可压缩湍流边界层的基本方程-中国力学学会
流体力学中的流体中的湍流边界层
流体力学中的流体中的湍流边界层流体力学是研究流体的运动规律和性质的学科，湍流边界层则是流体力学中一个重要概念。
本文将对流体力学中的湍流边界层进行详细的介绍和论述。
一、湍流边界层的定义湍流边界层是指在流体中，当流动达到一定速度时，边界层内会出现湍流现象。
边界层是指流体靠近固体边界时速度逐渐减小，同时摩擦力逐渐增大的区域。
湍流边界层的形成使得流体流动变得非常复杂，是流体力学中的一个重要研究对象。
二、湍流边界层的特征1. 非线性：湍流边界层的速度和摩擦力分布呈现出非线性分布，即速度和摩擦力随着距离的增加而发生剧烈变化。
2. 随机性：湍流边界层的湍流运动是随机的，速度和摩擦力的变化具有不可预见性。
3. 涡旋结构：湍流边界层中存在大量的涡旋结构，这些涡旋会不停地生成、移动和消失，对流体的运动产生明显的影响。
三、湍流边界层的数学模型为了研究湍流边界层的运动规律，研究者提出了一系列的数学模型。
其中最著名的是雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程。
RANS方程是一组描述湍流边界层中平均速度和摩擦力变化的偏微分方程，通过求解这组方程可以得到湍流边界层的平均流动特性。
四、湍流边界层的应用湍流边界层在工程领域有着广泛的应用。
在飞机设计中，研究湍流边界层可以帮助减小气动阻力，提高飞行效率。
在水利工程中，研究湍流边界层可以帮助提高水泵效率和减少流体阻力。
在能源领域，湍流边界层的研究可以改善风力发电机的叶片设计，提高电能转化效率。
五、湍流边界层的挑战和前景湍流边界层的研究仍然面临着一些挑战。
湍流边界层的数学模型仍然不够精确，目前还没有能够完全描述湍流边界层的理论。
此外，湍流边界层的计算复杂度较高，需要大量的计算资源支持。
然而，随着计算机技术的不断进步，湍流边界层的研究将会取得更大的突破，为各个领域的工程应用提供更多的可能性。
六、结论湍流边界层是流体力学中的一个重要概念，具有非线性、随机性和涡旋结构等特征。
通过数学模型的建立和求解，可以揭示湍流边界层的运动规律。
8第四章可压缩流体一维
1 k 1
dV 2 dM V 2 k 1M 2 M
dM 2 k 1M 2 dS M 2 1 M 2 S
d M 2 dS 1 M 2 S
ii)
几个结论
1、要使亚音速气体速度增大，管道必须先收缩。 2、收缩管道的最大出口马赫数是1。 3、如要获得超音速气体，管道必须先收缩后扩张。 4、获得超音速气体的管道，在喉部处的气体马赫数一定等于1。
以上结论， 课后可以加 以自行证明。
dp kM 2 dS p 1 M 2 S
dQ qdx
流入单位 质量流体 时，微元 段所吸收 的热量
V d U 2
2
V U d 2
2
V2 dQ di 2
4.1 基本方程
i
基本方程
dV d dS 0 V S
dV dp 2 f dx 2 V V Dh
dp 2kM dM p 2 k 1M 2 M
p2 k 2 k 1M ln p1 k 1 2 k 1M
2 2 2 1
2
k dp k 1 d k 1M 2 p 2 k 1M 2
p2 2 k 1M p1 2 k 1M
dV d dS 0 V S
VSdV Sdp W dx
W dV dp dx 2 2 V V V S
4.1 基本方程
i
基本方程
dV d dS 0 V S
Dh
4S
dV dp W 2 dx V V 2 V S
dV d dS 0 V S
dT dV k 1 k 1M 2 2 dQ T V a
流体力学第十章边界层理论
水均是实际流体，在流场中，除了与物体接触的极小部分外，大部分可以
看成是非粘性流动。但是当流场中的物体或流道的尺寸很小、流速又很低
时，则不能忽略空气和水的粘性力。
不管流体的粘度大小、流场中速度的高低，靠近物体表面处，由于
流速减缓，速度梯度很大，因而不能忽视粘性力的作用。流体沿静止物
体流动时，紧靠物体表面处流体的流速大致与物体表面平行。直接接触
界层的形成和发展。下面举几个典型的例子来说明这一问题。
（一）收缩管中的流动
A
BC
图103所示为一收缩管中的流动。
D
EF
流体在进入收缩流道CD前的AB段
内，边界层已有相当发展，具有一
定厚度 C，进入收缩管道CD段后， 流体加速而压力逐渐降低，由于主
图10.3 收缩管 中C 的流动 D
流速度逐渐增高，对边界层流体的能量供应加强，而使边界层速
