数学中考复习课件：分式及其运算
分式-复习课件-(共34张PPT)
x2
1 x2
2
9
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
x
x
的1x2值. 的1x2 值.
变:已知 x+ 1=3 ,求
x
x2 /x2 的值. x4+x2+1 /x2
1
x2
1 x2
1
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
27xy2
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
m2+4m+4
(3)
m2 - 4
关键找出分母的
2.通分
最简公分母
(1) x 与 y (2)
6a2b
9ab2c
a-1
6
a2+2a+1 与 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
整体代入法化简思想：
【【例例11】】已已知知：：1x
a0 1
an
1
an
(a 0)
(1)(3)3 1 (3)3
1 27
(2)(3a)2 b2 (a2b2 )3 解：原式= 32 a2b2 a6b6
6、用科学记数法表示：
例： 0.00065 6.5104
(1) 0.000030
3.0 105
7、约分
:
例(1)
6x2y 12 xy 2
(2) x 1 2x 1 3x 2 x 1 1 x x 1
复习回顾一:
1.解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
分式及其运算教学课件
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
幂的乘方是指幂相乘，底数不变， 指数相加。
积的乘方
积的乘方是指几个数相乘，再把 所得的积取乘方，等于把积的每 一个因数分别取乘方，再把所得 的幂相乘。
PART 03
分式的乘除法
分数乘法法则
分母相乘
分式的乘法，首先将分母相乘，作为
3
注意事项
在应用分数除法法则时，需要注意除数 不能为零，否则会导致数学错误。同时， 还需要注意运算的顺序和符号等问题。
PART 04
分式的混合运算
运算顺序
01
先乘除后加减
在进行分式的混合运算时，应先进 行乘除运算，再进行加减运算。
02
括号内优先
在运算时，括号内的内容应优先进 行计算。
运算技巧
分式混合运算步 骤
定义
分式定义为两个整式相除的商， 而整式定义为单项式和多项式的 统称。
分母
分式的分母中含有字母，而整式 的分母中不含有字母。
分子
分式的分子是一个整式，而整式 的分子中可以含有字母。
PART 02
分式的加减法
同底数幂相乘法则
定义
同底数幂相乘时，指数相加。
公式
a^m * a^n = a^(m+n)
应用
解分式方程时，需要先将方程两边 同时乘以最简公分母，化简方程， 再进行求解。
在解分式方程时，需要注意不能约 分或通分，以免影响求解的准确性。
分式方程的概念
解分式方程的方法
解分式方程的注意 事项
分式方程的应用
解决实际问题 01
分式方程可以用于解决各种实际问题，如 工程问题、经济问题等。
中考数学复习课件第2章第6讲 分式方程及其应用 (共16张PPT)
得分要领►解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方 程”．注意解分式方程一定要验根．
命题点2
分式方程的实际应用
3．[2013·安徽，20,10分]某校为了进一步开展“阳光体 育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛 球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒 乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍． (1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表 示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用； (2)若购买的两种球拍数一样，求x. 解：(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，则购买羽毛球拍花 费为(2000＋25x)元，则购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总 费用为2000＋2000＋25x＝(4000＋25x)元． (2)由(1)，得羽毛球拍数为
(2)设甲、乙两个工程队修路天数分别为a天，b天．依题意， 得
由①，得b＝15－1.5a， 代入②，得0.5a＋0.4(15－1.5a)≤5.2， 解得a≥8. 答：甲工程队至少要修路8天．
第一部分 系统复习 成绩基石
第二章
第 6讲
方程(组)与不等式(组)
分式方程及其应用
沪科版：七年级下册第9章分式9.3 人教版：八年级上册第15章分式15.3 北师版：八年级下册第5章分式5.4
考点梳理过关
考点1 分式方程的概念
分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程． 提示►“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区 别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
解得x1＝40，x2＝－40. 经检验，x1＝40，x2＝－40都是原方程的解，但x>0， ∴x＝40. ∴x为40.
