四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三4月月考数学(文)试题

成都龙泉中学2018届高三下学期4月月考试题数 学（文科）（考试时间：120分钟 全卷满分：150分 ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{0，1，2，3}， N ＝{x |12＜2x ＜4}，则集合M ∩(C R N )等于A ．{0，1，2}B ．{2，3}C ．O /D ．{0，1，2，3}2.复数22iz i=-（i 为虚数单位）所对应的的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为 A.π33 B.π316 C.π326D.π27332 4..在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝ A.3B.4C.5D.65.已知实数0.30.120.31.7,0.9,log 5,log 1.8a b c d ====，那么它们的大小关系是 A. c a b d >>> B. a b c d >>> C. c b a d >>> D. c a d b >>>6.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-241y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为A ．5B ．6 C.213D ．7 7.函数2()2f x x x =-+,[1,3]x ∈-,则任取一点0[1,3]x ∈-,使得0()f x ≥0的概率为 A.16 B.13 C. 23 D. 12开始1k =1?ba≤输出b结束是否 2,03a b ==2()3ka k =⋅b a =1k k =+ 8.已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，BC ＝2AD ，直线AD 与底面BCD 所成角为π3，则此时三棱锥外接球的体积为 A.8π B.2π3 C 42π3 D.823π 9.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是A.1B.89C.23D.1210.若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项 和的值最大时，n 的值是 A.6B.7C.8D.911.已知椭圆2221(0)8x yb b+=>与y 轴交于,A B 两点，12,F F 为该椭圆的左、右焦点，则四边形12AF BF 面积的最大值为A.4B.43C.8D.8312．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,1)=-a ，(2,)y =-b ，若//a b ，则⋅a b = .14．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+ 则=2z x y -的最大值为____.15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.16.下列四个命题：①若△ABC 的面积为32，c ＝2，A ＝60°，则a 的值为3；②等差数列{a n }中，a 1=2，a 1，a 3，a 4成等比数列，则公差为﹣； ③已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；④在△ABC 中，若sin 2A ＜sin 2B+sin 2C ，则△ABC 为锐角三角形．其中正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =++． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，()3f B =，2b =，3a c b +=，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品， 根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，45,DAB PD ∠=⊥ 平面ABCD ，1AD =，点E 为AB 上一点，且AEk AB=，点F 为PD 中点. （1）若12k =，求证：直线//AF 平面PEC ； （2）是否存在一个常数k ，使得平面PDE ⊥平面PAB ，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

20.（本小题满分12分）已知圆1C ：2260x y x ++=关于直线1l ：21y x =+对称的圆为C ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点(10)-，作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB （AB 和OS 为对角线）中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()xe f x x=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点2(2,)2e P 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()2(ln )f x x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点. （1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：（1）若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；（2）a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.成都龙泉中学2018届高三下学期4月月考试题数 学（文科）参考答案1—5 BBDAA 6—10 CDDBB 11—12 CD13.4- 14. 4 15. 3216.①③17.解：（1）2()3sin 22cos 12f x x x =+-+ 3sin 2cos22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， πππ7π022666x x ∴+ ≤≤，≤≤， π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．（2）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+< ，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=， 又3a c b +=，代入上式解得83ac =， ∴ABC △的面积1123sin sin 60223S ac B ac ==︒=． 18.解：（Ⅰ）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=2分当1x c ≤≤时，16P x=-， 21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=---4分综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩-6分 （Ⅱ）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0 当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号-8分所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =-11分综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润---12分 19.(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴12FM CD =. ∵21=k ，ABCD 为菱形∴FM AB AE ==21，且AE ∥FM ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM . ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ………………6分(Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面P AB .∵k ABAE=，1AB =，22=k ，∴22AE =. 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE .∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面P AB . …………………12分 20.解析:（Ⅰ）圆1C 化为标准方程为22(3)9x y ++=，设圆1C 的圆心1(30)C -，关于直线1l ：21y x =+的对称点为()C a b ，，则11CC t k k =-，且1CC 的中点322a b M -⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1l ：21y x =+上，所以有213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，MFE BDCAP所以圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=．（Ⅱ）由||||||OS OA OB BA =-=，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥． 要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即：12120x x y y +=．①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆C ：22(1)(2)9x y -++=交于两点(152)A --，，(152)B ---，．因为(1)(1)(52)(52)0OA OB ⋅=--+---=，所以OA OB ⊥， 所以当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =-满足条件． ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+． 设11()A x y ，，22()B x y ， 由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩得：2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=．由于点(10)-，在圆C 内部，所以0∆>恒成立， 21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+， 要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，也就是：21212(1)(1)0x x k x x +++=整理得：22222244242(1)011k k k k k k k k+-+-+-⋅=++ 解得：1k =，所以直线l 的方程为1y x =+存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交于A ，B 两点，且平行四边形OASB 对角线相等．21.解：（Ⅰ）∵()x e f x x =，∴2(1)'()x e x f x x -=，2'(2)4e f =，又切点为2(2,)2e ， 所以切线方程为22(2)24e e y x -=-，即240e x y -=． （Ⅱ）设函数()()2(ln )22ln x e g xf x x x x x x =--=-+，2(2)(1)'()x e x x g x x--=，(0,)x ∈+∞， 设()2xh x e x =-，(0,)x ∈+∞，则'()2xh x e =-，令'()0h x =，则ln 2x =， 所以(0,ln 2)x ∈，'()0h x <；(ln 2,)x ∈+∞，'()0h x >．则()(ln 2)22ln 20h x h ≥=->，令2(2)(1)'()0x e x x g x x --==1x =， 所以(0,1)x ∈，'()0g x <；(1,)x ∈+∞，'()0g x >；则min ()(1)20g x g e ==->，从而有当(0,)x ∈+∞，()2(ln )f x x x >-． 22.(1)证明 由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0). 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)解 由(1)可知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞).23.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2, 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ， 则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是 (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.。