实际流体具有粘性，其流动参量受粘性的影响。对于气体，其粘性主要 是由于不同速度的相邻流体层间发生动量交换的结果。对于液体，粘性 主要是由于流体分子间的内聚力和附着力引起的。因此，如果相邻流体 微元间存在速度梯度，从而受分子附着力和内聚力或层间动量交换的作 用，就会产生剪切力。剪切力的大小与速度梯度有关，其比例系数即为 流体的粘性系数或粘度。单位面积上的剪切力叫做剪切应力或称粘性力。 速度梯度大时，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场，可用纳维—斯托
图10.1 流体粘性对速度分布的影响
性力。 同样，B上面的一层流体，也将被牵引而以更低的速度运动。
最后出现上图所示的速度分布。可见，越靠近物体表面，速度梯度越
大，粘性力也越大；远离物体表面，则速度梯度小，粘性力也小。
Байду номын сангаас
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
十章边界层理论
ui(0) p( 0) , x j xi
ui(0) 0 xi
(0) u j
一阶方程：
(1) ui(1) p (1) 2ui( 0) (1) ui u j x j x j xi x j x j
ui(1) 0 xi
u
,v x y
b . 以无粘流解物面的流动参数为边界层方程的外边界条件，求 解边界层方程。即将无粘流边界的压力按伯努利方程算出，它 等于边界层内的压力。
1 dp due ( x,0) p0 ue p ( x,0) ue 2 x x
取ε=1/Re 为小参量对流动变量作常规的摄动展开。 令：
u i u i( 0 ) u i(1) 2 u i( 2 ) p p ( 0 ) p (1 ) 2 p ( 2 )
代入无量纲方程，再按ε0,ε1 阶展开，忽略高阶小量则有 零阶方程： u j
( 0 )
第十章 边界层理论基础
基本内容 1.边界层动力学方程； 2.不可压流体层流边界层的相似求解； 3.卡门动量积分关系式 4.边界层内的流动与分离原理； 5.绕平板定常湍流边界层求解
10.1 牛顿流体大雷诺数的定常绕流
10.1.1 高雷诺数流动常规摄动的奇异性 若忽略质量力，常物性的不可压定常流动的 N-S 方程可写成 ：
u v 0 x y u u u u p 1 2u 2u v ( ) x y x Re x 2 y 2 v v p 1 2 v 2 v v ( ) x y y Re x 2 y 2
2~ ~ ~ ~ ~ u v ~ u p u u ~ ~ ~ x y x ~ y2 ~ p 0 ~ y
流体力学中的边界层理论
流体力学中的边界层理论流体力学是研究流体运动和相互作用的学科。
在流体力学中，边界层理论是一个重要的概念，它描述了流体靠近固体壁面时的流动特性。
本文将介绍流体力学中的边界层理论，从基本原理到应用实例，全面探讨这一理论的重要性和实际价值。
一、边界层现象的定义和意义在流体力学中，边界层是指流体流动中靠近固体表面的一层，其流动特性与远离边界的无限远处的流体不同。
边界层现象的产生和发展对于很多实际问题都具有重要意义。
例如，当空气流过汽车的外表面时，边界层的存在会对气流的分离和阻力产生影响。
准确理解和掌握边界层理论，对于优化设计和改善物体运动性能具有重要作用。
二、边界层理论的基本原理1. 平衡条件边界层理论的基本假设是边界层内的流动是定常流动和局部平衡的。
在这一假设下，可以利用物理量的守恒方程和牛顿运动定律来进行分析和计算。
2. 边界层方程边界层方程是描述边界层内流体运动的关键方程组。
它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程考虑了流体内部各个物理量的平衡和变化，并通过求解边界层方程组可以得到流体在边界层内的运动状态。
3. 粘性效应粘性是边界层理论考虑的一个重要因素。
由于流体的粘性特性，边界层会出现剪切应力和速度剖面变化。
这些粘性效应对于固体表面的摩擦力和阻力产生重要影响，因此必须在边界层理论中加以考虑。
三、边界层理论的应用实例1. 空气动力学在航空航天工程中，边界层理论被广泛应用于翼型设计和气动力分析。
通过准确计算边界层内的流动特性，可以优化飞行器的升力和阻力性能，提高飞行效率。
2. 水力学在水力学领域，边界层理论被用于河流和水泥工程的设计和分析。
通过控制边界层内的水流运动，可以减小底摩擦阻力，提高水流的输送能力。
3. 汽车工程在汽车设计中，边界层理论被用于研究车体表面的空气流动。
通过优化车体形状和减小边界层厚度，可以降低空气阻力，提高汽车的燃油经济性。
四、结语流体力学中的边界层理论是研究流体流动与固体界面相互作用的重要理论框架。
6-边界层方程
§9. 边界层方程考虑不可压粘性流体的平板边界层流动。
在这一类定常的边界层流动中，流向坐标 x 的作用类似于非定常流动中的时间坐标 t ，因此可以沿着 x 方向推进。
这种方法称为空间推进方法。
空间推进方法将从 0j = 线上的来流开始，沿 x 方向，向下游推进，逐步计算出 1j = 线、2j = 线、… 等各条线上的流动参数。