猜押预测►1.[2017·乌鲁木齐中考]2017年，在创建文明城 市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结 果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是 ( )
中考数学(甘肃地区)(课件)第4讲 分式及其运算
3．分式的运算法则
运算 法则
式子表示
符号 法则
分子、分母与分式本身的 ba＝－－ab＝－ －ba＝－－ba；－ba＝
符号，改变其中任何两个，
分式的值不变．
第 4 讲 ，__B_是__整__式__，__且__B__中__含__有_字__母__，__B_≠__0_)__的式子叫分式； (2)当__B_≠__0___时，分式AB有意义；当__B_＝__0___时，分式AB无意义；
当__A_＝__0__且__B_≠__0__时，分式AB的值为零． 2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)__同__一__个__不__等__于__零__的__整_式_____，分
4．(2015·甘肃省)先化简，再求值：x2－x2－2x1＋1÷(1－x＋3 1)，其中
x＝0.
解：原式＝（x＋（1x）－（1）x－2 1）÷(xx＋ ＋11－x＋3 1)
＝（x＋（1x）－（1）x－2 1）·xx＋ －12＝xx－ －12，当 x＝0 时，原式＝12
5．(2015·甘南州)已知 x－3y＝0，求x2－22xx＋yy＋y2·(x－y)的值．
异分母分式相加减，先通 分，变为同分母的分式， 再加减
bc±ad ba±dc＝__a__c____
乘方 运算
分式的乘方是把分子，分 母各自乘方
an (ba)n＝__b_n_____(n 为正整数)
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简 分式． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的 根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变 形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确 定几个分式的最简公分母． 6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约 分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．应灵活运 用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
初三复习课件：分式及其运算
∴原∴∴式原原＝式式－＝＝4－－－－22＝－－44122.＝＝11..
第4课 分式及其运算
题型分类 题型四 分式方程的解法
2x＋2 x＋2 x2－2 【例 4】 (2013·泰州)解方程： x －x－2＝x2－2x.
2（x＋1） x＋2 x2－2
解 原方程可变形为：
首
x
－x－2＝x（x－2），
页
方程两边同时乘以x(x－2)，得：
化检化检所化检所2(以以简验简验简验x＋，，得：得：得：1方方：把：把：把)(程程－－－xxxx＝＝＝－的的444xxx－－－2解解＝＝＝)121212－是是222代代代，，，x：：入入入(解解解xxx＋＝＝得得得xxx(((2：：：－－xxx)－－－＝11212xxx..＝2＝2＝2x)))2－－－≠≠≠－1212120002...，，，，故故故
首
页
_BA_＝__AB_××__MM_，__AB_＝__AB_÷÷__MM_((_MM_是_是_不_不_等_等_于_于_零_零_的_的_整_整_式_式_)_)．_．
第4课 分式及其运算
要点梳理
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其
中任何___两___个，分式的值不变．
时，去分母
后变形为
(D)
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
首 页
C．2－(x＋2)＝3(1－x)
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
解析 原方程化为：x－2 1－xx＋－21＝3， 去分母时，两边同乘以x－1，
得：2－(x＋2)＝3(x－1)．故选D.
