“弦图”巧解题
初中数学辅助线添加技巧：弦图
初中数学辅助线添加技巧：弦图勾股的几个重要证明方法证法一（赵爽证明）：以a 、b 为直角边（b >a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．c b aHG F EDCBA∵ Rt △DAH ≌ Rt △ABE ， ∴ ∠HDA = ∠EAB ． ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2． ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ，∠HEF = 90º．∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2b a -． ∴()22142ab b a c ⨯+-= ．∴ 222a b c +=．证法二（邹元治证明）：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ． 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上．cb a HGFED CBA∵ Rt △HAE ≌ Rt △EBF ， ∴ ∠AHE = ∠BEF ． ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º． ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º．∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形．它的面积等于c 2． ∵ Rt △GDH ≌ Rt △HAE ， ∴ ∠HGD =∠EHA ． ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º． 又∵ ∠GHE = 90º， ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º．∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2a b +． ∴ ()22142a b ab c +=⨯+．∴ 222a b c +=．证法三（陈杰证明）：直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形的面积为S ．c b a Ic b a HGF EDCBA∵△ABH ≌ △HEF ， ∴BAH EHF ∠=∠，∴90BAH AHB EHF AHB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90AHF ∠=︒，∴四边形AHFI 是正方形．∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+，∴222a b ab c ab ++=+， ∴222a b c +=．证法四（1876年美国总统Garfield 证明）：c b a cb ED C BA以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上． ∵ Rt △EAD ≌ Rt △CBE ， ∴ ∠ADE = ∠BEC ． ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º， ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º． ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º． ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于212c ．又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º， ∴ AD ∥BC ．∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()212a b +． ∴()221112222a b ab c +=⨯+． ∴222a b c +=．证法五（总统证法变形）：如图，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90º至AB'C'D'的位置，连接CC'．设,,AB a BC b AC c ===．B'C'D'c b aD C BA∵四边形BCC'D'为直角梯形，∴()()2122'D'a b S BC C'D'BD'+=+=梯形BCC ． ∵Rt Rt ABC AB'C'△≌△， ∴BAC B'AC'∠=∠．∴2211122222ABC CAC'D'AC''D'c abS S S S ab c ab +=++=++=△△△梯形BCC ． ∴()22222a b c ab++=．∴222a b c +=．证法六（梅文鼎证明）：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ． 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上． 过C 作AC 的延长线交DF 于点P ．a b c a b c a bc P cb a HG F E DC BA∵ D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △GEF ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º． 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形． ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º． ∵ Rt △ABC ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠ABC = ∠EBD ． ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º． 即∠CBD = 90º．又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a ． ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形． 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形．