正方形弦图讲解及应用讲
【初数】几何专业题材课程(共9讲)第07讲正方形与弦图
一、正方形的弦图早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图（左）就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”：易知△AEF 、△RFE 、△D F G 、△OGF 、△BHE 、△QEH 、△PHG 、△CGH 都全等．其中我们把正方形的弦图分为内弦图和外弦图（见下图）．通常情况下，弦图中垂直往往对应着全等，由全等得出对应边相等，对应角相等．由三角形全等，可知他们的面积相等，设它们的面积都为a ，则=4EFGH OPRQ S a S +正方形正方形，=8+ABCD OPQR S a S 正方形正方形，于是可得出如下结论：()1=+2EFGH ABCD OPQR S S S 正方形正方形正方形 正方形的弦图可以推广延伸到矩形和平行四边形中去，见（右）图： 易知()1=+2ABCD OPQR EFGH S S S 矩形矩形四边形第七讲：正方形与弦图知识点睛F GHABD E C O P RQ F GHABD E COP RQ例题精讲【例1】正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图①（1）请你通过观察或测量BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系．若点P在DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明．【例2】如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．【例3】如图，E是BC上的一点，90B C∠=∠=︒，且Rt△ABE≌Rt△ECD．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）若△AED的面积是252，△ABE的面积是6，求△ABE的周长．【例4】如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE BF CG DH===，AF、BG、CH、DE分别相交于点'A、'B、'C、'D．求证：四边形''''A B C D是正方形．【例5】如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．（1）判定四边形PQEF的形状；（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？【例6】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：45FCN∠=︒，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则∠FCN等于多少度？请说明理由．【例7】（1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明AE BF．（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？请说明理由．【例8】（2009•威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA EB FC GD===，连接EG，F H，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1====cm，则图3中阴影部分的面HA EB FC GD积为_______cm2．【例9】（1）已知△ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC、斜边AB为边向外作正方形BCEF、ABMN，如图甲，连接MF，延长CB交MF于D．试观测DF与DM的长度关系，你会发现__________（2）如果将（1）中的△ABC改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图乙，这时D点还具有（1）的结论吗？请证明你的判断．（3）如果将（1）中的△ABC改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图丙，则应在图中过B点作△ABC的______线，它与MF的交点D恰好也具有（1）的结论．请证明在你的作法下结论的正确性．【例10】 如图1，在△ABC 和△ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．（1）求证：ABD ACE S S =△△；（2）如图2，AM 是△ACE 的中线，MA 的延长线交BD 于N ，求证：MN ⊥BD ．【例11】 （2005•河北）操作示例：对于边长为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED ． 从拼接的过程容易得到结论： ①四边形BNED 是正方形； ②ABCD EFGH BNED S S S +=正方形正方形正方形． 实践与探究：（1）对于边长分别为a ，b （a b >）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图2所示的方式摆放，连接DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ；①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表示正方形MNED 的面积；②在图2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．【例12】阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．小明的做法是：先取2n=，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是1；5请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）取3n=，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（直接写出结果）；（2）在图4中探究，4n=时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（在图4上画图并直接写出结果）；（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为____________（用含n的代数式表示）；（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．【作业1】如图，已知在正方形ABCD中，E为DC的中点，连接BE，作CF⊥BE于P，交AD于F点，求证：F是AD的中点．【作业2】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C是直角，直线NM过点C，BP⊥MN于P，AQ⊥MN 于Q，3BP=，4AQ=，求PQ的长．课后作业【作业3】如图，已知四边形ABCD 是正方形，分别过A 、C 两点作1l ∥2l ，作BM ⊥1l 于M ，DN ⊥1l 于N ，直线MB 、ND 分别交2l 于Q 、P ．求证：四边形PQMN 是正方形．【作业4】如图，点'A 、'B 、'C 、'D 分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA BB CC DD '='='='，求证：''A C 与''B D 互相垂直且相等．。
第1讲 巧解“弦图”与面积(解析)
第一讲巧解“弦图”与面积“弦图”是由八个完全一样的直角三角形组拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形，如图所示。
“弦图”的特点：(1)小长方形长宽之和＝大正方形边长；(2)小长方形长宽之差＝小正方形边长。
根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。
(1) 一张5×5的方格纸，每个方格都编了号码（如下图）。
挖去一个方格后，可以剪成8个1×3的长方形，那么应挖去的方格的编号是几？答案：挖去13号解析：利用弦图的方法，画一画，便很容易看出，挖去的方格的编号应为13。
剪成的8个长方形分别是：（1）1号、6号、11号；（2）2号、7号、12号；（3）3号、4号、5号；（4）8号、9号、10号；（5）14号、19号、24号；（6）15号、20号、25号；（7）16号、17号、18号；（8）21号、22号、23号。
