓 、自由能、吉布斯自由能：
e Q W h e p ; de TdS pd ; dh TdS dp; F e TS ; G h TS ; dF SdT pd ; dG SdT dp
比焓的意义： 在等压过程中比焓的变化等于系统所获得的能量；在等压的绝热过 程中比焓不变； 自由能的意义： 在等温过程中， 外界对系统所做的功全部用于增加系统的自由能； 在等温过程中，通常取自由能热力学函数； 7、状态方程 比定容热容、比定压热容：
由于矢量积垂直于速度，故它在流线切线方向上的投影为零，于是可得：
1 2 q h const ; q 2 u u u 2 v 2 w2 2
第三次作业第一题的解题过程：
R 1 de pdV dq; d T RTd h f R dT ; 1 1 1 T C h f dT d ; h f ln T Tw ln 0 ; T Tw 0 ; 1 1 1 1 2 C 1 h f ; V V0 , 2 0 ; p0 0 RTw , 0 p0 RTw ; 2 1 7 de dW dq; T Tw 0 Tw p0 RTw ;
特征线
t 0 u 0 a 1 u t p 0 b 0
1、小扰动波动方程：
p p0 p t u 0 int o 0 u t uu p
Q cV , T
声速：
p c2 S
Q cp T p
理想气体的声速： p RT ,
p p dp d dT T T p p p T c2 S T T S
u u
1
p 0,
1 u u h u u 2
1 u u u u u u 2 Due to Adiabatic process dS 0 1 dh TdS dp
i i ui 0 i u i ui mi wi t 其中， i 爆轰力学方程： t i u mi wi
3、含有粘性的流体动量方程：纳维-斯托克斯方程 NS 方程， 不考虑粘性的流体，既是欧拉方程 Euler Equation； 4、局部热动平衡：考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体：是指粒子之间的相互作用很微弱，可以忽略不计。 多方气体：当理想气体的比定容热容 cV 为常数时，