设多边形GHCBE 的面积为S ，则222112,222a b S ab c S ab +=+⨯=+⨯∴222a b c +=．勾股定理的证明方法较多，这是其中的几种．方法总结：勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的． 观察上面的证明方法可发现：每个图形中都可以提炼出一个相同的模型——三垂直全等模型．如下图所示．三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时只需一半弦图——三垂直全等模型．图a 与图b 是三垂直全等模型经过直角三角形位置变化之后所得到的另外两个有三垂直和全等三角形的图形，在做题时可参考．图b图a典例精析例1．（1）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图1CBA（2）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积是5和11，则b 的面积为 ．b a cCEDBA解：（1）76；（2）16例2如图1——图3，两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀，使之拼成一个新的正方形．（1）如图1，若正方形边长分别为1、2，请在图中画出剪切线；（2）如图2，若正方形的边长分别为a 、b （a >b ），请画出剪切线并标出各边的长度； （3）若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图3中画出剪切线．图3图2图1解：（1）、（2）、（3）的剪切线如图a 、图b 、图c 所示：图c图b图a点拨：图c 是证明勾股定理中非常有名的“朱青出入图”． 例3．如图，已知ADBC ，ABE △和CDF △是等腰直角三角形，90,2,5EAB FDC AD BC ∠=∠=︒==，求四边形AEDF 的面积．CFEDBA解：分别过点E 、B 作EN AD ⊥，BM AD ⊥交DA 的延长线于点N 、M ，分别过点F 、C 作FP AD ⊥，CQ AD ⊥，交AD 及AD 延长线于点P 、Q ．NM QP CFEDBAAED ADF EAFD S S S =+△△四边形 ()111222AD EN AD FP AD EN FP =+=+ ∵△AEB 和△FDC 都是等腰直角三角形， ∴90,,EAB FDC AE AB DF CD ∠=∠=︒==． ∵EN AD ⊥，BM AD ⊥，FP AD ⊥，CQ AD ⊥， ∴90BMN ENA FPD DQC ∠=∠=∠=∠=︒． ∴,ENA MBA FPD QCD ∠=∠∠=∠． ∴,ENA AMB FPD DQC △≌△△≌△． ∴,EN AM FP DQ ==．∴EN FP AM DQ MQ AD +=+=-． ∵ADBC ，BM CQ ，且90BMN ∠=︒，∴四边形BMQC 是矩形． ∴BC MQ =． ∵5,2BC AD ==，∴523EN FP +=-=． ∴12332EAFD S =⨯⨯=四边形．例4． 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =a ，AC =b ，以其各边向外作正方形，得到一个凸六边形DEFGHI ．（1）求这个六边形的面积；（2）试判断线段EF 、GH 、DI 能否构成三角形，若能，探求该三角形的面积与△ABC 面积的关系；若不能，请说明理由．ZY XW 图3图2图1A B C H ID EF GAB C HI D E FGH P IC GFEDB A解：（1）如上图2，作出正方形ABDE 的内弦图，则易知四个直角三角形全等． 则AZ WB AF ==，那么AWB AZE DYE BXD ABC S S S S S ====△△△△△．又∵,,EAF EAZ DBI DBX GCH ABC S S S S S S ===△△△△△△，且AEF ABC CGH BID S S S S ===△△△△，4ABC AFGC BCHI ABDE DEFGHI S S S S S =+++△正方形正方形正方形六边形 222142a b c ab =+++⨯22222a b ab =++．（2）线段EF 、GH 、DI 能构成三角形． 如图3，过点F 作FPGH 交AC 于点P ，连接EP 、IP ，易证四边形FPHG 是平行四边形，PHI ACB △≌△， ∴四边形PIDE 也是平行四边形． 那么,AFP GCH BID APE △≌△△≌△．∴EF 、GH 、DI 可能构成三角形，即EPF △，面积为3ABC S △．点拨：以三角形三边为边向外分别作正方形的题型，可能构造弦图或者作平行线构造平行四边形，利用弦图的性质，三角形全等或者面积关系来解题．例5． 将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °． 问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．AB CEFG PQ图3解：情景观察：AD 或A′D ；90． 问题探究：结论：EP =FQ ． 证明：∵△ABE 是等腰三角形， ∴AB =AE ，∠BAE=90°． ∴∠BAG +∠EAP =90°． ∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP ． ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EPA =90°， ∴Rt △ABG ≌Rt △EAP ． ∴AG =EP ．同理AG =FQ ． ∴EP =FQ ． 举一反三如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ．设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于点P ，FQ ⊥l 于点Q ．求证：EP =FQ ．图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'HNM QP Ll CGFEDBA点拨：这两道题图形较复杂，但解题的思路很清晰，仍是构造三垂直全等模型，添加了辅助线问题就迎刃而解了．例6． 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，EP ⊥l 于点P ．求证：2EP +AD =2CD ．M P l CFED BA解：作AH BC ⊥于点H ，延长EP 交AH 于点G ．54321M PlCFEDBA∵l 是AD 的垂直平分线， ∴1,2AM DM AD l AH ==．