结果如右上图。
(2)用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见下图）。
边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为900平方厘米。
问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？答案：长：24；宽：18解析：由题中信息可以先求到大正方形与小正方形的边长。
（1）900＝30×30 →小正方形的边长为30厘米（2）大正方形的边长：264÷4＝66（厘米）（3）观察图形可知：2长＋1宽＝66→①2长－1宽＝30→②（4）利用消去法将①、②相加可得：长为：（66＋30）÷4＝24（厘米）宽为：66－24×2＝18厘米(3)大、小两个长方形摆成如下图所示的形状，小长方形的长是宽是2倍。
如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？答案：大：112；小：72解析：四个角上是边长为1厘米的小正方形，图中最小的长方形的宽为1厘米。
正方形弦图讲解及应用讲
正方形弦图讲解及应正方形弦图【例1】⑴如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为_______cm2⑵如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1 与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积为()【例2】如图，正方形ABCD的边长为5，直线l1∥l2∥l3∥l4，且直线l2和直线l3之间的距离为1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，⑴证明：△AED≌△CFB⑵求直线l1与l2之间的距离h。
【例3】已知：直角梯形ABCD中，AD ∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE连结AE，CE。
⑴当α＝45°时，求△EAD的面积；⑵当α＝30°时，求△EAD的面积；⑶当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有何关系?若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系；若无关，请证明结论。
【例4】如图，直角梯形ABCD中，AD ∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP⊥l于P，求证：2EP＋AD＝2CD。
【例5】已知△ABC，∠ABC=90°，以AB、AC为边向三角形外作正方形ABDE和ACFG 延长BA交EG于H，求证：⑴S△AEG＝S△ABC ⑵BC＝2AH。
【例6】⑴已知：如图1，△ABC，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF 直线AN垂直BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q，判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；⑵如图2，直角梯形ABCD中，AD ∥BC，分别以AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF 线段AD的垂直平分线交线段AD于M，交BC于N若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q，⑴中结论还成立吗？请说明理由。
专题材料-第3讲：弦图专题-讲义
弦图专题弦图弦图1.利用弦图或其衍生图来解决数学问题；2.弦图相关题型中，掌握作辅助线构造图形的方法。
1.勾股定理的应用；2.外弦图；3.内线弦图。
赵爽，又名婴，字君卿。
中国古代数学家、天文学家。
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。
其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。
它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。
”勾股定理的利用勾股定理的证明方法是多样的，而它们的共性是利用图形的面积证明。
在解题的过程中灵活的应用勾股定理：直角三角形↔三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
例1.(1)图(a)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(b)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______。
(2)如图(c)所示，直线L 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积是5和11，则b 的面积为_________。
练习1.勾股定理被誉为“几何明珠”,在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的,︒=∠90BAC ,3=AB ,4=AC ,点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ 的边上,则长方形KLMJ 的面积为()A.90 B.100 C.110 D.121方法1：直接利用勾股定理；方法2：把勾股定理和正方形面积联系到一起。
例2.如图,正方形ABCD 的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH 的长为()A.538 B.22 C.514D.25练习1.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，……，按照此规律继续下去，则9S 的值为（）。
人教版初二数学讲义《特殊图形的旋转与弦图》
题型切片（两个）对应题目题型目标正方形弦图 例1，例2，练习1，练习2；特殊图形中的旋转例3，练习3；例4，练习4；例5，练习5；例6．本讲内容主要分为两个题型，题型一为正方形弦图，重点在于弦图的构造，这种能力对于做一些正方形的题目有辅助作用，这就要求学生对弦图比较熟悉，不断通过相关题目进行训练；题型二为特殊图形中的旋转变换，在该版块中列举了三个常考图形——等腰直角三角形，等边三角编写思路题型切片知识互联网7特殊图形的旋转 与正方形弦图形以及正方形，一般情况下旋转的角度分别为90°，60°和90°，旋转其它度数的题目在探究中略有罗列，老师可对旋转题型在此做适当的总结．本讲的最后一道例题是2013年朝阳一模第22题，是一道动手操作题与旋转的结合，综合性比较强，难度较大，需要学生不仅对弦图理解较深入，且对旋转运用熟练，计算量也比较大，程度较好的班级可以适当拓展2013海淀一模22题，借此对此题型进行补充及完善．正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模型“三垂直模型”．①外弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 两两全等②内弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 两两全等【例1】 如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25． ⑴ 连接EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等． ⑵ 求h 的值．Gl 2l 1l 3l 4l 4l 3l 1l 2BH G A BCDE FF E DCB A【解析】 ⑴ 由题意可知ABE FEB EFD CDF △≌△≌△≌△，∴面积均相等．⑵ 方法一：过点A 作直线3l 的垂线AH ，交2l 于点G ．由弦图可证明ABG DAH △≌△， ∴ HD AG h ==典题精练题型一：旋转的构造在AHD △中，()22225h h += 解得5h =方法二：分别过B D 、作直线4l 的垂线，利用弦图证明．【例2】 如图，向ABC △的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H ，AH的反向延长线与EG 交于P ．求证：2BC AP =．【解析】 方法一：过点E 、G 分别作AP 的垂线，垂足为K 、Q ．