第4章频率特性分析_2详解
控制工程基础第4章控制系统的频率特性
插值计算可大致确定闭环截止频率为 b
=1.3rad／s。
非单位反馈系统的闭环频率特性
对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可
写为
X X
o i
j j
1
G j G j H
j
H
1
j
1
G j H j G j H j
在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画
出 G j H j 的轨迹，由轨迹与M轨线和N轨
频域法是一种工程上广为采用的分析 和综合系统间接方法。另外，除了电路 与频率特性有着密切关系外，在机械工 程中机械振动与频率特性也有着密切的 关系。机械受到一定频率作用力时产生 强迫振动，由于内反馈还会引起自激振 动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归 结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为
通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
X
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
(4.27)
该式就是一个圆的方程，其圆心为
M2
，半径为 M 。如下图。
[
M
2
, 1
j0]
M 2 1
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定 的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。下 图表示的一族等M圆。由图上可以看出，当 M>1时，随着M的增大M圆的半径减小，最后 收敛于点（-1,j0）。当M＜1时，随着M的 减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点 （ 1/2,j0）且平行于虚轴的直线。
频率特性分析
G(j) n180 （其中n为整数）求出； (4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用 Re[G(j)] 0
的关系式求出，也可利用关系式
G(j) n90 （其中n为奇数）求出；
(5) 必要时画出乃氏图中间几点； (6) 勾画出大致曲线。
例 G(j) ej
频率特性分析 (第四章)
时域瞬态响应法：分析控制系统的直接 方法。
xi(t)
g(t)
xo(t)
优点：直观。 缺点：分析高阶系统非常繁琐。
4.1 频率特性概述
频率响应是时间响应的特例，是控制系统 对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
频域法的优点： 当系统无法用计算分析建立传递函数时，可用 实验的方法求取频率特性，进而导出传递函数。 频域法的物理意义比较直观，尤其在研究控制 系统中各种各样的振动问题时，频域法能给出明 确的概念和结果。 利用奈氏判据,根据系统的开环频率特性就可以 研究闭环系统的稳定性.
由于频域法靠各个频率分量来描述信号，只适 用于线性定常系统。
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（ < 0）或超前（ > 0）特性。
上述定义的幅频特性 A() G(j) 和相频特性 () G(j) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
当输入为非正弦的周期信号时，其输 入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠 加，其输出为相应的正弦波输出的叠加， 如下图所示。
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法
4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
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4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
第4章(2)频率特性的图示分析
40db 20db 0db -20db --40db
G(s)=10s
0.1 0.2
12
[+20]
ω
10 20
100
G(s)= s
G(s)=0.1s
jik 06
14
Im [G(j)]
(4)惯性环节
o
传递函数： G(s) 1
∞ 5
Ts 1
频率特性： G(
j)
1
Tj 1
1
1 T 22
T j 1 T 22
0
dB
20lgK 0.1 1 10
对数相频特性：与0o线重合
0 0.1 1 10
(s -1) (s -1)
(2)积分环节
Im [G(j)]
传递函数： G(s)=1/s
频率特性： G( j) 1 0 j 1
j
幅频： |G(j)=1/
∞， =0时 0，→∞时
= ∞
Re
相频：∠G(j)=-90° 滞后90°
Im 传递函数： G(s)=K
[G(j)]
频率特性： G(j)=K
幅频：|G(j)|=K 20lg | G( j) | 20lg K o
K>1，则放大； K<1，则抑制 相频：∠G(j)=0° 系统响应无滞后
K Re
实频： U()=K 实频和虚频便于确定图形位置
虚频： V()=0
Nyquist图形：实轴上一定点，坐标为(K , j0) 对数幅频特性： 过点(1，20lgK)的水平线
1 Re 0
幅频 G( j) 1 1 T 2 2
相频 G( j) arctanT
实频
U
(
)
1
机电控制工程基础 第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
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100
（3）微分环节的Bode图
频率特性为：G( j) j G( j) ，G( j) 90
对数幅频特性：
L() 20 lg G( j) 20 lg
对数相频特性： 90 一条直线
L(ω) dB 微分环节
40dB
20dB
0dB -20dB
0.1 0.2
90º
0º
－90º
例：G( j) j L() 20lg，G( j) 90
T1T2
T1 T2
4.2.2 频率特性的对数坐标图（Bode图）
Bode图的意义： 具有Nyquist图的各种功能 比Nyquist图更容易绘制
——需要将坐标系进行一些变换
Bode图的特点：
幅频特性与相频特性分别画在两张图上
对数幅频特性图：原来的幅频特性取对数，画在对数 坐标系中。
对数相频特性图：还是原来的相频特性，但画在对数 坐标系中。
L() 20 lg G( j) 20 lg 1 20 lg
对数相频特性：
一条斜率为－20dB/dec的直线
-90 一条直线
L(ω) dB 积分环节
40dB
20dB
0dB -20dB
0.1 0.2
90º
0º
－90º
例：G( j) 1 j
L() 20 lg，G( j) 90
12
ω
10 20
横轴：同前 纵轴：以度或弧度线性分度
( )弧度（或度）
180º
90º
0.1
-1
1 2 3 4 6 8 10 20 30 40 60 100
0
1
2
lg
3
半对数坐标纸
半对数坐标纸
用Bode图表示频率特性的优点
可将串联环节的乘除，化为幅值的加减，简化计算 与作图过程。
可分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加的方法 得出系统的Bode图，并由此看出各个环节对系统总 特性的影响。
【例】：已知系统的传递函数G(s)
K
，试绘制其 Nyquist图。
s2 (1 T1s)(1 T2s)
【解】：G(
j)
(
j)2 (1
K jT1 )(1
jT2)
幅频：G( j) 2
K 1 T12 2
，相频：G( j) 90 1 T22 2
arctgT1 arctgT2
当 0时，G( j) ，G( j) 180
对数相频特性：
G( j) 0
L(ω) dB 比例环节
40dB
例：G( j) 20
20dB 0dB -20dB
20lg 20 26dB
0.1 0.2
12
ω
10 20
100
90º
0º
－90º
（2）积分环节的Bode图
频率特性为：G( j) 1 j
G( j) 1 ，G( j) 90
对数幅频特性：
后来，其它技术领域也采用dB为单位，并将其原来的意义推广：
若两数值p1和p2满足20 lg( p2 / p1) 1，实质是10 lg( p22 / p12 ) 1 则称:p2比p1差1dB
推广到控制领域：任何一个数N都可以用分贝值n表示 定义为:n(dB) 20lg N(dB)
对数相频特性图所用的坐标系 （半）对数坐标系
第四章 频率特性分析
4.2.1.2 Nyquist图的绘制方法
一般步骤：
（1）由G( j) u()，v()，G( j) ，G( j)。
（2）求出若干特征点，如起点、终点，与实轴交点， 与虚轴交点等，标注在坐标图上。
（3）补充必要的几点，根据 G( j) ，G( j)和u()， v()变化的趋势以及G( j)所处的象限，作出
G( j)
20 lg G( j)
对数幅频特性
记作：L() 20lg G( j)
Bode图所用的坐标系
对数幅频特性图
横轴：以的对数分度，也即：对lg来说是均匀分度 纵轴：线性分度，以分贝（dB）为单位
对数相频特性图
横轴：的对数分度，也即：相对lg来说是均匀分度 纵轴：以弧度或度线性分度
Nyquist图的大致图形。
【例】：已知系统的传递函数G(s) K ，试绘制其 Nyquist图。 s(Ts 1)
【解】：系统的频率特性为：G( j)
K
j( jT 1)
u
(
)
1
KT
T 2
2
，v(
)
(1
K
T 2
2
)
幅频：G( j)
K
，相频：G( j) 90 arctgT
1 T 22
当 0时，u() KT，v() ，G( j) ，G( j) 90 当 时，u() 0，v() 0，G( j) 0，G( j) 180
0
1
2
lg
3
分贝的概念源于电信技术，表示信号功率的衰减程度。
若两个信号功率分别为N1和N
，则当
2
lg(
N
2
/
N1
)
1
称：N2比N1差1B(贝)，即：N2是N1的10倍
因为B的单位太大，故实际中常用dB（分贝），1B 10dB
即：若：N2和N1满足10 lg(N2 / N1) 1，则称N2比N1差1dB
由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽范围的图 形紧凑地表示出来。
在分析和研究系统时，低频特性很重要。横轴采用 对数分度对于突出频率特性的低频段很方便，横坐 标的起点可根据实际所需的最低频率来决定。
典型环节的Bode图
（1）比例环节的Bode图
频率特性：G（j） K
对数幅频特性：
L() 20 lg G( j) 20 lg K
12
ω
10 20
100
（4）惯性环节的Bode图
频率特性：G( j)
1
= 令T
1 T
T
1 jT
T j
G（j） T T
T j
T2 2
G（j） arctgT arctg T
L() 20 lg G（j） 20 lg
对数幅频特性图所用的坐标系 （半）对数坐标系
横轴：以的对数分度，也即：对lg来说是均匀分度 纵轴：线性分度，以分贝（dB）为单位
L()dB
对数分度的特点：
80
当变量增大或减小10倍（十倍频程）时，坐标间距离
60 变化一个单位长度。
40
20
0.1
-1
十倍频程（dec） 十倍频程（dec） 1 2 3 4 6 8 10 20 30 40 60 100
当 时，G( j) 0，G( j) 360
G(
j)
2 (1
K jT1 )(1
jT2)
K (1 T1T22 ) 2 (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j
(1
K (T1 T12 2
T2 ) )(1 T22
2
)
0时，u() ，v()
令u() 0得 1 ，以之代入v()得：v()＝ K (T1T2 )3/2 :曲线与正虚轴的交点。