又∵ABCD 是梯形， ∴90C D ∠=∠=︒． ∴四边形AHCD 是矩形， ∴AH CD =． 又∵PE l ⊥，∴EH AH ⊥，∴四边形AGPM 是矩形， ∴12GP AM AD ==， ∴1290∠=∠=︒． ∴3490∠+∠=︒．在正方形ABFE 中，,90AB AE BAE =∠=︒， ∴4590∠+∠=︒． ∴35∠=∠．∵12∠=∠，35∠=∠，AB EA =， ∴ABH EAG △≌△．∴AH EG =，即CD AH EG ==．∴12CD GP PE AD PE =+=+，即22CD AD PE =+． 例7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，设BCD α∠=，以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE ．CEDBA（1）当45α=︒时，求EAD △的面积； （2）当30α=︒时，求EAD △的面积；（3）当090α︒<<︒，猜想EAD △的面积与α的大小有无关系？若有关，写出EAD △的面积S 与α的关系式；若无关，请说明理由．解：（1）当45α=︒时，90BCE ∠=︒．延长AD 交DE 于点G ，则AG CE ⊥，点G 是CE 中点，CG EDBA∴四边形ABCG 是矩形，EG =DG =1． ∴112122EAD S AD EG ==⨯⨯△． （2）当30α=︒时，延长AD 交CE 于点G ，过点E 作EH AG ⊥于点H ．HCG ED BA∵30α=︒，∴30CDG ∠=︒，60EDG ∠=︒，DE CD ==． 在Rt EHD △中，12DH DE ==， ∴1， ∴112122EAD S AD EH ==⨯⨯△． （3）分别过E 、C 两点作AD 的垂线，交AD 延长线于点F 、G ，HCG ED BA∴90EFG AGC ∠=∠=︒， ∵,ADBC AB BC ⊥，∴90B BAD ∠=∠=︒， B BAD AGC ∠=∠=∠，∴四边形ABCG 是矩形． ∴3AG BC ==， ∴321DG =-=， ∵90CDE ∠=︒， ∴90CDG EDG ∠+∠=︒， ∵90CDG DCG ∠+∠=︒，∴DCG EDG ∠=∠， ∵CD DE =， ∴CDG DEF △≌△， ∴1DE DG ==， ∴112122EAD S AD EF ==⨯⨯△． ∴EAD △的面积与α的大小无关． 跟踪训练1．如图，点C 为线段AB 上一点，正方形ADEF 和正方形BCDG 的面积分别为10cm 2和5cm 2，则△EDG 的面积为 cm 2．CGFEDBA2．四边形ABCD 是正方形，直线1l ，2l ，3l 分别通过A 、B 、C 三点，且123l l l ，若1l 与2l 的距离为5，2l 与3l 的距离为7，则正方形ABCD 的面积为 ．CDBA3．在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作,BE AG DF AG ⊥⊥，垂足分别为E 、F 两点．探究线段EF 、DF 、BE 三者之间的关系，并证明你的结论．CGFEDBA4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S．若12310S S S++=，则2S的值是．5．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，—4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化？写出你的结论，并说明理由．例6．如图，Rt △PQR 的直角边为5厘米，9厘米．问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？95RQ P FEDCBA7．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图1所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6．5厘米，宽为2厘米的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）．图2图1中考前瞻如图1至图3，点C 为定线段AB 外一动点，以AC 、BC 为边分别向外侧作正方形CADF 和正方形CBEG ，分别作1DD AB ⊥、1EE AB ⊥，垂足分别为1D 、1E ．当C 的位置在直线AB 的同侧变化过程中，（1）如图1，当∠ACB ＝90°，AC =4，BC =3时，求11DD EE +的值；（2）求证：如图2，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，11DD EE +的值为定值； （3）求证：如图3，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，线段DE 的中点M 为定点．图3图2图1A1E 1GAD 1BE 1E GC FD E 1D 1GFEDC B A。
数学苏教版五年级(上册)巧用“弦图”解决面积问题(课件)
一、你知道吗？
弦图（如右图）是由8个 完全一样的直角三角形拼成 4个相同的长方形围成的， 中间空出1个小正方形。
一、你知道吗？
三国时期，中国数学家 在对《周髀算经》作注释时， 就利用“弦图”对勾股定理 作出了严格而简明的证明。
二、例题讲解。
有一大一小的两个正方形 （如右图），对应边之间相距 1米，如果夹在两个正方形之 间的部分的面积为12平方米， 那么大正方形的面积是多少呢？
D：40÷4=10（米） 10×10＝100（平方米）
B、C：220－100＝120（平方米） 120÷2＝60（平平方米）
答：小正方形试验田的面积是36平方米。
B
D
10米
A6米
C
四、练习巩固。
如图，用四个相同的长方形拼成一个面积为100平 方厘米的大正方形，每个长方形的周长是多少厘米？ 10厘米
12÷4=3（平方米）
3÷1＝3（米）
3＋1＝4（米）
4×4＝16（平方米）
答：大正方形的面积是16平方米。
方法二
有一大一小的两个正方形（如右图）， 对应边之间相距1米，如果夹在两个正方形之 间的部分的面积为12平方米，那么大正方形 的面积是多少呢？
12÷4=3（平方米）
3×2÷1＝6（米）
上下底之和是6米， 上下底之差是2米。
因为100＝10×10 所以大正方形的边长＝10厘米 长方形的长+宽＝大正方形的边长＝10厘米 每个长方形的周长＝10×2＝20厘米 答：每个长方形的周长是20厘米。
谢谢大家
二、例题讲解。
有一大一小的两个正方形（如右图），对应边 之间相距1米，如果夹在两个正方形之间的部分的 面积为12平方米，那么大正方形的面积是多少呢？
