高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 文 北师大版
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角
任意角和弧度制及任意角的三 角函数
总纲目录
教材研读
1.角的概念的推广 2.弧度制的定义和公式
3.任意角的三角函数
考点突破
考点一 考点二 考点三 象限角及终边相同的角 扇形的弧长与面积公式 三角函数的定义
教材研读
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的① 端点 从一个
5 - 在与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 6
答案 -
解析 2 010°= π=12π- ,
. ∴与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为5 -
6 67 6 5 6
5 6
考点二
.
扇形的弧长与面积公式
典例2 (1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为 (2)如图,已知扇形的圆心角α=120°,弦AB长12 cm,则该扇形的弧长l= cm.
N= …,-45 ° ,90°,135°,180°,225°,…},显 x 180° ,0 45 ,,45 k ° Z x | ={ k 4
k 2
然有M⫋N.故选B.
(2)∵在(0,π)内终边在直线y= x 3上的角是 ,
3
π . ∴终边在直线y= x 3上的角的集合为 α | α k , k Z 3
9 4
C)
9 + π(k∈Z) B.k· 360° 4 (k∈Z) D.k5 π+ 4
C.k· 360°-315°(k∈Z)
答案 C
4
9 9 π= ×180°=360°+45°=720°-315°, 4 4
9 π的终边相同的角可表示为k· ∴与角 360°-315°,k∈Z.弧度制与角度制
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝
π
.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数 新人教B版
5．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则 扇形的圆心角的弧度数是( C ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4
α＝
____3 ____.
解析 ∵α＝－23π＋2kπ，k∈Z且4π<α<6π， ∴取k＝3，即α＝－23π＋6π＝136π.
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α
的终边在第___二_____象限．
解析 tan α<0且cos α<0，所以α在第二象限．
4．若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 在( A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角
(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以 看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有 意义的角的范围． 如tan α＝xy有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y) 的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重 合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.
思维启迪 (1)从终边相同的角的表示入手分 析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角， 然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整 数 k，代入求出所求解； (2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论． 解 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 得－765°≤k×360°≤－45°， 解得－736650≤k≤－34650，从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
2023年高考数学一轮考点复习第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
练案[22] 第四章 三角函数、解三角形 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数A 组基础巩固一、单选题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，④正确．2．(2022·吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一心归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经( B )A ．60度B ．75度C．270度D．285度[解析]春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B.3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是( B )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定[解析]∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( B )A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0[解析]α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，可得A、C、D成立，故选B.6．(2022·辽宁大连二十四中高一期中)已知边长为63的等边△ABC的外接圆圆心为O，则∠AOC所对的劣弧长为( D )A．π B．2πC．3π D．4π[解析] 因为边长为63的等边△ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边△ABC 的中心，故∠AOC ＝2π3，且OA ＝OC ＝633＝6，故∠AOC 所对的劣弧长为6×2π3＝4π，故选D.7．(2022·衡水模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12[解析] 点P 运动的弧长所对圆心角的弧度数为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.8．(2022·深圳模拟)已知角α的始边为x 轴正半轴，终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则实数m 的值为( A )A.12 B ．－12 C ．±12D ．±32[解析] 角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，即P (－8m ，－3)．又cos α＝－45<0，∴角α的终边在第三象限，则m >0.∵|OP |＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，解得m ＝12(负值舍去)．二、多选题9．下列各式中结果为正值的是( ACD ) A ．sin 1 125° B ．tan 3712π·sin 3712π C.sin 5tan 5D ．sin|－1|[解析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于A ，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0；对于B ，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角， 所以tan 3712π>0，sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0； 对于C ，因为5弧度的角在第四象限， 所以sin 5<0，tan 5<0，故sin 5tan 5>0； 对于D ，因为π4<1<π2，所以sin|－1|>0.10．(2023·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x ＋y ＝0上，则角α的取值集合是( AD )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π4，或α＝2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋3π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π4，k ∈Z[解析] 因为直线x ＋y ＝0的倾斜角是3π4，所以终边落在直线x ＋y ＝0上的角的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪ α＝2k π－π4或α＝2k π＋⎭⎬⎫3π4，k ∈Z 或⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π4，k ∈Z .故选A 、D.11.(2023·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ABD )A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3 B ．经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12 C ．经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D ．经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇[解析] 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确．三、填空题12．－2 020°角是第_二__象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是_140°__，最大负角是_－220°__.[解析] 因为－2 020°＝－6×360°＋140°，所以－2 020°角的终边与140°角的终边相同．所以－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.13．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 π3 . [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2.14．(2022·江苏宿迁高一期中)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB ＝2π3，南北距离AB 的长大约60 3 m ，则该月牙泉的面积约为_2_028__m 2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，3≈1.73)[解析] 设△ABC 的外接圆的半径为r ，则2r ＝AB sin 2π3＝60332＝120，得r ＝60， 因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×2π3＝2π3， 所以内弧的弧长l ＝60×2π3＝40π， 所以弓形ABC 的面积为S 1＝12×40π×60－12×60×60×sin 2π3＝1 200π－9003，以AB 为直径的半圆的面积为12π×(303)2＝1 350π，所以该月牙泉的面积为 1 350π－(1 200π－9003)＝150π＋9003≈2 028.15．