第4课 分式及其运算
基础自测
ABAB无无意意义义；；当当____A__＝____0__且____B__≠____0__时时，，分分式式ABAB的的值值为为零零．．
2024年中考数学一轮复习提高讲义：分式及其运算
分式及其运算知识梳理1.分式的概念表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就是分式.注意：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时，分式没有意义.2.分式的基本性质和变号法则(1)分式的基本性质：AB =A×MB×M=A÷MB÷M(2)分式的变号法则：−a−b =−−a+b=−a−b=ab3.分式的运算(1)分式的乘除:①分式的乘法：ab ⋅cd=acbd②分式的除法：ab ÷cd=ab⋅dc=adbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分.(2)分式的加减①同分母分式相加减：ac ±bc=a±bc②异分母分式相加减：ba ±dc=bcac±adac=bc±adac(3)分式的乘方：应把分子分母各自乘方，即(ab )′′=a nb n(n为正整数).4.分式求值(1)先化简,再求值.(2)由化简后的形式直接代入所求分式的值.(3)式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中.典型例题例 1分式x2−4x+2的值为0,则( ).A. x=-2B. x=±2C. x=2D. x=0分析分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0. 解由题意，得x²−4=0,且x+2≠0,解得x=2.故选 C.例 2若ab+a-b-1=0,试判断1a−1,1b+1是否有意义.分析要判断1a−1,1b+1是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a-1,b+1与零的关系.解因为ab+a-b-1=0,所以a(b+1)-(b+1)=0,即(b+1)(a-1)=0,所以b+1=0或a-1=0,所以1a−1,1b+1中至少有一个无意义.例3计算：1+n−mm−2n ÷m2−n2m2−4mn+4n2.分析分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解.解原式=1−m−nm−2n ⋅(m−2n)2 (m+n)(m−n)=1−m−2nm+n =m+n−m+2nm+n=3nm+n例 4已知 abc=1,求 a ab+a+1+b bc+b+1+cac+c+1的值.分析 若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了. 解 原式 =a ab+a+1+ab abc+ab+a +abca 2bc+abc+ab =a ab+a+1+ab 1+ab+a +abca+1+ab =a+ab+1ab+a+1 =1 双基训练1.下列代数式中： x π,12x −√a−b √a+b x 2−y 2x+y ,1x+y x−y,是分式的有 . 2.下列式子中是分式的是( ).A. x/2B. 2x C.x π D.x+y 23.下列分式中，最简分式有( ).a 33x 2,x−yx 2+y 2,m 2+n 2m 2−n 2,m+1m 2−1,a 2−2ab+b 2a 2−2ab−b 2A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 4.下列变形不正确的是( ). A.2−a −a−2=a−2a+2B.1x+1=x−1x 2−1(x ≠1) C.x+1x 2+2x+1=12 D.6x+33y−6=2x+1y−25.若2x+y=0,则x 2+xy+y 22xy−x 2的值为( ).A.−15B.−35C. 1D.无法确定 6.若把分式 x+yxy 中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值( ). C.缩小为原来的 12 D.缩小为原来的 14A.扩大 2倍 B. 不变7.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为 .8.已知分式2x+1x−2,当x= 时，分式没有意义；当. x=时，分式的值为0；当x=-2时,分式的值为 .9. 分式1x−1,1x,2x2−2x+1的最简公分母是 .10.某校组织学生春游，有m 名师生租用n座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m，n 的代数式表示).11. 化简.(1)a2−4a2+2a−8÷(a2−4)⋅a2−4a+4a−2;(2)x2−1x2−4x+4÷(x+1)⋅x2−3x+2x−1.12. 当x 取何值时,式|x|−2x2+3x+2有意义?当x取什么数时，该式的值为零?13. 先化简(1x−1−1x+1)÷x2x2−2,再求当x=2时的分式值.14.有一道题：“先化简，再求值：(x−2x+2+4xx2−4)÷1x2−4其中，x=-3”.