黑龙江省哈尔滨市第三中学届高三第二次模拟考试数学理试题

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高三第二次模拟考试试卷及答案--理科数学

2021年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷〔理工类〕第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1. 复数21z i=-+，那么D.z 的共轭复数为1+i2. 集合{0,2,4,6},{n N |28}n A B ==∈<，那么集合A B ⋂的子集个数为3. 对于平面α和不重合的两条直线m 、n ，以下选项中正确的选项是 ,m n αα⊂，m 、n 共面，那么m nm α⊂，n 与α相交，那么m 、n 是异面直线 ,m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么n α ,m n m α⊥⊥，那么n α4. 随机变量ξ服从正态分布()()22,,40.84N P δξ≤=，那么()0P ξ≤=5. 在区间⎡⎣中随机取一个实数k ，那么事件“直线y=kx 与圆()2231x y -+=相交发生的概率为 A.12 B.14C.16D.186. 宋元时期数学名著?算学启蒙?中有关于“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

右图是源于其思想的一个程序框图，假设输入的a、b 分别为5、2，那么输出的n=7. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为8.1sin33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么sin26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A.79- B.79C.79± D.29-9. 德国著名数学家狄克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()10,x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数为无理数，提前为狄克雷函数，那么关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．2. 直线过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值范围A．B．C．D．3. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题的是（）A ．若则B．若则C ．若则D ．若，则不正确4. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴，若以为直径的圆截直线所得的弦长为2，则A ．2B．C ．4D．5. 已知函数在区间内恰好有3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知为定义在上的奇函数，则函数的解析式可以为（）A．B．C．D．7. 已知双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（）A．B．C．D．8.已知集合，，则A．B．C．D．9. 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲调配出红色”；B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）．A ．事件A 与事件C 是独立事件B ．事件A 与事件B 是互斥事件C．D．10. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（）A ．存在实数k ，使得直线l 与圆C 相切B ．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则的最大值为4C ．当时，圆C 上存在4个点到直线l的距离为D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C 的交点黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题(1)黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题11. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（）A．B．C ．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70D ．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为8512. 已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（）A．平面B．球的体积是C ．直线与平面所成角的正弦值是D ．平面被球所截的截面面积是13. 已知随机变量，若，，则的值为______.14. 设向量则 _________.15.已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，则__________.16. 已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是的顶点．(1)求的方程；(2)若，，三点均在上，且，直线，，的斜率均存在，证明：直线过定点（用，表示）．17. 如图，摩天轮上一点P 在时刻t （单位:分钟)距离地面的高度y (单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处.（1）根据条件写出y 关于t 的函数解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?18. 已知椭圆为的左､右焦点，点A在上，直线与圆相切.(1)求的周长；(2)若直线经过的右顶点，求直线的方程；(3)设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.（1）求证：；（2）若点为的中点，求与平面所成角的大小.20. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.(1)求的顶点的轨迹方程；(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 下列函数定义域为的是（）A．B．C．D．2. “角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n 次运算的结果为，若，且均不为1，则（）A ．5或16B ．5或32C ．3或8D ．7或323.已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（）A ．4B ．8C ．10D ．164. 在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A ．平面PDF B．平面PAEC ．平面平面ABCD ．平面平面5. 已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6. 已知复数z满足，是虚数单位，则（）A．B．C．D．7. 已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足，（为常数），则下列叙述中正确的为（）①当时，；②当时，函数的图象与直线，在上的交点个数为；③当时，在上恒成立.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③8. 已知向量，若，则在向量上的投影数量为（）A．B．C．D．9. 已知函数（）的初相为，且函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C ．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D ．若函数在区间上的值域为，则10. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题A ．图中的x 值为0.020B ．这组数据的极差为50C ．得分在80分及以上的人数为400D ．这组数据的平均数的估计值为7711.如图，在梯形中，，，，．将沿对角线折成四面体，则（）A．在翻折过程中，存在某个位置，使得B．在翻折过程中，存在某个位置，使得C ．在翻折过程中，四面体体积的最大值为D ．在翻折过程中，直线与平面所成角正切值的最大值为12. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度为2，水槽侧面上有一个小孔E ，点E 到直线CD 的距离为3，将该水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上）至恰有水从小孔流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（）A ．没水的部分始终呈四棱柱形B ．水面始终经过水槽的外接球的球心C ．水面的面积为定值D ．E到桌面的最小距离为13. 曲线在点处的切线方程为__________．14.已知球的表面积为，直四棱柱的顶点均在球的表面上，则直四棱柱的体积的最大值为______．15.已知函数若关于x方程有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________.16. 已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)已知关于x 的方程存在两根，且，证明：.17. 某省高考改革方案指出：该省高考考生总成绩将由语文数学英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个，按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为A、B、C、D、E五等21级，该省的某市为了解本市万名学生的某次选考化学成绩水平，统计在全市范围内选考化学的原始成绩，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.18. 高三一班、二班各有6名学生参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示.(1)若一班、二班6名学生的平均分相同，求值；(2)若将竞赛成绩在内的学生在学校推优时，分别赋1分，2分，3分，现在一班的6名参赛学生中取两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率.19. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，分别为线段的中点.(1)证明：平面；(2)若平面，，求四面体的体积.20.记为数列的前n项和，已知，，且数列是等比数列，证明：是等比数列.21. 已知函数，.(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，证明：.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学第二次模拟试题理(含解析)

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学第二次模拟试题理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （） A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,4} D. {1,2,4}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（）A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】【分析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（）A.5B.45C.25D.5【答案】A 【解析】【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12 yx=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x y C. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ．考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=.则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C.(,)2e-∞ D.(,]2e -∞ 【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x -=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，a b +的值为__________．【答案】5 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由2sin c A=，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________．【答案】17 【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n-1，故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=）【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u u v v 得()1,1,1m v =-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u u u v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v u u u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DBλ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得x =2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12y y +=……③ 212219k y y k=-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y k λ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，（i ）求参数m 的取值范围；（ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间；（2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意，此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数，所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减；当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增（2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+，记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减；当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->，所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈R c b a ,,，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥，当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立.（2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三数学第二次模拟考试试题理

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式，列式求得首项与公差，从而得出数列的通项公式，再由求得的范围，即可判断出取最小值时的值.
【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，
由于，，
则，
解得：，
．
由，得，，
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据方差的性质即可判断；②根据变量x，y的线性回归方程的系数，判断变量x，y是性负相关关系；③利用正态分布的对称性，计算可求得结果；④根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率.
【详解】①若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故①错误；
回归方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，②正确；
数列自第5项起大于0，则取最小值时，的值为4.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列取最小值对应的项数，涉及等差数列的通项公式与前项和公式的应用，属于基础题.
6.函数，的图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得解.
【详解】解：
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.
【详解】解：若，则，解得或，
即或，
所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.

黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)(内考)

合用文档2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1 ．（5 分）＝（）A ．B．C． D ．2 ．（5 分）设会集A＝{﹣1，0，1}， B＝{x|2x＞2}，则 A ∩B＝（）A ． ? B． {﹣ 1} C． {﹣ 1， 0} D ． {0 ， 1}3 ．（5 分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（）A ．﹣ 2B．﹣ 3C．﹣ 4 D ．﹣ 54 ．（5 分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线 y2＝2 px（ p＞0）的焦点坐标为（ 1 ，0 ），若e＝p，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y＝x B．y＝x C．y＝x D ．y＝x5 ．（ 5 分）随着计算机的出现，图标被赏赐了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了拥有明确指代含义的计算机图形．以以以下图的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分．第一部分为外面的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为 1 ；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3 ，小圆半径为 2 ；第三部分为圆环内部的白色地域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．6 ．（ 5 分）设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 S 4＝ 3S 2，a7 ＝ 15 ，则 {a n }的公差为（）A ． 1B ． 2C ． 3D ．47 ．（5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（）A ． 0B ． 1C ． 2018D ．20178 ．（5 分）已知函数f （x ）＝ ln （ x +1 ）﹣ ax ，若曲线 y ＝f （x ）在点（ 0 ，f （ 0 ））处的切线方程为 y ＝ 2 x ，则实数 a 的值为（）A ．﹣ 2B ．﹣ 1C ． 1D ．29 ．（5 分）在长方体ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1D 1 中， BC ＝ CC 1 ＝1 ，∠AB 1 D ＝，则直线 AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．10 ．（ 5 分）已知函数f （x ）＝ cos x ﹣ sin x 在（ 0，α）上是单调函数，且f （α）≥﹣1 ，则α的取值范围为（） A ．（ 0 ，]B ．（0 ，]C ．（ 0，]D ．（0 ， ]11 ．（ 5 分）已知半圆 C ：x 2+ y 2＝ 1（ y ≥0），A 、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点P 在直线 m 上，纵坐标为 t ，若在半圆 C 上存在点 Q 使∠BPQ＝，则 t 的取值范围是（）A ． [﹣， 0 ）] B． [ ﹣， 0）∪（ 0 ，]C． [﹣， 0 ）∪（ 0 ，] D ．[ ﹣， 0）∪（ 0 ，]12 ．（ 5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，BD＝ 2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角 B﹣ AC﹣ D 的余弦值为，则所得三棱锥A﹣ BCD 的内切球的表面积为（）A ．B．πC． D ．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13 ．（ 5 分）已知 cos α＝﹣，则 cos2 α＝．14 ．（ 5 分）在（ 1+ x）（2+ x）5的张开式中，x3的系数为（用数字作答）．15 ．（ 5 分）已知函数 f （x）是奇函数，且0≤x1＜ x2时，有＜ 1 ，f（﹣ 2 ）＝ 1 ，则不等式x﹣3≤f（ x）≤x 的解集为．16 ．（ 5 分）已知数列 {a n }的前n项和S n满足，S n＝3 a n﹣ 2，数列 {na n }的前n项和为T n，则满足 T n＞100 的最小的 n 值为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～21 题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22 ，23 题为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：共 60 分．17 ．（ 12 分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且 S＝ bc cos A， C＝．（Ⅰ）求 cos B的值；（Ⅱ）若 c＝，求 S 的值．18 ．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD＝， PA⊥ BD ， AB＝2，PA＝PD＝ CD＝ BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求直线PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．19 ．（ 12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行检查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的[0 ，10 ） [10 ，20 ） [20 ， 30 ）[30 ，40 ）[40 ， 50 ） [50 ， 60 ）时间 / 分钟总人数20 36 44 50 40 10 将学寿辰均体育锻炼时间在[40 ， 60 ）的学生议论为“锻炼达标”．（Ⅰ）请依照上述表格中的统计数据填写下面 2 ×2 列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20 110合计并经过计算判断，可否能在犯错误的概率不高出的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10 人，进行体育锻炼领悟交流，（ i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ ii ）从参加领悟交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这2 人中女生的人数为X ，求 X 的分布列和数学希望．参照公式： K 2＝，其中 n ＝ a + b + c + d临界值表P （ K 2≥k 0 ）k 020 ．（ 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆：＝1 （＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别为C aF 1 （﹣ c ， 0 ）， F 2（ c ，0 ），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为 3 ，直线 y ＝﹣与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）可否存在直线 l ：y ＝k （ x + c ）与椭圆 C 订交于 E ，D 两点，使得（）＜ 1 ？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明原由！21 ．（ 12 分）已知函数f （ x ）＝ e x﹣ ax ．（Ⅰ）若函数（）在x ∈（，2 ）上有 2 个零点，求实数a 的取值范围．（注e 3＞19 ）f x（Ⅱ）设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2，若函数 g （ x ）恰有两个不同样样的极值点x 1， x 2 证明：．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答．若是多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]22 ．（ 10 分）已知曲线 C 1 的参数方程为（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为Q ，线段 PQ 的中点的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线 C 2 的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线 C2于 M ， N 两点，求|MN |．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）23 ．已知函数f（ x）＝|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式 f （ x）+ f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对 a+ b ＝1（ a， b＞0）及? x∈R，不等式 f（ x﹣ m ）﹣（﹣ x）≤恒建立，求实数 m 的取值范围．2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）参照答案与试题剖析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1 ．（5 分）＝（）A ．B．C． D ．【考点】 A5 ：复数的运算．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法；5N ：数系的扩大和复数．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．应选： B．【议论】本题观察复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2 ．（5 分）设会集A＝{﹣1，0，1}， B＝{x|2x＞2}，则 A ∩B＝（）A ． ?B． {﹣ 1}C． {﹣ 1， 0} D ． {0 ， 1} 【考点】 1E ：交集及其运算．【专题】 11 ：计算题； 37 ：会集思想； 49 ：综合法； 5J：会集．【剖析】可解出会集B，今后进行交集的运算即可．【解答】解： B＝{x|x＞1}；∴A∩B＝?．应选： A ．【议论】观察描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3 ．（5 分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（）A ．﹣ 2B．﹣ 3C．﹣ 4 D ．﹣ 5【考点】 7C ：简单线性规划．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合；35 ：转变思想；49 ：综合法； 5F：空间地址关系与距离．【剖析】画出不等式组表示的平面地域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．【解答】解：画出 x， y 满足不等式组表示的平面地域，以以以下图；平移目标函数z＝2x﹣3 y 知， A（2，3）， B（1，0）， C（0，1）当目标函数过点 A 时， z 获取最小值，∴z 的最小值为2×2 ﹣3 ×3 ＝﹣ 5 ．应选： D．【议论】本题观察了简单的线性规划问题，是基本知识的观察．4 ．（5 分）已知双曲线＝ 1（a ＞ 0 ，b ＞0 ）的离心率为e ，抛物线 y 2＝2 px （ p ＞ 0 ）的焦点坐标为（ 1 ，0 ），若 e ＝ p ，则双曲线 C 的渐近线方程为（） A ． y ＝ x B ． y ＝ x C ． y ＝ x D ．y ＝x【考点】 KI ：圆锥曲线的综合．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】求出抛物线的焦点坐标，获取双曲线的离心率，今后求解a ，b 关系，即可获取双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线 y 2＝ 2px （ p ＞ 0）的焦点坐标为（ 1， 0 ），则 p ＝ 2 ，又 e ＝ p ，因此 e ＝＝ 2，可得c 2＝4 a 2＝ a 2+ b 2，可得： b ＝a ，因此双曲线的渐近线方程为： y ＝±．