初二数学练习题(二)截长补短法
截长补短经典例题
截长补短经典例题
1.问题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长减少4厘米，宽增加6厘米，那么面积就会增加18平方厘米。
请问原来的长方形的长和宽各是多少厘米？
解：设原来的长方形的宽为X厘米，那么长为2x厘米。
根据题意，我们可以得到一个方程：
(x+6)*(2x-4)=2x^2+18
解这个方程，我们得到：
2x2-4x+12x-24=2x2+18
IOx=42
X=4.2
所以原来长方形的宽为4.2厘米，长为4.2*2=8.4厘米。
2.问题：一个圆的半径是另一个圆半径的2倍，如果大圆的面积比小圆的面积大16兀平方厘米，那么大圆和小圆的半径各是多少厘米？(兀取
3.14)
解：设小圆的半径为r厘米，那么大圆的半径为2r厘米。
根据题意，我们可以得到一个方程：
π*(2r)^2一n*r^2=16π
解这个方程，我们得到：
3.14*(4r^2-r^2)=16π
3.14*3/2=16π
3/2=16
r^2=5.3333（保留四位小数）
所以小圆的半径约为2.3厘米，大圆的半径约为4.6厘米。
(完整word版)初中数学全等专题截长补短法(含答案)
初中数学全等专题截长补短法一、单项选择题 (共 5 道，每道20 分 )1.正方形 ABCD中， E为 BC上的一点， F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数为 ( )A.30 °B.37.5 °C.45 °D.60 °答案：C解题思路：延长 EB 至点 G ，使得 BG=DF，连接 AG，可证明：△ ABG≌ △ ADF（ SAS），∴ ∠ DAF=∠ BAG， AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG， AE=AE∴ △ AEG≌ △ AEF（ SSS）∴ ∠EAG=∠EAF，∵ ∠ DAF+∠ EAF+∠ BAE=90 ∴°∠EAG+∠ EAF=90，°∴∠ EAF=45 。
°2.如图，在△ ABC 中， AB=AC，∠ ABC=40°， BD 是∠ ABC 的均分线，延伸 BD 至 E，是 DE=AD，则∠ ECA的度数为（）A.30 °B.35 °C.40 °D.45 °答案：C解题思路：在 BC上截取 BF=AB，连 DF，则有△ ABD≌ △ FBD，∴ DF=DA=DE，又∵ ∠ ACB=∠ABC=40°，∠ DFC=180°-∠ A=80°，∴ ∠ FDC=60°，∵ ∠ EDC=∠ ADB=180°-∠ ABD-∠ A=180°-20 °-100 °=60°，∴ △ DCE≌△ DCF，故∠ ECA=∠ DCB=40°.应选 C.3.已知： AC 均分∠ BAD， CE⊥ AB，∠ B+∠ D=180°，则以下说法正确的选项是（）A.CD=AD+BEB.AE=CE+BEC.AE=AD+BED.AC=AD+BE答案：C解题思路：在 AB 上截取 AF，使得 AF=AD，连结 CF，则可先证△ ADC≌ △AFC，再证明△ CEF≌ △ CEB，就能够获得AE=AD+BE，因此 C选项正确。
初二数学 全全等三角形截长补短测试试题含答案
初二数学 全全等三角形截长补短测试试题含答案一、全等三角形截长补短1．已知：在ABC 中，90BAC ︒∠=，AB AC =．将ABC 按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)A m 落在y 轴的负半轴上，使得点(,0)B n 落在x 轴的正半轴上，点C 在第二象限，并且,m n 满足2268250m n m n ++-+=．（1）由题意可知OA =_____，OB =_____（直接写答案）；（2）求点C 的坐标；（3）ABC 的斜边BC 交y 轴于D ，直角边AC 交x 轴于E ．在AC 上截取AF CE =，连接DF ．探究线段DF AD BE 、、的数量关系并证明你的结论．2．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．3．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．4．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．5．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．6．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上(,B C 除外)，分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究,AE EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G (如图1)，通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（2）那么当点E 是直线BC 上(,B C 除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”，“点E 在线段BC 的延长线”，“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；（3）当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE nBC =(01n <<)，请直接写出:ABC AEF S S △△的值．7．在菱形ABCD 中，射线BM 从对角线BD 所在的位置开始绕着点B 逆时针旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒，点E 在射线BM 上，DEB DAB ∠=∠．（1）当60DAB ∠=︒时，BM 旋转到图①的位置，线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM 旋转到图②的位置时，探究线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的60DAB ∠=︒改为90DAB ∠=︒，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系．8．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D 在边AC 上（不与点A ，C 重合）连接BD ，点K 为线段BD 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结CK ，EK ，CE ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）（1）如图1，若α=45°，则△ECK 的形状为______；（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D ，E ，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK ；（3）若△ADE 绕点A 旋转至图3位置时，使得D ，E ，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE ，AE ，CK 三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）． 10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3，4；（2）(3,1)C -；（3）BE=DF+AD ，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出m ，n 即可；（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，只要证明△ACH ≌△BAO 即可解决问题；（3）在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，则△CHD ≌△AOK ，再证明DF=EK ，AD=BK 即可解决问题．【详解】解：（1）∵2268250m n m n ++-+=∴22(3)(4)0m n ++-=,∵2(3)0+≥m ，2(4)0n -≥，∴3,4m n =-=，∴(0,3)A -，(4,0)B∴OA=3，OB=4，故答案为：3，4（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°，∴∠ACH=∠BAO ，∵AC=BC ，∴△ACH ≌△BAO ，∴AH=OB=4，CH=OA=3，∴OH=1，∴(3,1)C -（3）结论为：BE=DF+AD理由：如图，在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，∵CH=OA ，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK ，∴△CHD ≌△AOK （SAS ），∴CD=AK ，∵AD=BK ，AB=AC ，∴△AKB ≌△CDA （SSS ），∴∠KAB=∠ACD=45°，∴∠EAK=45°=∠FCD ，∵CE=AF ，∴CF=AE ，∵CD=AK ，∴△CDF ≌△AKE （SAS ）∴DF=KE ，∵BE=EK+BK ，∴BE=DF+AD【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ． 【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD 中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠； 如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒，∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒， ∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠． ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB 、AC 关于直线l 对称，∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC ，AC=AE ，∴AB=AE ，∴∠ABE=12（180°-∠BAE ）=120°-α． 故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG为等边三角形，∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，∵△AEC是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，EG EFAEG CEF AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG，在△AEF和△CEG中，EF EGAEF CEG AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CEG，∴AF=CG，∴AF=FC-EF．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．4．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠， 在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．5．（1）见解析；（2）ACB∠＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA∠=∠，证得DB AB=；（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得EAC C∠=∠，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出ACB∠＝60°；（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠A＝90°－12∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD ＝∠ABC ，∠AFD ＝∠ABD ＋∠BAE ，∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠BAE ＝∠DBC ．∵由（1）知，∠BAD ＝∠BDA ，又∵∠EAC ＝∠BAD －∠BAE ，∠C ＝∠ADB －∠DBC ，∴∠CAE ＝∠C ．∴AE ＝CE ．∵BE ＝CH ，∴BE ＋EH ＝CH ＋EH ．即BH ＝CE ＝AE ．∵AB ＝BD ，∴△BDH ≌△ABE ．∴BE ＝DH ．∵BE ＝CD ，∴CH ＝DH ＝CD ．∴△DCH 为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ．∵DH ∥AE ，∴∠CAE ＝∠CDH ＝60°，∠AEC ＝∠DHC ＝60°．∴△ACE 是等边三角形．设AC ＝CE ＝AE ＝x ，则BE ＝16－x ，∵DH ∥AE ，∴△BFE ∽△BDH ． ∴16BF BE EF x BD BH DH x-===． ∴1616x x BF BD AB x x--==， ()21616x x EF DH x x--==． ∵△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30， 解得AB ＝16－8x ．在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ， ∴BO ＝16－2x ． 在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2， 即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解得10x =（舍去）225621x =． ∴AC ＝25621． ∴AF ＝11．【点睛】 本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．6．（1）AE EF =；（2）仍然成立．证明见解析；（3）()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【分析】（1）连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论； （2）在AC 上截取CG CE =，连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论；（3）在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF ，利用ASA 证出AGE EBF △≌△，可得AEF 为等腰直角三角形，设CA=CB=a ，则BE nBC na ==，利用勾股定理求出AE ，根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）AE EF =，连接GE∵AC BC =，点E 是BC 的中点，点G 为AC 的中点∴AG=CG=CE=EB ，因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =（2）仍然成立．在AC 上截取CG CE =，连接GE ．因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =．（3）如下图所示，在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠-∠=∠=∠-∠．所以FEB EAG ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒∴∠EBF=180°－∠ABF －∠ABC=45°．所以45AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =．∴AEF 为等腰直角三角形设CA=CB=a ，则BE nBC na ==∴CE=a ＋na 由勾股定理可得22CA CE +222222a na n a ++∴212ABC S a =，()222222222112222AEF S a na n a a na n a =++=++△ ∴()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．7．（1）BE DE AE =+；（2）BE DE AE =-，证明见解析；（3）2BE DE AE =-【分析】（1）在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，首先利用菱形的性质证明ADE ABF ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EF AE =，从而可得出结论BE DE AE =+；（2）在DE 上截取DG BE =，连接AG ，首先利用菱形的性质证明ADG ABE ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EG AE =，从而可得出结论BE DE AE =-；（3）在DE 上截取DH BE =，连接AH ，首先利用正方形的性质证明ADH ABE △≌，然后利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出2EH AE =，从而可得出结论2BE DE AE =-．【详解】（1）解：BE DE AE =+；如图①，在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADE ABF SAS ∴△≌△，AE AF ∴=，EAD BAF ∠=∠．60DAB DAF BAF DAF EAD EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEF ∴是等边三角形，EF AE ∴=．BE BF EF =+，BE DE AE ∴=+．图①（2）BE DE AE =-．证明：如图②，在DE 上截取DG BE =，连接AG ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADG SAS ∴△≌△ABE ．AE AG ∴=，DAG BAE ∠∠=．60DAB DAG BAG BAE BAG EAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． ∴AEG 是等边三角形．EG AE ∴=．DG DE EG =-，BE DE AE ∴=-；图②（3）2BE DE AE =-．如图③，在DE 上截取DH BE =，连接AH ，90DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=．()ADH ABE SAS ∴△≌△．AE AH ∴=，HAD BAE ∠=∠．90DAB DAH BAH BAE BAH EAH ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． AEH ∴是等腰直角三角形．2EH AE ∴=．DH DE EH =-，2BE DE AE ∴=-．图③本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形的性质，合理的作出辅助线是解题的关键．8．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE△≌△是解题关键．9．（1）△ECK是等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE•tanα=2CK．理由见解析．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC =90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得BCAC =BGAE，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）解：结论：△ECK是等腰直角三角形．理由：如图1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=12BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=12BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK 是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BF 于Q ．∵∠α=45°，DE ⊥AE ，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG ，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC ，∴△AEC ≌△BGC （SAS ），∴CE=CG ，∠5=∠BCG ，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG 是等腰直角三角形，∵KD=KB ，DE=BG ，∴KE=KG ，∴CK=EK=KG ，∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK ．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK ．理由：如图3中，在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BE 于Q ．DE AE ⊥，∠ACB=90°，90,90CAE EQA CBG CQB ︒︒∴∠+∠=∠+∠=EQA CQB ∠=∠∴∠CAE=∠CBG ，在Rt△ACB中，tanα=BC AC，在Rt△ADE中，tanα=DEAE=BGAE，∴BCAC =BGAE，tanDE AEα=∴△CAE∽△CBG，∴∠ACE=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴EG=2CK，∵BE-BG=EG=2CK，∴BE-DE=2CK，∴BE-AE•tanα=2CK．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键. 10．（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。
八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 截长补短法.doc
八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 截长补短法一、截长补短法：题目中出现线段之间的和差倍分时，考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。
二、典型例题：例题1、如图，在△ABC 中，∠1 = ∠2 ，∠B = 2∠C ，求证：AC = AB + BD图1证明：（截长法）如图，在线段AC 上截取AE = AB ，连接DE图2∵AB = AE , ∠1 = ∠2 ，AD = AD∴△ABD ≌△AED∴BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE∵∠B = 2∠C ∴∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C∴∠EDC = ∠C ∴ED = EC （等角对等边）∵AC = AE + EC∴AC = AB + BD （等量代换）例题2、如图，在正方形ABCD 中，E , F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF = 45°，连接EF 。
求证：EF = BF + DE 。
图3证明：（补短法）如图，将DE 补在FB 的延长线上，使BG = DE , 连接AG图4∵在正方形ABCD 中有AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90°，DE = BG∴△ADE ≌△ABG ∴∠1 = ∠2 ，AE = AG∵∠EAF = 45°∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF∵AE = AG , ∠EAF = ∠GAF ，AF = AF∴△EAF ≌△GAF ∴EF = GF∵GF = BF + BG = BF + DE∴EF = BF + DE例题3、如图，在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ，CE⊥BD 交BD 的延长线于点E 。
求证：CE = 1/2 BD 。
图5证明：如图，延长CE 交BA 的延长线于点F图6∵CE⊥BE ∴∠BEC = ∠BEF = 90°∵BD 平分∠ABC ∴∠1 = ∠2∴△BEC ≌△BEF ∴EC = EF∵∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC ，∠ADB = ∠EDC （对顶角相等）∴∠1 = ∠3∵AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90°，∠1 = ∠3∴△ABD ≌△ACF ∴BD = CF = 2 CE即CE = 1/2 BD三、拓展提高（作业题）例题4、如图，在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线。
初二数学全全等三角形截长补短提优专项训练
初二数学全全等三角形截长补短提优专项训练一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，∠EAF＝12请给出证明；若不成立，请说明理由．2．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP ＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．3．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．4．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．5．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 均为中点，连接AF 、DE 交于点P ，连接PC ，证明：2PE PF PC +=．6．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．7．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 8．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长． （2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD ，E 为对角线AC 上一点，∠BEC =∠BAD =2∠DEC ，探究AB 与BC 的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB =∠ABE ”；小源：“通过观察和度量，AE 和BE 存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB 与BC 的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC 上存在点F ，使DF =CF =k AE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，求AB FG的值”． （1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ． 【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD 中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠； 如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒，∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒， ∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠． ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中，B ADG AB AD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，EAF GAF AF AF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．4．2AB AD BE =+，证明见解析【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS ≌，得到 B BFC ∠=∠，又证明 AFC ADC ≌，得到 AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．CE AB ⊥90BEC FEC ∴∠=∠=︒在BCE 和ECF △BE EF BEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE ECF SAS ∴≌ B BFC ∴∠=∠180B D ∠+∠=︒180BFC AFC ∠+∠=︒又D AFC ∴∠=∠AC 平分∠BADFAC DAC ∴∠=∠在AFC △ 和ADC 中AFC D FAC DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩() AFC ADC AAS ∴≌AF AD ∴=AB AF BE EF =++2AB AD BE ∴=+【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．5．见解析【分析】延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP是等腰直角三角形，即PN PE NE =+=，从而得证PE PF +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中， E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形， 2PN PE NE PC ∴=+=．即2PE PF PC +=．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．6．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．7．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB，∵BD=BC，∴∠BDC=∠DCB∵DE∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM∴△BHC≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB ∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CDBH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC ∥DE∴∠BCD=∠CDE ，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE ，∠BMC=∠AED ，且CD=CD∴△CDM ≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH ．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．8．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 9．（1）256+；（2）见解析【分析】 （1）构建直角三角形，得出AH 、BH ，然后利用角平分线的性质以及平行四边形的性质，进行等量互换，即可得解；（2）首先在AB 上截取BQ BE =，然后判定DOF EOC ≌△△和AEQ GAF ≌△△，进行等量转换，即可得证.【详解】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：4tan 3B ∠=，5AB =， 4AH ∴=，3BH =DE 平分ADC ∠，12∠∠∴=，AD BC ∵∥，13∠∠∴=23∴∠=∠，5DC EC ∴==，1BE ∴=，2EH ∴=，25AE ∴=256ABE C ∴=△；（2）在AB 上截取BQ BE =，连接EQ ，如图所示：CD CE =，CO DE ⊥，OD DE ∴=①AD BC ∵∥，DFO ECO ∴∠=∠，ADE CED ∠=∠②③由①②③得：DOF EOC ≌△△，DF CE ∴=，又AD BC =，AD DF BC CE ∴-=-，即AF BE =60EAG ∠=︒，60BAE FAG ∴∠+∠=︒，60DFC ∠=︒，60FGA FAG ∴∠+∠=︒，CD=CFBAE FGA ∴∠=∠④又120FAG AQE ∠=∠=︒，EQ AF =⑤⑥由④⑤⑥得：AEQ GAF ≌△△，AQ FG ∴=，又AB CF =，AB AQ CF FG ∴-=-，即BQ CG =，AF CG ∴=．【点睛】此题主要考查利用三角函数值构建直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ； （3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB ∴12DK BD = ∠AKD=90° ∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC ∴△ADK ∽△DBC ∴∠BDC=∠AKD=90° ∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC ∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90° ∠DQF+∠DCF=90° ∴DF=FQ 设AD=a∴DF=FC=QF=ka ∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB ∠ADQ=∠QBC ∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ == ∴AQ=ka=QF=CF ∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC = ∴3AB ka = 同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG k=． 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。
截长补短经典例题20道
截长补短经典例题20道一、三角形中的截长补短例1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点O。
求证：AC = AE+CD。
解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。
因为AD平分∠BAC，所以∠EAO = ∠FAO。
在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO，所以△AEO≌△AFO(SAS)。
所以∠AOE = ∠AOF。
因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠AOE =∠COD =∠AOF = 60°。
所以∠COF = 180° - ∠AOF - ∠COD=60°，即∠COF = ∠COD。
又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。
在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO，所以△FOC≌△DOC(ASA)。
所以CD = CF。
因为AC = AF+CF，AF = AE，CF = CD，所以AC = AE + CD。
例2：已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。
求证：BC = AB+AD。
解析：过点D作DE⊥BC于E。
因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC，所以AD = DE。
因为AB = AC，∠A = 90°，所以∠C = 45°。
在Rt△DEC中，因为∠C = 45°，所以DE = EC。
又因为BD = BD，AD = DE，∠A = ∠BED = 90°，所以△ABD≌△EBD(HL)。
所以AB = BE。
因为BC = BE+EC，AB = BE，AD = EC，所以BC = AB+AD。
二、四边形中的截长补短例3：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且∠EAF = 45°。
截长补短法(初中数学经典例题和方法选讲)
变式练习
练习3.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC， ∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．
A D
B
C
变式练习
练习4.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°
求证：AE=AD+BE．
C
D
A
EB
变式练习
练习5.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD， 点E为AB上一点，点F为AD上一点，∠BCD=2∠ECF， 求证：EF=BE+DF
证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F． ∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分 ∠ABC∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC（ASA） ∴EF=EC∴2CE=CF ∴2CE=BD
变式练习
练习7.如图所示，在D ABC是边长为1的正三角形，DBDC 是顶角为120°的等腰三角形， Ð MDN=60°，点M、N分 别在AB、AC上，求的DAMN的周长。
典型例题
例4.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平
分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：2CE=BD
分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起， 让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此 题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且 PD⊥BC∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，
八年级数学——截长补短练习题