平板边界层流动的控制方程220e euvx ydu u u uu v u x y dx yìï抖ï+=ïï抖ïïíïï抖 ï+=+ïï抖¶ïî这里 ()e e u u x = 是边界层外缘处的速度分布。
通过求解边界层外的无粘流动，可事先求得 e u 。
因此在边界层流动的求解中，ee du u dx这一项是已知的。
边界层流动控制方程的初始条件是在平板前缘（0j = 线），给定来流速度 u V ¥= ，0v = 而边界条件是沿壁面（0k = 线），速度 0u = ，0v =取特征速度 V ¥ 和特征长度 1L = ，将方程无量纲化，平板边界层流动的控制方程成为2201Re e e u v x y du u u u u v u x y dx y ìï抖ï+=ïï抖ïïíïï抖 ï+=+ïï抖¶ïî方程中u u V ¥=、 v v V ¥= 、 e e u u V ¥= ， x x L = 、 y y L =而Re V L¥=是（来流）雷诺数。
下面为了简洁起见，省略所有无量纲量上方的横杠。
按照空间推进的观点，流向坐标 x 是类时间坐标。
流体力学第六章边界层理论(附面层理论)
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提 高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离 流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力 等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯 度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元 法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方 程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到 原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍 流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为 。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表 面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀 流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来 有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加 精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好 地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进 步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发 展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入， 将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动 流体力学理论的进一步发展。
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第八届全国流体力学学术会议2014年9月18～21日甘肃兰州文章编号：CSTAM2014-B01-0037标题：可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性作者：吴斌*，毕卫涛*，张又升+，佘振苏*单位：*北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871+北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094Copyright © 2014 版权所有中国力学学会地址: 北京市北四环西路15号邮政编码:100190 Address: No.15 Beisihuanxi Road, Beijing 100190第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18-21日 甘肃 