课时跟踪检测(六十四) 坐标系
人教A高中数学选修44同步课时跟踪检测：第1讲 坐标系 一 含解析
第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系课时跟踪检测一、选择题1．通过伸缩变换，下列曲线形态可能发生变化的是( ) ①直线 ②圆 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线 A ．②③ B ．①④⑤ C ．①②③ D ．②③④⑤答案：A2．在直角坐标系中，如图所示的图形对应的方程是( )A ．|x |－y ＝0B ．x －|y |＝0C ．x|y |－1＝0D ．|x |y －1＝0解析：∵其图形关于x 轴对称，在第一象限的部分倾斜角为45°， ∴对应的方程为|y |＝x ，即x －|y |＝0. 答案：B3．在平面直角坐标系中，伸缩变换的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x sin π6，y ′＝y cos π6，则正弦曲线y ＝sin x 在此变换下得到的曲线方程为( )A ．y ＝2sin 2xB ．y ＝32sin 2x C ．y ＝233sin 2xD ．y ＝3sin 2x解析：伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x sin π6，y ′＝y cos π6，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝32y ，即⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝23y ′. ①将①代入y ＝sin x ，得23y ′＝sin 2x ′， 即y ′＝32sin 2x ′，得y ＝32sin 2x . 答案：B4．(2019·邵东一中月考)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝4x ，y ′＝2y后，曲线C 变为曲线x ′2－y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．4x 2－16y 2＝1B ．16x 2－4y 2＝1C ．116x 2－14y 2＝1D ．14x 2－116y 2＝1解析：将伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝2y 代入x ′2－y ′2＝1，得(4x )2－(2y )2＝1，所以曲线C 的方程为16x 2－4y 2＝1，故选B ．答案：B5．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y后的直线方程为( )A ．3x －4y ＋1＝0B ．3x ＋y －1＝0C ．9x －y ＋1＝0D ．x －4y ＋1＝0解析：由⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝2y ，得⎩⎨⎧x ＝3x ′，y ＝y ′2，代入3x －2y ＋1＝0得9x ′－y ′＋1＝0.∴经过伸缩变换后的直线方程为9x －y ＋1＝0.答案：C6．在平面直角坐标系中，y ＝tan x 经过怎样的伸缩变换可得到y ＝3tan 2x ( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yC ．⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y解析：令y ′＝3tan 2x ′，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，将其代入y ′＝3tan 2x ′，得μy＝3tan 2λx ，即y ＝3μtan 2λx 与y ＝tan x 比较，可得⎩⎨⎧μ＝3，λ＝12，∴⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .答案：B 二、填空题7．点P (x ，y )经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y 后又回到P 点，则x ＝________，y＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧3x ＝x ，12y ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.答案：0 08．(2019·邢台检测)在平面直角坐标系中，曲线C 1：(x －2)24＋y 2＝1，经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y后，得到曲线C 2，则曲线C 2的方程为______________．解析：由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.代入曲线C 1：(x －2)24＋y 2＝1，得(2x ′－2)24＋y ′2＝1，即(x ′－1)2＋y ′2＝1，所以曲线C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(x －1)2＋y 2＝19．将圆x 2＋y 2＝1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，则得到的曲线方程为____________．解析：由题意得⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝2y ，整理得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′，代入x 2＋y 2＝1，得4x ′2＋14y ′2＝1，所以得到的曲线方程为4x 2＋y 24＝1.答案：4x 2＋y 24＝1三、解答题10．线段AB 的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB |＝4，求AB 中点P 的轨迹方程．解：以两条互相垂直的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示，设P (x ，y )，由于△OAB 是直角三角形，P 为AB 的中点，所以|OP |＝12|AB |，即x 2＋y 2＝12×4，即x 2＋y 2＝4.故AB 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.11．(2019·青冈实验中学测试)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并说出其表示的图形．解：设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y 且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y216＝1，即x 2＋y 2＝4.所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆． 12．椭圆x 24＋y 216＝1经过怎样的伸缩变换使它的长轴变为短轴，短轴变为长轴？解：原来的方程为x 24＋y 216＝1，经过伸缩变换后得到的方程为x ′216＋y ′24＝1. ① 设伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ(λ>0)，y ＝y ′μ(μ>0)，代入x 24＋y 216＝1，得x ′24λ2＋y ′216μ2＝1. ②比较①②得⎩⎨⎧4λ2＝16，16μ2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12.∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y .因此，应将椭圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的12.13．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2：y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：D。
【人教版】高中数学选修4-4第1讲坐标系课时跟踪检测习题
x′2－y′2－4x′＋3＝0 可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得x′－2＝x－2 4， 即x′＝2x，
y′＝3y，
y′＝3y.