第1讲 巧解“弦图”与面积(解析)
第一讲巧解“弦图”与面积“弦图”是由八个完全一样的直角三角形组拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形，如图所示。
“弦图”的特点：(1)小长方形长宽之和＝大正方形边长；(2)小长方形长宽之差＝小正方形边长。
根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。
(1) 一张5×5的方格纸，每个方格都编了号码（如下图）。
挖去一个方格后，可以剪成8个1×3的长方形，那么应挖去的方格的编号是几？答案：挖去13号解析：利用弦图的方法，画一画，便很容易看出，挖去的方格的编号应为13。
剪成的8个长方形分别是：（1）1号、6号、11号；（2）2号、7号、12号；（3）3号、4号、5号；（4）8号、9号、10号；（5）14号、19号、24号；（6）15号、20号、25号；（7）16号、17号、18号；（8）21号、22号、23号。
结果如右上图。
(2)用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见下图）。
边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为900平方厘米。
问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？答案：长：24；宽：18解析：由题中信息可以先求到大正方形与小正方形的边长。
（1）900＝30×30 →小正方形的边长为30厘米（2）大正方形的边长：264÷4＝66（厘米）（3）观察图形可知：2长＋1宽＝66→①2长－1宽＝30→②（4）利用消去法将①、②相加可得：长为：（66＋30）÷4＝24（厘米）宽为：66－24×2＝18厘米(3)大、小两个长方形摆成如下图所示的形状，小长方形的长是宽是2倍。
如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？答案：大：112；小：72解析：四个角上是边长为1厘米的小正方形，图中最小的长方形的宽为1厘米。
五年级数学拔高之巧解“弦图”与面积
第13讲巧解“弦图”与面积巧点睛——方法和技巧三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著《周髀算经》注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。
“弦图”的特点：（1）小长方形长宽之各=大正方形边长；（2）小长方形长宽之差=小正方形边长。
根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是。
解由题给条件“正方形与阴影长方形的边分别平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（10×10-6）÷2+6=47+6=53。
做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。
问：长方形的短边是几米？【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。
如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析 要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。
下面设法求这两个量中的某个量。
图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图“弦图”。
图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3（厘米2）。
又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3（厘米）。
大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。
解法1 一个长方形的面积：12÷4=3（厘米2）， 长方形的长：3÷1=3（厘米）， 大下正方形的边长：3+1=4（厘米）， 大正方形的面积：4×4=16（厘米2）。
几何第17讲_弦图(学生版)A4
勾股弦方图是一种证明勾股定理的图像，具体来说就是：用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股弦方图”中，以弦为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为(2)a b ⨯÷；中间的小正方形边长为()b a -，则面积为2()b a -．于是便可得如下的式子：22 4(2)()a b b a c ⨯⨯÷+-=，化简后便可得：222a b c +=．重难点：弦图的实际应用． 题模一：正方形弦图例1.1.1如图，大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积为_____．例1.1.2如右图，直角三角形PQR 的两个直角边分别为5厘米，9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？例1.1.3如图，四边形CDEF 是正方形．四边形ABCD 是等腰梯形，它的上底4AD =厘米，下底8BC =厘米．求三角形ADE 的面积．几何第17讲_弦图a b例1.1.4如下图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE 垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE ．那么，三角形ACE 的面积是多少平方厘米？题模二：一般四边形弦图例1.2.1如果长方形ABCD 的面积是562cm ，那么四边形MNPQ 的面积是多少2cm ？例1.2.2如图，将矩形ABCD 分成15个大小相等的正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 、CD 边上，且是某个 小正方形的顶点，若四边形EFGH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积为多少？EABCDFFEDC BA235 C PBNAMDQ AF BGCHD E例1.2.3图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．例1.2.4有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为多少?