小玲做题时把“x=−3”错抄成了x=3”,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?15. 已知3x²+xy−2y²=0(x≠0,y≠0),求xy −yx−x2+y2xy的值.16.已知实数 m,n 满足关系1m+n +1m−n=nm2−n2,求2mn+n2m2的值.17.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,5−2√2,7+√3时，求代数式x2−2x+1x2−1÷2x−2x+1的值.小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗?请你写出具体的解题过程.18.先化简: (3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1,然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值.19.已知:非零实数a,b,c 满足1a −1b=1b−1c,求证:ab+bc=2ac.20.已知分式: A=2x2−1,B=1x+1+11−x.(x≠±1).有下面三个结论：①A，B 相等；②A，B 互为相反数；③A，B 互为倒数.上述结论中哪个正确?为什么?能力提升21.已知Mx2−y2=2xy−y2x2−y2+x−yx+y,则M=.22.已知分式x−5x2−4x+a,当x=55时，分式的值为零，求a 的取值范围；当x 取任何值时，这个分式一定有意义，求a 的取值范围 .23.如果记 y =x 21+x2=f (x ),并且f(1) 表示当x=1时y 的值,即 f (1)=121+12=12; f (12)表示当 x =12时y 的值，即f (12)=(12)21+(12)2=15; 那么f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (n )+f (1n)=¯(结果用含n 的代数式表示).24. 若 a²+b²=3ab,则 (1+2b 3a 3−b 3)÷(1+2ba−b )的值等于( ). A. 12B.0C. 1D.2325.若 P =12012−12013,Q =20112012−20102011,R =20122013−20112012,那么 P,Q,R 的大小关系为( ).A. P>Q>RB. P<Q<RC. P=R>QD. P=R<Q 26.已知:方程 a x−3=1x 的解为x=-3,求 a a−1−1a 2−a 的值.27.已知:a+b+c=0, abc=8,求证: 1a +1b +1c <0.28.已知 a²−6a +9与|b-1|互为相反数，求代数式 (4a 2−b2+a+bab 2−a 2b)÷a 2+ab−2b 2a 2b+2ab 2+ba的值.29.若 A =99991111+199992222+1,B =99992222+199993333+1,试比较A 与B 的大小.30.设a,b,c,d 都不等于 0,并且 ab =cd ≠1,按照下面的步骤探究 a+ba−b 和 c+dc−d 之间的关系.(1) 请你任意取3组a,b,c,d 的值,通过计算猜想a+ba−b 和c+dc−d之间的关系.(2)证明你的猜想. 拓展资源31.已知a,b,c 为实数,且aba+b =13,bcb+c=14,cac+a=15,那么abcab+bc+ca的值是多少?32.当x 的值变化时，求分式8−2(x+1)2+1的最小值.33.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,求x+y−zx−y+2z的值.34.(1) 已知恒等式x³−x²−x+1=(x−1)(x²+kx−1),求 k 的值.(2)若x 是整数,求证x3−x2−x+1x2−2x+1是整数.35.解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.(1) 设A=3xx−2−xx+2,B=x2−44,求 A 与 B 的积.(2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题.第二十二讲1.x2−y2x+y ,1x+yx−y2. B3. C4. C5. B6. C7.18.2,- 12, 349. x(x-1)²10.m+3n11.(1) 原式=a2−4(a−2)(a+4)⋅1a2−4⋅(a−2)2a−2=1a+4.(2) 原式=(x+1)(x−1)(x−2)2⋅1x+1⋅(x−1)(x−2)x−1=x−1x−2,12. 由x²+3x+2=(x+1)(x+2)=0,得x=-1或-2所以,当x≠-1和x≠-2时,原分式有意义.由分子|x|-2=0得x=±2,当x=2时,分母x²+3x+2≠0;当x=-2时,分母x²+3x+2=0,原分式无意义. 所以当x=2时, |x|−2x2+3x+2的值为零.13. 原式=x+1−x+1(x+1)(x−1)÷x2(x+1)(x−1)=x+1−x+1(x+1)(x−1)⋅2(x+1)(x−1)x=4x,当x=2时,原式=2.14.原式计算的结果等于x²+4,所以不论x 的值是+3还是-3结果都为13.15.