兰州CSTAM2014-S010371）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性1）吴斌*，毕卫涛*，2），张又升+，佘振苏**（北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871）+（北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094）摘要 应用佘振苏等近期创建的壁湍流结构系综理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ）研究了零压力梯度超音速平板湍流边界层平均场的多层结构特性。
通过分析不同马赫数、雷诺数和壁面温度的可压缩湍流边界层（CTBL ）的直接数值模拟数据，证明了在CTBL 中，速度和温度混合长存在SED 理论所预言的多层结构对称性。
基于该多层结构对称性给出了速度和温度混合长的解析表达式，获得了对CTBL 平均速度和平均温度剖面的误差小于1%的理论预测。
测量了速度和温度混合长的多层结构参数，分析了其随马赫数、雷诺数和壁面温度的变化。
结果表明，多层结构参数能够有效刻画CTBL 的马赫数效应及壁面温度效应，具有显著的物理意义。
关键词 边界层，可压缩湍流，多层结构，对称性，平均场引 言可压缩湍流边界层是航空航天与能源动力工程中广泛存在的基本流动。
构建可压缩湍流边界层的基础理论，对发展湍流工程计算模式、提高气动设计水平具有重要意义。
然而，与不可压缩湍流边界层相比，可压缩湍流边界层有着更多的复杂性，使其基础理论的研究非常困难。
比如对于最简单的所谓规范湍流边界层（零压力梯度光滑平板湍流边界层），可压缩流动在雷诺数效应之上又增加了马赫数和壁面温度等效应，几种效应（或涡、声和熵模式[1]）的复杂非线性相互作用，增加了理论分析的难度。
已有的理论成果主要是在不可压缩湍流边界层的理论中，以“恰当”的方式引入了气体平均物性参数变化的影响，即采用了Morkovin 假设的思想[1，2]。
这些理论存在若干不足，比如通常具有唯像性和经验性的特征，定量上精确度有限、可应用的参数范围不足够明确，也难以对理论进行修正和拓展，等等。
最近，佘振苏等提出了湍流的结构系统理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ），为构建复杂湍流的基础理论提供了新的思路[3，4]。
SED 理论认为湍流具有内在多尺度、多自由度的（第一类）复杂性和外部多状态、多环境的（第二类）复杂性，是力学系统中典型的复杂系统，应采用复杂系统学的认识论和方法论来研究[5，6]。
简言之，SED 理论构建了一元二面的湍流本体论模型和多维多层次的湍流研究方法论[7]。
SED 理论认为，湍流的平均和脉动场构成了湍流的“静”“动”二面；其一元为自组织性，体现为湍流场具有的对称性。
在SED 理论中，对称性被认为是湍流的基本原理，也是湍流不封闭问题中所缺失的定解原理。
这种对称性由一个称为“序函数”的变量来表达。
序函数是平衡态统计物理学中序参量概念在非平衡系统中的推广，是最能反映脉动场对平均场状态影响的宏观变量。
在湍流中，序函数是联系脉动场（湍流未封闭项）与平均场的桥梁，尤其是反映了不同脉动结构系综的标度行为的变化[6]。
因此，识别序函数、确定其对称性成为湍流研究的关键。
在这方面，SED 理论提出了多维多层次的湍流研究方法论，以及湍流的序函数分析方法，为开展一系列具有工程意义的复杂湍流的研究提供了框架和解决方案。
SED 理论在规范壁湍流（不可压缩的圆管、槽道和零压力梯度平板边界层）的研究中取得了很大成功[6]。
佘振苏等发现在规范壁湍流中混合长等变量具备序函数的特征。
通过创新性的应用李群理论，他们构造了三类拉伸群不变解形式，从而获得了混合长的全场多层结构形式的解析解，由此得到了平均速度剖面、表面摩阻系数等的理论预测，与直接数值模拟（DNS）和实验结果高度一致（精度达99%）。
一个标志性的成果是发现了0.45的普适的卡门常数，回答了学界关于幂次律和对数律，以及关于卡门常数取值的争议。
SED理论也针对规范壁湍流之外的其它复杂湍流开展了有成效的研究，包括R-B热对流，以及有粗糙度效应[8]、压力梯度效应和可压缩效应的壁湍流[9，10]等。
同时，SED理论在湍流脉动场的研究、湍流模式理论研究等方面也取得了初步而重要的成果[4]。
鉴于SED理论在不可压缩的零压力梯度平板湍流边界层的研究上取得了极大成功，我们展望其会对可压缩湍流边界层的基础理论研究产生推动。
该推动体现在两个层次上，其一是仍然基于Morkovin假设的框架，但由于不可压缩的湍流边界层有了精确的平均场理论，可压缩湍流边界层的理论有望得到提升。