应选： A ．【议论】本题观察双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5 ．（ 5 分）随着计算机的出现，图标被赏赐了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了拥有明确指代含义的计算机图形．以以以下图的图标是一种被称之为 “黑白太阳”的图标，该图标共分为3 部分．第一部分为外面的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3、宽为 1 ；第二部分为圆环部分，大圆半径为3 ，小圆半径为 2 ；第三部分为圆环内部的白色地域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．B．C． D ．【考点】 CF：几何概型．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R ：转变法； 5I ：概率与统计．【剖析】以面积为测度，依照几何概型的概率公式即可获取结论．【解答】解：图标第一部分的面积为8 ×3×1 ＝ 24 ，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝ 9 π，图标第三部分的面积为π× 2 2＝ 4 π，故此点取自图标第三部分的概率为，应选： B．【议论】本题观察几何概型的计算，重点是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6 ．（ 5 分）设等差数列 {a n }的前n项和为S n，且S4＝ 3 S2，a7＝15，则{a n}的公差为（）A ． 1 B． 2 C． 3 D ．4【考点】 83 ：等差数列的性质．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】依照题意，设等差数列 {a n }的公差为 d ，剖析可得4a1+6 d ＝3（2 a1+ d ），a1+6 d ＝ 15 ，解可得d 的值，即可得答案．【解答】解：依照题意，设等差数列{a n }的公差为 d ，若S4＝3S2， a7＝15，则4a1+6 d ＝3（2a1+ d ），a1+6 d＝15，解可得 a1＝3， d＝2；应选： B．【点】本考等差数列的前n 和，关是掌握等差数列的前n 和公式的形式，属于基．7 ．（5 分）运行如程序，出的S 的（）A ． 0B． 1C． 2018 D ．2017【考点】 EF：程序框．【】 11 ：算； 27 ：表型； 4B ：法； 5K ：算法和程序框．【剖析】由已知中的程序句可知：程序的功能是利用循构算并出量S 的，模程序的运行程，剖析循中各量的化情况，可得答案．【解答】解：模程序的运行，可得程序的功能是利用循构算并出量S＝2017+ （sin+sin）+（sin+sin）+⋯+（sin+sin）的，可得： S＝2017+（sin+sin）+（sin+sin）+⋯+（sin+sin）＝2017 ．故： D．【点】本考了程序框的用，解模程序框的运行程，以便得出正确的，是基．8 ．（5 分）已知函数f（x）＝ ln （ x+1） ax，若曲 y ＝f（x）在点（0，f （0））的切线方程为 y ＝ 2 x ，则实数 a 的值为（）A ．﹣ 2B ．﹣ 1C ． 1D ．2【考点】 6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 53 ：导数的综合应用．【剖析】求出函数的导数，利用切线方程经过f ′（0 ），求解即可；【解答】解： f （ x ）的定义域为（﹣ 1， + ∞），由于 ′（）＝﹣ ，曲线 y ＝（）在点（ 0 ，（ 0））处的切线方程为 y ＝ 2 x ，f x a f x f可得 1 ﹣ a ＝ 2 ，解得 a ＝﹣ 1 ，应选： B ．【议论】本题观察函数的导数的应用，切线方程的求法，观察计算能力．9 ．（5 分）在长方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1D 1 中， BC ＝ CC 1 ＝1 ，∠AB 1 D ＝，则直线 AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 LM ：异面直线及其所成的角．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合； 41 ：向量法； 5G ：空间角．【剖析】以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值．【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB ＝ a ，则 A （1 ， 0 ，0 ），D （ 0 ， 0 ， 0）， B 1（1 ，a ， 1 ），＝（﹣ 1，﹣ a ，﹣ 1），＝（ 0，﹣ a ，﹣ 1 ），∵∠AB 1D＝，∴cos＝＝，解得 a＝， B1（1，， 1 ），B（ 1 ，0 ），C1（ 0，， 1 ），＝（ 0 ，），＝（﹣ 1 ，0 ，1 ），设直线 AB 1与 BC1所成角为θ，则 cos θ＝＝＝．∴直线 AB 1与 BC1所成角的余弦值为．应选： D．【议论】本题观察异面直线所成角的余弦值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察运算求解能力，是中档题．10 ．（ 5 分）已知函数 f （x）＝cos x﹣ sin x在（ 0，α）上是单调函数，且f（α）≥﹣1，则α的取值范围为（）A ．（ 0 ，]B．（0 ，]C．（ 0，] D ．（0 ，]【考点】 H5 ：正弦函数的单调性．【专题】 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 56 ：三角函数的求值．【剖析】利用两角和的余弦公式化简函数的剖析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得cos （α+ ）≥﹣ ，则 α+ ∈（， ] ，由此可得α的取值范围．【解答】解：函数 f （ x ）＝cos x ﹣ sin x ＝ 2cos （x +）在（ 0，α）上是单调函数，∴+ α≤π，∴0＜α≤ ．又 f （α）≥﹣1 ，即 cos （α+）≥﹣ ，则 α+∈（，]，∴α∈（0 ，]，应选： C ．【议论】本题主要观察两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．11 ．（ 5 分）已知半圆 C ：x 2+ y 2＝ 1（ y ≥0），A 、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点P 在直线 m 上，纵坐标为t ，若在半圆 C 上存在点 Q 使∠BPQ ＝，则 t 的取值范围是（）A ． [﹣ ， 0 ）]B ． [ ﹣ ， 0）∪（ 0 ，] C ． [﹣， 0 ）∪（ 0 ， ]D ．[ ﹣， 0）∪（ 0 ，]【考点】 JE ：直线和圆的方程的应用．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 5B ：直线与圆．【剖析】依照题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T ，剖析可得在 Rt △PBT 中，|BT |＝ |PB |＝|t |，分 p 在 x 轴上方、下方和 x 轴上三种情况议论，剖析 |BT |的最值，即可得 t 的范围，综合可得答案．【解答】解：依照题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T ，则 |PB |＝|t |，由于 BP 与 x 轴垂直，且∠ BPQ ＝，则在 Rt △PBT 中，|BT |＝ |PB |＝ |t |，当 P 在 x 轴上方时， PT 与半圆有公共点 Q ， PT 与半圆相切时， |BT |有最大值 3，此时 t有最大值，当 P 在 x 轴下方时，当Q 与 A 重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值﹣，则t获取最小值﹣，t＝0时， P 与 B 重合，不切合题意，则 t 的取值范围为[﹣，0）]；应选： A ．【议论】本题观察直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的地址关系，属于基础题．12 ．（ 5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，BD＝ 2 ，将菱形ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角﹣﹣D 的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（）B ACA ．B．πC． D ．【考点】 LR ：球内接多面体．【专题】 11 ：计算题； 21 ：阅读型； 35 ：转变思想；4A ：数学模型法；5U ：球．【剖析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥ AC， BN ⊥AC ，可得出二面角 B﹣ AC﹣ D 的平面角为∠ BND ，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD 为正周围体，依照内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点 N ，则 DN ⊥ AC，BN ⊥ AC．因此，∠ BND 是二面角 B﹣ AC﹣ D 的平面角，过点 B 作 BO ⊥ DN 交 DN 于点 O，可得BO⊥平面 ACD ．由于在△BDN 中，，因此，BD2 ＝BN2 +DN2﹣ 2BN?DN?cos ∠＝BND ，则 BD ＝2．故三棱锥 A﹣ BCD 为正周围体，则其内切球半径．因此，三棱锥A﹣ BCD 的内切球的表面积为．应选： C．【议论】本题观察几何体的内切球问题，解决本题的重点在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，观察了二面角的定义与余弦定理，观察计算能力，属于中等题．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13 ．（ 5 分）已知 cos α＝﹣，则cos2α＝．【考点】 GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 56 ：三角函数的求值．【剖析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵ cos α＝﹣，∴cos2 α＝2cos 2α﹣1 ＝ 2×（﹣ ） 2﹣1 ＝．故答案为：．【议论】本题主要观察了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14 ．（ 5 分）在（ 1+ x ）（2+ x ） 5 的张开式中， x 3的系数为120 （用数字作答）．【考点】 DA ：二项式定理．【专题】 11 ：计算题； 5P ：二项式定理．【剖析】依照（ 2+ x ） 5的张开式的通项公式，计算在（1+ x ）（ 2+ x ）5 的张开式中含 x3的项是什么，从而求出x 3的系数．【解答】解：（2+ x ） 5的张开式的通项是，因此在（ 1+ x ）（ 2+ x ）5 ＝（ 2+ x ） 5+ x （ 2+ x ） 5的张开式中，含 x 3的项为，因此 x 3的系数为 120 ．故答案为： 120 ．【议论】本题观察了二项式张开式的通项公式的应用问题，也观察了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15 ．（ 5 分）已知函数 f （x ）是奇函数，且 0 ≤x 1＜ x 2 时，有＜ 1 ， f （﹣ 2 ）＝ 1 ，则不等式 x ﹣3 ≤f （ x ）≤x 的解集为 [0 ， 2] ．【考点】 3N ：奇偶性与单调性的综合．【专题】 35 ：转变思想； 4M ：构造法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】依照条件构造函数g （ x ）＝ f （ x ）﹣ x ，判断函数 g （x ）的奇偶性和单调性，【解答】解：由 x﹣3≤f（ x）≤x 等价为﹣3≤f （ x）﹣ x≤1设 g （ x）＝ f（ x）﹣ x，又由函数 f（x）是定义在R 上的奇函数，则有 f （﹣ x）＝﹣ f （x），则有 g （﹣ x）＝ f（﹣ x）﹣（﹣ x）＝﹣ f（ x）+ x＝﹣[ f（x）﹣ x]＝﹣ g （x ），即函数 g （ x）为 R 上的奇函数，则有 g （0）＝0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则＝＝﹣1，∵＜1 ，∴＝﹣1＜0，即g （ x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（ x）是奇函数，∴g（ x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵f（﹣2）＝1，∴g （﹣2）＝ f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；g （2）＝﹣3， g（0）＝ f（0）﹣0＝0，则﹣ 3 ≤f（x）﹣x≤0 等价为g（ 2 ）≤g（x）≤g（ 0 ），∵g（ x）是减函数，∴0 ≤x≤2，即不等式 x﹣3≤f（ x）≤x 的解集为[0，2]；故答案为： [0 ， 2] ．