函数y ＝2sin x －1的定义域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) .[解析] ∵2sin x －1≥0， ∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．B 组能力提升1．(多选题)下列结论中正确的是( BCD )A ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45B ．若α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角C ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度D ．若0<α<π2，则sin α<tan α[解析] 当k ＝－1时，P (－3，－4)，则sin α＝－45，故A 错误； ∵2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π<α2<k π＋π4，k ∈Z ，∴α2为第一或第三象限角，故B 正确； |α|＝l r ＝6－42＝1，故C 正确；∵0<α<π2，∴sin α<tan α⇔sin α<sin αcos α⇔cos α<1，故D 正确． 2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( B )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅[解析] 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .3．(多选题)(2023·唐山模拟)函数f (x )＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值可能为( BC )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] 由sin x ≠0，cos x ≠0，知x 终边不在坐标轴上，若x 为第一象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x ＝3.若x 为第二象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan x－tan x ＝－1.若x 为第三象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x －cos x＋tan xtan x ＝－1. 若x 为第四象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1. 故选B 、C.4．(2023·江西吉安期末)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷．某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，B 处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C ，测得AB ＝12.6 cm ，∠ACB ＝2π3，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)( C )。
高考数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1讲 任意角弧度制及任意角
卜人入州八九几市潮王学校第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2021年高考会这样考】1．考察三角函数的定义及应用．2．考察三角函数值符号确实定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这局部的高考试题大多为教材例题或者习题的变形与创新，因此学习中要立足根底，抓好对局部概念的理解．根底梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边一样的角终边与角α一样的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的间隔为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，那么点M是点P在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或者其反向延长线相交于点T，那么tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能那么取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(A教材习题改编)以下与的终边一样的角的表达式中正确的选项是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析与的终边一样的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在()．A．第一或者第三象限B．第一或者第二象限C．第二或者第四象限D．第三或者第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．假设sinα＜0且tanα＞0，那么α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或者y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．角α的终边过点(－1,2)，那么cosα的值是()．A．－B.C．－D．－解析由三角函数的定义可知，r＝，cosα＝＝－.答案A5．(2021·)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，那么y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝＝－⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的断定【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)假设角θ的终边与角的终边一样，求在[0,2π)内终边与角的终边一样的角；(3)角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．[审题视点]利用终边一样的角进展表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为.(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与一样的角为，，.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或者角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴为第一或者第三象限角．(1)相等的角终边一定一样，但终边一样的角却不一定相等，终边一样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，那么()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，那么α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±，故角θ是第二或者第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝＝＝－，tan＝＝＝.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．假设角α已经给出，那么无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2021·课标全国)角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，那么cos2θ＝()．A．－B．－C.D.解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案B考向三弧度制的应用【例3】►半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，∴S＝S扇形－S△AOB＝50.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要纯熟地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，那么2r＋rθ＝40，S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，S max＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适宜以下条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；(2)cosα≤－.[审题视点]作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围．解(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，那么OA与OB围成的区域(图中阴影局部)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，那么OC与OD围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公一共的局部；(4)写出角的表达式．【训练4】求以下函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)．∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)，∴定义域为(k∈Z)．标准解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的间隔是r(r＝＞0)，那么sinα＝、cosα＝、tanα＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【例如】►(此题总分值是12分)(2021·月考)角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范]∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的间隔r＝，(2分)又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；(9分)当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进展分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋tanα.[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，那么|OP1|＝5，那么sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，故sinα＋cosα＋tanα＝－＋＋×＝－；取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，那么sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.故sinα＋cosα＋tanα＝－＋×＝－.综上，sinα＋cosα＋tanα的值是－或者－.。
2025年广东省高三数学第一轮复习第四章三角函数、解三角形第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念
角度 1 三角函数的定义
例 3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边
与 x 轴的非负半轴重合.若 Pcos π3，1是角 α 终边上一点，则 sin α＝( D )
A.