在这方面，我们已经开展了一些工作，获得了关于马赫数效应和壁面温度效应的更高精度的理论刻画[9，10]。
其二是发展可压缩湍流边界层的SED理论，即辨识决定可压缩湍流边界层的各个物理维度的序函数，确认其多层结构对称性，研究多层结构参数的演化规律，并且探索背后的物理机制和原理。
这个可压缩湍流边界层的SED理论有希望最终从定量上和理论深度方面对经典的Morkovin假设理论形成突破，回答既有理论未能明确的一系列关键科学问题。
本研究即依据这个思路开展了初步的探索，通过对零压力梯度可压缩平板湍流边界层的DNS 数据开展序函数分析，分别研究了速度和温度混合长的多层结构对称性。
1 直接数值模拟简介本研究基于对可压缩平板湍流边界层的DNS数据的分析。
DNS采用了中科院力学所李新亮研究员等研制的CFD软件OpenCFD-SC。
OpenCFD-SC是一个开源的以科学计算为目的的全N-S方程高精度有限差分求解器。
利用OpenCFD-SC，我们先后在上海和天津的超算中心完成了大规模的并行计算。
计算中， N-S方程的时间推进采用了3阶TVD-RK格式；无粘对流项的求解采用了Steger-Warming分裂法和7阶JS-WENO格式；粘性项的计算采用了8阶中心差分格式。
本文计算的是空间发展的可压缩湍流边界层[11]。
来流为层流边界层，经吹吸扰动后边界层发生转捩，逐步发展为充分发展的湍流边界层，之后进入出口缓冲区。
壁面为无滑移等温边界条件，远场为零压力梯度无反射边界条件，出口为无反射边界条件，展向为周期性边界条件。
在流向的充分发展湍流区和法向的近壁区，都对网格进行了加密。
流动控制参数、计算区域和网格参数如表1所示。
表1 DNS算例的基本参数算例Ma Ret T w/T∞T w/T r M2.25 2.25 500-1000 1.90 1.00 M4.5T0 4.5 325-600 4.39 0.95 M4.5T1 4.5 600-860 2.50 0.54 M4.5T2 4.5 1950-2350 1.00 0.22 M6.0 6.0 275-600 6.98 0.93算例Lx×Ly×Lz Nx×Ny×Nzδ+x×δ+yw×δ+zM2.25 12.23×0.5×0.1754000×85×25613.23×0.9×6.15M4.5T0 12.46×0.56×0.194500×120×300 5.25×0.43×2.74M4.5T1 14.33×0.56×0.194500×120×3007.97×0.89×5.64M4.5T2 10.31×0.56×0.0664600×150×30020.54×1.15×7.9M6.0 13.57×0.6×0.205000×150×320 5.63×0.45×2.811）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 2 可压缩湍流边界层的基本方程零压力梯度的可压缩平板湍流边界层的平均流向动量方程和平均能量方程可以写作[1]：h.o.t.~""~~~~+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂=∂∂+∂∂y u v u y y u v x u u μρρρ(1)(2)h.o.t. )~~~""(~~~~+∂∂+∂∂+-∂∂=∂∂+∂∂y T k y u u v H y y H v x H u μρρρ其中上标-表示雷诺平均；上标~和”分别表示Favre 平均和相应的脉动量：ρρ/~X X =，X X X ~"-=；H 为总焓：22u T C H p +=；其它量的定义遵循惯例。
从壁面(y =0)起沿壁面法向将(1)和(2)积分，有：(3) h.o.t.)~~~~(~""0⎰⎰+∂∂+∂∂-==∂∂+-ydy yu v x u u yuv u ρρτμρ (4) h.o.t.)~~~~(~~~""0⎰⎰+∂∂+∂∂--=-=∂∂+∂∂+-yw dy yH v x H u q qyT k y u u v H ρρμρ 其中τ为总应力,q 为总热流, w w y T k q ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=~为壁面平均热流。
由于"~""u uT C H p +≈，将(3)代入(4)，可将(4)改写为：(5) ~~""q u y T k v T C p -=+∂∂+-τρ(3)和(5)以壁面参数无量纲化后有：(6) ~""+++++=∂∂+-τμρy u v u(7)~)1(~Pr 1""2+++++++-=-+∂∂+-q B u M y T k v T q τγρτ其中，w RT u M γττ/=为摩擦马赫数，)/(w w p w q T u C q B τρ=为壁面传热因子。