所以将曲线 x2－36y2－8x＋12＝0 上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的 3 倍，就可得到 曲线 x′2－y′2－4x′＋3＝0 的图象．
5．把圆的普通方程 x2＋(y－2)2＝4 化为极坐标方程为________．
解析：将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即 ρ＝4sin θ.
答案：ρ＝4sin θ
6．已知圆的极坐标方程为 ρ＝2cos θ－2 3sin θ，θ∈[0，2π)，则圆心的极坐标是________．
解析：设圆心为(a，β)(a>0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ＝2acos(θ－β)．
因为 ρ＝2cos θ－2 3sin θ＝4cosθ＋π3
＝4cosθ＋3π－2π＝4cosθ－53π，
所以此圆的圆心的极坐标为2，53π.
答案：2，53π 7．已知圆的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，圆心为 C，点 P 的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.
π ∴sin∠OPO′＝si2n6·2 3＝ 23， ∴∠OPO′＝π3. ∴∠OP′P＝π－π3－3π＝π3， ∴∠PP′x＝23π.
∴∠PO′x′＝23π.
∴P 点的新坐标为2，23π.
(2)如图，设 P 点新坐标为(ρ，θHale Waihona Puke ， 则 ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.
∴P 点的新坐标为4，π2.
新课标2023版高考地理一轮总复习课时跟踪检测六十四中国的耕地资源与粮食安全
课时跟踪检测（六十四）中国的耕地资源与粮食安全一、选择题(2021·宁德模拟)“万物土中生，有土斯有粮”。
实施“藏粮于地”战略是保障我国粮食安全的重要战略举措之一。
下图为1949—2016年我国粮食作物播种面积和粮食产量变化图。
据此完成1～3题。
1．图示期间我国粮食( )A．播种面积持续上升B．单位面积产量持续上升C．粮食缺口不断扩大D．总产量呈加速增加趋势2．专家普遍认为“目前我国粮食增产的环境代价太大”，主要指( )A．过度垦荒以至于荒漠化加剧B．不合理开发导致水土流失加剧C．小农经营使得粮食单产降低D．过度使用化肥农药导致耕地质量下降3．我国“藏粮于地”的有效途径有( )A．建设高标准农田B．继续扩大耕地面积C．加大科技投入，培育良种D．增加劳动力投入解析：1.B 2.D 3.A 第1题，读图可知，单位面积产量先加速上升后有减缓趋势，但产量一直持续上升。
第2题，随着我国退耕还林还草工程的实施，过度垦荒不明显，A错误；随着我国小流域综合治理的实施，不合理开发导致的水土流失减少，B错误；小农经营单位面积产量高，C错误；化肥农药过度使用导致的耕地质量下降是我国粮食增产的环境代价。
第3题，建设高标准农田可以提高产量，从而“藏粮于地”。
(2022·济南模拟)图1为我国2015—2019年粮食产量走势图，图2为我国2015—2019年粮食进口量走势图。
读图，完成4～5题。
4．据图可知，我国( )A．粮食总产量波动较大B．已成为粮食净出口国C．粮食进口量总体下降D．粮食自给率逐年上升5．为了确保我国粮食安全，必须( )A．大力开垦荒地B．减少粮食贸易C．实行计划供粮D．切实保护耕地解析：4.C 5.D 第4题，据图可知，我国粮食产量波动较小，A错误。
我国粮食进口量大，为粮食净进口国，B错误。
粮食进口量波动较大，总体下降，C正确。
第5题，耕地是农业生产的基础和根本。
为了确保我国粮食安全，必须切实保护耕地，D正确。
2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测(六)柱坐标系与球坐标系简介(含解析)新人教A版选修4-
课时跟踪检测 (六) 柱坐标系与球坐标系简介一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面． 2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3解析：选C ρ＝－12＋－32＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z ＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝32＋12＋－22＝22，由22cos φ＝－2得φ＝3π4，又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为23－02＋2－02＋3－02＝25＝5. 答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝－32＋－32＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，37．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝yx＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.9．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2， ∴点N 的直角坐标为(0，2，2)． ∴|MN |＝12＋1－22＋3－22＝15－8 2.10.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
高考文科数学练习测试题课时跟踪检测六十四 坐标系
课时跟踪检测(七十六) 坐标系1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos 3θπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，－＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．2．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．3．(2014·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标； (2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎫－3，12，求点B 的坐标； (3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．5．(2014·南京模拟)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．6．(2014·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．答 案1．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．2．解：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短． 易得|OB |＝22. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4.3．解：(1)原方程变形为： ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.(2)圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2.4．解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求． (2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1,1)为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′， 因此直线l 的方程为y ＝x .5．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32>1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π3＝1，② 将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1， 即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．6．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.。