随练 1.1如图，三角形ABC 是直角三角形，四边形ACDE 、FGBA 都是正方形6AB =， 8BC =，那么三角形AEF 的面积是多少？随练1.2如图6，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD 的面积是___________．随练1.3图中外侧的四边形是一个边长为12的正方形，那么阴影部分的面积是________．2厘米 3厘米FEDCBAGDCBA图6作业1以三角形ABC 的两条边为边长，做两个正方形BDEC 和ACFG ．已知三角形ABC 与正方形BDEC 的面积比，以及正方形BDEC 和ACFG 的边长的比都是3：5，求三角形CEF 与整个图形面积的最简整数比是多少？作业2在边长等于5的正方形内有一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积为__________．作业3如图，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积__________．作业4如图，在边长为20的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是_______．34DEFGCBA。
小升初的考试形式分析几何题心算技巧(三)弦图
2019育才双语，实验北小升初的考试形式分析几何题心算技巧（三）弦图
弦图是中国古代数学家赵爽提出，并用它证明了勾股定理。
现在的小学奥数中，利用弦图来解几何题是非常好用的，掌握熟练，可以心算一些类型的几何题。
例题：如图正方形ABCD中，GH=5，EF=4，阴影部分面积是120，求正方形ABCD的面积。
这道题的阴影面积是无法直接计算的，表面看来是无从下手，但是通过构
造弦图
可知中间的小长方形的面积是4×5=20，小长方形周围的四个阴影三角形和阴影外围的四个白三角形面积相等。
所以大正方形的面积是（120-20）×2+20=220
巧妙利用弦图，完全可以快速的心算出答案。
下面再看一道题
例题：正方形ABCD，DE=4，长方形BCEF的面积是16.25，求正方形ABCD的边长
如果可以用笔，可以列方程设正方形ABCD的边长是x，则x（x-4)=16.25
但是需要会解一元二次方程。
我们利用长方形BCEF构造弦图
中间的小正方形面积是4×4=16，四个长方形的面积是16.25×4=65 所以大正方形的面积是16+65=81，边长是9
长方形BCEF的：长+宽=9；长-宽=4；
又变成了最熟悉的和差问题，
正方形ABCD的边长=（9+4）÷2=6.5。
中考模型解题之弦图模型
5．（2０11）如图,四边形ＡＢCD,Ｍ为BC边的中点.若∠B=∠ＡMD=
∠C=45°，AB=8,CＤ=9，则AD的长为(）
ﻩA．３B.4C.5Ｄ.6
6.(2011荆州)如图,P为线段AB上一点，ＡＤ与BC交干Ｅ,∠CPD=∠A＝∠B，BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有（）
中考模型解题-之-弦图模型
———————————————————————————————— 作者：
—————————————————————————————一、知识提要
1.弦图基本模型
模型一:
模型二：
2.弦图模型之变形
二、专项训练
【板块一】弦图基本模型
1.如图,Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D,DE⊥AC,垂足为Ｅ,求证： .
A．1对B．2对C．３对ﻩD．4对
7.在△ABＣ中,ＡＣ=BC，∠ＡCB=90°，点M是AC上的一点，点N是ＢC上的一点,沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的Ｐ点,
求证:MC:NC=AP:PB．
2.如图,梯形ＡBCD中,AB//ＤC,∠B＝9０°,E为ＢC上一点，且AＥ⊥ＥＤ.若ＢC＝12,DC=7，BＥ：ＥC=1：2,则ＡＢ的长为____________．
3.在△ＡBＣ中,AB= ，AC=４,BC＝2，以AB为边向△ABＣ外作△ABＤ,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
【板块二】弦图模型之变形
初中数学解题模型专题讲解27---弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用
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内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为α 的三角形的对边已知，α 能成为一个正多边形的外角(即剩下
2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其 面积最大值；
内弦图
图1
图2
弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面 积最大值问题.
例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；
(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.
解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角
形组
成外弦图，直角三角形面积等于外
正方形的面
的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结
果.
外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小
值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的
1 面积最大值为： ×2×2=2.
2
分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定 值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决 这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们 能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而 且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.