【点】本考函数的奇偶性与性的合用，关是构造函数g （ x），利用特殊化剖析不等式，利用函数奇偶性和性行化是解决本的关．16 ．（ 5 分）已知数列{a n }的前n和S n足，S n＝3 a n2，数列 {na n }的前n和T n，足 T n＞100的最小的 n7．【考点】 8H ：数列推式．【】 11 ：算； 34 ：方程思想； 35 ：化思想； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】依照意，将S n＝3a n 2 形可得S n﹣1＝ 3 a n﹣12，两式相减形可得 2 a n ＝ 3 a n﹣1，令n＝ 1 求出a1的，即可得数列 {a n }是以a1＝ 1 首，公比的等比数列，即可得数列 {a n}的通公式，而可得T n＝1+2×+3 ×（）2+ ⋯⋯+ n×（）n﹣1，由位相减法剖析求出T n的，若T n＞100，即4+ （ 2 n 4 ）×（）n＞100 ，剖析可得n 的最小，即可得答案．【解答】解：依照意，数列{a n }足S n＝ 3 a n 2 ，①当 n ≥2，有 S n﹣1＝3 a n﹣12，②，① ②可得： a n＝3 a n 3 a n﹣1，形可得 2 a n＝ 3 a n﹣1，当 n ＝1 ，有 S1＝ a1＝3 a12，解可得a1＝1，数列 {a n }是以a1＝ 1 首，公比的等比数列，a n＝（） n ﹣1，数列 { n }的前n 和Tn ， n ＝1+2 × +3 ×（）2+ ⋯⋯+n×（） n﹣1 ，③na T有T n＝+2 ×（）2+3×（）3+⋯⋯+n×（）n，④③ ④可得：T n＝1+（）+（）2+⋯⋯×（）n﹣1n×（）n＝2（1）n ×（）n，形可得： T n＝4+（2n 4 ）×（）n ，若 T n ＞ 100 ，即 4+ （ 2 n ﹣ 4 ）×（）n＞100 ，剖析可得： n ≥7 ，故满足 T n ＞ 100 的最小的 n 值为 7 ；故答案为： 7．【议论】本题观察数列的递推公式，重点是剖析数列{a n }的通项公式，属于基础题．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～21 题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22 ，23 题为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：共 60 分．17 ．（ 12 分）已知△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，△ABC 的面积为S ，且 S ＝ bc cos A ， C ＝．（Ⅰ）求 cos B 的值；（Ⅱ）若 c ＝，求 S 的值．【考点】 HP ：正弦定理．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 58 ：解三角形．【剖析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tan A ＝ 2 ，利用同角三角函数基本关系式可求 sin A ， cos A ，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理可得 b 的值，即可得解 S的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ S ＝ bc sin A ＝ bc cos A ，∴sin A ＝ 2cos A ，可得： tan A ＝ 2，∵△ABC 中， A 为锐角，又∵sin 2 A +cos 2A ＝ 1，∴可得： sin A ＝， cos A ＝，又∵C＝，∴cos B＝﹣ cos （A+ C）＝﹣ cos A cos C+sin A sin C＝．（Ⅱ）在△ ABC 中，sin B＝＝，由正弦定理，可得： b ＝＝3，∴S＝ bc cos A＝3．【议论】本题主要观察了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，观察了计算能力和转化思想，属于中档题．18 ．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD＝，PA⊥ BD，AB＝2，PA＝PD＝ CD＝ BC＝1．（Ⅰ）求证：平面 PAD ⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．【考点】 LY：平面与平面垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】 14 ：证明题； 31 ：数形结合； 49 ：综合法； 5G ：空间角．【剖析】（Ⅰ）推导出AD ⊥ BD，PA⊥ BD，从而 BD ⊥平面 PAD，由此能证明平面PAD ⊥平面 ABCD ．（Ⅱ）取AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥ AD ，以 O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ AB∥CD ，∠BCD＝，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD＝，∠ABC＝，，∴，∵AB＝2，∴AD ＝，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥ BD，∵PA⊥BD ， PA∩AD ＝ A，∴BD⊥平面 PAD，∵BD?平面 ABCD ，∴平面 PAD⊥平面 ABCD ．解：（Ⅱ）取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥ AD ，且 PO ＝，由平面 PAD ⊥平面 ABCD，知 PO⊥平面 ABCD，以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为y轴，直线 PO 为 z 轴，建立以以以下图的空间直角坐标系，则 A（， 0 ），B（， 0 ），C（﹣， 0），P（ 0 ， 0 ，），＝（﹣ 1， 0， 0 ），＝（﹣，），设平面 PBC 的法向量＝（x，y，z），则，取 z＝，得＝（0，，），∵＝（，﹣），∴cos ＜＞＝＝﹣，∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为．【议论】本题观察面面垂直的证明，观察满足线面角的正弦值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察运算求解能力，观察数形结合思想，是中档题．19 ．（ 12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行检查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的[0 ，10 ）[10 ，20 ） [20 ， 30 ）[30 ，40 ） [40 ， 50 ） [50 ， 60 ）时间 / 分钟总人数20 36 44 50 40 10 将学寿辰均体育锻炼时间在[40 ， 60 ）的学生议论为“锻炼达标”．（Ⅰ）请依照上述表格中的统计数据填写下面 2 ×2 列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20 110合计并经过计算判断，可否能在犯错误的概率不高出的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10 人，进行体育锻炼领悟交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加领悟交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求 X 的分布列和数学希望．参照公式： K 2＝，其中n＝a+b+c+d临界值表P（ K2≥k0）k 0【考点】 BL ：独立性检验； CG：失散型随机变量及其分布列；CH ：失散型随机变量的希望与方差．【专题】 49 ：综合法； 5I ：概率与统计；5O ：排列组合．【剖析】（ I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判判断理即可得出结论．（Ⅱ）（ i）在“锻炼达标”的学生50 中，男女生人数比为3： 2，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人．【解答】解：（ I）列出列联表，课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200K2＝＝≈6.061 ＞ 5.021 ．因此在犯错误的概率不高出的前提下不能够判断“课外体育达标”与性别有关．（6 分）（Ⅱ）（ i）在“锻炼达标”的学生50 中，男女生人数比为 3 ： 2 ，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人．（ ii ）从参加领悟交流的10 人中，随机选出 2 人作重点发言， 2 人中女生的人数为X，则 X 的可能值为0 ， 1 ， 2 ．则 P（（ X＝0）＝＝，P（（X＝1）＝＝，P（（X＝2）＝＝，可得 X 的分布列为：X 0 1 2P可得数学希望E（ X）＝0×+1 ×+2 ×＝．【议论】本题观察了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．20 ．（ 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆：＝1 （＞b＞ 0）的左、右焦点分别为C aF1（﹣ c，0）， F2（ c，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为 3 ，直线 y＝﹣与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）可否存在直线l：y ＝k（ x+ c）与椭圆 C 订交于 E，D 两点，使得（）＜ 1 ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明原由！【考点】 KL ：直线与椭圆的综合．【专题】 15 ：综合题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【剖析】（Ⅰ）由题意可得＝ 3，以及直线y ＝﹣与椭圆C相切，可得b ＝，解之即得 a， b ，从而写出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）联立方程组，依照韦达定理和向量的运算，即可求出k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得 y ＝±，∵过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为3，∴＝ 3 ，∵直线 y＝﹣与椭圆C相切，∴b＝，∴a＝2∴a 2＝4， b2＝3．故椭圆 C 的方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线 l 的方程为 y＝ k（ x+1），联立，可得（ 4 k 2+3 ）x2+8 k2x+4 k2﹣ 12 ＝ 0 ，则△＝64 k 4﹣ 4 （ 4 k2+3 ）（ 4 k2﹣ 12 ）＝ 144 （k2+1 ）＞ 0 ，∴x1+ x2＝﹣，x1x2＝，∴y1 y2＝ k 2（ x1+1）（ x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴?＜1，∴（x2﹣1， y2）（ x1﹣1，y1）＝ x1x2﹣（ x1+ x2）+1+ y 1y 2＜1，即++1 ﹣＜1，整理可得 k 2＜4，解得﹣ 2 ＜k＜ 2 ，∴直线 l 存在，且 k 的取值范围为（﹣2， 2）．【议论】本题观察了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技术方法，观察了运算求解能力，转变与化归能力，属于中档题．21 ．（ 12 分）已知函数 f （ x ）＝ e x﹣ ax ．（Ⅰ）若函数 f （ x ）在 x ∈（，2 ）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．（注 e 3＞19 ）（Ⅱ）设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2，若函数 g （ x ）恰有两个不同样样的极值点 x 1， x 2 证明：．【考点】 6D ：利用导数研究函数的极值．【专题】 33 ：函数思想； 4R ：转变法； 53 ：导数的综合应用．【剖析】（Ⅰ）问题转变成 a ＝，令 h （ x ）＝，x ∈（， 2 ），依照函数的单调性求出 a 的范围即可；（Ⅱ）求出 2 a ＝，问题转变成证（ x 1 ﹣x 2）﹣+1 ＞ 0 ，令 x 1﹣ x 2＝ t （ t ＜0 ），即证不等式t﹣ e t+1 ＞0 ，当t ＜ 0 时恒建立，设 h （ t ）＝t﹣ e t+1 ，则 h ′（t ）＝﹣[ ﹣（ +1 ）] ，依照函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由 f （ x ）＝ 0 ，得 a ＝，令 h （x ）＝， x ∈（， 2 ），h ′（x ）＝，故 h （x ）在（， 1 ）递减，在（ 1 ， 2）递加，又 h （）＝ 2， h （ 2）＝， h （ 1）＝ e ，故 h （2 ）＞ h （），故 a ∈（ e ， 2）；（Ⅱ） g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2＝ e x﹣ ax ﹣ ax 2，故 g ′（x ）＝ e x﹣ 2ax ﹣ a ，大全易知 a ＞ 0 （若 a ≤0 ，则函数 f （ x ）没有或只有 1 个极值点，与已知矛盾），且 g ′（x 1 ）＝ 0， g ′（x 2 ）＝ 0 ，故 ﹣2 ax 1 ﹣ a ＝ 0，﹣ 2 ax 2﹣ a ＝ 0 ，两式相减得 2a ＝，于是要证明＜ ln （2a ），即证明＜，两边同除以，即证（ x 1﹣ x 2 ）＞﹣ 1 ，即证（ x 1﹣ x 2 ）﹣ +1 ＞ 0，令 x 1﹣ x 2 ＝t （ t ＜ 0 ），即证不等式 t﹣ e t+1 ＞ 0，当 t ＜0 时恒建立，设 h （t ）＝ t﹣ e t+1 ，则 h ′（t ）＝﹣[ ﹣（ +1 ） ] ，设 k （）＝﹣（ +1 ），则 k ′（）＝（﹣ 1 ），tt当 t ＜0 时， k ′（t ）＜ 0 ， k （ t ）递减，故 k （ t ）＞ k （ 0）＝ 0 ，即﹣（ +1 ）＞ 0 ，故 h ′（t ）＜ 0 ，故 h （t ）在 t ＜ 0 时递减， h （ t ）在 t ＝ 0 处取最小值 h （ 0 ）＝ 0 ，故 h （t ）＞ 0 得证，故．【议论】本题观察了函数的单调性，最值问题，观察导数的应用以及转变思想，换元思想，是一道综合题．（二）选考题：共 10 分．请考生在第22 、 23 题中任选一题作答．若是多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]22 ．（ 10 分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为Q，线段 PQ 的中点的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线 C2于 M ， N 两点，求|MN |．【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程．【专题】 11 ：计算题； 5S ：坐标系和参数方程．【剖析】（Ⅰ）利用 cos 2α+sin2α＝1 消去α可得圆C1的一般方程，设PQ的中点坐标为（ x， y），则 P 点坐标为（2 x， y），将 P 的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M ，N 的横坐标，再依照弦长公式可得弦长|MN |．【解答】解：（Ⅰ）利用cos 2α+sin 2α＝1 消去α可得（x﹣ 3 ）2 + （y﹣ 1 ）2＝ 4，设 PQ 的中点坐标为（x， y），则 P 点坐标为（2x， y），则 PQ 中点的轨迹方程为（ 2 x﹣ 3 ）2+ （y﹣1 ）2＝ 4 ．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y﹣ x＝1，2 2得 x＝，∴|MN |＝∴联立 y﹣ x＝1与（2 x﹣3）+（y﹣ 1 ）＝4＝．【议论】本题观察了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）23 ．已知函数f（ x）＝|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式 f （ x）+ f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对 a+ b ＝1（ a， b＞0）及? x∈R，不等式 f（ x﹣ m ）﹣（﹣ x）≤恒建立，求实数 m 的取值范围．【考点】 3R ：函数恒建立问题；R6 ：不等式的证明．【专题】 15 ：综合题； 35 ：转变思想； 4R ：转变法； 5T：不等式．【剖析】（Ⅰ）依照绝对值不等式的解法，利用分类议论进行求解即可．（Ⅱ）利用 1 的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9 ，今后利用绝对值不等式的性质进行转变求解即可．【解答】解：（Ⅰ） f（x）+ f（2 x+1）＝|x﹣2|+|2 x﹣1|＝当x＜时，由3﹣3 x≥6，解得 x≤﹣1；当≤x≤2时， x+1≥6不能够立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得 x≥3．因此不等式f（ x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1] ∪ [3 ， + ∞）．（Ⅱ）∵ a+ b＝1（ a， b ＞0），∴（a+ b ）（+ ）＝ 5++ ≥5+2 ＝ 9 ，∴对于? x∈ R，恒建立等价于：对? x∈ R，|x﹣2 ﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2| ≤9 ，即[| x﹣ 2 ﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2|] max≤9∵|x﹣ 2﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2| ≤|（x﹣ 2 ﹣m）﹣（x+2 ）|＝ | ﹣4﹣m |∴﹣9≤m +4 ≤9，∴﹣13 ≤m≤5 ．【议论】本题主要观察绝对值不等式的解法，以及不等式恒建立问题，利用 1 的代换结合基本不等式，将不等式恒建立进行转变求解是解决本题的重点．。

黑龙江省哈尔滨三中2021届高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

黑龙江省哈尔滨三中2021届高考数学二模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则(∁U A)∪B 为( )A. {4}B. {2,4，5}C. {1,2，3，4}D. {1,2，4，5}2.复数z =−1+i 2+i的虚部为( )A. −35iB. −35C. 35iD. 353.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A. 243B. 252C. 261D. 2794.计算tanπ81−tan 2π8的结果是( )A. 1B. 2C. 12D. 145.已知|a ⃗ |=|b ⃗ |=4且a ⃗ ⊥b ⃗ ，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ |=2，则当向量b ⃗ 、c ⃗ 的夹角取最小值时，b ⃗ ⋅c ⃗ =( )A. 4√2B. 8C. 4√3D. 8√36.函数y =−3x 4是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数7.已知函数g(x)=x −1，函数f(x)满足f(x +1)=−2f(x)−1，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2−x ，对于∀x 1∈(1,2]，∀x 2∈R ，则(x 1−x 2)2+(f(x 1)−g(x 2))2的最小值为( )A. 12B. 49128C. 81128D. 1251288.已知实数a ，b ，c 满足b +c =3a 2−4a +6，c −b =a 2−4a +4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c ≥b >aB. c >b >aC. a >c ≥bD. a >c >b9.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为( )A.B.C. D.10. 函数f(x)=sin(x2−π6)的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(3,4)在双曲线的渐近线上，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的方程为( )A. x 23−y 24=1B. x 216−y29=1C. x 24−y 23=1D. x 29−y 216=112. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，满足f(1)=1，xf′(x)−f(x)<x 2，则不等式①f(2)<2，②f(2)<4，③f(12)>12，④f(12)<14中一定成立的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y −1≥0x +y −2≤0y +1≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值是______．14. 已知(x +1x )9展开式中x 5的系数是______；15. 若球O 内切于棱长为2的正方体，则球O 的表面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，D 是BC 边上的一点，且AB =7，AD =5，BD =3，则∠ADC 的度数为，AC 的长为．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式．(Ⅱ)令C n =S n cos(a n π)(n ∈N +)，求{c n }的前n 项和T n ．18. 如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠DAB =∠ABC =90°，AD =AB =ED =1，BC =2． (1)若点M 为EF 中点，求证：BM ⊥平面CDF ；(2)若点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角的取值范围．19. 为了了解篮球爱好者小李投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第i 天打篮球的时间x i (单位：小时)与当天投篮命中率y i 的数据，其中i =1，2，3，4，5.算得：∑x i 5i=1=15，∑y i 5i=1=2.5，∑x i 5i=1y i =7.6，∑x 5i=1 i 2=5.5，．(Ⅰ)求投篮命中率y 对打篮球时间x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； (Ⅱ)若小李明天准备打球2.5小时，预测他的投篮命中率．附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中b ̂=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−n x−2，a ̂=y −b̂x ，其中x ，y 为样本平均数．20. 已知A(2,0)，O 为坐标原点，动点P 满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹C 于不同的两点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点D ，线段MN 的中点为H ，求|DH||MN|的取值范围．21. 已知函数f(x)=e x−a −ln(x +a)． (1)当a =12时，求f(x)的单调区间与极值； (2)当a ≤1时，证明：f(x)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数，0≤α<π)。

(附加15套模拟试卷)黑龙江省哈三中2019-2020学年高三下学期第二次高考模拟数学(理)试题及答案

黑龙江省哈三中2020届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题及答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|21,,1,0,1,2,3,4A x x k k Z B ==-∈=-，则集合A B ⋂中元素的个数为（） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．42.已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（） A ．3i - B ．3i -+ C ．3i -- D ．3i +3.已知()1sin 653α︒+=，则()cos 25α︒-的值为（）A ．13-B ．13C ．D ．4.向量()()0,1,1,1a b ==-，则()32a b b +⋅=（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.已知,m n 表示两条不同直线，,,αβγ表示三个不同平面，以下命题正确的是（） A ．若,m m αβ，则αβ B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂ ，则αβC ．若,m n αα⊂，则m nD ．若,,m n αβγαγβ⋂=⋂=，则 m n6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若128920a a a a +++=，则9S =（） A ．40 B ．45 C ．50 D ．557.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A ．B ．8C D8.阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是63，则判断框内n 的值可为（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．510.在区间()0,2上任取两个实数,x y ，则2xy >的概率是（） A ．1ln 22- B ．ln 22 C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 11.已知()1,2A 是抛物线24y x =上一点，过点A 作直线,AD AE 分别交抛物线于,D E .若,AD AE 斜率分别记为,AD AE k k ，且0AD AE k k +=，则直线DE 的斜率为（） A ．1 B ．12-C ．-1D ．不确定 12.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'212xf x f x x +=，且()11f =，则函数()f x 的最大值为（）A ．2eB ．eCD ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,04,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦. 14.已知()()61a x x +-的展开式中3x 的系数为5，则实数a = .15.已知()f x 是定义在R 上周期为4的偶函数.若()f x 在区间[]2,0-上单调递减，且()10f -=，则()f x 在区间[]0,10内的零点个数是 .16.数列{}n a 满足()1232n n a a a a n a n N ++++=-∈.数列{}n b 满足()222n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a A C =++.（1）求角B 的大小；（2）求函数()()2cos 2cos 2f x x x B =+-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最下值及对应x 的值. 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，,,222,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥===是线段PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC（2）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为,,,,A B C D E 五个等级.某考场考生的两颗考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D 的考生恰有4人.（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数；（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A ，在至少一科成绩为A 的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）设拖延()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 是线段2QF 的中点，若果2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()0,2M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点，且MG MH >.若实数λ满足MG MH λ=，求1λλ+的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x ax x b =++. （1）当0a =时，曲线()y f x =与直线1y x =+相切，求b 的值；（2）当1b =时，函数()y f x =图像上的点都在0x y -≥所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知线段BC 为圆O 的直径，A 为圆周上一点，AD BC ⊥于D ，过A 作圆O 的切线交BC 的延长线于P ，过B 作BE 垂直PA 的延长线于E ，求证：（1）PA PD PE PC ⋅=⋅；（2）AD AE =.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 是直线l 上位于圆C 内的动点（含端点）y +的最大值和最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()20f x m x m =-->，且()20f x +≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若0,0,0a b c >>>，且1112343m a b c ++=，求证2349a b c ++≥.理科数学答案及评分参考一．选择题1-5 CABDD 6-10 BCCBA 11-12 CD 二．填空题 13. -2 14. 12 15. 5 16. 18三．解答题17.（1）由已知，()()cos 2cos b A c a B π=+- 即()sin cos 2sin sin cos B A C A B =-+ 即()sin 2sin cos A B C B +=- 则sin 2sin cos C C B =-1cos 2B ∴=-，即23B π=；（2）()222cos 2cos 2cossin 2sin33f x x x x ππ=++3cos 222x x =23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当4233x ππ+=，即2x π=是，()32f x ⎛==- ⎝ 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32-，此时2x π=. 18.（1）由PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PC ∴⊥2,1,AB AD CD AC BC ∴===∴==于是222AC BC AB +=，有AC BC ⊥ 又BC PC C ⋂=AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂平面EAC∴平面平面EAC ⊥PBC ；（2）以C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=即00x y x y az +=⎧⎨--=⎩，取x a =，得,2y a z =-=-，则(),,2n a a =--依题意有2cos ,m n m n m na ⋅〈〉===⋅，则2a = 于是()2,2,2n =--设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==⋅ 则直线PA 与平面EAC . 19.（1）该考场考生“科目一”科目中D 等级学生所占频率为 1-0.2-0.375-0.25-0.075=0.1 所以该考场人数为40.140÷=（人）于是“科目一”考试成绩为A 的人数为400.0753⨯=“科目二”考试成绩为A 的人数为()4010.3750.3750.150.025400.0753⨯----=⨯=（人）；（2）因为两科考试中，共有6人次得分等级为A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，即至少有一科成绩为A 的学生共有4人. 随机变量X 的可能取值为0,1,2()()()2112222222244414210,1,26636C C C C P X P X P X C C C ⋅========== 所以X 的分布列为X 0 1 2P16 23 16X 的数学期望()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=20.（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c > 由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a = 又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴= 所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=；（2）若1l 与x 轴不垂直，可设其方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y += 可得()22341640k x kx +++=，由0∆>，得214k >设()()1122,,,G x y H x y ，根据已知，有12x x λ=于是()1222212216134134k x x x k x x x k λλ-⎧+=+=⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩消去2x ，可得()22216434k k λλ+=+ 因为214k >，所以()22264644,163344k k k=∈++ 即有()()21124,16λλλλ+=++∈，有()12,14λλ+∈若1l 垂直于x轴，此时114λλλ=+=故1λλ+的取值范围是()2,14.21.（1）当()()()'10,ln ,a f x x b f x x b==+=+ 令()'11fx x b =∴=-，于是切点坐标为()1,0b -将切点坐标()1,0b -代入切线方程，有01+12b b =-∴=；（2）根据已知，有1x >-时，()2ln 10x ax x --+≥恒成立即()2ln 10ax x x -++≤恒成立设()()()2ln 11F x ax x x x =-++>-，则原命题等价于()max 0F x ≤恒成立()()'22112111x ax a F x ax x x +-⎡⎤⎣⎦=-+=++若0a <，令()'0Fx =，有12101122a x x a a -⎛⎫===-+<- ⎪⎝⎭舍去，此时当()()'10,0,x F x F x -<<>是增函数；当()()'0,0,x F x F x ><是减函数于是()()max 00F x F ==，满足条件；若()'0,1xa F x x-==+ 当()()'10,0,x F x F x -<<>是增函数；当()()'0,0,x F x F x ><是减函数于是()()max 00F x F ==，满足条件；若0a >，11ln 1ln10F a a ⎛⎫⎛⎫=+>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足条件综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞.22.（1）连接,AC DE ，由已知，180ADB AEB ∠+∠=︒ 所以,,,A D B E 四点共圆于是ABD AED ∠=∠因为直线PA 与圆O 切于点A ，所以PAC ABC ∠=∠，则有PAC AED ∠=∠ 于是ACED ，所以,PA PCPA PD PC PE PE PD=⋅=⋅即（2）因为,,,A D B E 四点共圆，有ABD AED ∠=∠ 由ACED ，有ADE CAD ∠=∠因为,ABD CAD ∠∠均与DAB ∠互余，即ABD CAD ∠=∠ 所以ABE ABD ∠=∠ 又,AD BD AE BE ⊥⊥ 即AD AE =.23.（1）因为圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭214cos 4cos 32πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以222x y x +=+即圆C的直角坐标方程是2220x y x +--= （2）圆C 的方程可化为()(2214x y -+=，圆心是(，半径是2设z y =+，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入z y =+，得z t = 因为直线l过圆心(，且圆的半径是2，故点P 对应的参数t 满足22t -≤≤于是22t ≤-≤y +的最大值是2+，最小值是2-. 24.（1）因为()2f x m x +=-所以()20f x x m m x m +≥⇔≤⇔-≤≤ 根据已知，3m = （2）解法一：由（1）知1111234a b c++=，又,,a b c 皆为正数 ()111234234234a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭29≥=当且仅当23433,,1,11124234a b ca b ca b c=====即时“=”成立解法二：由（1）知1111234a b c++=，又,,a b c皆为正数()2342341a b c a b c∴++=++⋅()111234234a b ca b c⎛⎫=++++⎪⎝⎭3242433232434b ac a c ba b a c b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++=当且仅当234a b c==，即33,1,24a b c===时“=”成立高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}3,2,1,2|{--=x A ，}31|{<<-=x x B ，则=B A ( ) A ．)3,2(- B ．)3,1(- C ．}2{ D ．}3,2,1{-2. 若复数iiz -=12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -13. 已知双曲线)0(19222>=-a y a x 的渐近线为x y 43±=，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．47 C ．45 D ．354.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19- 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( ) A ．26-B ．23-C ．22- D ．1-6.已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 7.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( ) A ．81B ．1C ．2D ．48.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：11时的平均气温 ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温 ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9. 如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,8(A 为( ) A ．451 B ．861 C ．1221 D ．167110.某几何体的三视图如图所示，图中格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．316 C ．320D ．1211.已知C B A ,,是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．]2,1(D ．)0,1(-12. 若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( ) A ．32-B ．23-C ．32D ．23 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：“0||,2000<+∈∃x x R x ”，则p ⌝为 . 14.已知椭圆1222=+y ax 的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线x y -=的对称点P 仍在椭圆上，则21F PF ∆的周长为 .15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4于D ，则CDBD的值为 . 16.在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'.（Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率. 20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：ADCB① D'CBA②1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.21. （本小题满分12分）已知函数a x e x f x 33)(+-=（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ea 3ln >，且0>x 时，a x x x e x 3123-+>.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.一．选择题：A 卷答案：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD B 卷答案：1-5 CACAD 6-10 DBCCA 11-12 AD二．填空题：13.. 0,2≥+∈∀x x R x 14. 222+ 15. 6 16. π26三、解答题所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分（II ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ……………………8分∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n ……………10分 12)1211(21+=+-=n nn ……………………12分 18. 解：（1）当C D '=时，取AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '=，∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………………………………………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ， (4)分又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分又C D '⊂平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '===……………………9分而△BDC '中，BD=1,BC '=∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S'=⨯⨯=……………………10分三棱锥C ABD '-的体积111332BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯=．112ABDS=⨯= ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h A BC'OD解得36=h ．……………………12分19.解：（I ）设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ， ∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分（II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.………… 10分所以该运动员得1分的概率P=62217=. ……………………… 12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2pp =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分（II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt =代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t-⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分直线AF 的斜率为22(1)1AF tk t t =≠±-，直线BF 的斜率为22222021(1)2111BFttt k t t t t -+==≠±--+，AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分21. （I ）解由f(x)＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x)＝e x －3，x ∈R. ………………………1分令f ′(x)＝0，得x ＝ln 3， ………………………………2分于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f(x)在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a)．………6分（II ）证明待证不等式等价于23312x e x ax >-+………………………………7分设23()312x g x e x ax =-+-，x ∈R ，于是()33xg x e x a '=-+，x ∈R. 由（I ）及3lnln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0. ………9分于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当3lnln 31a e>=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)． ………………10分而g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即23312xe x ax >-+，故3132x e x a x x >+- ……………………12分 22.解：（I ）连接AB, P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯= ………………………………9分OP ∴===.∴四边形PBFA………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数，代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ== ………………………………6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=，可知/1||||||cos AQ t θ== ………………………………8分所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为 ………………………………10分24.解：（1）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分（2）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1≤，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分又2a bab +≤21≤+∴b a ab 2abb a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分高考模拟数学试卷注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

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开始
输入 n, a1,a2, … , an
k =1, M = a1 x = ak
x≤M ?