5 5
B.
3 2
C.12
D.2 5 5
解析 依题意，点 P12，1，则|OP|＝ 122＋12＝ 25，
∴sin α＝ 15＝255. 2
索引
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半 轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为__25_或__－__52__.
解析 由题意得，点 P 与原点间的距离 r＝ （－4m）2＋（3m）2＝5|m|， 所以 sin α＝53|mm|，cos α＝－5|m4m| ， 当 m>0 时，sin α＝53，cos α＝－45， 故 2sin α＋cos α＝25； 当 m<0 时，sin α＝－35，cos α＝45， 故 2sin α＋cos α＝－25.
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
索引
(2)(多选)(2024·衢州质检)若 sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则x2可以是( AC )
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第四章 三角函数、解三角形
考试要求
1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第4章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
思维升华
应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的 最值问题.
跟踪训练2 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭 牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇 形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA， CD与 BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数表达式；
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(多选)已知角 θ 的终边经过点(－2，－ 3)，且 θ 与 α 的终边
关于 x 轴对称，则下列选项正确的是
√A.sin θ＝－
21 7
B.α 为钝角
√C.cos α＝－277
√D.点(tan θ，sin α)在第一象限
角 θ 的终边经过点(－2，－ 3)，sin θ＝－ 721，A 正确； θ 与 α 的终边关于 x 轴对称，由题意得 α 的终边经过点(－2， 3)， α 为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－277，B 错误，C 正确； 因为 tan θ＝ 23>0，sin α＝ 721>0， 所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确.
落实主干知识
知识梳理
1.角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 端点 旋转所成的图形.
按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、_零__角___ (2)分类 按终边位置不同分为 象限角 和轴线角. (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个 角叫做互为相反角.角α的相反角记为 －α . (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个 集合S＝ {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} .
2025年高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制、三角函数的概念【课件】
（2）当这个扇形的面积取得最大值时，求圆心角的大小和弦 的长.
【解】 因为 ,所以 ,当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.故扇形面积的最大值为1，此时 ， .
扇形的弧长、面积问题的解题策略
（1）明确弧度制下弧长公式 ,扇形的面积公式是 （其中 是扇形的弧长， 是扇形的圆心角）.
（2）求扇形面积的关键是已知扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.[注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度.
【对点训练】
1.(2022·高考全国卷甲)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图， 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， .“会圆术”给出 的弧长的近
A. B. C. D.
解析：选C. ，所以 角与 角的终边相同，所以与 角终边相同的角可写作 , .
√
3.若 且 ，则角 所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：选D.若 ,则角 在第三或第四象限，若 ，则角 在第二或第四象限，所以当 且 时，角 在第四象限.故选D.
解析：由题知点 到原点的距离 ，则 ， , .
2. 角是第____象限角.
三
解析：因为 ， ，所以 角是第三象限角.
核心考点 师生共研
02
考点一 任意角与终边相同的角（自主练透）
1.（多选）下列命题中正确的有( )
A. 是第二象限角 B. 是第三象限角C. 角是第四象限角 D. 角是第一象限角
第四章 三角函数
4.1-任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求
考情分析
1.了解任意角、弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.