课时跟踪检测(四) 空间直角坐标系
课时跟踪检测(四) 空间直角坐标系层级(一) “四基”落实练1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A ．y 轴上B ．Oxy 平面上C ．Ozx 平面上D ．第一象限内解析：选C 因为点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在Ozx 平面上．2．在空间直角坐标系中，已知点M (－1,2,3)，过该点作x 轴的垂线，垂足为H ，则H 点的坐标为( )A ．(－1,2,0)B ．(－1,0,3)C ．(－1,0,0)D ．(0,2,3)解析：选C 因为垂足H 在 x 轴上，故点H 与点M 的横坐标相同，其余两个坐标分量均为0，故选C.3．在空间直角坐标系中，点A (1，－2,3)与点B (－1，－2，－3)关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．z 轴对称D ．原点对称解析：选B 因为在空间直角坐标系中，与点(x ，y ，z )关于y 轴对称的点的坐标为(－x ，y ，－z )，所以点A (1，－2,3)与点B (－1，－2，－3)关于y 轴对称．4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面Oxy 的垂线PQ ，则点Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)解析：选D 如图，由于点Q 在Oxy 平面内，故其竖坐标为0，又PQ⊥Oxy 平面，故点Q 的横坐标、纵坐标分别与点P 相同，从而点Q 的坐标为(1，2，0)．5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝1，AA 1＝3，已知向量a 在基底{AB ―→，AD ―→，AA 1―→ }下的坐标为(2,1，－3)．若分别以DA ―→，DC ―→，DD 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则a 的空间直角坐标为( )A ．(2,1，－3)B ．(－1,2，－3)C ．(1，－8,9)D ．(－1,8，－9)解析：选D a ＝2AB ―→＋AD ―→－3AA 1―→＝2DC ―→－DA ―→－3DD 1―→＝8j －i －9k ＝(－1,8，－9)．6.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1―→的坐标为______，AC 1―→的坐标为______．解析：因为A (0,0,0)，D 1(0,2,1)，C 1(2,2,1)，所以AD 1―→＝(0,2,1)，AC 1―→＝(2,2,1)．答案：(0,2,1) (2,2,1)7．点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)．答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)8.如图所示，在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．解析：因为OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，所以A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，B (2,3,0)，故B 1(2,3,2)．所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫22，32，22，即M ⎝⎛⎭⎫1，32，1. 答案：⎝⎛⎭⎫1，32，1 9.已知V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD的中点．若|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1.∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)，A (－1，－1,0)，D (－1,1,0)．∵V 在z 轴上，∴V (0,0,3)．10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA ＝30°.试建立适当的坐标系并求出图中各点的坐标． 解：以点A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝BC ＝a ，∴A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)．∵AD ＝2a ，∴D (0,2a,0)．∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AD .又∵∠PDA ＝30°，∴PA ＝AD tan 30°＝233a ，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，233a . 层级(二) 能力提升练1．设x 为任意实数，相应的点P (x,3,3)的集合是( )A ．一个平行于x 轴的平面B ．一条平行于x 轴的直线C ．一个垂直于x 轴的平面D ．一条垂直于x 轴的直线解析：选B 点P (x,3,3)的集合应是一条过点(0,3,3)，且平行于x 轴的直线．2.如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系的x 轴、y 轴、z 轴上，则点D 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(2，2，2)C ．(3，3，3)D ．(2,2,2)解析：选A 将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示．因为|AB |＝|BC |＝|AC |＝2，所以|OA |＝|OB |＝|OC |＝1，所以点D 的坐标为(1,1,1)．3.如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面Oyz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则点D 的坐标为__________．解析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2, 得BD ＝1，CD ＝3，所以DE ＝CD sin 30°＝32， OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12.所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－12，324.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图可看成八个棱长为12的小正方体堆积而成的正方体，其中“小点”代表钠原子，“大点”代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部的氯原子所在位置的坐标．