先化简，得原式=−2yx,又因3x²+xy−2y²=0,所以(3x-2y)(x+y)=0,所以x=23y或x=-y,当x=23y时,原式=-3;当x=-y时,原式=2.16. 由1m+n +1m−n=nm2−n2可得:n=2m;则2mn+n2m2=2nm+n2m2=4+4=8.17. 原式=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+12(x−1)=12.由于化简后的代数中不含字母x，故不论x取任何值，所求的代数式的值始终不变.所以当x=3,5−2√2,7+√3时，代数式的值都是12.18.化简得原式=x+22−x,当x=1时,原式=3.19. 因为1a −1b=1b−1c,所以b−aab=c−bbc,所以c(b-a)=a(c-b),所以bc-ac=ac-ab,所以ab+bc=2ac.20.②的结论正确.理由如下：因为B=1x+1+11−x=x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1=−A所以 A，B互为相反数.21. x² 22. a≠-5,a>4 23.n−1224. A 2 5. D26. 因为方程ax−3=1x的解为.x=-3.所以a−3−3=−13,解得a=2,所以aa−1−1a2−a=a2a(a−1)−1a(a−1)=(a+1)(a−1)a(a−1)=a+1a;当a=2时,原式=2+12=32.27.证明:因为a+b+c=0,)所以( (a+b+c)²=0,即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=−12(a2+b2+c2),又因为1a +1b+1c=bc+ac+ababc=−116(a2+b2+c2),且已知abc=8,所以a,b,c均不为零, 所以a²+b²+c²>0,所以1a +1c+1c<0.28. 由已知得a--3=0,b-1=0,解得a=3,b=1.原式 =[4(a+b )(a−b )+a+b ab (b−a )]÷a 2+ab−2b 2ab (a+2b )+ba=[−(a−b )2ab (a−b )(a+b )]÷a 2−b 2+ab−b 2ab (a+2b )+ba=−(a−b )2ab (a−b )(a+b )⋅ab (a+2b )(a−b )(a+2b )+ba=−1a+b +ab把a=3,b=1代入得:原式 =114.29. 设a=9999¹¹¹¹,则 A =a+1a 2+1,B =a 2+1a 3+1 所以 A −B =a+1a 2+1−a 2+1a 3+1=a 4+a 3+a+1−a 4−2a 2−1(a 2+1)(a 3+1)=a (a−1)2(a 2+1)(a 3+1)>0所以 A>B.30.(1) 可取a=1,b=2,c=2,d=4;a=1,b=2,c=3,d=6;a=2,b=3,c=6,d=9,再分别代入 a+b a−b和c+d c−d中进行计算，由计算结果可得到 a+b a−b 利 c+dc−d 的关系是相等.(2) 证明:因为a,b,c,d 都不等于0,并且 a b =cd ≠1, 所以 a =cd ⋅b,所以 a+ba−b =cd ⋅b+b cd⋅b−b =c d +1c d−1=c+dc−d .31.由已知条件得： 1a +1b =3,1b +1c =4,1c +1a =5.所以 2(1a +1b +1c )=12即 1a +1b +1c =6,又因为ab+bc+caabc=1c+1b +1a =6,所以 abc ab+bc+ca =16. 32. 因为( (x +1)²≥0,所以( (x +1)²+1的最小值为1，所以 2(x+1)2+1的最大值为2，所以 8−2(x+1)2+1的最小值为6.33. 因为4x-3y-6z=0①,x+2y-7z=0②由①,②解得 {x =3z y =2z,所以 x+y−z x−y+2z =3z+2z−z 3z−2z+2z =43.34.(1) 由题设知, (x −1)(x²+kx −1)=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,所以 x³−x²−x +1=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,从而有k-1=-1,-k-1=-1,解得k=0. (2) 由(1)知k=0,则 x³−x²−x +1=(x −1)(x²−1)=(x −1)²(x +1), 所以 x 3−x 2−x+1x 2−2x+1=(x−1)2(x+1)(x−1)2=x +1.又因为x 是整数，所以x+1是整数.所以x 3−x 2−x+1x 2−2x+1是整数.35.(1)A ⋅B =(3x x−2−xx+2)⋅x 2−4x=2x (x+4)(x−2)(x+2)⋅x 2−4x=2x +8;(2)“逆向问题”:已知 A ⋅B =2x +8,B =x 2−44,求 A. 解答： A =(A ⋅B )÷B =2x +8xx 2−4=2x 2+8x x 2−4.。
中考数学一轮复习课件：第三节 分式
x2＋x22－x＋ 1 1－x－1 1÷x－x21． 解：原式＝(x＋(x1＋)(x1－)2 1)－x－1 1·x－x21
＝x＋x－1－1 1·x－x21
＝x－x 1·x－x21 ＝1x．
