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2020年宜春市高安市中考数学二模试题有答案精析

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2020年江西省宜春市中考数学二模试卷含答案

2020年江西省宜春市中考数学二模试卷含答案

中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.的倒数是（ ）A. -5B. 5C.D.2.下列计算正确的是（ ）A. a2•a3=a6B. 2a+3b=5abC. a8÷a2=a6D. （a2b）2=a4b3.如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（ ）A.B.C.D.4.某县招聘初中数学教师，入围的6名考生的面试成绩分别为83分、84分、81分、84分、82分、88分，则这组数据的中位数为（ ）A. 81分B. 84分C. 83分D. 83.5分5.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）A. 12B. 15C. 16D. 186.若二次函数y=ax2+（a+2）x+4a的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜1＜x2，则a的取值范围是（ ）A. -＜a＜-B. -＜a＜0C. 0＜a＜D. ＜a＜二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.2019年春运3月1日顺利结束．交通运输部2日发布的数据显示，春运40天，全国旅客发送量达29.8亿人次．将数据“29.8亿”用科学记数法表示为______．8.分解因式：ab2-2ab+a=______．9.如果α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是______．10.已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为______ ．11.如图，O是直线AB上一点，∠AOC=35°，CO⊥DO，OC=OB，OD交CB于点E，则∠CED=______．12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.化简分式：（-）÷并从-2≤a≤2中选一个你认为合适的整数代入求值．四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）14.（1）计算（2017-π）0+-2cos45°+（）-1（2）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分別是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．15.如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB=1，求BF．16.从1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛的同学．（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为______；（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．（用树状图或列表法求解）17.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．（1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．18.中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了______名中学生家长；（2）将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？19.在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD=cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄的夹角∠ABC=30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）20.如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB的一条直角边OA在x轴的正半轴上，点B在双曲线y=（k≠0）上，且∠BAO=90°，S△AOB=2．（1）求k的值及点A的坐标；（2）△OAB沿直线OB平移，当点A恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A'的坐标．21.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A=，求BH的长．22.在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x-h）2+k的伴随直线为y=a（x-h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2-3的伴随直线为y=2（x+1）-3，即y=2x-1．（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2-4的顶点坐标为______，伴随直线为______，抛物线y=（x+1）2-4与其伴随直线的交点坐标为______和______；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x-1）2-4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．①若∠CAB=90°，求m的值；②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．23.如图，正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE，为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历力如下过程初步体验如图1，连接BD，若BE=DF，求证：EF与BD互相平分规律探究（1）如图1中，（BE+DF）2+EF2=______AB2（2）如图2，若BE≠DF，其他条件不变，（1）中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由拓展应用如图3，若AB=4，∠DPB=135°，BP+2PD=4，求PD的长答案和解析1.【答案】A【解析】解：-的倒数是-5．故选：A．根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.【答案】C【解析】解：A、a2•a3=a5，本选项错误；B、2a+3b不能合并，本选项错误；C、a8÷a2=a6，本选项正确；D、（a2b）2=a4b2，本选项错误．故选：C．A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式不能合并，错误；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.【答案】C【解析】解：从左边看是一个矩形，中间有一条水平平的虚线，故选：C．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，注意看不到的线用虚线表示．4.【答案】D【解析】解：入围的6名考生的面试成绩低到高排列：81分、82分、83分、84分、84分、88分，故中位数为，故选：D．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．此题考查了中位数的求法，正确理解中位数的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵点O是三条角平分线的交点，∴点O到AB，AC的距离相等，∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=8：6=4：3．∵△ABO的面积为20，∴△ACO的面积为15．故选：B．由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC 面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6.【答案】B【解析】解：由已知得：a≠0且△=（a+2）2-16a2＞0解得：，且a≠0，∵x1＜1＜x2，∴（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∴，解得：，综合以上可得，．故选：B．由根的判别式大于0和（x1-1）（x2-1）＜0，求出a的范围即可；此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．7.【答案】2.98×109【解析】解：将数据“29.8亿”用科学记数法表示为2.98×109，故答案为：2.98×109．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.【答案】a（b-1）2【解析】解：ab2-2ab+a，=a（b2-2b+1），=a（b-1）2．先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．9.【答案】2018【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，∴a2+3a-2=0即a2+3a=2，a+β=-3∵α2+4α+β+2019=（α2+3α）+（α+β）+2019=2+（-3）+2019∴α2+4α+β+2019=2018故答案为：2018因为α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，所以a2+3a-2=0即a2+3a=2，a+β=-3，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题．本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，把α2+4α+β+2019=α2+3α+α+β+2019解题的关键．10.【答案】15π【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．本题考查圆锥的侧面积的求法．11.【答案】107.5°【解析】解：∵OC=B，∴∠C=∠OBC，∵∠AOC=∠C+∠OBC=35°，∴∠C=×35°=17.5°，∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠C+∠COD=17.5°+90°=107.5°，故答案为107.5°．根据∠CED=∠C+∠COE，求出∠C即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12.【答案】40°或70°或100°【解析】解：连结AP，如图，∵点O是AB的中点，∴OA=OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP=∠ABP=90°-α，∠APC=∠ABC=70°，当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°-α=70°，解得α=40°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°-α，解得α=70°；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，解得α=100°，综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．连结AP，如图，由旋转的性质得OP=OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°-α，∠APC=∠ABC=70°，然后分类讨论：当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°-α=70°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°-α，；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分别解关于α的方程即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是用α表示∠ACP和∠CAP，再运用分类讨论的思想和等腰三角形的性质建立关于α的方程．13.【答案】解：（-）÷===，当a=1时，原式=．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-2≤a≤2中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．14.【答案】（1）解：原式=1+2-2×+2，=1+2-+2，=3+；（2）证明：∵D，E，F分別是BC，AB，AC的中点，∴ED∥AC，ED=AC，DF∥AB，DF=AB，∵ED∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB=AC，∴ED=FD，∴四边形AEDF是菱形．【解析】（1）首先计算零次幂、化简二次根式、特殊角的三角函数，负整数指数幂，然后再计算加减即可；（2）利用中位线定理可得ED∥AC，ED=AC，DF∥AB，DF=AB，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，再证明ED=FD可得结论．此题主要考查了实数的计算和菱形的判定，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；一组邻边相等的平行四边形是菱形．15.【答案】解：在正五边形ABCDE中，∵∠ABC=∠DCB=108°，BC=BA=CD，∴∠BAC=∠BCA=∠CDB=∠CBD=36°，∴∠ABF=72°，∴∠AFB=∠CBD+∠ACB=72°，∴∠AFB=∠ABF，∠FCB=∠FBC，∴AF=AB=1，FB=CF，设FB=FC=x，∵∠BCF=∠BCA，∠CBF=∠CAB，∴△BCF∽△ACB，∴CB2=CF•CA，∴x（x+1）=1，∴x2+x-1=0，∴x=或（舍去），∴BF=．【解析】首先证明AB=AF=1，BF=CF，设BF=CF=x，利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题．本题考查正五边形与圆，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】【解析】解：（1）∵1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛，∴抽取1名，恰好是男生的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好是2名女生的有6种情况，∴恰好是2名女生的概率为：=．（1）由1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：（1）如图1所示：AM即为所求；（2）如图2所示：AN即为所求．【解析】（1）直接利用垂径定理结合圆周角定理得出答案；（2）直接利用垂径定理结合圆周角定理得出答案．此题主要考查了基本作图，正确掌握垂径定理以及圆周角定理是解题关键．18.【答案】解：（1）200；（2）“赞成”的人数为200-（30+40+120）=10（人），补全折线统计图，如图所示；（3）根据题意得：（人），则6000名中学生家长中持反对态度的人数为3600人.【解析】【分析】此题考查了折线统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键.（1）根据“基本赞成”的人数除以所占的百分比即可求出总人数；（2）由总人数减去其它的人数求出“赞成”的人数，补全统计图即可；（3）根据200人中“反对”的人数为120人求出反对人数所占的百分比，即可求出6000名中学生家长中持反对态度的人数.【解答】解：（1）根据题意得：40÷20%=200（人），则此次抽样调查中，共调查了200名中学生家长，故答案为200；（2）见答案；（3）见答案.19.【答案】解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．在Rt△BDH中，∵∠DHB=90°，BD=4cm，∠ABC=30°，∴DH=BD=2（cm），BH=DH=6（cm），∵AB=CB=20cm，AE=2cm，∴EH=20-2-6=12（cm），∴DE===2（cm）．（2）在Rt△BDE中，∵DE=2，BD=4，∠DBE=90°，∴BE==6（cm），∴这个过程中，点E滑动的距离（18-6）cm．【解析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．求出DH，BH即可解决问题．（2）解直角三角形求出BE即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）∵S△AOB=2，点B在双曲线上，∴k=2S△AOB=2×2=4，∵△OAB是等腰直角三角形，且∠BAO=90°，∴∴OA=AB=2，∴A（2，0）；（2）∵△OAB沿直线OB平移，∴AA′∥OB，设AA′与y轴交于点E，∴由AB=2可得OE=2，∴y=x-2，解方程组得或∴平移后的点A′的坐标为（，-1）或（-+1，--1）．【解析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义，S△AOB=2，即可求得k=4，然后应用三角形面积公式即可求得OA=2，从而求得A点的坐标；（2）求得直线OB的解析式，然后求得平移后的解析式，联立方程解方程即可求得．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，坐标和图象变换，明确OAB沿直线OB平移，则AA′∥OB是解题的关键．21.【答案】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【解析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．22.【答案】（1）（-1，-4）；y=x-3；（0，-3）；（-1，-4）；（2）①∵抛物线解析式为y=m（x-1）2-4m，∴其伴随直线为y=m（x-1）-4m，即y=mx-5m，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，∴A（1，-4m），B（2，-3m），在y=m（x-1）2-4m中，令y=0可解得x=-1或x=3，∴C（-1，0），D（3，0），∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=-，∴当∠CAB=90°时，m的值为-；②设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（2，-3m），C（-1，0），∴，解得，∴直线BC解析式为y=-mx-m，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，∵点P的横坐标为x，∴P（x，m（x-1）2-4m），Q（x，-mx-m），∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，∴PQ=m（x-1）2-4m+mx+m=m（x2-x-2）=m[（x-）2-]，∴S△PBC=×[（2-（-1）]PQ=m（x-）2-m，∴当x=时，△PBC的面积有最大值-m，∴S取得最大值时，即-m=，解得m=-2．【解析】解：（1）∵y=（x+1）2-4，∴顶点坐标为（-1，-4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）-4，即y=x-3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，∴其交点坐标为（0，-3）和（-1，-4），故答案为：（-1，-4）；y=x-3；（0，-3）；（-1，-4）；（2）①∵抛物线解析式为y=m（x-1）2-4m，∴其伴随直线为y=m（x-1）-4m，即y=mx-5m，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，∴A（1，-4m），B（2，-3m），在y=m（x-1）2-4m中，令y=0可解得x=-1或x=3，∴C（-1，0），D（3，0），∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=-，∴当∠CAB=90°时，m的值为-；②设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（2，-3m），C（-1，0），∴，解得，∴直线BC解析式为y=-mx-m，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，∵点P的横坐标为x，∴P（x，m（x-1）2-4m），Q（x，-mx-m），∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，∴PQ=m（x-1）2-4m+mx+m=m（x2-x-2）=m[（x-）2-]，∴S△PBC=×[（2-（-1）]PQ=m（x-）2-m，∴当x=时，△PBC的面积有最大值-m，∴S取得最大值时，即-m=，解得m=-2．（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．23.【答案】2【解析】初步体验证明：如图1，连接ED、BF，∵BE=DF，BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴EF与BD互相平分；规律探究（1）如图2，过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G，∴∠EGD=∠GEF=∠EFD=90°，∴四边形GEFD是矩形，∴EF=GD，EG=DF，在Rt△BGD中，BG2+DG2=BD2，∴（BE+EG）2+EF2=BD2，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，∴（BE+DF）2+EF2=2AB2，故答案为：2；（2）不会发生变化，如图3，（BE+DF）2+EF2=2AB2仍然成立，理由是：过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G，∴∠EGD=∠GEF=∠EFD=90°，∴四边形GEFD是矩形，∴EF=GD，EG=DF，在Rt△BGD中，BG2+DG2=BD2，∴（BE+EG）2+EF2=BD2，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，∴（BE+DF）2+EF2=2AB2，拓展应用如图4，过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE，过D作DG⊥BE，得矩形GEPD，∴GD=EP，EG=PD，设BE=EG=x，PD=EG=y，则BP=x∵AB=4，∴BD=4，在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG2+DG2=BD2，∴（x+y）2+x2=（4）2，∴2x2+2xy+y2=32 ①，∵BP+2PD=4，∴2x+2y=4②，解①和②得：，∴PD=2-2．初步体验：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：四边形EBFD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得结论；规律探究：（1）如图2，作辅助线，构建矩形GEFD，利用勾股定理列方程并与矩形的对边相等相结合可得结论；（2）如图3，同理可得结论；拓展应用：如图4，类比如图2，构建矩形GEPD，设BE=EG=x，PD=EG=y，则BP=x由勾股定理得：BG2+DG2=BD2，则（x+y）2+x2=（4）2，由已知得：BP+2PD=4，则2x+2y=4②，解①和②可得结论．本题是四边形的综合题，考查了平行四边形和矩形的性质和判定，并根据勾股定理列方程解决问题，本题的关键是作辅助线，构建矩形和直角三角形，并运用了类比的思想，使问题得以解决．。

江西省宜春市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，已知AE垂直于ABC∠的平分线于点D，交BC于点E，13 CE BC=，若ABC∆的面积为1，则CDE∆的面积是（）A．14B．16C．18D ．1102．下列各图中a 、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙3．把不等式组2010xx-⎧⎨+<⎩…的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．4．如图，矩形ABCD中，12AB=，13BC=，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．92D．55．已知∠BAC=45。

，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O 与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（）A．0＜x≤1B．1≤x2C．0＜2D．x26．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（ ）A ．6（m ﹣n ）B ．3（m+n ）C ．4nD ．4m7．如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列各组单项式中,不是同类项的一组是（ ） A ．2x y 和22xyB ．3xy 和2xy -C ．25x y 和22yx -D ．23-和39．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（ ）之间.A ．B 与CB ．C 与DC ．E 与FD ．A 与B10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1－S 2为( )A ．13124π-B ．9π1?24- C ．1364π+D ．611．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．线段 B ．等边三角形C ．正方形D ．平行四边形12．方程23x 1x=-的解是 A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．甲、乙两人分别从A ，B 两地相向而行，他们距B 地的距离s （km ）与时间t （h ）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h ．14．计算221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____.15．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 是弧AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），点F 是弧BC 上的一点，连接OE ，OF ，分别与交AB ，BC 于点G ，H ，且∠EOF=90°，连接GH ，有下列结论：①弧AE=弧BF ；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；④△GBH 周长的最小值为4+22．其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）16．已知关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根是x=﹣1，则另一根为_____．17．将一次函数2y x =-的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是______． 18．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，AC ⊥BD ，DE 交AC 于E ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ．求证：AC ＝AE+BC ．20．（6分）问题提出（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为CD 的中点，则∠AEB ∠ACB （填“＞”“＜”“=”）； 问题探究（2）如图②，在正方形ABCD 中，P 为CD 边上的一个动点，当点P 位于何处时，∠APB 最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．21．（6分）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．22．（8分）为了解黔东南州某县中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考试的4000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整的频数统计表和频数分布直方图．成绩分组组中值频数25≤x＜30 27.5 430≤x＜35 32.5 m35≤x＜40 37.5 2440≤x＜45 a 3645≤x＜50 47.5 n50≤x＜55 52.5 4（1）求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；（2）若体育得分在40分以上（包括40分）为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约为多少？23．（8分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c 为非负数．24．（10分）一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把1,3,6,10,15,21，…，称为“三角形数”；把1,4,9,16,25，…，称为“正方形数”.三角形数 1 3 6 10 15 21 a …正方形数 1 4 9 16 25 b 49 …五边形数 1 5 12 22 C 51 70 …（1）按照规律，表格中a=___，b=___，c=___．（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是________；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是___________．25．（10分）三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A通道通过的概率是；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．26．（12分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．27．（12分）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，P为AC延长线上一点，且∠PBC＝12∠BAC，连接DE，BE．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若sin∠PBC＝5，AB＝10，求BP的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】先证明△ABD≌△EBD，从而可得AD=DE，然后先求得△AEC的面积，继而可得到△CDE的面积. 【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，∵AE⊥BD，∴∠ADB=∠EDB=90°，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD=ED，∵1CE BC3，ΔABC的面积为1，∴S△AEC=13S△ABC=13，又∵AD=ED，∴S△CDE=12S△AEC=16，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键.2．B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．B【解析】【分析】首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可．【详解】解：由x﹣2≥0，得x≥2，由x+1＜0，得x＜﹣1，所以不等式组无解，故选B．【点睛】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．4．B【解析】【分析】△中，利用勾股定理求出CF的长度，则EF的长度可求．连接DF，在Rt DCF【详解】连接DF，∵四边形ABCD 是矩形∴12,13AB CD BE AD BC DF ====== 在Rt DCF △中，90C ∠=︒222213125CF DF CD ∴=-=-=13121EC BC BE =-=-=Q 514EF CF EC ∴=-=-=故选：B ． 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 5．C 【解析】如下图，设⊙O 与射线AC 相切于点D ，连接OD ， ∴∠ADO=90°， ∵∠BAC=45°，∴△ADO 是等腰直角三角形， ∴AD=DO=1，∴OA=2，此时⊙O 与射线AC 有唯一公共点点D ，若⊙O 再向右移动，则⊙O 与射线AC 就没有公共点了，∴x 的取值范围是02<≤x .故选C.6．D 【解析】 【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．7．B【解析】【分析】根据俯视图是从上往下看的图形解答即可.【详解】从上往下看到的图形是：.故选B.【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 8．A【解析】【分析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．【详解】根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.故答案选：A.【点睛】本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.9．A【解析】试题分析：在计算器上依次按键转化为算式为﹣=-1.414…；计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．故选A．考点：1、计算器—数的开方；2、实数与数轴10．A【解析】【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1-S2的值．【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，F是AB中点，∴BF=BG=2，∴S1=S矩形ABCD-S扇形ADE-S扇形BGF+S2，∴S1-S2=4×3-22903902360360ππ⨯⨯⨯⨯-=13124π-，故选A．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．11．B【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；C、正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．A【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解：去分母得：2x=3x﹣3，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选A．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3.6【解析】分析：根据题意，甲的速度为6km/h ，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．详解：由题意，甲速度为6km/h ．当甲开始运动时相距36km ，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．设乙的速度为xkm/h4.5×6+2.5x=36解得x=3.6故答案为3.6点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．14．1a b - 【解析】 原式=()()()()1·b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b +-+÷==+-++-- ， 故答案为1a b -. 15．①②④【解析】【分析】①根据ASA 可证△BOE ≌△COF ，根据全等三角形的性质得到BE=CF ，根据等弦对等弧得到»»AE BF= ，可以判断①；②根据SAS 可证△BOG ≌△COH ，根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°，OG=OH ，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH 是等腰直角三角形，可以判断②；③通过证明△HOM ≌△GON ，可得四边形OGBH 的面积始终等于正方形ONBM 的面积，可以判断③； ④根据△BOG ≌△COH 可知BG=CH ，则BG+BH=BC=4，设BG=x ，则BH=4-x ，根据勾股定理得到GH=22BG BH +=()224x x +- ，可以求得其最小值，可以判断④．【详解】解：①如图所示，∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE=∠COF ，在△BOE 与△COF 中，OB OC BOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△COF ，∴BE=CF ，∴»»AE BF= ，①正确； ②∵OC=OB ，∠COH=∠BOG ，∠OCH=∠OBG=45°，∴△BOG ≌△COH ；∴OG=OH ，∵∠GOH=90°，∴△OGH 是等腰直角三角形，②正确．③如图所示，∵△HOM ≌△GON ，∴四边形OGBH 的面积始终等于正方形ONBM 的面积，③错误；④∵△BOG ≌△COH ，∴BG=CH ，∴BG+BH=BC=4，设BG=x ，则BH=4-x ，则22BG BH +()224x x +-∴其最小值为2故答案为：①②④【点睛】考查了圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面积的计算，综合性较强．16．1【解析】【分析】设另一根为x 2，根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x 2=-1，即可求出答案．【详解】设方程的另一个根为x 2，则-1×x 2=-1， 解得：x 2=1，故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 17．1y x =+【解析】试题分析：解：设y=x+b ，∴3=2+b ，解得：b=1．∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．考点：一次函数点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变．18．2:1【解析】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．故答案为2：1.点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．见解析.【解析】【分析】由“SAS”可证△ABC ≌△DEC ，可得BC ＝CE ，即可得结论．【详解】证明：∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴BC ＝CE ，∵AC ＝AE+CE∴AC ＝AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．20．（1）＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；（3）410米．【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥AB于点F，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易证∠AEB=90°，而∠ACB＜90°，由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小（2）假设P为CD的中点，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE、BF；由∠AFB是△EFB的外角，得∠AFB＞∠AEB，且∠AFB与∠APB均为⊙O中弧AB所对的角，则∠AFB=∠APB，即可判断∠APB与∠AEB的大小关系，即可得点P位于何处时，∠APB最大；（3）过点E作CE∥DF，交AD于点C，作AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，以点O为圆心，OB为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，连接OA，再利用勾股定理以及长度关系即可得解.【详解】解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：如图1，过点E作EF⊥AB于点F，∵在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD中点，∴四边形ADEF是正方形，∴∠AEF=45°，同理，∠BEF=45°，∴∠AEB=90°．而在直角△ABC中，∠ABC=90°，∴∠ACB＜90°，∴∠AEB＞∠ACB．故答案为：＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，∵∠AFB=∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大：（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，由题意知DP=OQ=，∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+AB﹣CD，BD=11.6米，AB=3米，CD=EF=1.6米，∴OA=11.6+3﹣1.6=13米，∴DP=米，即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.21．13．【解析】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙抽中同一篇文章，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：解：如图：所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，概率为39=13．点睛：本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）详见解析（2）2400【解析】【分析】（1）求出组距，然后利用37.5加上组距就是a的值；根据频数分布直方图即可求得m的值，然后利用总人数100减去其它各组的人数就是n的值.（2）利用总人数4000乘以优秀的人数所占的比例即可求得优秀的人数.【详解】解：（1）组距是：37.5﹣32.5=5，则a=37.5+5=42.5；根据频数分布直方图可得：m=12；则n=100﹣4﹣12﹣24﹣36﹣4=1．补全频数分布直方图如下：（2）∵优秀的人数所占的比例是：=0.6，∴该县中考体育成绩优秀学生人数约为：4000×0.6=2400（人）23．（1）4；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.【详解】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意数”c为非负数【点睛】本题考查了因式分解，完全平方式（m﹣1）2的非负性，难度不大．24．1 2 3 n2n2 +x-n【解析】分析：(1)、首先根据题意得出前6个“三角形数”分别是多少，从而得出a的值；前5个“正方形数”分别是多少，从而得出b的值；前4个“正方形数”分别是多少，从而得出c的值；(2)、根据前面得出的一般性得出答案．详解：（1）∵前6个“三角形数”分别是：1=122⨯、3=232⨯、6=342⨯、10=452⨯、15=562⨯、21=672⨯，∴第n个“三角形数”是()12n n+，∴a=7×82=17×82=1．∵前5个“正方形数”分别是：1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，∴第n个“正方形数”是n2，∴b=62=2．∵前4个“正方形数”分别是：1=()13112⨯⨯-，5=()23212⨯⨯-，12=()33312⨯⨯-，22=()43412⨯⨯-，∴第n个“五边形数”是n（3n−1）2n（3n−1）2，∴c=() 53512⨯⨯-=3．（2）第n个“正方形数”是n2；1+1-1=1，3+4-5=2，6+9-12=3，10+16-22=4，…，∴第n个“五边形数”是n2+x-n．点睛：此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．25．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，所以都选择A通道通过的概率为18，故答案为：18；（2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为41 82 ．【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．26．（1）y1=0.85x，y2=0.75x+50 （x＞200），y2=x （0≤x≤200）；（2）x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【详解】（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y1=0.85x，乙商场写出y关于x的函数解析式y2=200+（x﹣200）×0.75=0.75x+50（x＞200），即y2=x（0≤x≤200）；（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x+50，解得x＞500，即当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；由y1=y2得0.85x=0.75x+50，即x=500时，到两家商场去购物花费一样；由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，解得x＜500，即当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．27．（1）证明见解析；（2）40 3【解析】【分析】（1）连接AD，求出∠PBC＝∠ABC，求出∠ABP＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）解直角三角形求出BD，求出BC，根据勾股定理求出AD，根据相似三角形的判定和性质求出BE，根据相似三角形的性质和判定求出BP即可．【详解】解：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∵∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠PBC=12∠BAC，∴∠PBC+∠ABD=90°，∴∠ABP=90°，即AB⊥BP，∴PB是⊙O的切线；（2）∵∠PBC=∠BAD，∴sin∠PBC=sin∠BAD，∵sin∠=BDAB，AB=10，∴∴∵由三角形面积公式得：AD×BC=BE×AC，∴10，∴BE=8，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=6，∵∠BAE=∠BAP，∠AEB=∠ABP=90°，∴△ABE∽△APB，∴BEPB=AEAB，∴PB=AB BEAE⨯=1086⨯=403．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质定理进行推理是解此题的关键．。

2020年中考二模考试《数学卷》带答案解析

2020年中考二模考试《数学卷》带答案解析

中考数学综合模拟测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．实数2019的相反数是（ ）A.2019B.-2019C.12019 D.12019-2．x 的取值范围是（ ）A. 0x ＞B. 1x ?C. 1x ³D.1x £3．据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人.数据1031万用科学计数法可表示为（ ） A. 60.103110´ B. 71.03110´ C. 81.03110´ D.910.3110´ 4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．5．从长度分别为2，4，5，6的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（ ） A.13 B. 14 C. 12 D.346．某班6个合作小组的人数分别是4，6，4，5，7，8，现第4小组调出1人去第2小组， 则调动后各组人数分别为：4，7，4，4，7，8，下列关于调配后的数据说法正确的是（ ） A ．平均数变小了 B ．众数变小了 C ．中位数变大了D ．方差变大了7．若关于x 的不等式组10233544(1)3x x x a x aì+ï+íï++++î＞＞恰有三个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．1≤a ＜32 B ．1＜a ≤32 C ．1＜a ＜32 D ．a ≤1或a ＞328．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且 ¼¼:1:3BD AD ⅱ=（¼BD ¢表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：99．（2019德州）在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使y 2−y 1x 2−x 1＜0成立的是（ ）A ．y ＝3x ﹣1（x ＜0）B ．y ＝﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0）C ．y =−√3x（x ＞0）D ．y ＝x 2﹣4x +1（x ＜0）10．4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白 部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2．若S 1＝2S 2，则a 、b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．分解因式234x y xy -= .12．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%， 结果提前8天完成任务，原来每天制作 件．13．如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图 形是一个曲边三角形，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分面积为 ．第16题14．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为 .（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）15．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝ ．16．如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．三、解答题（本小题7个小题，共66分，17题6分，18-19各8分，20-21各10分，22-23各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）先化简，在求值：2(1)(3)(3)x x x +-+-其中x =2. （2）解分式方程：xx−2−1=4x 2−4x+4．18．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．19．某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．20．如图，已知二次函数y＝ax2﹣3x+4的图象经过点M（3，4）．（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到x轴的距离等于114，直接写出m的值．21． 2月1日上午，沪苏湖铁路南浔交通枢纽工程在湖州南浔举行开工奠基仪式．意味着以后南浔到上海只要半小时左右，极大的方便了人们的出行，甲、乙两城市之间开通了高速列车，如图，OA 是普通列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象，BC 是高速列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象．请根据图中的信息，解答 下列问题：（1）根据图象信息，普通列车的速度是 km /h ，高速列车的速度是 km /h ；（2）若高速列车在到达乙城1小时后返回甲城，请在图中画出高速列车返回甲城的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象；并求出高速列车返回时与普通列车相遇的时间；（3）出于安全考虑，两列列车装有告警装置，当两列列车相距20km 时会发出警报，问在上述过程中装置发出警报的时间范围．22．我们定义：有一组领边相等的四边形叫做“等腰四边形”（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线CA 平分∠BCD ，求证：四边形ABCD 是等腰四边形；（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A （0，2），点B （4，2）点C 是x 轴正半轴上的动点，当四边形AOCB 是等腰四边形，求出点C 的坐标.BA（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A （0，4），点9(,)2B t （t ＞0），点C 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠OAB 与∠OCB 互补，函数ky x=的图像正好经过点B ，当四边形AOCB 是等腰四边形，求k 的值.23．已知：在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆O ．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当»»AE AF =时，tan ∠AEF 的值是； （2）如图1，在△EFH 中，当FE ＝FH 时，求证：AD ＝AE +DH ； （3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH ＝AE +DH ；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM ＝FE ，连接EM 交DC 于点N ，连接FN ，当AE ＝AD 时，FN ＝4，HN ＝3，求tan ∠AEF 的值．答案与解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．实数2019的相反数是（ ）A.2019B.-2019C. 12019D.12019-【答案】B【解析】2019的相反数是-2019 故选：B2．x 的取值范围是（ ） A. 0x ＞ B. 1x ? C. 1x ³ D.1x £ 【答案】C【解析】∵10x -?，∴1x ³ 故选：C3．据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人.数据1031万用科学计数法可表示为（ ） A. 60.103110´ B. 71.03110´ C. 81.03110´ D.910.3110´ 【答案】B【解析】因为1031万=710310000 1.03110=?， 故选：B4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】5．从长度分别为2，4，5，6的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（）A. 13B.14C.12D.34【答案】D【解析】从2，4，5，6人选三条总可能性有4种，其中能构成三角形的情况为：2，4，6；2，5，6；4，5，6共三种；所以构成三角形的概率为：34 P=故选：D6．某班6个合作小组的人数分别是4，6，4，5，7，8，现第4小组调出1人去第2小组，则调动后各组人数分别为：4，7，4，4，7，8，下列关于调配后的数据说法正确的是（）A．平均数变小了B．众数变小了C．中位数变大了D．方差变大了【答案】D【解析】A、调配后的平均数不变，故本选项错误；B、原小组的众数是4，调配后的众数仍然是4，故本选项错误；C、把原数从小到大排列为：4，4，5，6，7，8，则中位数是565.52+=，调配后中位数的中位数是475.52+=，则调配后的中位数不变．故本选项错误；D、原方差是：16[2（4﹣5.5）2+（6﹣5.5）2+（5﹣5.5）2+（7﹣5.5）2+（8﹣5.5）2]＝94，调配后的方差是16[3（4﹣5.5）2+2（7﹣5.5）2+（8﹣5.5）2]＝3512，则调配后方差变大了，故本选项正确；故选：D．7．若关于x的不等式组1233544(1)3x xx a x aì+ï+íï++++î＞＞恰有三个整数解，则a的取值范围是（）A．1≤a＜32B．1＜a≤32C．1＜a＜32D．a≤1或a＞32【答案】B【解析】解不等式123x x++＞，得：x＞25-，解不等式3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得：x＜2a，∵不等式组恰有三个整数解，∴这三个整数解为0、1、2，∴2＜2a ≤3， 解得1＜a ≤32， 故选：B ．8．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且 ¼¼:1:3BD AD ⅱ=（¼BD ¢表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【答案】D【解析】连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：OM ＝12OA ，∠OMA ＝90°， ∴∠OAM ＝30°， ∴∠AOM ＝60°，∵且»»:1:3BDAD =， ∴∠AOB ＝80°设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180l r p p =， ∴r ：l ＝2：9． 故选：D ．9．（2019德州）在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使y 2−y 1x 2−x 1＜0成立的是（ ）A ．y ＝3x ﹣1（x ＜0）B ．y ＝﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0）C ．y =−√3x（x ＞0）D ．y ＝x 2﹣4x +1（x ＜0）【答案】D【解析】A 、∵k ＝3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 ∴当x ＜0时，y 2−y 1x 2−x 1＞0，故A 选项不符合；B 、∵对称轴为直线x ＝1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小， ∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2，此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故B 选项不符合；C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＜0，故D 选项符合； 故选：D ．10．4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白 部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2．若S 1＝2S 2，则a 、b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b【答案】D 【解析】222111()22()222S b a b ab a b a b =+??-=+，S 2＝（a +b ）2﹣S 1＝（a +b ）2﹣（a 2+2b 2）＝2ab ﹣b 2， ∵S 1＝2S 2，∴a 2+2b 2＝2（2ab ﹣b 2）， 整理，得（a ﹣2b ）2＝0， ∴a ﹣2b ＝0， ∴a ＝2b ． 故选：D ．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．分解因式234x y xy -= . 【答案】2(4)xy x y -【解析】2324(4)x y xy xy x y -=- 故答案为：2(4)xy x y -12．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%， 结果提前8天完成任务，原来每天制作 件． 【答案】20【解析】设原来每天制作x 件， 根据题意得：4804808(150%)x x-=+，解得：x ＝20，经检验x ＝20是原方程的解， 故答案为20．13．如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图 形是一个曲边三角形，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分面积为 ．第16题【答案】53p -【解析】连接OB ，作OH ⊥BC 于H ，如图， ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠ABC ＝60°， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OH 为⊙O 的半径，∠OBH ＝30°， ∵O 点为等边三角形的外心， ∴BH ＝CH ＝1，在Rt △OBH 中，33OH BH ==， ∵S 弓形AB ＝S 扇形ACB ﹣S △ABC ， ∴阴影部分面积＝3S弓形AB +S △ABC ﹣S ⊙O ＝3（S扇形ACB ﹣S △ABC ）+S △ABC ﹣S ⊙O ＝3S扇形ACB ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O ＝2226025322(360433p p p 创?创-?-故答案为：53p -14．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为 .（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【答案】4.7米【解析】过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，设DF =x∵tan65°=OFDF，∴OF=x tan65° ∴BF=3+x ∵tan35°=OFBF，∴OF=（3+x ）tan35° ∴2.1x =0，7（3+x ） ∴x =1.5∴OF=1.5×2.1=3.15 ∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7 故答案为：4.7米15．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝ ．【答案】√217【解析】给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ，∴∠α＝30°． 同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DEAD =√217． 故答案为：√217．16．如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．【答案】x ＝0或x =或4x ＜＜ 【解析】分三种情况：①如图1，当M 与O 重合时，即x ＝0时，点P 恰好有三个；②如图2，以M 为圆心，以4为半径画圆，当⊙M 与OB 相切时，设切点为C ，⊙M 与OA 交于D ，∴MC ⊥OB ， ∵∠AOB ＝45°，∴△MCO 是等腰直角三角形， ∴MC ＝OC ＝4，∴OM =当M 与D 重合时，即4x OM DM =-=时，同理可知：点P 恰好有三个；③如图3，取OM ＝4，以M 为圆心，以OM 为半径画圆，则⊙M 与OB 除了O 外只有一个交点，此时x ＝4，即以∠PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点P 有一个，以N 圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时以∠PNM 为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点P ； 点M 沿OA 运动，到M 1时，发现⊙M 1与直线OB 有一个交点；∴当4x ＜＜时，圆M 在移动过程中，则会与OB 除了O 外有两个交点，满足点P 恰好有三个；综上所述，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是：x ＝0或x =或4x ＜＜．故答案为：x ＝0或x =或4x ＜＜．三、解答题（本小题7个小题，共66分，17题6分，18-19各8分，20-21各10分，22-23各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）先化简，在求值：2(1)(3)(3)x x x +-+-其中x =2. （2）解分式方程：xx−2−1=4x 2−4x+4．【解析】（1）原式2221(9)210x x x x =++--=+ 当x =2时，原式=221014?= （2）解：x x−2−1=4x 2−4x+4，方程两边乘（x ﹣2）2得：x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）2＝4， 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，（x ﹣2）2≠0． 所以原方程的解为x ＝4．18．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．【解析】（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．19．某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．【解析】（1）本次抽样调查的样本容量是55010%=，故答案为：50；（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，补全条形统计图如图所示；（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为12 36086.450按=?；（4）3000×20%＝600名，答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．20．如图，已知二次函数y＝ax2﹣3x+4的图象经过点M（3，4）．（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到x轴的距离等于114，直接写出m的值．【解析】（1）把点M（3，4）代入y＝ax2﹣3x+4中得9a﹣9+4＝4，∴a＝1，∴y＝x2﹣3x+4，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣32）2+74，∴顶点坐标为37(,)24；（2）①当m ＝﹣2时，n ＝4+6+4＝14，②点Q 到x 轴的距离等于114，∴n ＝114， ∴m 2﹣3m +4＝114，解得m ＝12或52，∴m 的值为12或52．21． 2月1日上午，沪苏湖铁路南浔交通枢纽工程在湖州南浔举行开工奠基仪式．意味着以后南浔到上海只要半小时左右，极大的方便了人们的出行，甲、乙两城市之间开通了高速列车，如图，OA 是普通列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象，BC 是高速列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象．请根据图中的信息，解答 下列问题：（1）根据图象信息，普通列车的速度是 km /h ，高速列车的速度是 km /h ；（2）若高速列车在到达乙城1小时后返回甲城，请在图中画出高速列车返回甲城的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象；并求出高速列车返回时与普通列车相遇的时间；（3）出于安全考虑，两列列车装有告警装置，当两列列车相距20km 时会发出警报，问在上述过程中装置发出警报的时间范围．【解析】（1）由图象得：普通列车的速度是 600÷6＝100km /h ，高速列车的速度是 600÷（3﹣1）＝300km /h ．（2）设DE 解析式：y ＝kx +b ，由题意得：{600406k b k b =+=+，解得：{3001800k b =-=∴DE 解析式y ＝﹣300x +1800 由题意得：AO 解析式：y ＝100x ∴{3001800100y x y x =-+=，解得：{4.5450x y == 答：高速列车返回时与普通列车相遇的时间 （3）设BC 解析式y ＝mx +n 根据题意得：{60030m nm n=+=+解得：{300300m n ==-∴BC 解析式：y ＝300x ﹣300 根据题意得：{100(300300)2030030010020x x x x --?--?解得：1.4≤x ≤1.6 由题意得：{100(3001800)20300180010020x x x x --+?-+-? 解得：4.45≤x ≤4.55终上所述：装置发出警报的时间范围为1.4≤x ≤1.6和4.45≤x ≤4.5522．我们定义：有一组领边相等的四边形叫做“等腰四边形”（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线CA 平分∠BCD ，求证：四边形ABCD 是等腰四边形；（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A （0，2），点B （4，2）点C 是x 轴正半轴上的动点，当四边形AOCB 是等腰四边形，求出点C 的坐标.（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A （0，4），点9(,)2B t （t ＞0），点C 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠OAB 与∠OCB 互补，函数ky x=的图像正好经过点B ，当四边形AOCB 是等腰四边形，求k 的值.B【解析】（1）∵CA 平分∠BCD ，∴∠BCA =∠ACD ∵AD ∥BC ，∴∠BCA =∠CAD ∴∠CAD =∠ACD ∴AD =CD∴四边形ABCD 是等腰四边形（2）①OA =OC 时，则OC =2，∴C （2，0）②BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交x 轴于12,C C ，则124BC BC ==∴12C H C H ==∴12(4(4C C -+③OC =BC 时作BH ⊥x 轴，连结OB ，设OC =BC =a 则CH =4-a∴222(4)2a a =-+，解得52a =∴5(,0)2C∴5(2,0),(,0),(42C -+（3）∵∠OAB 与∠OCB 互补，∴A 、O 、C 、B 四点共圆，∵∠AOC =90°，∴∠ABC =90°① AB =BC 时，则△ABC 为等腰直角三角形作BH ⊥y 轴，BG ⊥x 轴，则△BHA ≌△BGC ，∴92BG BH ==，∴99(,)22B ，∴814k =② OA =OC 时，则C （4，0），以AC 为直径画圆，交直线92y =于12,B B ， 12AG = 作12BH B B ^则AGB BHC V :V ,92CH =， ∴AG BG BH CH =即12942t t =-，解得2t =?∴94k =?③ OA =AB 时，则AB =4，∴t =，∴4k =∴8194k =? 23．已知：在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆O ．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当»»AE AF =时，tan ∠AEF 的值是； （2）如图1，在△EFH 中，当FE ＝FH 时，求证：AD ＝AE +DH ；（3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH ＝AE +DH ；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM ＝FE ，连接EM 交DC 于点N ，连接FN ，当AE ＝AD 时，FN ＝4，HN ＝3，求tan ∠AEF 的值．【解析】（1）连接AO ，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝12EF，∴点A在⊙O上，当»»AE AF=时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝FQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴DQ HM x FQ FM a==，∵DC∥AB∥QM，∴MN QD x EN AD a==，∴MN HM x EN FM a==，∵FE＝FM，∴MN HM xEN FE a==，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴34 MN HN xEN FN a===，∴3 tan4AF xAEFAE a?==。

江西省宜春市2019-2020学年中考数学二模试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年中考数学二模试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C所对应的实数是( )A．1+3B．2+3C．23﹣1 D．23+12．下列各式中，正确的是（）A．t5·t5 = 2t5B．t4+t2 = t 6C．t3·t4 = t12D．t2·t3 = t53．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=18，则△ABD的面积是（）A．18 B．36 C．54 D．725．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是()A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为()A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)7．已知一次函数y=ax ﹣x ﹣a+1（a 为常数），则其函数图象一定过象限（ ） A ．一、二B ．二、三C ．三、四D ．一、四8．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．直角梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．正五边形9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( ) A ．三棱柱B ．四棱柱C ．三棱锥D ．四棱锥11．如图，在⊙O 中，点P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论：①AB ⊥CD ； ②∠AOB=4∠ACD ；③弧AD=弧BD ；④PO=PD ，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．312．若 |x | =－x ，则x 一定是（ ） A ．非正数B ．正数C ．非负数D ．负数二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是_______________14．计算()22133x y xy ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭_______． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°，则∠CDA= °．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是____．17．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①∠EAF＝45°；②△AED≌△AEF；③△ABE∽△ACD；④BE1+DC1＝DE1．其中正确的是______．（填序号）18．如图，已知直线m∥n，∠1＝100°，则∠2的度数为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：本次抽样调查了个家庭；将图①中的条形图补充完整；学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度；若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？20．（6分）解方程组4311,213.x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①②21．（6分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，点F 在线段DE 上，过点F作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于点G 、H ，如果BG ：GH ：HC ＝2：4：1．求ADE FGHS S △△的值．22．（8分）如图，一次函数y ＝﹣34x+6的图象分别交y 轴、x 轴交于点A 、B ，点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒1个单位的速度出发，设点P 的运动时间为t 秒．（1）点P 在运动过程中，若某一时刻，△OPA 的面积为6，求此时P 的坐标；（2）在整个运动过程中，当t 为何值时，△AOP 为等腰三角形？（只需写出t 的值，无需解答过程）23．（8分）如图，在自动向西的公路l 上有一检查站A ，在观测点B 的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B 的距离为7132km ，位于点B 南偏西76°方向的点C 处，求工作人员家到检查站的距离AC ．（参考数据：sin76°≈2425，cos76°≈625，tan 76°≈4，sin53°≈35，tan53°≈43）24．（10分）为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．若用户的月用水量不超过15吨，每吨收水费4元；用户的月用水量超过15吨，超过15吨的部分，按每吨6元收费．（I ）根据题意，填写下表： 月用水量（吨/户）41016……应收水费（元/户）40 ……（II）设一户居民的月用水量为x吨，应收水费y元，写出y关于x的函数关系式；（III）已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨，两户共收水费126元，求他们上个月分别用水多少吨？25．（10分）阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度2013 2014 2015 2016 2017参观人数（人次）7450 0007630 0007290 0007550 0008060 000年增长率（%）38.7 2.4 -4.5 3.6 6.8他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.26．（12分）解方程311(1)(2)xx x x-=--+．27．（12分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【详解】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()x3=31-，解得x=23+1.故选D.2．D【解析】选项A，根据同底数幂的乘法可得原式=t10；选项B，不是同类项，不能合并；选项C，根据同底数幂的乘法可得原式=t7；选项D，根据同底数幂的乘法可得原式=t5，四个选项中只有选项D正确，故选D.3．C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：b2a-＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞b2a-时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH，再由三角形的面积公式可得出结论．【详解】由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠C=90°，CD=1，∴CD=DH=1．∵AB=18，∴S△ABD=12AB•DH=12×18×1=36故选B．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．5．D【解析】【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D．原来数据的方差=222 (12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12，添加数字2后的方差=222 (12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25，故方差发生了变化．故选D．6．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12得出即可．【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选C．【点睛】本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．7．D【解析】分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可. 详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），∴y=（a-1）x-（a-1）当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.故其函数的图像一定过一四象限.故选D.点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y 随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小. 8．D【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解．详解：A．直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选D．点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．9．C【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【详解】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，-22k-=1k>0，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-22k-=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-22k-=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．10．D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D考点：几何体的形状11．D【解析】【分析】根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．【详解】∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．故正确的是：①②③．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.12．A【解析】【分析】根据绝对值的性质进行求解即可得.【详解】∵|-x|=-x，又|-x|≥1，∴-x≥1，即x≤1，即x是非正数，故选A．【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x 的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．【详解】设这个正多边的外角为x°，由题意得：x+5x=180，解得：x=30，360°÷30°=1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．14．33x y -【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可.【详解】()22133x y xy ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 22133x y xy =-⨯⋅ 33x y =-故答案是：33x y -【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键.15．1．【解析】【分析】连接OD ，根据圆的切线定理和等腰三角形的性质可得出答案.【详解】连接OD ，则∠ODC=90°，∠COD=70°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A=12∠COD=35°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=1°，故答案为1．考点：切线的性质．16．45【解析】 【分析】过点B 作BD ⊥AC 于D ，设AH=BC=2x ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=12BC=x ，利用勾股定理列式表示出AC ，再根据三角形的面积列方程求出BD ，然后根据锐角的正弦=对边：斜边求解即可． 【详解】如图，过点B 作BD ⊥AC 于D ，设AH=BC=2x ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=x ， 根据勾股定理得，2222(2)AH CH x x +=+5， S △ABC =12BC•AH=12AC•BD ， 即12•2x•2x=125， 解得25x ，所以，sin ∠BAC=45x BD AB ==． 故答案为45． 17．①②④【解析】【分析】①根据旋转得到，对应角∠CAD ＝∠BAF ，由∠EAF ＝∠BAF+∠BAE ＝∠CAD+∠BAE 即可判断 ②由旋转得出AD=AF, ∠DAE ＝∠EAF ，及公共边即可证明③在△ABE ∽△ACD 中，只有AB ＝AC 、∠ABE ＝∠ACD ＝45°两个条件，无法证明④先由△ACD ≌△ABF ，得出∠ACD ＝∠ABF ＝45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt △BEF 中，运用勾股定理得出BE 1+BF 1=EF 1，等量代换后判定④正确【详解】由旋转，可知：∠CAD ＝∠BAF ．∵∠BAC ＝90°，∠DAE ＝45°，∴∠CAD+∠BAE ＝45°，∴∠BAF+∠BAE ＝∠EAF ＝45°，结论①正确；②由旋转，可知：AD ＝AF在△AED 和△AEF 中，=45AD AF DAE EAF AE AE ＝＝＝⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴△AED ≌△AEF （SAS ），结论②正确；③在△ABE ∽△ACD 中，只有AB ＝AC ，、∠ABE ＝∠ACD ＝45°两个条件，无法证出△ABE ∽△ACD ，结论③错误；④由旋转，可知：CD ＝BF ，∠ACD ＝∠ABF ＝45°，∴∠EBF ＝∠ABE+∠ABF ＝90°，∴BF 1+BE 1＝EF 1．∵△AED ≌△AEF ，EF ＝DE ，又∵CD ＝BF ，∴BE 1+DC 1＝DE 1，结论④正确．故答案为：①②④【点睛】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质, 勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键【解析】【分析】如图，已知m ∥n ，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再由平角的定义即可求得∠2的度数.【详解】如图，∵m ∥n ，∴∠1＝∠3，∵∠1＝100°，∴∠3＝100°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．【解析】【分析】（1）根据1.5～2小时的圆心角度数求出1.5～2小时所占的百分比，再用1.5～2小时的人数除以所占的百分比，即可得出本次抽样调查的总家庭数；（2）用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；（3）用360°乘以学习时间在2～2.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；（4）用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案．【详解】解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30÷54360＝200(个)； 故答案为200；(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×108360＝60(个)， 学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20(个)，(3)学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×20200＝36°； 故答案为36；(4)根据题意得： 3000×903020200++＝2100(个)． 答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．20．53x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】将②×3，再联立①②消未知数即可计算. 【详解】解：②3⨯得：6339x y += ③①+③得：1050x =5x =把5x =代入③得10339y +=3y =∴方程组的解为53x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.21．2516【分析】先根据平行线的性质证明△ADE ∽△FGH ，再由线段DF=BG 、FE=HC 及BG ︰GH ︰HC=2︰4︰1，可求得ADE FGHS S ∆∆的值. 【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B,∵FG ∥AB ，∴∠FGH=∠B,∴∠ADE=∠FGH,同理：∠AED=∠FHG ,∴△ADE ∽△FGH, ∴2ADE FGH S DE S GH ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF=BG ,同理：FE=HC,∵BG ︰GH ︰HC=2︰4︰1，∴设BG=2k ，GH=4k ，HC=1k,∴DF=2k ，FE=1k ，∴DE=5k, ∴2525416ADE FGH S k S k ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形相似的判定和相似比.22．（1）（2,4.5），（-2，7.5）；（2）2.8,4,5,16【解析】【分析】（1）先求出△OPA 的面积为6时BP 的长，再求出点P 的坐标；（2）分别讨论AO=AP ，AP=OP 和AO=OP 三种情况.【详解】（1）在y=-34x+6中，令x=0，得y=6，令y=0，得x=8，∴A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，∴AB=10，∴AB边上的高为6×8÷10=245，∵P点的运动时间为t，∴BP=t，则AP=10t-，当△AOP面积为6时，则有12AP×245=6，即1102t-×245=6，解得t=7.5或12.5，过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，则PE=·AO PBAB=4.5或7.5，BE=·OB PBAB=6或10，则点P坐标为（8-6,4.5）或（8-10,7.5），即（2,4.5）或（-2,7.5）；（2）由题意可知BP=t，AP=10t-，当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况．①当AP=AO时，则有10t-=6，解得t=4或16；②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；③当AO=OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图2，则AN=12AP=12（10-t），∵PH∥AO，∴△AOB∽△PHB，∴PBPH=ABAO，即tPH=106,∴PH=35t，又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，∴∠AON=∠PBH，又∠ANO=∠PHB，∴△ANO∽△PHB，∴PBAO=PHAN，即6t=()351102tt-，解得t=145；综上可知当t的值为145、4、5和16时，△AOP为等腰三角形．23．工作人员家到检查站的距离AC的长约为92 km．【解析】分析：过点B作BH⊥l交l于点H，解Rt△BCH，得出CH=BC•sin∠CBH=274，BH=BC•cos∠CBH=2716．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=94，那么根据AC=CH-AH计算即可.详解：如图，过点B作BH⊥l交l于点H，∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7132km，∴CH=BC•sin∠CBH≈2252427 32254⨯=，BH=BC•cos∠CBH≈225627 322516⨯=．∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=27 16，∴AH=BH•tan∠ABH≈2749 1634⨯=，∴AC=CH﹣AH=2799442-=（km）．答：工作人员家到检查站的距离AC的长约为92 km．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．（Ⅰ）16；66；（Ⅱ）当x≤15时，y=4x；当x＞15时，y=6x﹣30；（Ⅲ）居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意计算即可；（Ⅱ）根据分段函数解答即可；（Ⅲ）根据题意，可以分段利用方程或方程组解决用水量问题．【详解】解:（Ⅰ）当月用水量为4吨时，应收水费=4×4=16元；当月用水量为16吨时，应收水费=15×4+1×6=66元；故答案为16；66；（Ⅱ）当x≤15时，y=4x；当x＞15时，y=15×4+（x﹣15）×6=6x﹣30；（Ⅲ）设居民甲上月用水量为X吨，居民乙用水（X﹣6）吨．由题意：X﹣6＜15且X＞15时，4（X﹣6）+15×4+（X﹣15）×6=126X=18，∴居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨．【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意在实际问题中，利用方程或方程组是解决问题的常用方法．25．（1）见解析；（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可【解析】【分析】【详解】分析：（1）根据2015年网络售票占17.33%，2017年8月实现网络售票占比77%，2017年10月2日，首次实现全部网络售票，即可补全图1，根据2016年度中国国家博物馆参观人数及年增长率，即可补全图2;（2）根据近两年平均每年增长385000人次，即可预估2018年中国国家博物馆的参观人数.详解：（1）补全统计图如（2）近两年平均每年增长385000人次，预估2018年中国国家博物馆的参观人数为8445000人次．（答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．）点睛：本题考查了统计表、折线统计图的应用，关键是正确从统计表中得到正确的信息，折线统计图表示的是事物的变化情况.26．原分式方程无解.【解析】【分析】根据解分式方程的方法可以解答本方程，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，验证.【详解】方程两边乘(x﹣1)(x+2)，得x(x+2)﹣(x﹣1)(x+2)＝3即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3整理，得x＝1检验：当x＝1时，(x﹣1)(x+2)＝0，∴原方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解放式方程的计算方法．27．（1）必然，不可能；（2）35；（3）此游戏不公平．【解析】【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；（2）直接利用概率公式求出答案；（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【详解】（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；故答案为必然，不可能；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：35；故答案为35；（3）如图所示：，由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82 205；则选择乙的概率为：35，故此游戏不公平．【点睛】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．。

江西省宜春市高安市2020年中考数学模拟试卷（含答案）

江西省宜春市高安市2020年中考数学模拟试卷（含答案）

2020年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选，均不给分）1.-3的倒数是（）A.--B.•—C.-3D.3332.如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2,则其俯视图是（）图1图2D.3.已知sina=¥3,且a是锐角，贝。

a=（）2A.75°B.60°C.45°D.30°4.学校开展为贫困地区捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：2,2,x,4,9.已知这组数据的平均数是4,则这组数据的中位数和众数分别是（）A.2和2B.4和2C.2和3D.3和25.如图，RtAABC中，ZACB=90°,OE过点C且平行于AB,若ZBCE=35°,则NA的度数为（）6.假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去.则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有（）A.4种B.6种C.8种D.10种二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）7.计算：（7^）°+2“=8.我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为千米.9.若关于尤的一元二次方程^2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是・10.一个圆锥的底面半径为3on,侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是chi'.11.线段AB、CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点.若线段A3上一点P的坐标为（s b）,则直线OF与线段CD的交点的坐标为.12,如图，在菱形A3CD中，ZB=60°,点E、F分别从点3、Q出发以同样的速度沿边昭、DC 向点C运动.给出以下四个结论：（1）AE=AF；@ZCEF=ZCFE；③当点E,F分别为边3C,QC的中点时，是等边三角形；④当点E,尸分别为边BC,OC的中点时，的面积最大.上述结论中正确的序号有.（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.解方程:x-1+2xx+1l~2x=014.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,每个小格点的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）使三角形的三边长分别为3,2^2-V5-（2）使三角形为边长都为无理数的钝角三角形且面积为4.图215.先化简（1李+0,再从不等式2x-1<6的正整数解中选一个适当的数代入求值.x-1xz-l16.如图，与中，AD与相交于。

江西省宜春市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A→B→C→D 路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列几何体中三视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．一、单选题如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．1255．下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．x ﹣1=0B ．x 2+3x ﹣5=0C ．x 3+x=3D ．ax 2+bx+c=06．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=1．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ） A ．1，2 B ．1，3 C ．4，2D ．4，37．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 3，图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．32π C ．2π D ．3π8．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ） A ．a ＞0B ．a=0C ．c ＞0D ．c=09．如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，AD ∥BC ，以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧与BC 交于点E ，四边形AECD 是平行四边形，AB=3，则»AE 的弧长为（ ）A ．2πB ．πC ．32π D ．310．如图，将函数y ＝12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A ．y ＝12（x ﹣2）2-2 B ．y ＝12（x ﹣2）2+7 C ．y ＝12（x ﹣2）2-5 D ．y ＝12（x ﹣2）2+4 11．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF ，观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=12．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )A．30°B．36°C．54°D．72°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：S四边形DECA的值为_____．14．分解因式：2x+xy=_______．15．如图，点A的坐标为（3，7），点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为_____．16．如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝_____°．17．一个n边形的内角和为1080°，则n=________.18．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y=mx的图象在第一象限内交于点C（1，n）．求一次函数y=kx+2与反比例函数y=mx的表达式；过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=mx交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标．20．（6分）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．分别求出一次函数与反比例函数的表达式；过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．21．（6分）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n＞1）．（1）求点B的坐标；（2）平移后的抛物线可以表示为（用含n的式子表示）；（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．①请写出a与n的函数关系式．②如图2，连接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．22．（8分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．23．（8分）在围棋盒中有x 颗黑色棋子和y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是38；如果往盒中再放进10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为12．求x 和y 的值．24．（10分）如图，已知点E,F分别是□ABCD的边BC,AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．25．（10分）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．类别频数（人数）频率小说0.5戏剧 4散文10 0.25其他 6合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：八年级一班有多少名学生？请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．26．（12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）直接写出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形111A B C ∆各顶点坐标：1A ________1B ________1C ________；（2）将ABC ∆绕B 点逆时针旋转90︒，画出旋转后图形22A BC ∆.求ABC ∆在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C 经过的路径长．27．（12分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A 地时距地面的高度b 为 米．若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式．登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B【解析】【分析】设菱形的高为h ，即是一个定值，再分点P 在AB 上，在BC 上和在CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】分三种情况：①当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y=AP•h，∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=AD•h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=PD•h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确，故选B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．2．A【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选A．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别4．B【解析】【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．5．B【解析】【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】A. 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；D. a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.6．A【解析】试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．7．D【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．【详解】∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴图中阴影部分的面积= 21203360π⨯=3π．故选D ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键． 8．D 【解析】试题分析：根据题意得a≠1且△=2440ac -≥，解得4ac ≤且a≠1．观察四个答案，只有c ＝1一定满足条件，故选D ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 9．B 【解析】∵四边形AECD 是平行四边形， ∴AE=CD ， ∵AB=BE=CD=3， ∴AB=BE=AE ，∴△ABE 是等边三角形， ∴∠B=60°，∴AE u u u r 的弧长=6023360ππ⨯⨯=. 故选B. 10．D 【解析】 【详解】 ∵函数()21212y x =-+的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m=()211212-+=32，n=()214212-+=3， ∴A （1，32），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B′B 的延长线于点C ，则C （4，32）， ∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是()21242y x =-+． 故选D ．11．B【解析】分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判断.详解: ∵EF ∥AB, ∴△CEF ∽△CAB, ∴EF CF CE AB CB CA==,故选B. 点睛：本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.12．B【解析】【分析】在等腰三角形△ABE 中，求出∠A 的度数即可解决问题．【详解】解：在正五边形ABCDE 中，∠A=15×（5-2）×180=108°又知△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE ，∴∠ABE=12（180°-108°）=36°． 故选B ．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1：1【解析】【分析】根据题意得到BE ：EC=1：3，证明△BED ∽△BCA ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】∵S △BDE ：S △CDE =1：3，∴BE ：EC=1：3，∵DE ∥AC ，∴△BED ∽△BCA ，∴S △BDE ：S △BCA =（BE BC）2=1：16， ∴S △BDE ：S 四边形DECA =1：1，故答案为1：1．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14．()x x+y ．【解析】【分析】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】直接提取公因式x 即可：2x xy x(x y)+=+．15．（212 【解析】【分析】作AC ⊥OB 、O′D ⊥A′B ，由点A 、B 坐标得出OC=3、、BC=OC=3，从而知tan ∠ABC=AC BC =3，由旋转性质知BO′=BO=6，tan ∠A′BO′=tan ∠ABO='O D BD =3,设x 、BD=3x ，由勾股定理求得x 的值，即可知BD 、O′D 的长即可.【详解】如图,过点A作AC⊥OB于C,过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(3, 7)，∴7，∵OB=6，∴BC=OC=3，则tan∠ABC=ACBC7由旋转可知,BO′=BO=6,∠A′BO′=∠ABO，∴'O DBD=ACBC=73，设7，BD=3x，由O′D2+BD2=O′B2可得7x)2+(3x)2=62，解得：x=32或x=−32(舍)，则BD=3x=927x=327，∴OD=OB+BD=6+92=212，∴点O′的坐标为（212，372.【点睛】本题考查的是图形的旋转，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题的关键. 16．46【解析】试卷分析：根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=34°，∵∠BAC=100°，∴∠2=180°−34°−100°=46°，故答案为46°. 17．1【解析】【分析】直接根据内角和公式()2180n -⋅︒计算即可求解.【详解】（n ﹣2）•110°=1010°，解得n=1．故答案为1．【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：()2180n -⋅︒.18．【解析】【分析】根据概率的公式进行计算即可.【详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是. 故答案为：.【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．()1一次函数解析式为22y x =+；反比例函数解析式为4y x=；()()22,0D ． 【解析】【分析】(1)根据A （-1,0）代入y=kx+2，即可得到k 的值；（2）把C （1，n ）代入y=2x+2，可得C （1,4），代入反比例函数m y x=得到m 的值； （3）先根据D （a,0），PD ∥y 轴，即可得出P （a,2a+2）,Q(a ，4a),再根据PQ=2QD ，即可得44222a a a +-=⨯，进而求得D 点的坐标.【详解】（1）把A （﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，∴一次函数解析式为y=2x+2；把C （1，n ）代入y=2x+2得n=4，∴C （1，4）， 把C （1，4）代入y=m x得m=1×4=4， ∴反比例函数解析式为y=4x ； （2）∵PD ∥y 轴，而D （a ，0），∴P （a ，2a+2），Q （a ，4a ）， ∵PQ=2QD ，∴2a+2﹣4a =2×4a， 整理得a 2+a ﹣6=0，解得a 1=2，a 2=﹣3（舍去），∴D （2，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.20．（1）反比例函数解析式为y=8x ，一次函数解析式为y=x+2；（2）△ACB 的面积为1． 【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入y=m x 可得反比例函数解析式，据此求得点B 坐标，根据A 、B 两点坐标可得直线解析式；（2）根据点B 坐标可得底边BC=2，由A 、B 两点的横坐标可得BC 边上的高，据此可得．【详解】解：（1）将点A （2，4）代入y=m x，得：m=8，则反比例函数解析式为y=8x ， 当x=﹣4时，y=﹣2，则点B （﹣4，﹣2），将点A （2，4）、B （﹣4，﹣2）代入y=kx+b ，得：2442k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：12k b =⎧⎨=⎩，则一次函数解析式为y=x+2； （2）由题意知BC=2，则△ACB 的面积=12×2×1=1． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键．21．（1）B （1，1）；（2）y=（x ﹣n ）2+2﹣n ．（3）a=2n ；+1. 【解析】【分析】1) 首先求得点A 的坐标, 再求得点B 的坐标, 用h 表示出点D 的坐标后代入直线的解析式即可验证答案。

2020年中考第二次模拟测试《数学卷》带答案解析

2020年中考第二次模拟测试《数学卷》带答案解析

中考数学综合模拟测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1.4的平方根是（ ）A. 2B. -2C. 2和-2D. 162.图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein ）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（ ）A. B. C. D. 3.已知点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A. a ＜﹣3B. ﹣3＜a ＜1C. a ＞﹣3D. a ＞14.一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 305.抛物线y=(x-3)²-1可以由抛物线y=x²+1平移得到，则下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位6.如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE 的三个外角，边CD ，AE 的延长线交于点F ，如果∠1+∠2+∠3=225°，则∠DFE 的度数是（ ）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65° 7.一次函数y ax b =+和反比例函数ab y x =在同一坐标系中的大致图象是（ ） A.B. C .D.8.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长于点D ，若∠ABC=65°，则∠D 的度数是（ ）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°9.如图所示是边长分别为60cm 和80cm 的两种正方形地砖，这两种地砖每平方厘米的造价相同，若边长为60cm的地砖的造价为90元，则边长为80cm 的正方形地砖的造价为（ ）A. 120元B. 160元C. 180元D. 270元10.如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A 方向运动到点A 处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（）A. 24B. 40C. 56D. 60二、填空题（每小题3分，共15分）11.若二次根式x2有意义，则x的取值范围是___．12.如图，在过直线AB外一点P作直线AB的平行线时，可以按如下步骤进行：①在直线AB上任取两点C，D；②分别以点P，D为圆心，CD与PC为半径画弧，两弧交于点E；③作直线PE，则PE∥AB．在上面作图过程中，PE∥AB的依据是________．13.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长y尺，可列方程组为__________________．14.如图所示是一个圆形飞镖靶的示意图，其中A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，如果向该飞镖靶上任意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是_______．15.在太原迎泽西大街上有一种智能垃圾桶，这种智能垃圾桶不仅可以供行人休息，灯箱边的中部还有USB 接口可供行人充电．此种垃圾桶的侧面示意图如图所示，其中AC∥ED，AB∥EF∥GH，CD=20cm，DE=60cm，EF=100m，GH=80cm，∠CDE=∠EFG=90°，∠DEF=130°，则此种垃圾桶的高度（C到地面的距离）约为________cm．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（1）分解因式：()()413x x x -++．（2）计算：22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭17.已知关于x 的一元二次方程x²-3x+m-2=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）当m 为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．18.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，直线EF 经过点O ，并且与AB 交于点E ，与DC 交于点F ，∠DFE=∠BFE ．（1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）若AD=4，AB=8，则线段EF 的长是_______．(直接写出答案即可)19.某公司招聘一名职员，先对应聘者进行笔试考核，笔试进入前两名的选手再进入面试方面的考核，最终在参加面试的两人中录取一人．该公司将应聘者的笔试成绩划分了4个等级：设应聘者的成绩为x （单位：分），当60≤x ＜70时为不合格；当70≤x ＜80时为合格；当80≤x ＜90时为良好；当90≤x≤100时为优秀．下面是参加笔试的10名应聘者的成绩：86 75 67 86 92 75 82 90 86 78（1）这10名应聘者的笔试成绩的中位数是_______，众数是_______；（2）请将下面表示上述4个等级的统计图补充完整；（3）该公司对进入笔试前两名的甲、乙二人进行了面试考核，面试中包括形体、口才、人际交往、创新能力，他们的成绩（百分制）如下表：候选人面试项目形体口才 人际交往 创新能力 甲86 90 95 90 乙95 8590 92如果公司根据经营性质和岗位要求，以面试成绩中形体占10%，口才占20%，人际交往40%，创新能力占30%确定成绩，那么你认为该公司应该录取谁？请通过计算说明理由．20.阅读下列材料，解决所提的问题：勾股定理a²+b²=c²本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a ，b ，c ）通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以得到下列勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；特点2：____________________________________．…学习任务：（1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：________________；（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，______，______）（3）请你证明（2）的结论．21.晋阳湖公园是华北最大的城市公园，是太原市未来的“城市客厅”，是工业文明与人文历史的交融．园内的晋阳湖是华北最大的人工湖，素称“中国北湖”．为满足晋阳湖景区水秀综合演艺的调试和表演用水需求，工程部按计划从4月1日开始向晋阳湖公园南扩湖供水，供水总量为120万立方米，经过计算，如果将原计划的每日供水量提高25%，则完成供水所需的时间将比原计划时间提前6天完成．（1）求原计划每日的供水量与供水的天数分别是多少？（2）工程部按原计划供水12天后，接到上级指挥部的命令，要求工程部务必与4月28日前完成供水任务．则在后一阶段的供水中，至少需将每日的供水量提高百分之多少，才能在指挥部要求的期限内完成供水任务？22.综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B 顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF．连接DF．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①AE=BD，AE⊥BD；②DF=AB，DF⊥AB．解决问题：（1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题．探索发现：（2）“实践小组”在图1的基础上，将△EDC 绕点C 顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），其它条件保持不变，得到图2．①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．②如图3，当AD=AF 时，请求出此时旋转角α的大小．23.综合与探究：如图，二次函数212y x bx c =-++经过点B （4，0）和点E （-2，-3）两点，与x 轴的另一个交点为A ．点D 是线段BE 上的动点，过点D 作DF ⊥BE ，交y 轴于点F ，交抛物线于点P ．（1）求出抛物线和直线BE 的解析式；（2）当△DCF ≌△BOC 时，求出此时点D 的坐标；（3）设点P 的横坐标为m ．①请写出线段PD 的长度为（用含m 的式子表示）；②当m为何值时，线段PD有最大值，并写出其最大值为多少？答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1.4的平方根是（）A. 2B. -2C. 2和-2D. 16【答案】C【解析】【分析】根据平方根的定义即可得答案．【详解】∵22=4，（-2）2=4，∴4的平方根是2和-2，故选：C．【点睛】本题考查平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；熟练掌握平方根点定义是解题关键．2.图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可．【详解】A、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；B 、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；C 、主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，1，不符合所给图形；D 、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．故选C ．【点睛】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形． 3.已知点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A. a ＜﹣3B. ﹣3＜a ＜1C. a ＞﹣3D. a ＞1【答案】A【解析】【分析】 根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【详解】解：∵点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，∴10260a a ->⎧⎨+<⎩解得a ＜﹣3．故选A ． 【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 4.一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ） A. 20B. 24C. 28D. 30 【答案】D【解析】 【详解】试题解析：根据题意得9n=30%，解得n=30， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D ．考点：利用频率估计概率．5.抛物线y=(x-3)²-1可以由抛物线y=x²+1平移得到，则下列平移方法正确的是（）A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案．【详解】把抛物线y=x²+1向右平移3个单位看到抛物线y=（x-3）2+1，把y=（x-3）2+1向下平移2个单位可得抛物线y=(x-3)²-1，∴抛物线y=x²+1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得抛物线y=(x-3)²-1，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟记“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．6.如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，则∠DFE的度数是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【答案】B【解析】【分析】根据多边形外角和定理可得∠FDE+∠FED=360°-（∠1+∠2+∠3）=135°，根据三角形内角定理即可得答案．【详解】∵∠1+∠2+∠3=225°，∠1、∠2、∠3、∠FDE、∠FED是五边形ABCDE的五个外角，∴∠FDE+∠FED=360°-（∠1+∠2+∠3）=135°，∴∠DFE=180°-（∠FDE+∠FED）=45°，故选：B．【点睛】本题考查多边形外角和定理及三角形内角和定理，多边形的外角和为360°；三角形的内角和等于180°．7.一次函数y ax b =+和反比例函数ab y x=在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的性质逐一判断即可得答案．【详解】A.由一次函数图象得：a ＞0，b ＞0，∴ab ＞0，∴反比例函数图象应在一、三象限，故该选项正确，符合题意，B.由一次函数图象得：a ＞0，b ＞0，∴ab ＞0，∴反比例函数图象应在一、三象限，故该选项错误，不符合题意，C.由一次函数图象得：a ＜0，b ＞0，∴ab ＜0，∴反比例函数图象应在二、四象限，故该选项错误，不符合题意，D.由一次函数图象得：a ＜0，b ＜0，∴ab ＞0，∴反比例函数图象应在一、三象限，故该选项错误，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，k ＞0时，图象经过一、三象限；k ＜0时，图象经过二、四象限；当b ＞0时，图象与y 轴交于正半轴，b ＜0时，图象与y 轴交于负半轴；对于反比例函数kyx（k≠0），k＞0时，图象经过一、三象限；k＜0时，图象经过二、四象限；熟练掌握相关性质是解题关键．8.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长于点D，若∠ABC=65°，则∠D的度数是（）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】【分析】如图，连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据AB是直角可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCD=∠CAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可求出∠CAB的度数，利用三角形外角性质即可求出∠D的度数．【详解】如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=65°，∴∠CAB=90°-∠ABC=25°，∵∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°，∴∠BCD=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠BCD=∠CAB=25°，∴∠D=∠ABC-∠BCD=40°，故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形外角性质，圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握相关定理和性质是解题关键．9.如图所示是边长分别为60cm和80cm的两种正方形地砖，这两种地砖每平方厘米的造价相同，若边长为60cm的地砖的造价为90元，则边长为80cm的正方形地砖的造价为（）A. 120元B. 160元C. 180元D. 270元【答案】B【解析】【分析】设边长为80cm的正方形地砖的造价为x，根据每平方厘米的造价相同列方程求出x的值即可得答案．【详解】设边长为80cm的正方形地砖的造价为x元，∵两种地砖每平方厘米的造价相同，∴9060608080x=⨯⨯，解得：x=160，故选：B．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．10.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（）A. 24B. 40C. 56D. 60【答案】A【解析】【分析】由点P的运动路径可得△PAB面积的变化，根据图2得出AB、BC的长，进而求出矩形ABCD的面积即可得答案．【详解】∵点P在AB边运动时，△PAB的面积为0，在BC边运动时，△PAB的面积逐渐增大，∴由图2可知：AB=4，BC=10-4=6，∴矩形ABCD的面积为AB·BC=24，故选：A．【点睛】本题考查分段函数的图象，根据△PAB面积的变化，正确从图象中得出所需信息是解题关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若二次根式x2-有意义，则x的取值范围是___．≥【答案】x2【解析】【详解】试题分析：根据题意，使二次根式2x-有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．故答案是x≥2．【点睛】考点：二次根式有意义的条件．12.如图，在过直线AB外一点P作直线AB平行线时，可以按如下步骤进行：①在直线AB上任取两点C，D；②分别以点P，D为圆心，CD与PC为半径画弧，两弧交于点E；③作直线PE，则PE∥AB．在上面作图过程中，PE∥AB的依据是________．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行【解析】【分析】由作图步骤可知PE=CD，DE=PC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形PCDE是平行四边形，根据平行四边形两组对边分别平行即可得PE//AB．【详解】∵分别以点P，D为圆心，CD与PC为半径画弧，两弧交于点E；∴PE=CD，DE=PC，∴四边形是平行四边形，∵平行四边形的两组对边分别平行，∴PE//AB，故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．13.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长y尺，可列方程组为__________________．【答案】55 2x yxy=+⎧⎪⎨=-⎪⎩【解析】【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x y，的二元一次方程组，此题得解．【详解】设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意得：552x yxy=+⎧⎪⎨=-⎪⎩．故答案为55 2x yxy=+⎧⎪⎨=-⎪⎩．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．14.如图所示是一个圆形飞镖靶的示意图，其中A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，如果向该飞镖靶上任意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是_______．【答案】1 2【解析】【分析】如图，连接ED、BC、AF、OF、OD、OB，由A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点可得六边形ABCDEF 是正六边形，可得S△OFD=S△EFD，S△OBD=S△CBD，S△OFB=S△AFB，弓形阴影部分的面积和=弓形空白部分的面积和，可得图中阴影部分面积=空白部分面积，利用规律公式即可得答案．【详解】如图，连接ED、BC、AF、OF、OD、OB，∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，∴»»»»º»AB BC CD DE EF FA=====，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴六边形ABCDEF是正六边形，∴S△OFD=S△EFD，S△OBD=S△CBD，S△OFB=S△AFB，弓形阴影部分的面积和=弓形空白部分的面积和，∴图中阴影部分面积=空白部分面积，∴镖落在阴影区域的概率是：12，故答案为：1 2【点睛】本题考查正六边形的性质、概率计算及弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角，有一组量相等，其余两组量也相等；概率=所求情况数与总情况数的比．15.在太原迎泽西大街上有一种智能垃圾桶，这种智能垃圾桶不仅可以供行人休息，灯箱边的中部还有USB 接口可供行人充电．此种垃圾桶的侧面示意图如图所示，其中AC∥ED，AB∥EF∥GH，CD=20cm，DE=60cm，EF=100m，GH=80cm，∠CDE=∠EFG=90°，∠DEF=130°，则此种垃圾桶的高度（C到地面的距离）约为________cm．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】233.8【解析】【分析】如图，过点E作EN⊥EF，过点D作MN⊥EN于N，过点C作CM⊥MN于M，可得∠DEN=40°，根据角的和差关系可得∠CDM=∠DEN=40°，利用∠CDM和∠DEN的三角函数可求出MD和DN的长，根据垃圾桶的高度为MD+DN+EF+GH即可得答案．【详解】如图，过点E作EN⊥EF，过点D作MN⊥EN于N，过点C作CM⊥MN于M，∴∠END=90°，∠M=90°，∵∠DEF=130°，∴∠DEN=∠DEF-90°=40°，∵∠CDE=90°，∴∠DEN+∠EDN=90°，∠CDM+∠EDN=90°，∴∠CDM=∠DEN=40°，∵CD=20cm，DE=60cm，∴DM=CD·cos∠CDM≈20×0.77=15.4cm，DN=DE·sin∠DEN≈60×0.64=38.4cm，∴DM+DN+EF+GH=15.4+38.4+80+100=233.8cm，∴此种垃圾桶的高度约为233.8cm．故答案为：233.8【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义是解题关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（1）分解因式：()()413x x x -++．（2）计算：22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭【答案】（1）()()22x x +-；（2）1a b-． 【解析】【分析】（1）先利用多项式乘以多项式计算法则展开，合并，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先把括号内的式子通分，按照分式加减法法则计算，再根据分式除法法则计算即可．【详解】（1）原式=2343x x x --+=24x -=()()22x x +-． （2）原式=222a b a ab b a a ⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭=()2a b a a a b -⨯- =1a b-． 【点睛】本题考查因式分解及分式的混合运算，熟练掌握平方差公式及分式的运算法则是解题关键．17.已知关于x 的一元二次方程x²-3x+m-2=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【答案】（1）m≤174；（2）x1=1，x2=2【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系可得答案；（2）根据（1）中m的取值范围可得出m的值，即可得出此时的方程，解方程即可得答案．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x²-3x+m-2=0有实数根，∴△=（-3）²-4（m-2）=9-4m+8=17-4m≥0，∴m≤174．（2）∵m≤174，m为最大的整数，∴m=4，∴方程为x²-3x+2=0．(x-1)(x-2)=0解得：x1=1，x2=2．∴m为符合条件的最大整数时,方程得根为x1=1，x2=2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．18.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE=∠BFE．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AD=4，AB=8，则线段EF的长是_______．(直接写出答案即可)【答案】（1）证明见解析；（2）25【分析】（1）根据矩形的性质可得∠OAE=∠OCF ，利用ASA 可证明△AOE ≌△COF ，可得AE=CF ，即可证明BE=DF ，可证明四边形DEBF 是平行四边形，根据∠DFE=∠BFE 及矩形性质可得∠BFE=∠BEF ，即可得出BE=BF ，可得四边形DEBF 是菱形；（2）如图，连接BD ，由矩形的性质可得点O 为BD 中点，根据菱形的性质可得EF ⊥BD ，利用勾股定理可求出BD 的长，设BE=x ，则DE=x ，AE=8-x ，利用勾股定理可求出x 的长，再利用勾股定理即可求出OE 的长，进而可得EF 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ∥AB ，DC=AB ． ∴∠OAE=∠OCF ．∵OA=OC ，∠AOE=∠COF ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴AE=CF ， ∴BE=DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形， ∵∠DFE=∠BFE ，∠DFE=∠FEB ， ∴∠BFE=∠BEF ， ∴BE=BF ，∴四边形DEBF 是菱形． （2）如图，连接BD ， ∵AB=8，AD=4，∴∵点C 为矩形ABCD 对角线AC 的中点，∴点O 为BD 中点，即OB=12BD= ∵四边形DEBF 是菱形， ∴EF ⊥BD ，EF=2OE ， 设BE=x ， ∵AB=8，∴DE=BE=x ，AE=8-x ，∴x2=42+(8-x)2，解得：x=5，即BE=5，∴OE=22=5，BE OB∴EF=2OE=25．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直且平分；矩形的对角线互相平分；熟练掌握相关性质是解题关键．19.某公司招聘一名职员，先对应聘者进行笔试考核，笔试进入前两名的选手再进入面试方面的考核，最终在参加面试的两人中录取一人．该公司将应聘者的笔试成绩划分了4个等级：设应聘者的成绩为x（单位：分），当60≤x＜70时为不合格；当70≤x＜80时为合格；当80≤x＜90时为良好；当90≤x≤100时为优秀．下面是参加笔试的10名应聘者的成绩：86 75 67 86 92 75 82 90 86 78（1）这10名应聘者的笔试成绩的中位数是_______，众数是_______；（2）请将下面表示上述4个等级的统计图补充完整；（3）该公司对进入笔试前两名的甲、乙二人进行了面试考核，面试中包括形体、口才、人际交往、创新能力，他们的成绩（百分制）如下表：面试项目候选人形体口才人际交往创新能力甲 86 90 95 90 乙 95859092如果公司根据经营性质和岗位要求，以面试成绩中形体占10%，口才占20%，人际交往40%，创新能力占30%确定成绩，那么你认为该公司应该录取谁？请通过计算说明理由． 【答案】（1）84；86；（2）见解析；（3）录取甲，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）把这组数据从小到大排列，根据中位数和众数的定义即可得答案；（2）根据成绩得出个等级人数，进而求出合格和良好的百分比，据此补全统计图即可； （3）分别计算甲、乙两人的平均成绩，即可得答案．【详解】（1）把这组数据从小到大排列得：67 75 75 78 82 86 86 86 90 92， ∵中间两个数据为82和86， ∴这组数据的中位数是82862=84， ∵这组数据86出现的次数最多， ∴这组数据的众数是86， 故答案为：84；86（2）∵合格的有：75、75、78，共3人，良好的有：82、86、86、86，共4人， ∴合格的百分比为310×100%=30%，良好的百分比为410×100%=40%， ∴补全统计图如下：（3）甲的平均成绩为：86×10%+90×20%+95×40%+90×30%=91.6． 乙的平均成绩为：95×10%+85×20%+90×40%+92×30%=90.1． ∵91.6＞90.1，∴应该录取甲．【点睛】本题考查了中位数、众数及加权平均数的计算，熟练掌握相关定义是解题关键．20.阅读下列材料，解决所提的问题：勾股定理a²+b²=c²本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以得到下列勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；特点2：____________________________________．…学习任务：（1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：________________；（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，______，______）（3）请你证明（2）的结论．【答案】（1）最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和；（2）212n-，212n+；（3）见解析．【解析】【分析】（1）由3×4=3+4+5，5×6=5+12+13，7×8=7+24+25，……可得最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和，即可得答案；（2）由23142-=，23152+=；251122-=，2512+=13；271242-=，271252+=……可得勾数为大于1的奇数时，股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，即可得答案；（3）根据整式的运算得出n 2+(212n -)2=(212n +)2即可． 【详解】（1）3×4=3+4+5， 5×6=5+12+13， 7×8=7+24+25， ……∴最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和．故答案为：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和 （2）23142-=，23152+=， 251122-=，2512+=13， 271242-=，271252+=， ……∴股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，∴勾数为大于1的奇数时，股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，∴n 为比1大的奇数时，上述勾股数组可以表示为（n ，212n -，212n +）故答案为：212n -，212n +（3）∵22422212124n n n n n ⎛⎫--++=+⎪⎝⎭=2424214n n n +-+。

江西省宜春市2020年中考数学模拟试卷(II)卷

江西省宜春市2020年中考数学模拟试卷(II)卷

江西省宜春市2020年中考数学模拟试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共14题；共28分)1. （2分）绝对值小于6的所有整数的和与积分别是（）A . 0，0B . 0，30C . ﹣20，120D . ﹣20，﹣1202. （2分）如果，则下列式子不成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·绵阳) “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（）A . 68πcm2B . 74πcm2C . 84πcm2D . 100πcm24. （2分）某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与方差S2如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁5. （2分） (2015八上·南山期末) 下列计算正确的是（）A . x7÷x4=x11B . （a3）2=a5C . 2 +3 =5D . ÷ =6. （2分） (2016七上·宜昌期中) 枝江市2015年公共财政收入约为31.68亿元，对这个近似数而言，下列说法正确的是（）A . 精确到亿位B . 精确到百分位C . 精确到百万位D . 精确到千万位7. （2分）分式方程的解为（）A . x=﹣3B . x=﹣1C . x=1D . x=38. （2分） 9的平方根是（）A . 3B . 3C . -3D . 819. （2分） (2016八上·滨湖期末) 如图，直线y＝x―4与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为双曲线y＝上一点，OC∥AB，连接BC交双曲线于点D，点D恰好是BC的中点，则k的值是（）A .B . 2C . 4D .10. （2分）下列运动形式中，不是平移变换的是（）A . 推开一扇门B . 火车在笔直的轨道上运动C . 电梯的升降D . 抽屉的拉开11. （2分）某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（）A . 0B .C .D . 112. （2分） (2016九上·北京期中) 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A . 12B .C .D .13. （2分）如图，直线a∥b，直线l分别与a、b相交于A、B两点，AC⊥a于点A，交直线b于点C．已知∠1=42°，则∠2的度数是（）A . 38°B . 42°C . 48°D . 58°14. （2分）如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）A . △ADC′B . △BDC′C . △ADCD . 不存在二、填空题： (共4题；共4分)15. （1分）分解因式：3x2﹣12=________．16. （1分）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有________名．17. （1分） (2018九上·滨州期中) “如果二次函数的图象与轴有两个公共点,那么一元二次方程有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若、（＜）是关于的方程的两根且＜则请用“＜”来表示、、、的大小是________.18. （1分）(2018·长春) 如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为________．三、计算题： (共2题；共25分)19. （20分） (2019七上·鞍山期中) 计算：（1） 13＋(－15)－(－23)；（2） (－3)×6÷(－2)× ；（3）－14－×[2－(－2)3]．（4） .20. （5分） (2017七下·新野期末) 解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．四、解答题： (共5题；共58分)21. （13分）把正整数1，2，3，4，…，2017排列成如图所示的一个数表.（1）用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x，另三个数用含x的式子表示出来，从大到小依次是________，________，________；（2）当被框住的4个数之和等于416时，x的值是多少？（3）被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理由.22. （10分）(2017·姜堰模拟) 小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛．（1）用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．23. （10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1） E与F是AC上两点且不与O点重合，AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；（2）若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？说明理由．24. （15分）(2017·恩施) 如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．（1）求证：BC平分∠ABP；（2）求证：PC2=PB•PE；（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径．25. （10分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．参考答案一、选择题： (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题： (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、计算题： (共2题；共25分)19-1、19-2、19-3、19-4、20-1、四、解答题： (共5题；共58分)21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、。

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2020年江西省宜春市高安市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）1．如果a＜3，那么化简|a﹣3|为（）A．3﹣a B．a﹣3 C．﹣a D．a2．2020年，我市共接待参观旅游游客518 000人，这个数可用科学记数法表示为（）A．0.518×104B．5.18×105 C．51.8×106 D．518×1033．下面几何体的主视图是（）A． B． C． D．4．不等式组：的解集是（）A．x＞B．x＜C．x≤1 D．＜x≤15．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）6．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中、已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；（4）丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（）A．三中 B．二中 C．一中 D．不确定二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标为（﹣2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是______．8．已知：（a﹣b）2=4，ab=，则（a+b）2=______．9．若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=﹣上的两点，且x1＞0＞x2，则y1______y2．（填“＞”、“=”、“＜”）．10．函数y=中自变量x的取值范围是______．11．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．12．有一个运算程序，可以使a⊕b=n（n为常数）时，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n ﹣2．现在已知1⊕1=2，那么2020⊕2020=______．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．求值：，其中．（结果精确到0.01）．14．已知a2+2a+1=0，求2a2+4a﹣3的值．15．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，求2a2+4b﹣3的值．16．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．17．“斗地主”是常见的一种游戏，一副扑克牌除大、小王外共有四种花色，每种花色从小到大共有牌面为3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A、2的牌各一张（如图），现甲、乙、丙玩“斗地主”游戏，（1）如果“地主”甲手中有四张K，没有A，请你用列举法或树形图分析计算问乙或丙手中有四张A的概率是多少？（2）如果“地主”甲手中有三张K，有一张A，问乙或丙手中有三张A的概率是多少？18．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位．（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：第1排的座位数第2排的座位数第3排的座位数第4排的座位数…a a+b a+2b …（2）已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．已知一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为P（x0，2）．（1）求x0及m的值；（2）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．20．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是______；（2）本次调查数据的中位数落在______组内；（3）若该辖区约有24 000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？22．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1______S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画______个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？五、（本大题共10分）23．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为s的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在三角形ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是三角形ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形ABC的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB边上的黄金分割点）作直线DF，且DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是三角形ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF平行AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．六、（本大题共12分）24．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D （0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个？请说明理由．2020年江西省宜春市高安市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）1．如果a＜3，那么化简|a﹣3|为（）A．3﹣a B．a﹣3 C．﹣a D．a【考点】绝对值．【分析】先由a＜3，得出a﹣3＜0，再根据绝对值的定义解答即可．【解答】解：∵a＜3，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|=3﹣a．故选A．2．2020年，我市共接待参观旅游游客518 000人，这个数可用科学记数法表示为（）A．0.518×104B．5.18×105 C．51.8×106 D．518×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．【解答】解：518 000用科学记数法表示为5.18×105．故选：B．3．下面几何体的主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图就是从物体的正面进行观察，得出主视图有3列，小正方形数目分别为2，1，1．【解答】解：如图所示：．故选：C．4．不等式组：的解集是（）A．x＞B．x＜C．x≤1 D．＜x≤1【考点】解一元一次不等式组．【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．【解答】解：解不等式得，∴解集为＜x≤1．故选D．5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）【考点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2=OM•ON求OQ可得横坐标．【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，∴OM=2，NO=8，∴NM=6，∵PD⊥NM，∴DM=3∴OD=5，∴OQ2=OM•ON=2×8=16，OQ=4．∴PD=4，PQ=OD=3+2=5．即点P的坐标是（4，5）．故选D．6．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中、已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；（4）丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（）A．三中 B．二中 C．一中 D．不确定【考点】推理与论证．【分析】根据（2）、（3）、（4）得到乙、丁、戊现在都在一中学习；则（1）知甲和丙在二中或三中，又根据（2）可知甲现在一定在三中学习．【解答】解：由（2）知：甲、乙、戊不是二中的学生；由（3）知：乙、丁在同一所学校学习，且他们都不是三中的学生；由（4）知：乙、丁、戊都在同一所学校；结合条件（1）可知：乙、丁、戊都是一中的学生，甲是三中的学生，丙是二中的学生．故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标为（﹣2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是（4，4）．【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由点A平移到A′的规律可知，此题规律是（x+4，y+1），照此规律计算可知点B′的坐标是（4，4）．【解答】解：由点A平移到A′的规律可知，此题规律是（x+4，y+1），照此规律计算可知点B′的坐标是（4，4）．故答案填：（4，4）．8．已知：（a﹣b）2=4，ab=，则（a+b）2=6．【考点】完全平方公式．【分析】先用完全平方公式把（a﹣b）2展开，求得a2+b2的值，再展开（a+b）2代入数据计算即可求出结果．【解答】解：∵（a﹣b）2=4，ab=，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，=a2+b2﹣1=4，∴a2+b2=5，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=5+1=6．9．若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=﹣上的两点，且x1＞0＞x2，则y1＜y2．（填“＞”、“=”、“＜”）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞0＞x2，判断出两点所在的象限，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，∴此函数图象的两个分支在二、四象限，∵x1＞0＞x2，∴A（x1，y1）在第四象限，点B（x2，y2）在第二象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜y2；故答案为＜．10．函数y=中自变量x的取值范围是x≥．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．11．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为3cm．【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．【分析】由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．12．有一个运算程序，可以使a⊕b=n（n为常数）时，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n ﹣2．现在已知1⊕1=2，那么2020⊕2020=﹣2020．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】利用归纳法解答，根据题目给出的例子，求得2⊕1=2+1=3，2⊕2=3﹣2=1，3⊕2=1+1=2，3⊕3=2﹣2=0，同样的我们可以求得4⊕4=﹣1，5⊕5=﹣2…，2020⊕2020=﹣2020．规律为：前项增一，结果加一，后项增一，结果减二．【解答】解：规律为前一项增一，结果加一，后一项增一，结果减二，则1⊕1=2，2020⊕2020为2加上2020个1减去2020个2，即2+2020×1﹣2020×2=﹣2020．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．求值：，其中．（结果精确到0.01）．【考点】分式的混合运算；二次根式的化简求值．【分析】先用分式的运算法则对代数式进行化简，然后将x的值代入求出代数式的值．【解答】解：（﹣）÷=•=•=x﹣2当x=+1时，原式=+1﹣2=﹣1≈1.65故原式的值为1.65．14．已知a2+2a+1=0，求2a2+4a﹣3的值．【考点】代数式求值．【分析】所求式子变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a2+2a+1=0，∴2a2+4a﹣3=2（a2+2a+1）﹣5=0﹣5=﹣5．15．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，求2a2+4b﹣3的值．【考点】非负数的性质：偶次方．【分析】本题可先将5拆成4+1，然后配出两个平方的式子相加，再根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”求出a、b的值，最后把a、b代入2a2+4b ﹣3中即可．【解答】解：∵a2+b2+2a﹣4b+5=0，∴a2+2a+1+b2﹣4b+4=0，即（a+1）2+（b﹣2）2=0，∴（a+1）2=0，（b﹣2）2=0，即a+1=0，b﹣2=0，∴a=﹣1，b=2．∴2a2+4b﹣3=2+8﹣3=7．16．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．【考点】作图—复杂作图．【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C 两点，则点B，C即为所求．或在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C即为所求；（2）在直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点P．则点P即为所求．【解答】解：（1）画法一：以点A为圆心，大于点A到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C两点，则点B，C即为所求．画法二：在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C 即为所求．（2）画法：在直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P．则点P即为所求．17．“斗地主”是常见的一种游戏，一副扑克牌除大、小王外共有四种花色，每种花色从小到大共有牌面为3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A、2的牌各一张（如图），现甲、乙、丙玩“斗地主”游戏，（1）如果“地主”甲手中有四张K，没有A，请你用列举法或树形图分析计算问乙或丙手中有四张A的概率是多少？（2）如果“地主”甲手中有三张K，有一张A，问乙或丙手中有三张A的概率是多少？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）用列举法画出图形，即可统计出乙或丙手中有四张A的概率是多少．（2）用列举法画出图形，即可统计出乙或丙手中有三张A的概率是多少．【解答】解：（1）如图所示，一共有5种情形，乙或丙手中有四张A有两次，所以乙或丙手中有四张A的概率是．（2）如图所示，一共有4种情形，2次出现3A，所以乙或丙手中有三张A的概率是．18．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位．（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：第1排的座位数第2排的座位数第3排的座位数第4排的座位数…a a+b a+2b …（2）已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？【考点】二元一次方程组的应用；规律型：图形的变化类．【分析】（1）由题意可得出，第n排的座位数为a+（n﹣1）b（n≥1）；（2）中等量关系应为：第5排的座位数×2=第15排的座位数，再根据关键语“第4排有18个座位“，列出方程组，求解．【解答】解：（1）a+3b；（2）设依题意得解得，∴第21排应有座位数a+（21﹣1）b=12+20×2=52．答：第21排有52个座位．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．已知一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为P（x0，2）．（1）求x0及m的值；（2）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先通过反比例函数求出x0的值，再把求得的P的值代入一次函数y=x+m中可求出m的值．其他可通过两个函数的解析式求出来．【解答】解：（1）∵点P（x0，2）在反比例函数y=的图象上，∴2=，解得x0=1．∴点P的坐标为（1，2）．又∵点P在一次函数y=x+m的图象上，∴2=1+m，解得m=1，∴x0和m的值都为1．（无最后一步结论，不扣分）（2）由（1）知，一次函数的解析式为y=x+1，取y=0，得x=﹣1；取x=0，得y=1．∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．20．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．（2）①可先设出AC，BD的长，然后表示出OC，OD的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC，BD的长．②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO的度数，来求出∠B′A′O的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．【解答】解：（1）BO=AB•cos60°=4×=2（m）AO=AB•sin60°=4×=2（m）答：BO=2m；AO=2m．（2）①设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2﹣2x，OD=2+3x，CD=4m．根据勾股定理有OC2+OD2=CD2．∴（2﹣2x）2+（2+3x）2=42．∴13x2+（12﹣8）x=0．∵x≠0，∴13x+12﹣8=0，∴x=m．∴AC=2x=m．答：梯子顶端A沿NO下滑了m．②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点．∴PA=PO，P′A′=P′O．∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠A′OP′﹣∠AOP．∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠POP′=15°．又∵∠PAO=30°．∴∠P′A′O=45°．∴A′O=A′B′•cos45°=4×=2（m）．∴AA′=AO﹣A′O=（2﹣2）m．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是120；（2）本次调查数据的中位数落在C组内；（3）若该辖区约有24 000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数．【分析】（1）根据直方图可得总人数以及各小组的已知人数，进而根据其间的关系可计算C 组的人数；（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；（3）首先计算样本中达国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达国家规定体育活动时间的人数．【解答】解：（1）根据题意有，C组的人数为300﹣20﹣100﹣60=120；（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故调查数据的中位数落在C组；（3）达国家规定体育活动时间的人数约占×100%=60%．所以，达国家规定体育活动时间的人约有24000×60%=14400（人）；故答案为：（1）120，（2）C，（3）达国家规定体育活动时间的人约有14400人．22．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【考点】矩形的性质．【分析】（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0∴L1﹣L2＞0，∴L1＞L2，同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．五、（本大题共10分）23．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为s的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在三角形ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是三角形ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形ABC 的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D （D 为AB 边上的黄金分割点）作直线DF ，且DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是三角形ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF 平行AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．【考点】相似形综合题．【分析】（1）设△ABC 边AB 上的高为h ，由三角形的面积得出=， =，由点D 为AB 上的黄金分割点，得出=，得出=，即可得出结果；（2）由三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，则≠，即可得出结果； （3）由DF ∥CE 和三角形的面积关系得出S △DEC =S △FCE ，由S △DGC =S △FGC ，推出S △ADC =S 四边形AFGD +S △FGC =S 四边形AFGD +S △DGE =S △AEF ，S 四边形BEFC =S △BDC ，再由=，得出=，即可得出结果；（4）画法一：取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB 、DC 于M 、N 点，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线；画法二：在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥NE 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．【解答】（1）解：直线CD 是△ABC 的黄金分割线，正确，理由如下：设△ABC 边AB 上的高为h ，∵S △ADC =AD •h ，S △BDC =BD •h ，S △ABC =AB •h ，∴=， =，∵点D 为AB 上的黄金分割点， =，∴=，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线；（2）证明：∵三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，∴S 1=S 2=S ，即≠，∴三角形的中位线不可能是该三角形的黄金分割线；（3）证明：∵DF ∥CE ，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高也相等，∴S △DEC =S △FCE ，设直线EF 与直线CD 交于点G ，如图1所示：∵S △DGC =S △FGC ，∴S △ADC =S 四边形AFGD +S △FGC =S 四边形AFGD +S △DGE =S △AEF ，S 四边形BEFC =S △BDC ，∵=，∴=，∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线；（4）解：画法一：取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB 、DC 于M 、N 点， 则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线；如图2所示：画法二：在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥NE 交AB 于点M ，作直线MN ， 则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线，如图3所示．六、（本大题共12分）24．如图①，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A 的坐标为（10，0），顶点B 的坐标为，AB=10，点P 从点A 出发，沿A →B →C 的方向匀速运动，同时点Q 从点D （0，2）出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求∠BAO 的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，△OPQ 的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）如果点P ，Q 保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P 有几个？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）已知了AB 的长和B 点的坐标，那么sin ∠BAO==，因此∠BAO=60°（2）由函数的图形可知：当t=5时，三角形OPQ 的面积是30，如果设点P 的速度为a ，那么AP=5a ，那么P 到AC 的距离就是a ，也就是P 到OQ 的距离为10﹣a ．OQ=QD +OD=5a +2．因此（5a +2）×（10﹣）×=30，解得a=1.6，a=2．由于抛物线的解析式为S=（at +2）（10﹣）×，经化简后可得出对称轴应该是t=，当a=1.6时，对称轴t=5.625显然大于5，与给出的抛物线的图形不相符，因此a=2是本题的唯一的解．也就是说P 的速度是2单位/秒． （3）根据（2）的求解过程即可得出S 的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t 的取值，然后根据P ，Q 的速度和t 的取值，可求出P 点的坐标．（4）本题其实主要是看P 在B 点和C 点时∠OPQ 的度数范围，当∠OBQ 的度数大于90°，∠OCQ 的度数小于90°时，那么在AB ，BC 上分别有一个符合要求的点P ，如果∠OBQ 的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点．【解答】解：（1）∵顶点B的坐标为，AB=10，∴sin∠BAO==，∴∠BAO=60度．（2）点P的运动速度为2个单位/秒．（3）过P作PM⊥x轴，∵点P的运动速度为2个单位/秒．∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t，又∵∠APM=30°，∴AM=t，又OA=10，∴OM=（10﹣t），即为三角形OPQ中OQ边上的高，而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，∴P（10﹣t，t）（0≤t≤5），∵S=OQ•OM=（2t+2）（10﹣t），=﹣（t﹣）2+．∴当t=时，S有最大值为，此时P（，）．（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，由△OPH∽△OPM得：OM==11.5，所以OQ＞OM，从而∠OPQ＞90度．所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90°的点P有1个．②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+=17.8，而构成直角时交y轴于（0，），=20.2＞17.8，所以∠OCQ＜90°，从而∠OPQ=90°的点P也有1个．所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．。

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