在AEK △和BAH △中∵90EAK BAH ∠+∠=︒，90BAH ABH ∠+∠=︒ ∴EAK ABH ∠=∠AKE BHAEAK ABH AE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEK BAH △≌△∴AK BH =同理ACH GAQ △≌△ ∴CH AQ =在PEK △和PGQ △中 EKP GQP KPE QPG EK GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PEK PGQ △≌△ ∴PK PQ =∴BC BH CH AK AQ AQ PQ PK AQ =+=+=+++ 即()22BC AQ PQ AP =+=．方法二：延长AP 至点K ，使得AK BC =． 连接EK ． ∵AB AE ⊥∴90EAK BAH ∠+∠=︒ ∵AH BC ⊥∴90ABH BAH ∠+∠=︒ ∴EAK ABC ∠=∠ 同理，PAG ACB ∠=∠ ∵AE AB =，AK BC = ∴EAK ABC △≌△∴AC EK AG ==，∠=∠=∠ACB EKA PAG ∴EK AG ∥∴EKP GAP △≌△∴1122PA KP AK BC ===，即2BC AP =．【点评】 此题是非常经典的“婆罗摩笈多”定理的一部分，由此图可以总结以下几个结论：⑴ ABC AEG S S =△△；⑵ 若AH BC ⊥，则EP PG =，2BC AP =；G A B C DE F H P⑶ 若EP PG =，则AH BC ⊥，2BC AP =．等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°）EDCB A②①FE DC B APFEDCBAGFEDCBA【例3】 已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠．【解析】 延长EC 至F ，使CF CE =，连结AF 、DFCE BC CF CE ⊥=，， DF DE ∴=又CE BC ⊥，FDC CDE ∴∠=∠9045BAC AB AC B ACB ∠=︒=∴∠=∠=︒，，45ACF ∴∠=︒ B ACF ∴∠=∠,BD CE CF CE ==,BD CF ∴=在ABD △与ACF △中 F F AB AC B AC BD C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACF ∴≅△△SAS （）思路导航典题精练题型二： 特殊图形中的旋转FEDCBAA BC DEP'BPACBP ,AD AF BAD CAF ∴=∠=∠， AD F AFD ∴∠=∠90BAD DAC ∠+∠=︒，90CAF DAC ∴∠+∠=︒ 45ADF ∴∠=︒45BAD ADC B ADC ∠=∠-∠=∠-︒,45FDC ADC ADF ADC ∠=∠-∠=∠-︒， BAD FDC ∴∠=∠BAD CDE ∴∠=∠．【例4】 ⑴如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数． 【解析】 如图，作BQ =BP ，且∠CBQ =∠ABP连接PQ 、CQ∴△ABP ≌△CBQ （SAS ） ∴∠PBQ =60°∴△PBQ 是等边三角形 ∴PQ=PB =4∵3QC PA ==，5PC =∴PCQ △是直角三角形，且90PQC =︒∠ 又∵60PQB =︒∠， ∴150CQB =︒∠由全等知，∠APB =∠CQB ∴150APB =︒∠⑵如图，若P 是等边△ABC 外的一点，其他条件不变，求∠APB 的度数.【分析】 此题最常见的三种做法：分别以题中的已知三边各自向外作等边三角形，去构造手拉手数学模型，然后证明手拉手模型中两个旋转三角形全等.目的是要把已知的三边3,4,5构造在直角三角形中.【解析】 方法一：以PA 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形AMP ，则MAB PAC ∠=∠， ∴MAB PAC ∆∆≌，∴4PB =，5BM =，3MP =，∴90BPM ∠=︒，906030BPA ∠=︒-︒=︒．方法二：以PB 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形PBN ,证法参照方法一方法三：如图，作CP '，使CP CP '=，ACP BCP '=∠∠，连接PP '显然，ACP BCP '△≌△，∴ACP BCP '=∠∠，3AP BP '== ∴60PCP '=︒∠，∴PCP '△是等边三角形．C ABP ABC P Q∴5PP PC '==，在PBP '△中 ∵4PB =，3BP '=，5PP '= ∵222PP PB BP ''=+， ∴90PBP '=︒∠∴90BP C P CP CPB ''++=︒∠∠∠ ∴30BP C CPB '+=︒∠∠ ∴30APC CPB +=︒∠∠ 即30APB =︒∠【例5】 如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且5PA =，2BP =，1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．PDCBAEP'PDCBA【解析】 如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得BP A '△，则BPC BP A '△≌△．∴1AP PC '==，2BP BP '==． 连接PP '，在Rt BP P '△中，∵2BP BP '==，90PBP '∠=°， ∴2PP '=，45BP P '∠=°．在AP P '△中，1AP '=，2PP '=，5AP =， ∵22212(5)+=，即222AP PP AP ''+=． ∴AP P '△是直角三角形，即90AP P '∠=°． ∴135AP B '∠=°．∴135BPC AP B '∠=∠=°．过点B 作BE AP '⊥交AP '的延长线于点E ． ∴45EP B '∠=°．∴1EP BE '==．∴2AE =． ∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得5AB =．∴135BPC ∠=°，正方形边长为5．【例6】 小雨遇到这样一个问题：如图1，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．真题赏析图 1l 1l 2l 3图 2ABCDE Hl 3l 2l 1小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线1l 任取一点A ，作AD ⊥2l 于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交3l 于B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线2l 于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是2，2l 与3l 之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹） （2013朝阳一模）l 3l 2l 1图 3【解析】 图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于5．如图，图3中等边三角形ABC 的面积等于733．连接DE ，过E 作EH ⊥l 3于H ，△ADE 为等边三角形， 故在四边形ADFE 中∠DFE =120°，且∠EDG =30°， 故EG =1，EH =2，BE =433，AE =2，AB =2213∴S △ABC =733 【拓展】问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD ，使它的顶点A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上，并计算它的边长.AED CBl 3l 2l 1HGF AED CB l 3l 2l 1图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（2）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4 【解析】 （1）5（2）①如图： (答案不唯一)②7215.【探究】旋转模型探究【探究1】三垂直全等模型(弦图)；【变式1】直线232+=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求将AB 绕点A 逆时针旋转45°所得到的直线解析式.【解析】如图，可得()52,C -，则AC 的解析式为y =5x +15. 【探究2】等线段，共端点 【变式2】中点旋转(旋转180°)CBD'C例：在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6G E F D BCA【解析】 D E =5．11【变式3】普通等线段，共端点；例：如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC +DE =CD ，∠BAE ＝∠BCD ＝120°，∠ABC ＋∠AED ＝180°，连结AD 。
中考数学几何模型之弦图模型(解析版)
中考数学几何模型：弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.变式练习>>>1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.变式练习>>>2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.变式练习>>>3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．例题5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上， （1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点； （2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.达标检测领悟提升强化落实1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为5．【解答】解：如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4∴MN＝2，AB＝2∵四边形EFGH是正方形∴FO＝HO，EH∥FG∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH∴DH＝AE＝2，∴AH＝6∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5故答案为53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于6．【解答】解：（1）如图，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAG+∠BAC＝180°，∵∠EAG+∠EAQ＝180°，∴∠EAQ＝∠BAC，∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．4．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC ＝3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．【解答】解：（1）思路一、如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．5．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上一点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．①求证：AF+AB＝BC②判断FD与DC的关系并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：①∵AD＝BC，∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．②∵AF⊥AB，∴∠F AD＝90°，又∵∠DBC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，∵AF＝BD，AD＝BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD与△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△F AD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．6．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为；（直接写出结果）【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DP A＝90°，∴∠AQT＝∠DP A．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，；∴，故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，由②﹣①得x＝2y﹣3③，解方程组，得（舍去），或，∴AR＝3+x＝，∴＝＝．7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．求证：2EP+AD＝2CD．【解答】证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，∵l是AD的垂直平分线，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，又∵四边形ABCD是直角梯形，∴四边形AHCD是矩形，∴AH＝CD，∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四边形AGPM是矩形，∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．8．提出问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（1）探索CE与BG的关系；（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等？说明理由．（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG 是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积为74m2．【解答】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；（2）如图1，过点E作EH⊥AG交GA延长线于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，∴∠EAH＝∠BAC，在△EHA和△BCA中，，∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，∴S△ABC＝S△AGE，（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，∴CD＝5m，∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG∴S六边形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG ＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG＝52+42+×4×3+32+×4×3＝25+16+6+9+18＝74（m2）．故答案为74m2．9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽＝2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A 顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，∵四边形ABCD为正方形∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，故答案为：；（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE＝1，BF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝，∴AB＝＝；如图3当AB＞BC时，同理可得：BC＝，∴矩形的宽为：，；（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，∵∠OAE′＝30°，则∠E′FN＝60°∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．10．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG （点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE＝90°，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，在△EFH和△CED中，，∴△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB+AH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：则FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，∴BF＝＝＝；（3）分三种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC延长线于K．如图3所示：同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），∴AE＝1；②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．③当点E在AD上时，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，解得AE＝5或﹣1，5＞4不符合题意．综上所述：AE的长为1或2+．。
部编版六年级数学暑假第9讲.弦图
【分析】边长 5 厘米．拼法如图：
１０ 第 １１ 级上 优秀 Ａ 版 教师版
第九讲
4.
（第 7 届日本算术奥林匹克决赛试题）
在直角边为 3 与 4 的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如左下图所
示的六边形 ABCDEF ．求这个六边形的面积是多少？
F
F
E A
3
B
4
E A
3
B
６ 第 １１ 级上 优秀 Ａ 版 教师版
第九讲
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的 证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅《勾股圆方图》， 用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标就取 材于赵爽的《勾股圆方图》.
4
C
D
C
D
【分析】根据图中三个正方形的特点，我们以直角三角形的斜边上的正方形为基础来构造弦图(如右
上图)．这样，弦图中的 4 个直角三角形都与原直角三角形相同，中间阴影小正方形的面积
【分析】这个梯形的面积为 S (a b)(a b) 2 a2 2ab b2 ，也可以用左右 2 个三角形和中间大 2
三角形的和来表示 S ab ab c2 所以有 a2 2ab b2 ab ab c2 ，即 a2 b2 c2
222
2
222
杯赛提高
如图，长方形中被嵌入了 8 个相同的正方形．已知长 20 厘米，宽 16 厘米，那么每一个正方形的面
积为
平方厘米．
【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为 a ，短直角
初中数学解题模型专题讲解27---弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用
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内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为α 的三角形的对边已知，α 能成为一个正多边形的外角(即剩下
2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其 面积最大值；
内弦图
图1
图2
弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面 积最大值问题.
例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；
(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.
解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角
形组
成外弦图，直角三角形面积等于外
正方形的面
的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结
果.
外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小
值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的
1 面积最大值为： ×2×2=2.
2
分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定 值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决 这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们 能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而 且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.
1 S = absinA 、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，
2 发现 90°和 120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角 可以是 45°！我们应当放弃这种方法！
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正方形弦图讲解及应
正方形弦图
【例1】
⑴如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为_______cm2
⑵如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1 与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积为()
【例2】
如图，正方形ABCD的边长为5，直线l1∥l2∥l3∥l4，且直线l2和直线l3之间的距离为1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，
⑴证明：△AED≌△CFB
⑵求直线l1与l2之间的距离h。
【例3】
已知：直角梯形ABCD中，AD ∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE连结AE，CE。
⑴当α＝45°时，求△EAD的面积；
⑵当α＝30°时，求△EAD的面积；
⑶当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有何关系?若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系；若无关，请证明结论。
【例4】
如图，直角梯形ABCD中，AD ∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP⊥l于P，求证：2EP＋AD＝2CD。
【例5】
已知△ABC，∠ABC=90°，以AB、AC为边向三角形外作正方形ABDE和ACFG 延长BA交EG于H，
求证：⑴S△AEG＝S△ABC ⑵BC＝2AH。
【例6】
⑴已知：如图1，△ABC，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF 直
线AN垂直BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q，判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；
⑵如图2，直角梯形ABCD中，AD ∥BC，分别以AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF 线段AD的垂直平分线交线段AD于M，交BC于N若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q，⑴中结论还成立吗？请说明理由。
【例7】
如图向△ABC外作正方形ABDE、正方形ACFG过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于P，求证：BC＝2AP。