解：下层的氯原子全部在Oxy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个氯原子所在位置的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，⎝⎛⎭⎫12，12，0；中层的氯原子所在的平面平行于Oxy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以这四个氯原子所在位置的坐标分别是⎝⎛⎭⎫12，0，12，⎝⎛⎭⎫1，12，12，⎝⎛⎭⎫12，1，12，⎝⎛⎭⎫0，12，12； 上层的氯原子所在的平面平行于Oxy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以这五个氯原子所在位置的坐标分别是(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，⎝⎛⎭⎫12，12，1.5.如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解：(答案不唯一)因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB ，OF ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A (0，－32，0)，B (32，0,0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，8)，E (0,0,8)，F (0，32，0)．层级(三) 素养强化练已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.以D 为原点，正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .有一动点P 在正方体各个面上运动．(1)当点P 分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，探究动点P 的坐标特征；(2)当点P 分别在各个面对角线上运动时，探究动点P 的坐标特征．解：(1)当点P分别在平行于x轴的棱A1D1，B1C1，BC上运动时，动点P的纵、竖坐标不变，横坐标在[0,1]取值；当点P分别在平行于纵轴的棱AB，A1B1，D1C1上运动时，动点P的横、竖坐标不变，纵坐标在[0,1]取值；当点P分别在平行于竖轴的棱AA1，BB1，CC1上运动时，动点P的横、纵坐标不变，竖坐标在[0,1]取值．(2)当点P分别在面对角线BC1，B1C，AD1，A1D上运动时，动点P的纵坐标不变，横、竖坐标在[0,1]取值；当点P分别在面对角线A1B，AB1，D1C，DC1上运动时，动点P的横坐标不变，纵、竖坐标在[0,1]取值；当点P分别在面对角线A1C1，B1D1，AC，BD上运动时，动点P的竖坐标不变，横、纵坐标在[0,1]取值．。
课时跟踪检测(六十三) 坐标系
课时跟踪检测（六十三） 坐标系1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2，则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6. 如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3. 所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π2，求|AB |.解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ， 曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.(2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆，∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)， 代入ρ2＝31＋2sin 2θ，可得ρ2A ＝2. 又∠AOB ＝π2，∴ρ2B ＝65， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝455. 5．(2019·北京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ，即ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k . 直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3， 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．(2019·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值．解：(1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. 7．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.8．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.。
人教A版文科数学课时试题及解析(64)坐标系
课时作业(六十四) [第64讲 坐标系] [时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 2．已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为________． 3． 在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3，⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．4． 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．能力提升5． 已知圆的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则该圆的圆心到直线ρcos θ－ρsin θ＝4的距离是________．6．以极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫1，π6为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是________． 7． 极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为________．8． 在极坐标系中，设圆ρ＝32上的点到直线ρ(7cos θ－sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值是________．9． 在极坐标系中，若直线ρsin θ＋π4＝a 被圆ρ＝2截得的弦长为23，则实数a ＝________.10． 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径的圆的极坐标方程是________．11． 直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，则l 在直角坐标系下的方程是________． 12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．13． 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 14．(10分)极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB |的最小值．15．(13分)如图K64－1，点A 在直线x ＝4上移动，△POA 为等腰直角三角形，其直角顶角为∠OP A (O ，P ，A 依次按顺时针方向排列)，求点P难点突破16．(12分)在极坐标系中，已知△ABC三个顶点的极坐标为A(2,10°)，B(－4,220°)，C(3,100°)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC的边AB上的高．