截长补短一．解答题(共13小题)1．(2016秋•丰宁县期中)如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE．2．(2016秋•和平区期中)如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．∠∠∠∠．3．(2012•海曙区校级模拟)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠∠∠∠=12(1)求证：BF=EF﹣ED；(2)连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．4．(2013•重庆模拟)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．(1)若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．(2)若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED﹣FC=BE．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠BCD，E为AD中点，连接BE，CE(1)求证：BE=CE；(2)若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．7．(2017秋•卢氏县校级月考)如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：AC=AB+CE．8．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；(2)求证：AD+BC=CD；(3)若AB=12，CD=13，求S△CDE．9．已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BF+DE．10．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，(1)求：∠AOC的度数；(2)求证：AC=AE+CD．11．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．12．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．∠BDC．求证：AC=BD+CD．13．(2014秋•株洲县期末)如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣12截长补短参考答案与试题解析一．解答题(共13小题)1．(2016秋•丰宁县期中)如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE．【解答】解：在BC上截取BF=AB，连DF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2．则在△ABD与△FBD中，{∠∠=∠∠∠1=∠2∠∠=∠∠，∴△ABD≌△FBD(SAS)，∴DF=DA=DE，又∵∠A=100°，∠ABC=40°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°﹣∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°，∴∠FDC=∠EDC，∴△DCE≌△DCF(SAS)，∴CE=CF，∴BC=BF+CF=AB+CE，即BC=AB+CE．2．(2016秋•和平区期中)如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．【解答】证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，∴CE=CF，∵∠B+∠ADC=180°．∠ADC+∠CDF=180°(平角定义)，∴∠CDF=∠B，在△CDF和△CBE中，{∠∠∠∠=∠∠∠∠=∠∠∠∠=90°∠∠=∠∠，∴△CDF≌△CBE(AAS)，∴DF=BE，在Rt△ACF和Rt△ACE中，{∠∠=∠∠∠∠=∠∠，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AE=AF，∵AF=AD+DF，∴AE=AD+BE．3．(2012•海曙区校级模拟)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠∠∠∠=12∠∠∠∠．(1)求证：BF=EF﹣ED；(2)连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．【解答】(1)证明：旋转△BCF使BC与CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；(2)解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由(1)得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．4．(2013•重庆模拟)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．(1)若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．(2)若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．【解答】解：(1)作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，×6=3；∴AM=BM=12∵EF⊥AF，∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE=√∠∠2+∠∠2=5；(2)延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵F是CD的中点，∴DF=FC，∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF(AAS)，∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．5．如图，四边形ABCD 中，∠ABC =90°，点E 是AB 上的点，∠ECD =45°，连接ED ，过D 作DF ⊥BC 于F ，DF =BC ．求证：ED ﹣FC =BE ．【解答】证明：延长EB 至G ，使BG =CF ，连接CG ，∵DF ⊥BC ，∴∠CBG =∠DFC =90°，在△BCG 和△FDC 中{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∴△BCG ≌△FDC ，∴CD =CG ，∠1=∠2，∵∠1+∠DCF =90°，∴∠2+∠DCF =90°，∵∠DCE =45°，∴∠ECG =45°，∴∠DCE =∠ECG ，在△DEC 和△EGC 中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∴△DEC ≌△EGC (SAS )，∴ED =EG ，∴ED ﹣FC =BE ．6．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∠ABC =∠BCD ，E 为AD 中点，连接BE ，CE(1)求证：BE=CE；(2)若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．【解答】解：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，在△BAE与△CDE中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴BE=CE；(2)延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，∴∠EBF=∠ECH，在△BEG和△CEH中，{∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠=90°，∴△BEG≌△CEH(ASA)，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，在△GED和△HED中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△GED≌△HED(SAS)，∴DG=DH，∴BG=DG+CD7．