否
k = k +1
是
M =x
否 k≥n ? 是输出 M
结束
6．设函数 f (x) sin(x ) cos(x )( 0, ) 的最小正周期为，且
2 f (x) f (x) ，则
（2）求证： x2 y2 y2 z2 x2 z2 4 .
z
x
y
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a2 b2
分别交
x
轴于点
M
,
N
,
交
y
轴于点
P,
Q
，若
1 OM
1 ON
OP OQ 4 恒成立，
则双曲线离心率 e 的取值范围为
A． 1,2
B． 2,
C． 1, 2
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D． 2,
2018 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷（非选择题, 共 90 分）
①求证：直线 AB 过定点； ②求证：以 PA, PB 为直径的两个圆的另一个交点 H 在定圆上，并求此圆的方
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程．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 h(x) aex, 直线 l : y x 1, 其中 e 为自然对数的底．（1）当 a 1 , x 0 时, 求证: 曲线 f (x) h(x) 1 x 2 在直线 l 的上方；
，
则 a sin A 的取值范围是 b
A．
3, 6
3 2
B．
3, 4
3 2
C．
1 2
,
3 2
D．
3 6
,
1 2
11．某棱锥的三视图如图所示，
则该棱锥的外接球的表面积为
A． 12π
B． 11π
C． 14π
D． 13π
1
正视图
1
1
1 侧视图
俯视图
12．已知S 为双曲线 x2 y 2 1(a 0,b 0) 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，
期望（假设每天的交通状况相互独立）．
频率组距 0.24
0.20
0.16
0.10
0
3 4 5 6 7 8 9 交通指数
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19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD 底面 ABCD ， PD CD ，底面 ABCD 是直角梯形， AB // CD ， ADC 90 ， AB AD PD 1 ， CD 2
y2
1
，集合
B
x y2
4x
，则 A B
2 3
A． 3, 3
B． 0, 3
C． 3,
D． 3,
3．命题 p ：“ x0 R ， x02 1 2x0 ”的否定 p 为
A． x R , x2 1 2x
B． x R , x2 1 2x
C． x0 R , x02 1 2x0
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13．等比数列 an 中， a3 18 ， a5 162 ，公比 q
．
14．利用随机模拟方法计算 y 1和 y x 2 所围成图形的面积．首先利用计算机产生两
组 0 ~1区间的均匀随机数， a1 RAND ， b RAND ；然后进行平移和伸缩变
D． x0 R , x02 1 2x0
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4．
1 x
2x2
5 的展开式中常数项是
A． 5
B． 5
C．10
D． 10
5．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，执行如右图所示的
程序框图，则输出的 M 一定满足
A． Sn
nM 2
C． Sn nM
B． Sn nM D． Sn nM
B．[3 , 5] 53
88 C．[ , ]
53
D．[8 , 12] 55
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8． A, B 是圆 O : x2 y2 1上两个动点， AB 1， OC 3OA 2OB ， M 为线段
AB 的中点，则 OC OM 的值为
3
A．
2
3
交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 T ，早高峰
时段 3 T 9 ， T 3,5基本畅通； T 5,6轻度拥堵； T 6,7 中度拥堵；
T 7,9严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数
数
据
，
绘
制直方图如下．
（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；
换， a 2a1 0.5；若共产生了 N 个样本点a （，b），其中落在所围成图形内的
样本点数为 N1 ，则所围成图形的面积可估计为
（结果用 N ， N1 表
示）．
15．设 O 为抛物线： y 2 2 px( p 0) 的顶点， F 为焦点，且 AB 为过焦点 F 的弦，
若 AB 4 p ，则 AOB 的面积为
．
（1）求证：平面 PBC 平面 PBD ；
（2）若 PQ 2 1 PC ，求二面角 Q BD P 的大小．
P
D
C
A
B
20．（本小题满分 12 分）
已知 F 为椭圆 C : x 2 y 2 1(a b 0) 的右焦点， OF 3 ， P,Q 分别为椭 a2 b2
圆 C 的上下顶点，且 PQF 为等边三角形．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P 的两条互相垂直的直线 l1, l2 与椭圆 C 分别交于异于点 P 的点 A, B ，
第 I 卷（选择题, 共 60 分）
一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1． i 为虚数单位，复数 z 2i 在复平面内对应的点所在象限为 i 1
A．第二象限
B．第一象限
C．第四象限
D．第三象限
2．已知集合
A
y
x2
2 （2）若函数 h(x) 的图象与直线 l 有两个不同的交点, 求实数 a 的取值范围；（3）对于（2）中的两个交点的横坐标 x1, x2 及对应的 a , 当 x1 x2 时，
求证： 2(e x2 e x1 ) (x2 x1 )(e x2 e x1 ) a(e2x2 e2x1 ) ．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（2）点 P(0,1) ，直线 l 与曲线 C 交于 M , N ，求 1 1 的值． PM PN
23．选修 4-5:不等式选讲（本小题满分 10 分）
已知 x, y, z 为正实数，且 x y z 2 .
（1）求证： 4 z2 4xy 2 yz 2xz ；
B．
4
1
C．
2
1
D．
4
9．函数 y 1 的图像与函数 y 3sin x(4 x 2) 的图像所有交点的横坐标之 x 1
和等于
A． 4
B． 2
C． 8
D． 6
10． ABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 B 2A ， cos Acos B cos C 0
A．
f
(x)ห้องสมุดไป่ตู้
在
0,
3
单调递减
B．
f
(x)
在
0,
2
单调递增
C．
f
(x)
在
4
, 3 4
单调递增
D．
f
(x)
在
2
,
单调递减
x y 4 0 ,
7．如果实数 x, y 满足关系 x y 0 , 4x y 4 0
x y 12
则
的取值范围是
, x5
A．[12 , 8] 53
．
16． f (x) 是定义在 R 上的函数,其导函数为 f (x) ．若 f (x) f (x) 1, f (1) 2018 ，
则不等式 f (x) 2017e x1 1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
2018 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
骤．）
17．（本小题满分 12 分）
已知数列
an
为正项数列， a1
3，且
an1 an
an an1
1 2(
an
1 )
an1
(n N*) ．
（1）求数列an 通项公式；
（ 2）若 bn 2an (1)n an ，求
bn 的前 n 项和 Sn ．
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