余弦定理知识点总结与复习
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
余弦定理知识讲解_基础
余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=， （2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：余弦定理的推导已知：ABC ∆中，BC a =，AC b =及角C ，求角C 的对应边c . 证明： 方法一：向量法（1）锐角ABC ∆中（如图），Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=∵AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r ，∴()()AB AB AC CB AC CB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222AC CB AC CB =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+⋅-+u u u r u u u r u u u r u u u r222cos b ba C a =-+即：2222cos c a b ab C =+- (*)同理可得：2222cos b a c ac B =+-,2222cos a b c bc A =+- 要点诠释：（1）推导（*）中，AC u u u r 与CB u u u r 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC u u u r 与CB u u u r的夹角应为C π-，而不是C .（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型一、正余弦定理的概念正余弦定理，又称余正定理、角-边-角定理，是指用三角形中的一个角和与它相对的两边的长度，来表示三角形中的另外两个角与其对应的两边之间的关系的公式。
二、正余弦定理的形式对于一个三角形ABC，设三个边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，将角A所对应的边称为边a，角B所对应的边称为边b，角C所对应的边称为边c。
（1）正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$（2）余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、正余弦定理的应用正余弦定理是基本的三角函数之一，它们在高中数学教育中被广泛应用。
通常在三角形的求面积过程中被使用。
考生还需能够将它们应用在其他相关的三角形求解问题中。
例如，可以用正余弦定理解决以下问题：（1）求三角形的面积。
（2）判断三角形是否为等腰三角形，是否为等边三角形。
（3）确定三角形的内角度数。
（4）求解三角形的未知边和角。
四、正余弦定理在高考考试中的出现形式正余弦定理在高考考试中经常作为解决三角形问题的关键公式。
它们常表现为单独的选择题或解答题，也可能是复合型题目的一部分。
（1）选择题样例：已知三角形ABC的边长分别为11、12、13，若$\angle C$ 的角度等于$\frac{\pi}{2}$，则$\sin A+\cos B$ 等于（）A. $\frac{24}{13}$B. $\frac{22}{13}$C. $\frac{20}{13}$D. $\frac{18}{13}$（2）解答题样例：已知$\triangle ABC$，且$AB=8, AC=6,BC=10$，则$\triangle ABC$的面积是多少？解：由余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{100-36-64}{2×10×8}=-\frac{1}{8}$由正弦定理，$2S=\frac{1}{2}bc\sin A=24\sin A=24\sqrt{1-\cos^2 A}=24\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{48}{\sqrt{3}}$因此，$\triangle ABC$ 的面积为$\frac{24}{\sqrt{3}}$。
《余弦定理》 知识清单
《余弦定理》知识清单一、余弦定理的定义余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
对于任意三角形，若三边为a、b、c，它们所对的角分别为A、B、C，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）二、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。
假设在三角形 ABC 中，向量\（＼overrightarrow{AB}＼）＝＼（＼vec{c}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼vec{b}＼），则\（＼overrightarrow{BC}＼）＝＼（＼vec{a}＼）。
因为\（＼vec{a}＼）＝＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼），所以\（＼vec{a}＼cdot\vec{a}＼）＝（＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼））＼（＼cdot\）（＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼））＼＼begin{align}＼vec{a}＼cdot\vec{a}＆＝＼vec{b}＼cdot\vec{b} 2\vec{b}＼cdot\vec{c} ＋＼vec{c}＼cdot\vec{c}＼＼＼vert\vec{a}＼vert^2&＝＼vert\vec{b}＼vert^2 2\vert\vec{b}＼vert\vert\vec{c}＼vert\cos A ＋＼vert\vec{c}＼vert^2\＼a^2&＝b^2 2bc\cos A ＋ c^2\＼a^2&＝b^2 ＋ c^2 2bc\cos A＼end{align}＼同理可推导出另外两个式子。
三、余弦定理的作用1、已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 5，b ＝ 7，C ＝ 60°，则可以通过\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）求出 c 的长度。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。
余弦定理基础知识及常见题型汇总
余弦定理一、考点、热点回顾（一）余弦定理及推论1、余弦定理：a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝________________.2、余弦定理的推论：cos A ＝________________，cos B ＝_____ ______，cos C ＝____ ______.（二）利用余弦定理解三角形（1） 已知三角形的两边及其夹角解三角形基本思路：1）利用余弦定理求出第三边；2）利用余弦定理的推论求出一个未知角；3）利用三角形内角和定理求出第三个角；（2） 已知三边解三角形基本思路：1）利用余弦定理的推论求出一个角；2）利用余弦定理的推论求出第二个角；3）利用三角形内角和定理求出第三个角；（3） 已知两边及其中一边的对角解三角形基本思路：1）根据余弦定理列关于第三边的方程；2）方程的正解就是第三边的边长，正解的个数就是三角形的解的个数。
二、典型例题考点一、基本概念例1、（1）在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( ) A.39 B ．8 3 C ．10 2 D ．7 3（2）在ABC ∆中，13,34,7===c b a ，则ABC ∆的最小角为（ ）A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π变式训练1、（1）在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解（2）在ABC ∆中，若ac c a b ++=222，则B ∠为（ ）A 、60°B 、45°或135°C 、120°D 、30°考点二、已知三角形的两边及其夹角解三角形例2、在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝，C =15°，求角A 。