1 S = absinA 、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，
2 发现 90°和 120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角 可以是 45°！我们应当放弃这种方法！
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如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52。
a，b的值可以是（写出一组即可）；
②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：
此题选自2009年天津市中考题，作为填空最后一题，旨在考查了学生分析、解决问题的能力，考查学生对“弦图”的再认识及应用。一般性的裁剪方法再次利用了“弦图”的特征，裁剪线及拼接方法如右图所示，我们先把正方形ABCD划分出“弦图”结构，将图中的△DCF绕D逆时针旋转90°至△DAG，即△DCF≌△DAG，DF=DG，说明了四边形DFIG是正方形；同理将△CEB绕B逆时针旋转90°至△AHB，即△CEB≌△AHB，BE=BH，进而说明四边形EBHI是正方形。
2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽就是我国古代数学家赵爽画的“弦图”。图中包含的四个全等的直角三角形，一大一小两正方形，我们曾借助正方形边长与直角三角形三边的关系来证明勾股定理。作为学生十分熟悉的基本图形，在解决许多习题时，却往往被忽视它的作用，不少几何题直接运用条件去推导往往比较复杂，若将图形进行适当的拼补，构造成一幅美丽而巧妙的“弦图”，其解答就在图中直接或间接地显示出来了。
【案例四】――“面积问题”：
在直线l上摆放着三个正方形。
（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a，b。斜着放置的正方形的面积S=，两个直角三角形的面积和为；（均用a，b表示）
（2）如图2，小正方形面积S1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积m1和m2，并给出图中四个三角形的面积关系；
“弦图”巧解题
【摘要】充分运用“弦图”解题，发挥几何图形形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣。
【关键词】基本图形；弦图；解题
在学习空间与图形的过程中，我们经常会发现有一些图形对解决相关的问题起着重要的作用。基本的图形所呈现的数学语言具有确定性、简洁性及抽象性等特点，具有其它语言不可替代的优越性。它们不仅跟文字一样具有记录作用，有利于形象记忆，也有思想交流的功能。丰富的表象，往往有助于我们清楚地分析题中的数量关系，起到化繁为简、化难为易的良好效果，给我们解题提供一种有效思路。
（3）图3是由五个正方形所搭成的平面图，T与S分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T与S的关系式，并利用（1）和（2）的结论说明理由。
此题选自2011年中考复习考试大纲的一道练习，对于第（2）小题的说理，事实上很多同学一开始找不到问题的ห้องสมุดไป่ตู้入口。我们可以把中间这个正方形作出“弦图”的分割，直角三角形的长直角边记为h，短直角边记为n，显然利用四个全等的直角三角形能理出四个三角形之间的面积关系：m1=a×h=m3，m2=a×h=m4。
【案例二】――“巧设坐标”：
如图，正方形的A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x>0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形A2B2P2P3，顶点P3在反比例函数（x>0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为。
这是2011年宁波市中考卷填空题的最后一题，虽似曾相识，但又焕然一新，体现了数形结合的思想，重点考查了学生的数学综合能力。把反比例函数与正方形的知识相结合，借助看似平实简洁的问题设置，却凸显了数学思想方法在解题时的重要作用，学生必须牢固掌握数学的基础知识，并且在不同的环境中能够灵活地加以运用。此题首先考查应用反比例函数和正方形都关于直线y=x的轴对称性得出P2坐标为（2，1），接下来我们对正方形A2B2P2P3作出“弦图”的分割，如右图，设较长直角边为a，则通过观察就能得出P3的坐标，可表示为（2+a，a），然后把P3的纵横坐标代入反比例函数解析式即可求出a的值，继而求出P3的坐标。此题正是应用了“弦图”的结构特征，把原本倾斜的正方形边长通过分割使之“改斜归正”，继而可以比较轻松的把线段的长度转化为点的坐标。
下面我们就通过几个案例来看看“弦图”是如何发挥巧妙的作用的。
【案例一】――“以形助数”：
如图，一直角三角形的面积为6平方米，两条直角边的差为1米，问：直角三角形的斜边长多少米？
设两未知数列出一个二元二次方程组，是大部分学生会采取的方法，这样的解法思路是比较简单，但解方程的过程中运算量还是较大的。这里我们若用上“弦图”，“以形助数”，斜边就能很快地被求出来。构造“弦图”后，直角三角形被补成一个大正方形，而大正方形的边长显然就是这个直角三角形斜边的长，只要求出该大正方形的面积，所求的问题也就迎刃而解了。通过观察，我们可以发现拼成的“弦图”中间部分恰好是一个小正方形，这个小正方形的边长正好是一直角三角形两条直角边之差，所以大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，即S=6×4+1=25平方米，所以大正方形边长为5米，即直角三角形的斜边就是5米。与之前的列方程组相比较，这种构图法既直观又简单，深得学生的喜欢。
【案例三】――“巧求边长”：
如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果那么AC的长等于。
此题图形关系较复杂，而要把线段AB、AO转接成线段AC，对学生来说还是有点困难的。通过观察，要是能够发现∠ABO=∠OCG的话，在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG，利用△OGC≌△OAB和等腰直角三角形的相关知识还是能解决此题的。可是这种证明思路对学生来讲很难想到，往往一开始就“见题生畏”了，不过心中若有“弦图”，根据图形特征把“弦图”补全，就会有意想不到的效果。这里的AH就是小正方形的边长，而AO=，所以AH长度为12，又根据“弦图”特征，AB=HC=4，所以AC的长等于12+4=16。本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美，而且对于此题的证明思路显得更加清晰，证法更加简洁直观，使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵。