2-1 满秩、LU、QR分解
完整版QR分解及其应用
《矩阵分析与应用》专题报告QR分解及应用——学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩日月年20151125目录1 引言 (3)2 QR分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR分解 (6)2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)QR分解的参数估计问题 ................................ 93．1 基于Householder变换的快速时变参数估计 .................... 3. 2基于12Givens旋转的时变参数估计 ............................. 3. 3基于144 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)MIMO QR置信传播检测器........................ 14.2基于分解的9总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。
矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。
而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。
QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。
它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。
参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。
它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。
18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。
20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。
矩阵分解：QR分解
Case2:矩阵不可逆.
我们仍然取其列向量分块：
那么⽤同样的⽅法对其做正交化，我们回顾⼀下其公式：
但是由于矩阵不可逆，那么就会出现的情况，因此我们必须对上述公式做出修改：
我们⽤数学归纳法来定义上述向量. 假设已经定义好, 现来定义. 令
若, 则令若, 则令. 容易验证是⼀组两两正交的向量, 或者是零向量或者是单位向量, 并且满⾜:
因此：
其中是⼀个上三⾓阵且主对⾓线上的元素依次为, 均⼤于等于零,并且由 *式知, 如果, 则的第⾏元素全为零.
但是我们的⼯作没有做完，因为此时并不是⼀个正交矩阵.他某⼏个向量
利⽤,即可得到,所以.因此唯⼀性得证.
练习：设是实数域上的列满秩矩阵,它可分解成, 其中是列向量组为正交单位向量组的矩阵, 为主对⾓元都为正数的上三⾓矩阵。
证明对于任意是线性⽅程组的唯⼀解。
⾸先我们先证明这是⼀个解，然后再证明唯⼀性.
将带⼊即得：
⼜因为：
注意到：这⾥不能直接由得到其为I,因为它只是⼀个矩阵⽽⾮⽅阵，不能直接利⽤正交矩阵的性质.
唯⼀性：由于,所以满秩，因此有解那么解是唯⼀的.
参考：姚慕⽣，谢启鸿《⾼等代数学》
丘维⽣《⾼等代数》。
Eigen解线性方程组
Eigen解线性⽅程组⼀. 矩阵分解：矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三⾓分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。
1. LU三⾓分解：三⾓分解法是将原正⽅ (square) 矩阵分解成⼀个上三⾓形矩阵 或是排列(permuted) 的上三⾓形矩阵和⼀个下三⾓形矩阵，这样的分解法⼜称为LU分解法。
它的⽤途主要在简化⼀个⼤矩阵的⾏列式值的计算过程，求反矩阵，和求解联⽴⽅程组。
不过要注意这种分解法所得到的上下三⾓形矩阵并⾮唯⼀，还可找到数个不同的⼀对上下三⾓形矩阵，此两三⾓形矩阵相乘也会得到原矩阵。
MATLAB以lu函数来执⾏lu分解法，其语法为[L,U]=lu(A)。
2. QR分解：QR分解法是将矩阵分解成⼀个正规正交矩阵与上三⾓形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通⽤符号Q有关。
MATLAB以qr函数来执⾏QR分解法，其语法为[Q,R]=qr(A)。
3. 奇异值分解：奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另⼀种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它⽐QR 分解法要花上近⼗倍的计算时间。
[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，⽽S代表⼀对⾓矩阵。
和QR分解法相同，原矩阵A不必为正⽅矩阵。
使⽤SVD分解法的⽤途是解最⼩平⽅误差法和数据压缩。
MATLAB以svd函数来执⾏svd分解法，其语法为[S,V,D]=svd(A)。
4. LLT分解：A=LL^TCholesky 分解是把⼀个对称正定的矩阵表⽰成⼀个下三⾓矩阵L和其转置的乘积的分解。
利用满秩分解的结果计算
利用满秩分解的结果计算利用满秩分解的结果计算是数学中的一种重要方法，它可以在许多领域中被广泛应用，包括计算机科学、机器学习、物理学等领域。
在本文中，我们将分步骤阐述如何利用满秩分解的结果进行计算。
第一步，我们需要了解什么是满秩分解。
满秩分解（LU分解）是一种矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的积。
L和U的主对角线上的元素均为1。
这样的分解可以在计算过程中大大减少计算量，提高计算效率。
第二步，我们需要明确什么是矩阵的秩。
矩阵的秩是指其行向量或列向量的极大线性无关组中向量的个数。
行向量或列向量的极大线性无关组是指一组线性无关的向量，使得从其中任意一个向量开始，通过线性组合可以得到其它所有向量。
如果矩阵的秩等于其行数或列数，则称这个矩阵是满秩的。
第三步，我们需要明确如何利用满秩分解的结果进行计算。
假设我们有一个矩阵A，我们可以通过LU分解将其分解为L和U两个矩阵的积。
然后我们可以利用这两个矩阵的关系，使用前向替换（forward substitution）和后向替换（backward substitution）的方法解出线性方程组Ax=b的解。
这个方法是比较通用的方法，可以用于求解复杂的线性方程组。
第四步，我们需要了解如何利用Python进行满秩分解的计算。
Python中的Numpy库可以实现矩阵的LU分解。
以下是Python代码实现：import numpy as npA = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])P, L, U = scipy.linalg.lu(A)print(P)print(L)print(U)输出结果为：[[0. 1. 0.][0. 0. 1.][1. 0. 0.]][[ 1. 0. 0. ][ 0.14285714 1. 0. ][ 0.57142857 -0.2 1. ]][[7.00000000e+00 8.00000000e+00 9.00000000e+00][0.00000000e+00 8.57142857e-01 1.71428571e+00][0.00000000e+00 0.00000000e+00 -1.11022302e-16]]其中，P是行置换矩阵，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
2-1 满秩、LU、QR分解
满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去 除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量。
2. LU分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解。 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解。
定理：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)
的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0。
LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。
应用：求解线性方程组Ax=b。
3. QR分解
设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。
QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， Hous会怎样？
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 3. QR分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， 则存在矩阵分解：
A=FG， 其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)， G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩)。称为满秩分解。
LU和QR分解法解线性方程组
LU 和QR 法解线性方程组一、 问题描述求解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡20116126384102785124⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3772, 要求：1、编写用三角（LU ）分解法求解线性方程组；2、编写用正交三角（QR ）分解法求解线性方程组。
二、问题分析求解线性方程组Ax=b ，其实质就是把它的系数矩阵A 通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。
因此，在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A 变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要，然而矩阵A 的变换通常有两种分解方法：LU 分解法和QR 分解法。
1、LU 分解法：将A 分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U ，即：A=LU,其中 L=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10010012121n n l l l ， U=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n u u u u u u 0000022211211 2、QR 分解法：将A 分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R,即：A=QR三、实验原理1、LU 分解法解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组： ⑴ Ly=b,求y; ⑵ Ux=y,求x.设A 为非奇异矩阵,且有分解式A=LU , L 为单位下三角阵,U 为上三角阵。
L,U 的元素可以有n 步直接计算定出。
用直接三角分解法解Ax=b （要求A 的所有顺序主子式都不为零）的计算公式：① ),,2,1(n i a u li li ==,11/u a l il il = ,i=2,3,…，n. 计算U 的第r 行，L 的第r 列元素(i=2,3,…,n)： ② ∑-=-=11r k ki rkri ri u la u ， i=r,r+1,…,n;③ rr r k kr ikir ir u u la l /)(11∑-=-= , i=r+1,…,n,且r ≠n.求解Ly=b ，Ux=y 的计算公式；④:,3,2,,1111n i y l b y b y i k k ik i i =-==∑-=⑤.1,,2,1,/)(,/1--=-==∑+=n n i u x uy x u y x ii ni k k iki i nn n n2、QR 分解法四、实验步骤1、LU 分解法1>将矩阵A 保存进计算机中，再定义2个空矩阵L ，U 以便保存求出的三角矩阵的值。
利用qr分解解方程
利用qr分解解方程摘要：1.介绍QR 分解2.QR 分解与解方程的关系3.使用QR 分解解方程的步骤4.举例说明QR 分解解方程的过程5.总结QR 分解解方程的优点和适用范围正文：1.介绍QR 分解QR 分解（Quiet-Rational Decomposition，安静- 有理分解）是一种线性代数中常用的矩阵分解方法。
它是一种特殊的矩阵分解，可以将一个给定的矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
QR 分解在许多领域都有广泛的应用，如数值分析、线性方程组求解等。
2.QR 分解与解方程的关系QR 分解与解线性方程组有着密切的关系。
线性方程组可以表示为AX=B 的形式，其中A 是系数矩阵，X 是待求解的变量向量，B 是常数项向量。
利用QR 分解可以将系数矩阵A 分解为Q 和R 两个矩阵的乘积，其中Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵。
这样，原线性方程组可以转化为求解QR 矩阵的逆矩阵Q^-1 与R 矩阵的乘积与常数项向量B 的等式，即Q^-1RB=X。
由于Q^-1 是正交矩阵，R 是上三角矩阵，因此可以更快地求解线性方程组。
3.使用QR 分解解方程的步骤利用QR 分解解线性方程组的具体步骤如下：（1）对系数矩阵A 进行QR 分解，得到Q 和R 矩阵；（2）计算QR 矩阵的逆矩阵Q^-1；（3）计算Q^-1RB，得到解向量X。
4.举例说明QR 分解解方程的过程假设我们要解以下线性方程组：2x + 3y - 5z = 14x - y + 2z = 32x + y - z = 4首先，我们需要对系数矩阵进行QR 分解。
通过高斯消元法或其他方法，我们可以得到QR 分解的结果。
然后，计算QR 矩阵的逆矩阵Q^-1，并计算Q^-1RB，从而得到解向量X。
5.总结QR 分解解方程的优点和适用范围QR 分解解线性方程组的方法具有以下优点：（1）QR 分解是稳定的，即使在矩阵A 接近奇异的情况下，也能得到准确的解；（2）QR 分解可以充分利用矩阵的特殊结构，如正交性和上三角性，从而提高求解速度；（3）QR 分解适用于大规模线性方程组，尤其是在矩阵A 系数矩阵中元素非零值分布不均匀的情况下，其性能更优越。
LU和QR分解法解线性方程组
LU 和QR 法解线性方程组一、 问题描述求解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡20116126384102785124⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3772, 要求：1、编写用三角（LU ）分解法求解线性方程组；2、编写用正交三角（QR ）分解法求解线性方程组。
二、问题分析求解线性方程组Ax=b ，其实质就是把它的系数矩阵A 通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。
因此，在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A 变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要，然而矩阵A 的变换通常有两种分解方法：LU 分解法和QR 分解法。
1、LU 分解法：将A 分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U ，即：A=LU,其中 L=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10010012121 n n l l l ， U=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n u u u u u u 0000022211211 2、QR 分解法：将A 分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R,即：A=QR三、实验原理1、LU 分解法解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组：⑴ Ly=b,求y; ⑵ Ux=y,求x.设A 为非奇异矩阵,且有分解式A=LU , L 为单位下三角阵,U 为上三角阵。
L,U 的元素可以有n 步直接计算定出。
用直接三角分解法解Ax=b （要求A 的所有顺序主子式都不为零）的计算公式：① ),,2,1(n i a u li li ==,11/u a l il il = ,i=2,3,…，n. 计算U 的第r 行，L 的第r 列元素(i=2,3,…,n)： ② ∑-=-=11r k ki rkri ri u la u ， i=r,r+1,…,n;③ rr r k kr ikir ir u u la l /)(11∑-=-= , i=r+1,…,n,且r ≠n.求解Ly=b ，Ux=y 的计算公式；④:,3,2,,1111n i y l b y b y i k k ik i i =-==∑-=⑤.1,,2,1,/)(,/1--=-==∑+=n n i u x u y x u y x ii ni k k ik i i nn n n2、QR 分解法四、实验步骤1、LU 分解法1>将矩阵A 保存进计算机中，再定义2个空矩阵L ，U 以便保存求出的三角矩阵的值。
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矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 分解 3. QR分解 分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈ × 设矩阵 ∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， ， 则存在矩阵分解： 则存在矩阵分解： A=FG， ， 其中F∈ × 列满秩)， 其中 ∈Rm×r，且rankF=r(列满秩 ， 列满秩 G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩 。称为满秩分解。 行满秩)。 满秩分解。 ∈ × 行满秩 称为满秩分解 满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 满秩分解反映出关于矩阵 的秩的信息。 的秩的信息 应用：当r远小于 和n时，利用满秩分解可以去 应用： 远小于m和 时 远小于 除掉A中的冗余信息 节省存储量和运算量。 中的冗余信息， 除掉 中的冗余信息，节省存储量和运算量。
3. QR分解 分解
设矩阵A∈ × 且非奇异，则存在正交矩阵Q， 设矩阵 ∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵 ， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 非奇异上三角矩阵 ，使得 ，称之为 分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。 ，且此时分解唯一。 设矩阵A∈Rm×n(m>n)，且列满秩，则存在正交矩 设矩阵 ∈ × ，且列满秩， 上三角矩阵R∈ × 使得A=QR。 阵Q∈Rm×m，上三角矩阵 ∈Rm×n，使得 ∈ × 。 × 而且此时Q=[Q1 Q2]，R=[R1;0]，其中 1∈Rm×n满 而且此时 ， ，其中Q × 是非奇异上三角矩阵。 足Q1TQ1=In，R1∈Rn×n是非奇异上三角矩阵。这 样分解式为A=Q1R1，称为 称为compact QR decomp.。 样分解式为 。 QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， 分解的实现方式： 变换， 分解的实现方式 ， 变换 House奇异或列满秩时， 当A不是非奇异或列满秩时，情况会怎样？ 不是非奇异或列满秩时 情况会怎样？
2. LU分解 分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 设矩阵 ∈ × 如果存在上三角矩阵 ， 矩阵U，使得A=LU，则称之为 的LU分解。 分解。 矩阵 ，使得 ，则称之为A的 分解 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 如果存在单位上三角矩阵 ，单位下三角矩阵 ， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为 分解。 对角矩阵 ，使得 ，则称之为LDU分解。 分解 定理：矩阵 的 分解存在唯一(或 分解存在 分解存在) 定理：矩阵A的LDU分解存在唯一 或LU分解存在 分解存在唯一 的充要条件是A的顺序主子式 的充要条件是 的顺序主子式∆k≠0。 。 LU分解的实现过程实际上就是 分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。 消去法。 分解的实现过程实际上就是 消去法 应用：求解线性方程组 应用：求解线性方程组Ax=b。 。