变式训练2、在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ = ( )A. 1010B. 105 C. 31010 D. 55考点三、已知三角形的三边解三角形例3、在△ABC 中,已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .变式训练3、在△ABC 中，若a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求A ，B ，C考点四、已知两边及其中一边的对角解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A =23，则b=（）A. B. C. 2 D. 3变式训练4、在△ABC 中，若b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C 和a .考点五、判断三角形的形状例5、在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．变式训练5、（1）在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．（2）已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且2cos A sin B =sin C ，判断此三角形的形状考点六、正余弦定理的综合应用例6、（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝ b sin B.1)求角B 的大小；2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .（2）在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .变式训练6、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．三、课后练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为() A.π6 B.π3C.π6或5π6 D.π3或2π3 解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12， ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°. ∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14， ∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4， ∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A， 得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
数学余弦定理知识点九年级
数学余弦定理知识点九年级数学中的余弦定理是一个关于三角形边长和角度之间的重要定理。
它可以帮助我们计算三角形的边长或角度，是解决三角形问题的重要工具之一。
在九年级的数学课程中，我们需要了解余弦定理的概念、公式以及应用。
本文将详细介绍数学余弦定理的知识点。
一、余弦定理的概念余弦定理是描述三角形边长和角度之间关系的定理。
它指出，在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，那么余弦定理可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA （1）b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB （2）c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC （3）其中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为对应的内角。
这三个公式可以互相推导，根据需要使用不同的形式。
二、余弦定理的公式推导我们可以通过向量的内积和三角函数的关系来推导余弦定理。
设向量AB和AC的夹角为α，长度分别为b和c，那么有：AB·AC = |AB|·|AC|·cosα即b·c·cosα = AB·AC同理可得：AC·AB = |AC|·|AB|·cosβ即 c·a·cosβ = AC·AB将以上两个等式相加得：b·c·cosα + c·a·cosβ = AB·AC + AC·AB即b·c·cosα + c·a·cosβ = AB^2再将AB拆分成两部分，得到：b·c·cosα + c·a·cosβ = (b - a)·(b + a)即b·c·cosα + c·a·cosβ = b^2 - a^2整理可得：b^2 + c^2 - a^2 = 2bc·cosα即 b^2 = a^2 + c^2 - 2bc·cosα类似地，可以推导出(2)和(3)两个公式。
正余弦定理知识点权威总结
正余弦定理知识点权威总结：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、内容1、正弦定理：在C∆AB中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为C∆AB的外接圆的半径，则有2sin sin sina b cRC===A B．2222222222cos,2cos,2cos.a b c bc Ab c a ac Bc a b ab C=+-=+-=+-3、推论①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;③a:b:c=sinA: sinB: sinC;④sin sin sin sina b c aA B C A++=++222222222cos;2cos;2cos.2b c aAbca c bBcaa b cCab+-=+-=+-=4、注意（1）在△ABC中，已知A,a,b，讨论三角形解的情况.先由aAbBsinsin=可进一步求出B；则 C=180°-(A+B),从而ACacsinsin=.（2）在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinB⇔22a bR R>⇔a>b⇔A>B）由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）5、三角形面积公式三角形面积公式：①111sin sin sin222CS bc ab C ac∆AB=A==B；②prcpbpappSABC=---=∆))()((，其中2cbap++=，r为内切圆半径；③RabcSABC4=∆，R为外接圆半径．6、已知两边和其中1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2.当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况（1）若a＞b sin A，则有两解；（2）若a=b sin A，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A ＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角7、解三角形的一般思路：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8、方法与技巧总结1、已知两角A、B，一边a,由A+B+C=π及sin sin sina b cA B C==，可求角C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2b c cosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sin sina bA B=，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sin sina cA C=求出C，而通过sin sina bA B=求B时，可能出一解，两解或无解。
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余弦定理 教师：lihao(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ．(2)公式表达2a＝ 2b ＝ 2c = c2＝思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①已知三边比例；②求三角形的三内角．解答本题可应用余弦定理求出三个角[题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各角的度数．[解题过程] ∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋(3＋1)2－426×(3＋1)＝22， ∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求角A ，B ，C . 解析： 在△ABC 中，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2－(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23) ＝24(3＋1)242(3＋1)＝22. ∴C ＝45°，sin C ＝22. 由正弦定理得：sin A ＝a sin C c ＝26×2243＝12. ∵a <c ，∴A <C ，∴A ＝30°.∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(30°＋45°)＝105°. 已知：在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，解此三角形．[解题过程] 方法一：由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 (3)2＝a 2＋32－2×a ×3×cos 30° ∴a 2－33a ＋6＝0 ∴a ＝3或a ＝2 3 当a ＝3时，b ＝3，A ＝30°，C ＝120°. 当a ＝23时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝23sin 30°3＝1. ∴A ＝90°，C ＝60°.[题后感悟] 可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a 的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a 边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．2．若将题中条件改为“b ＝3，c ＝2，A ＝30°”，应如何求解三角形？方法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°知本题有两解． 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32 ∴C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90° 由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝2 3. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形．∴a＝ 3.解析： 直接运用余弦定理： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23×cos 30°＝3，从而a ＝3， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(3)2＋(23)2－322×3×23＝612＝12， ∴B ＝60°， ∴C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°. 3．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，求边长c .在△ABC 中，若b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccos Bcos C ，试判断三角形的形状思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①边角之间的关系：b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccos Bcos C ；②确定三角形的形状．解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．解析： 方法一：在△ABC 中，根据余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－23c －6＝0，所以c ＝3±3.因为c >0， 所以c ＝3＋3. 方法二：在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6×2223＝12，因为b <a ，所以B ＝30°，C ＝105°，sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24，则c ＝a sin C sin A ＝23×6＋2422＝3＋3. [规范作答] 方法一：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ， 则条件转化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B ＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C ， 又sin B ·sin C ≠0， ∴sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，6分 即cos(B ＋C )＝0.8分 又0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，10分[题后感悟] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状4．在△ABC 中，(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，且sin A ＝2sin Bcos C ，试确定△ABC 的形状．∴A ＝90°， 故△ABC 为直角三角形.12分 方法二：将已知等式变形为 b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C ，2分 即有b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac )2 ＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，4分即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2， 即b 2＋c 2＝a 2，10分 ∴△ABC 为直角三角形.12分解析： 因为(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－bc ， 又由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以cos A ＝12，即A ＝60°.又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，且sin A ＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，所以B＝C ， 又因为A ＝60°，所以B ＋C ＝180°－A ＝120°，即B ＝C＝60°，故△ABC 为等边三角形．1．余弦定理与勾股定理之间的联系(1)对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C 中，若C ＝90°，则c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具． ①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． ②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．[特别提醒] 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．2．解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解◎已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围【错解】 ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0. k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 又∵k 为三角形的边长，∴k >0，② 故由①②知0<k <6.【错因】 忽略隐含条件k ＋(k ＋2)>k ＋4，即k>2，而不是k>0.1.1.2 余弦定理 同步练习一、选择题1．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角Ｃ为（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0013545或 Ｄ．0120２．在△ABC 中，已知ＡＢ＝364，66cos =B ，ＡＣ边上的中线ＢＤ＝5，则sin Ａ的值为（ ） Ａ．1770 Ｂ．1270 Ｃ．1470 Ｄ．1410 ３．在△ABC 中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sinA ＝２sinBcosC,那么△ABC 是（ ）Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形二、填空题４．△ABC 中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC ＝４，则ＡＣ＝_________5. 在△ABC 中，已知060,1==A b ,Ｓ△ABC ＝3,则=Aa sin _________【正解】 ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，③又由两边之和大于第三边，得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2，④由③④可知2<k <6.三、解答题6．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，证明C B A c b a sin )sin(222-=-。