● (1)当x－3＝0时,求值；
●
解：பைடு நூலகம்x－3＝0,
●
∴x＝3,
∴原式＝13．
(2)当 x＝ 2－1 时，求值；
___x_≠__1___．
考法 2 分式的化简
2．(2022 河南)化简：x2－x 1÷1－x1． 解：原式＝(x＋1)x(x－1)÷x－x 1
＝(x＋1)x(x－1)·x－x 1····················································(3 分) ＝x＋1． ······································································(5 分)
1．(1)若分式x－5 4有意义，则实数 x 的取值范围是__x__≠__4___；
(2)若分式a－5 5的值等于 0，则 a 的值为__5___；
(3)
使
分
式
x＋1 x2＋1
＋
x x＋1
＋
x－1 x
＋
x2＋1 x－1
无
意
义
的
x
的取值是
__－__1_或__0_或__1___．
考点 2 分式的运算
加减法
1．同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝ a±c b； 2．异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后相 加减，即ba±dc＝abdd±bbdc＝adb±d bc
中考数学一轮复习 3 分式及其运算课件.pptx
11
随堂检测 1、若代数式x－1 3在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是( A )
A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝3
2、化简 x2 ＋ 1 的结果是( A ) x－1 1－x
约去，叫做分式的约分
A M ＝A M ＝A B M B M B
把几个异分母的分式分别化成与原来 通分 的分式相等的同分母的分式，叫做分
式的通分
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
4
知识梳理
最简公分母
各分母的所有因式的最高次
如
x
1 1
2 2(x
的最简 1)
幂的积叫做 最简公分母. 公分母就是 2(x－1)(x＋1)
A．x>3 B．x≥3 C．x>4 D.x≥3且x≠4
8
难点突破
3、下列分式中，最简分式是( A )
x2－1 A.x2＋1
x＋1 B.x2－1
x2－2xy＋y2 C. x2－xy
x2－y2 4、化简（y－x）2的结果是( D )
x＋y x＋y A．－1 B．1 C.y－x D.x－y
x2－36 D.
15
再见
16
B
2．分式的有关条件：
有意义的条件 无意义的条件
值为0的条件
① B≠0
B＝0
②
A＝0 且 B≠0
3．分式的基本性质： A＝A •C (C≠0)，A＝A C (C≠0)，其中A，B，C是整式．
B B•C
B BC
3
知识梳理
考点2 约分、通分、最简公分母、最简分式
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C．扩大 9 倍
D．不变
6．化简(a－ba2)a－a b的结果是( B )
A．a－b
B．a＋b
1 C.a－b
1 D.a＋b
7．先化简，再求值：(1－a－1 1)÷a2－a24－a＋a 4，其中 a＝－1. 解：原式＝a－a 2 当 a＝－1，原式＝13
考点训练 5
分式及其运算 分式及其运算
训练时间：60分钟训练分时值间：：10600分分 钟 分值：1
C．x＞－1 且 x≠0 D．x≥－1 且 x≠0
2．下列运算中，错误的是( D )
A.ba＝bacc(c≠0)
B.－a＋a－bb＝－1
C.0.02.a5－a＋0.b3b＝52aa＋－130bb D.xx－ ＋yy＝yy＋－xx
3．若分式|xx|－－11的值为 0，则 x 的值为( B )
A．±1
B．－1
)
A．a≠0
B．a>－2 且 a≠0
C．a>－2 或 a≠0
D．a≥－2 且 a≠0
(2)(2009·台州)化简(－ba)÷a2－b a的结果是(
)
A．－a－1 B．－a＋1
C．－ab＋1 D．－ab＋b
(3)(2010·黄冈)化简(x－1 3－xx2＋－11)·(x－3)的结果是(
)
A．2
2 B.x－1
b·m b b÷m b －a b＝－b a＝－ba . ②通分的关键是确定 n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多 项式时，先因式分解，再取 系数的最小公倍数 ，所有不同字母(因式)的最 高次幂的积为最简 公分母． ③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤是： 当分子、分母是多项式时， 先因式分解，取系 数的最大公约数， 相同字母(因式)的最低次幂 的积为最大公因式．
【答案】B
4．(2010·河北)化简a－a2 b－a－b2b的结果是(
)
A．a2－b2 B．a＋b C．a－b D．1
【解析】原式＝aa2－ －bb2＝a－ab－ab＋b＝a＋b.
【答案】B
5．(2010·玉溪)若分式b2－b2－2b1－3的值为 0，则 b 的值为(
)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
【解答】(1)D (2)B (3)B
计算： (1)(2010·陕西)mm－n－m＋n n＋m22m－nn2； (2)(2010·咸宁)先化简，再求值： (1＋a2－1 1)÷a－a 1，其中 a＝－3.
【点拨】分式混合运算的顺序是先乘方、后乘除，最后加减，有括号先算括号内的．
【解答】(1)原式＝mm－nm＋mn＋ n－m－nmn－mn＋ n＋
C．1
D．0
4．分式a＋1 b，a2－2ab2，b－b a的最简公分母为( D )
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a)
B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a)
D．a2－b2
5．如果把分式x2＋xyy中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值( A )
A．扩大 3 倍
B．缩小 3 倍
考点四 分式求值 分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求 的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题， 一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下， 才能获得简易的解法．
(1)(2010·芜湖)要使分式 aa＋2有意义，a 的取值范围是(
2
x－4
C.x－3 D.x－1
【点拨】(1)由题意得 a＋2≥0 且 a≠0，即有 a≥－2 且 a≠0. (2)原式＝－ba·aa－b 1＝－(a－1)＝－a＋1. (3)原式＝[x－1 3－x＋x1＋x1－1]·(x－3)＝(x－1 3－x－1 1)·(x－3)＝1－xx－ －31＝x－2 1.
)
A．x≥3 B．x≥3 且 x≠－1
C．x≠－1 D．x>3
【解析】xx－ ＋31≥ ≠00 ，解得 x≥3.
【答案】A
3．(2009 中考变式题)化简aa22＋－abb2的结果为(
)
b A.a
a－b B. a
a＋b C. a
D．－b
【解析】aa22＋－abb2＝a＋aba＋ab－ b＝a－a b.
2mn m－nm＋n
＝mm2－＋n2mmn＋＋nn2＝m－mn＋mn＋2 n＝mm＋ －nn.
(2)原式＝a＋1a2a－1×a－a 1＝a＋a 1.
当 a＝－3 时，原式＝－－3＋3 1＝32.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．要使式子 xx＋1有意义，x 的取值范围是( D )
A．x≠1
B．x≠0
第 5 讲 分式及其运算
考点一 分 式 形如AB(A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． (1)分式有无意义：B＝0 时，分式无意义；B≠0 时，分式有意义． (2)分式值为 0：A＝0 且 B≠0 时，分式的值为 0.
考点二 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ①a·m＝a ，a÷m ＝a (m≠0)；
一、选择题(每小题 3 分，共 45 分)
1．(2010·株洲)若分式x－2 5有意义，则 x 的取值范围是(
)
A．x≠5
B．x≠－5
C．x>5
D．x>－5
【解析】分式若有意义，则分母不为 0，故 x－5≠0，得 x≠5.
【答案】A
2．(2010·黄冈)函数 y＝ xx＋－13的自变量 x 的取值范围是(
考点三 分式的运算 1．分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±cb.异分母的分式相加减，先 通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a±c＝ad±bc.
b d bd 2．分式的乘除法 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝badc.分式除以分式， 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝abdc. 3．分式的乘方 分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即(mn )k＝mnkk(k 是正整数)． 4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算， 遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．