考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第23练

第23练 常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望] 利用递推关系式求数列的通项公式及前n 项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键.一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.体验高考1.(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析 由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.2.(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 答案 －1n解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ， 所以S n ＝－1n.3.(2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________. 答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2.令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.4.(2016·课标全国丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.高考必会题型题型一 利用累加法解决递推问题 例1 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)，则a n 等于( )A.2－1nB.1－1nC.1nD.2－1n －1答案 A解析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)，∴a 2－a 1＝11×2，a 3－a 2＝12×3，a 4－a 3＝13×4，…，a n －a n －1＝1n (n －1)(n >1)，以上各式左右两边分别相加得a n －a 1＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ，∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，又a 1＝1适合上式， ∴a n ＝2－1n ，故选A.(2)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (n ∈N *，常数c ≠0)，且a 1，a 2，a 3成等比数列. ①求c 的值；②求数列{a n }的通项公式.解 ①由题意知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， ∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴(2＋c )2＝2(2＋3c )， 解得c ＝0或c ＝2， 又c ≠0，故c ＝2.②当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn ，得a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ， 以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c .又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式也成立，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *).点评 由已知递推关系式，若能转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )，或1a n ＋1－1a n ＝f (n )且f (n )的和可求，则可采用累加法.变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n )，则a n 等于( )A.1＋n ＋ln nB.1＋n ln nC.1＋(n －1)ln nD.1＋ln n 答案 D解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln(1＋1n －1)＋ln(1＋1n －2)＋…＋ln(1＋1)＋1＝ln(n n －1×n －1n －2×…×2)＋1＝1＋ln n . 题型二 利用累乘法解决递推问题例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝2n ＋1 C.a n ＝n ＋12 D.a n ＝n(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，则a 2 016＝________.答案 (1)B (2)2 016解析 (1)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0， 又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ， 即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n， 所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…， a n a n －1＝n n －1，各式相乘得a na 1＝n ，∴a n ＝n (n ＝1适合)，∴a 2 016＝2 016.点评 若由已知递推关系能转化成a n ＋1a n ＝f (n )的形式，且f (n )的前n 项积能求，则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式.变式训练2 数列{a n }的前n 项和S n ＝n2a n (n ≥2)，且a 1＝1，a 2＝2，则{a n }的通项公式a n ＝______________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2解析 ∵S n －1＝n －12a n －1 (n ≥3)，∴S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，∴a n ＝n 2a n －n －12a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2.∴当n ≥3时，a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝2·32·43·…·n －1n －2，∴a na 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)·a 2＝2(n －1)(n ≥3). ∵a 2＝2满足a n ＝2(n －1)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2.题型三 构造法求通项公式例3 (1)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝na n(n ＋1)(na n ＋2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1，则a n ＝________.答案 (1)1n (3·2n －1－1)(2)1n解析 (1)由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na nna n ＋2， 设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b nb n ＋2，所以1b n ＋1＝2b n＋1，两边都加1可得1b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(1b n ＋1)，即{1b n ＋1}是公比为2，首项为3的等比数列. 故1b n＋1＝3·2n －1， 所以1b n ＝3·2n －1－1＝1na n，所以a n ＝1n (3·2n －1－1)(n ＝1适合)， 于是所求通项公式为a n ＝1n (3·2n －1－1). (2)由a n ＋1＝a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝1(常数)，又1a 1＝1，∴{1a n }为以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n ＝n ，从而a n ＝1n ，即所求通项公式为a n ＝1n. 点评 构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“a n ＝ca n －1＋b ”的条件下，可构造“a n ＋x ＝c (a n －1＋x )”在“a n ＝ma n －1ka n －1＋m”的条件下，可构造“1a n ＝1a n －1＋k m ”.变式训练3 已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝7a n －1－33a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式.解 因为当n ≥2时，a n －1＝4a n －1－43a n －1＋1，两边取倒数，得1a n －1＝1a n －1－1＋34.即1a n －1－1a n －1－1＝34， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝1，公差为34的等差数列.