课时作业(六十四)【基础热身】1.3 [解析] 点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3.圆ρ＝2cos θ 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1,0)到点(1，3)的距离为 3.2.⎝⎛⎭⎫2，－2π3，(－1，－3) [解析] 点P ⎝⎛⎭⎫2，－5π3关于极点的对称点为⎝⎛⎭⎫2，－5π3＋π，即⎝⎛⎭⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－2cos π3＝－1， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－2sin π3＝－ 3. 3．3 [解析] 由已知得∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以S △AOB ＝12×|OA |×|OB |sin π6＝3.4．x 2＋y 2－4x －2y ＝0 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4xρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.【能力提升】5．32 [解析] 直线ρcos θ－ρsin θ＝4化为直角坐标方程为x －y －4＝0，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)，由点到直线的距离公式，得圆心(0,2)到直线x －y －4＝0的距离为3 2.6．ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6 [解析] 以极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫1，π6为圆心，1为半径的圆的直角坐标系中的方程是：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，转化为极坐标方程是：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 7．一条直线和一个圆 [解析] ∵ρcos θ＝4sin θcos θ，∴cos θ＝0或ρ＝4sin θ，则θ＝k π＋π2，k ∈Z 或x 2＋y 2＝4y ，所以极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为：一条直线和一个圆．8．2 [解析] 将ρ(7cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程，得7x －y －2＝0，圆心(0,0)到该直线的距离是d 1＝27＋1＝12，结合图形知d 的最大值是d 1＋32＝2.9．±1 [解析] 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝a ⇒ρsin θ＋ρcos θ＝2a ，化为直角坐标方程为x ＋y ＝2a ，圆ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，由圆的弦长公式222－d 2＝23，得d ＝1，即|2a |2＝1，故a ＝±1.10．ρ＝2cos θ [解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＝2，所以|OM |＝2，圆半径为r ＝1，圆心(1,0)，所以圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，化为极坐标方程得ρ＝2cos θ.11．x ＋y －2＝0 [解析] 将ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2展开得ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，化简得x ＋y －2＝0.12.⎝⎛⎭⎫2，3π4 [解析] 由极坐标方程与普通方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知，这两条曲线的普通方程分别为x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1.联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，再由互化公式将点(－1,1)化成极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. 13．－3 [解析] 直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22化为普通方程为x ＋y ＝1，所以有3＋k ＝0⇒k ＝－3. 14．[解答] 将互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝4 2.所以|AB |的最小值为42－2.15．[解答] 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝4的极坐标方程为ρcos θ＝4， 设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝4上， 所以ρ0cos θ0＝4.①因为△POA 为等腰直角三角形，且∠OP A ＝π2，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝π4，所以ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－π4.②把②代入①得点P 的轨迹的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4，即ρ(cos θ＋sin θ)＝4. 所以点P 的轨迹的普通方程为x ＋y ＝4，是过点(4,0)且倾斜角为3π4的直线．【难点突破】16．[解答] (1)因为B (－4,220°)即为B (4,40°)， 所以∠AOB ＝40°－10°＝30°，∠AOC ＝100°－10°＝90°，∠BOC ＝100°－40°＝60°，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×2×4sin30°＝2，S △OBC ＝12|OC |·|OB |sin ∠BOC ＝12×3×4sin60°＝33，S △OAC ＝12|OA |·|OC |sin ∠AOC ＝12×2×3sin90°＝3.所以S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC －S △OAC ＝2＋33－3＝33－1. (2)设△ABC 的边AB 上的高为h ，因为|AB |＝22＋42－2×2×4cos30°＝25－23，S △ABC ＝12|AB |h ，所以h ＝2(33－1)25－23＝8＋23，即△ABC 的边AB 上的高为8＋2 3.。
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6．解：(1)C1 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)， 半径为 1 的圆，C2 的直角坐标方程为 x－ 3y－2＝0，所以曲线 C2 为直线， |－1－2| 3 由于圆心到直线的距离为 d＝ 2 ＝2＞1， 所以直线与圆相离，即曲线 C1 和 C2 没有公共点． (2)设
即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3，
k＞0， ∴ k＝2k＋3 k＜0， 或 －k＝2k＋3， 的直角坐标为 －
解得 k＝－1，故圆心 C
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2 2 . ， 2 2
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π 3，1)，化为极坐标为2，6 .
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2． 解析： 由
π ρ＝4cosθ－3可得
ρ
2
1 ＝4ρ 2cos
3 θ＋ 2 sin θ＝2ρcos θ＋2 3
ρsin θ，即得 x2＋y2＝2x＋2 3y，配方可得(x－1)2＋(y－ 3)2＝4， 该圆的半径为 2，则圆上任意两点间距离的最大值为 4. 3．解析：曲线 ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0 的直角坐标方程是 x2＋y2 －2x＋4y＋4＝0， 即(x－1)2＋(y＋2)2＝1. 要使直线 3x＋4y＋m＝0 与该曲线没有公共点， 只要圆心(1， －2)到直线 3x＋4y＋m＝0 的距离大于圆的半径即可， |3×1＋4×－2＋m| 即 ＞1，|m－5|＞5， 5 解得，m＜0 或 m＞10.
ρρ0＝2， Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则 θ＝θ0，
2 ρ0＝ ， ρ 即 θ0＝θ.
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①
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因为点 Q(ρ0，θ0)在曲线 C2 上， 所以
π ρ0cosθ0＋3＝1，
②
π 2 将①代入②，得ρcosθ＋3＝1， 即
5．解：(1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，所以 x2＋y2＝4. π 因为 ρ2－2 2ρcosθ－4＝2， π π 2 所以 ρ －2 2ρ cos θcos4＋sin θsin4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1， π 2 即 ρsinθ＋4＝ 2 .
2
π ρ＝2cosθ＋3为点
P
1 的轨迹方程， 化为直角坐标方程为x－2
＋ y＋
1 3 3 2 ＝ 1 ，因此点 P 的轨迹是以 为圆心，1 为半 ，－ 2 2 2
径的圆．
数学
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2 2 . k ，－ k 2 2
2 2 ∵ρsin θ·2 －ρcos θ·2 ＝4，
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∴直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋4 2＝0，
2 2 k ＋ k ＋ 4 2 2 2 ∴ －|k|＝2. 2
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课时跟踪检测(六十四) 坐 标 系 1．解析：ρ( 3cos θ－sin θ)＝2 化为直角坐标方程为 3x－y＝2，即 y ＝ 3x－2. ρ＝4sin θ 可化为 x2＋y2＝4y， 把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2＝4y， 得 4x2－8 3x＋12＝0，即 x2－2 3x＋3＝0， 所以 x＝ 3，y＝1. 所以直线与圆的交点坐标(
8．解：(1)由
π ρcos θ－3＝1
得
1 ρ cos 2
3 θ＋ 2 sin θ＝1.
1 3 从而 C 的直角坐标方程为2x＋ 2 y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 2 3 π π 2 3 当 θ＝2时，ρ＝ 3 ，所以 N ， 2 . 3 (2)因为 M 点的直角坐标为(2,0)， 2 3 . N 点的直角坐标为 0， 3 3 所以 P 点的直角坐标为1， ， 3 2 3 π 则 P 点的极坐标为 ，6， 3 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝6(ρ∈R)．
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7．解：∵ρ＝ 2kcos θ－ 2ksin θ， ∴ρ2＝ 2kρcos θ－ 2kρsin θ， ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－ 2kx＋ 2ky＝0，
即 x－பைடு நூலகம் 2 2 2 2 2 ＋ ＝ k ， k y ＋ k 2 2
∴圆心的直角坐标为
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1 x′＝2x， x＝2x′， 4．解：由 得 1 y ′ ＝ y ， 2 y＝2y′.
1 π π x′＋4， 将其代入 y＝sin 2x＋4 ，得 2y′＝sin 2· 2 π 1 即 y′＝2sinx′＋4.