(2017秋•卢氏县校级月考)如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：AC=AB+CE．【解答】证明：∵∠AED=∠1+∠C，∠1=∠C，∴∠AED=2∠C，ED=EC，AC∵∠B=2∠C，∴∠AED=∠B，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，在△DAB和△DAE中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△DAB≌△DAE，∴AB=AE，BD=DE=EC∴AC=AE+EC=AB+CE．8．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；(2)求证：AD+BC=CD；(3)若AB=12，CD=13，求S△CDE．【解答】(1)证明：作EM⊥CD垂足为M，∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，∴AE=EM，∵AE=EB，∴EM=EB，∵EB⊥BC，EM⊥CD，∴EC平分∠BCD．(2)证明：由(1)可知：AE=EM=EB，在RT△DEA和RT△DEM中，{∠∠=∠∠∠∠=∠∠，∴△DEA≌△DEM，∴DA=DM，同理可证：CB=CM∴CD=DM+MC=AD+BC．(3)解：由(1)可知：EM=AE=EB=12AB=6，∵EM⊥CD，CD=13，∴S△EDC=12•DC•EM=12×13×6=39．9．已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BF+DE．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，∴把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图，∴AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，∴点G在CB的延长线上，∴BF+BG=GF，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°，在△AEF和△AGF中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∴EF=BF+BG=BF+DE．10．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，(1)求：∠AOC的度数；(2)求证：AC=AE+CD．【解答】(1)解：∵∠B =60°，∴∠BAC +∠ACB =180°﹣60°=120°，∵AD 、CE 是△ABC 的角平分线，∴∠OAC +∠OCA =12(∠BAC +∠ACB )=12×120°=60°， 在△AOC 中，∠AOC =180°﹣(∠OAC +∠OCA )=180°﹣60°=120°；(2)证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠OAE =∠OAF ，在△AOE 和△AOF 中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△AOE ≌△AOF (SAS )，∴∠AOF =∠AOE ，∵∠AOE =180°﹣∠AOC =180°﹣120°=60°，∴∠AOF =60°，∵∠COF =∠AOC ﹣∠AOF =120°﹣60°=60°，∠COD =∠AOE =60°，∴∠COD =∠COF ，∵CE 是△ABC 的平分线，∴∠OCD =∠OCF ，在△COD 和△COF 中，{∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠，∴△COD ≌△COF (ASA )，∴CF =CD ，∵AC =AF +CF ，∴AC =AE +CD ．11．如图，已知AB =AC ，∠BAC =60°，∠BDC =120°，求证：AD =BD +CD ．【解答】解：延长DB ，使BE =CD ，连接AE ，BC ，∵∠BAC +∠ACD +∠BDC +∠ABD =360°，∠BAC =60°，∠BDC =120°，∴∠ABD +∠ACD =180°，∴A ，B ，D ，C 四点共圆，∴∠ACB =∠ADE ，∵∠ABD +∠ABE =180°，∴∠ABE =∠ACD ，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∴∠ADE =60°，在△ABE 和△ACD 中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠， ∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴AE =AD ，∴△ADE 是等边三角形，∴AD =DE ，∵DE =BD +BE ，∴AD =BD +CD ．12．如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB =AD +BC ．【解答】解：过E 作EF ∥AD ，交AB 于F ，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，，∴EF=∠∠+∠∠2∴AF+FB=2EF，∴AB=AD+BC．∠BDC．求证：AC=BD+CD．13．(2014秋•株洲县期末)如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣12【解答】证明：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D(如图)，则有B′D=BD，AB′=AB=AC，∠BDC，∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°﹣12所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°﹣∠BDC+∠BDC=180°，所以C、D、B′在一条直线上，所以△ACB′是等边三角形，所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．。
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初二数学练习题（二）
----------------------截长补短法专项训练
1、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
2、如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，
判断AB 的长与AD ＋BC 的大小关系并证明.
3、已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°
4、如图，已知点C 是∠MAN 的平分线上一点，CE ⊥
AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且AE =12（AD +AB ）. 问：∠1和∠2有何关系.
5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB
交CB 于G ，判断CF 与GB 的大小关系并证明。
6、如图，△ABC 中，∠ABC =60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，判断AC 的长与AE +CD 的大小关系并证明. A B C D
图1-1。