所以1a n －1＝1a 1－1＋34(n －1)＝3n ＋14.所以a n ＝3n ＋53n ＋1.又当n ＝1时，上式也成立， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n ＋53n ＋1(n ∈N *). 高考题型精练1.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ≥2)，则a n 等于( )A.1n ＋1B.(23)n －1C.(23)nD.2n ＋1答案 D解析 由题意知{1a n }是等差数列，又1a 1＝1，1a 2＝32， ∴公差为d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12， ∴a n ＝2n ＋1，故选D.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n ＋3(n ∈N *)，则a 10等于( ) A.28 B.33 C.133 D.128答案 D解析 由已知1a n ＋1－1a n＝3(n ∈N *)，所以数列{1a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，即1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2， 解得a n ＝13n －2，a 10＝128，故选D.3.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝n n ＋1C.a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2 D.a n ＝n ＋1n ＋2答案 B解析 由a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2可得，a n ＋1－a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以a 2－a 1＝12－13，a 3－a 2＝13－14，a 4－a 3＝14－15，…，a n －a n －1＝1n －1n ＋1，累加可得a n －a 1＝12－1n ＋1，又a 1＝12，所以a n ＝nn ＋1，故选B.4.已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，n 为正整数，则a 2 016等于( )A.2 015B.2 009C.1 005D.1 006 答案 A解析 因为f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x1－x ＋1＋log 21－x x ＋1＝2.所以f (1n )＋f (n －1n )＝2，f (2n )＋f (n －2n )＝2，…， f (n －1n )＋f (1n)＝2， 由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1， 所以a 2 016＝2 016－1＝2 015，故选A.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n (n －1)2＋2n －1－1B.n (n －1)2＋2n －1C.n (n ＋1)2＋2n ＋1－1D.n (n －1)2＋2n ＋1－1答案 B解析 ∵a n ＋1＝a n ＋n ＋2n ， ∴a n ＋1－a n ＝n ＋2n .∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋(1＋2)＋(2＋22)＋…＋[(n －1)＋2n －1] ＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(2＋22＋…＋2n －1) ＝1＋(n －1)n 2＋2(1－2n －1)1－2＝n (n －1)2＋2n－1.6.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7等于( ) A.53 B.54 C.55 D.109 答案 C解析 ∵a n －a n －1＝2n (n ≥2)， ∴a 2－a 1＝4， a 3－a 2＝6， a 4－a 3＝8， …a 7－a 6＝14，以上各式两边分别相加得 a 7－a 1＝4＋6＋…＋14， a 7＝1＋(4＋14)×62＝55.7.数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)，则a n ＝________. 答案 3n －2解析 因为a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)， 所以a n －a n －1＝2·3n －1(n ≥2)，由叠加原理知a n －a 1＝2(3＋32＋33＋…＋3n －1)(n ≥2)， 所以a n ＝a 1＋23(1－3n －1)1－3＝1＋3n －3＝3n －2(n ≥2)， 因为a 1＝1也符合上式， 故a n ＝3n －2.8.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________.答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1). ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.9.若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝4a n ＋2n ，则通项a n ＝________________. 答案 22n －1－2n －1解析 ∵a n ＋1＝4a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝2a n 2n ＋12，设b n ＝a n 2n ，则b n ＋1＝2b n ＋12，∴b n ＋1＋12＝2(b n ＋12)，即b n ＋1＋12b n ＋12＝2，又b 1＋12＝1，∴{b n ＋12}是等比数列，其中首项为1，公比为2， ∴b n ＋12＝2n －1，即b n ＝2n －1－12，即a n 2n ＝2n －1－12， ∴a n ＝2n (2n －1－12)＝22n －1－2n －1.10.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________________. 答案 1n解析 对原关系式进行等价变形可得(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)⇒[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，因为{a n }是正项数列，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 从而(n ＋1)a n ＋1na n＝1，即数列{na n }是首项为1，公比为1的等比数列，所以na n ＝1，即a n ＝1n.11.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式.(1)证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得b n ＋1－b n ＝a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解 由(1)得b n ＝2n －1，于是a n ＋1－a n ＝2n －1， a n ＝[(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)]＋a 1 ＝[1＋3＋…＋(2n －3)]＋1＝(n －1)2＋1， 而a 1＝1也符合，∴{a n }的通项公式a n ＝(n －1)2＋1.12.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *). (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n ＋n }的前n 项和T n .解 (1)由已知，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 于是a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)(n ≥2). 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋1， 即a 1＋a 2＝2a 1＋1＋1，所以a 2＝3，此时a 2＋1＝2(a 1＋1)， 且a 1＋1＝2≠0，所以数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列. 所以a n ＋1＝2·2n －1， 即a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)令c n ＝na n ＋n ，则c n ＝n ·2n ， 于是T n ＝1·21＋2·22＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1·22＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得， －T n＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(2n －1)2－1－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。