三余弦定理与三正弦定理
6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
高考数学立体几何中与角有关的四大定理及其证明
则 cosθ = cos2β + cos2γ - 2cosαcosβcosγ sinα
证明：设 ∠HAC = θ1,∠HAB = θ2 ⇒ α = θ1 + θ2,
由三余弦定理得：
cos β cosγ
= =
cosθ cosθ
cosθ1 cosθ2
① ②
由①和②得 cosθ = cosβ = cosγ ③ cosθ1 cosθ2
α
Aβ
γ
P α : 线面角 β : 斜线角 γ : 射影角 则 cosβ = cosαcosγ ⇒ β > α,β > γ
Q
B
证明：cosβ =
AB PA
,cosα =
QA PA
,cosγ =
AB QA
⇒ cosβ = cosαcosγ
·1·
3. 三夹角公式
P
θ
Aβ
γ
α
C H
B
若 θ 为 PA 与平面 ABC 的夹角
⋅
HO BO
AH AO
⋅
BH BO
= cosθ - cosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2
注：若 φ =
π 2
,
则该定理退化为三余弦定理
·3·
立体几何中与角有关的四大定理及其证明
1. 三正弦定理
β α
A
γ
B
P
α : 线面角 β : 线棱角 γ : 二面角 则 sinα = sinβsinγ Q ⇒ α ≤ β,α ≤ γ
证明：sinα =
PQ PA
,sinβ =
PB PA
,sinγ =
PQ PB
⇒ sinα = sinβsinγ
三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理
三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理三余弦定理（最小角定理或爪子定理）设A 为面上一点，过A 的直线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为： cos ∠OAC=cos ∠BAC ×cos ∠OAB(cos ∠BAC 和cos ∠OAB 只能是锐角）斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值． 证明：如上图，自点O 作OB ⊥AB 于点B ，过B 作BC ⊥AC 于C ，连OC ，则易知△ABC 、△AOC 、△ABO 均为直角三角形．OA AC AB AC OA AB ===θθθcos ,cos ,cos 21∴ 21cos cos cos θθθ⨯=辅助记忆：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线与平面所成角1θ是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
三垂线定理（三余弦定理的特殊情况）平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
三正弦定理设二面角M －AB －N 的度数为α，在平面M 上有一条射线AC ，它和棱AB 所成角为β，和平面N所成的角为γ，则 sin γ=sin α·sin β（如图）证明：如上图，过C 作CO ⊥平面N 于点O ，过O 作直线OB ⊥二面角的棱于点B ，连OA ，CB ，则易知△CAO ，△CBO ，△ABC 均为直角三角形．于是，sin=AC CO，sin=BC CO ，sin β=AC BC∴ sin γ=sin α·sin β附：β。
高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理
三余弦定理和三正弦定理
1.三余弦定理（又叫最小角定理）
（1）设点A为平面α上一点，过A点的斜线在平面α上的射影为，为平面α上的随意直线，则∠，∠，∠三角的余弦关系为：
∠∠×∠
即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值=斜线与平面所成角
θ的余弦值⨯射影与
1
平面内直线夹角的余弦值。
（2）定理证明：
（3）说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线与平面所成角
θ是斜线与平面内全部直线所成的角中最小的角。
1
2.设二面角M－－N的度数为α，在平面M上有一条射线，它和棱所成角为β，和平面N所成的角为γ，则γα·β（如图）.
（1）定理证明：
假如将三余弦定理和联合起来运用，用于解答立体几何综合题，你会发觉出乎意料地简洁，甚至不用作任何协助线！
例1. (1994全国)如图，已知A1B1C1－是正三棱柱，D是中点，若
1⊥
1
，求面
1
与
面
1
所成的二面角度数。
例2.(1986上海)已知△的两直角边2，3.点P为斜边上一点，现沿将此直角三角形折成直二面角A－－B（如下图），当7时，求二面角P－－B的大小。
例3.已知菱形的边长为1，∠60°，现沿对角线将此菱形折成直二面角 (如下图)。
( 1)求异面直线与所成的角；( 2)求二面角的大小。
例4.（2012四川）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作与平面成角的平面并与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满意，则、两点间的球面距离为。
初中正弦定理和余弦定理
初中正弦定理和余弦定理
《初中正弦定理和余弦定理》
正弦定理和余弦定理是初中数学中的重要定理，它们与三角函数的概念和几何形状的关系有着密切联系。
通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题，如计算三角形的边长和角度等。
正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，三个角的正弦比例与对应的边长的比例呈正比关系。
即对于三角形ABC的三个角A、B、C和对边a、b、c，有以下关系：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中，sinA表示角A的正弦值。
正弦定理的应用十分广泛，可以用来求解未知边长或角度，
推导出其他重要公式，如海伦公式等。
余弦定理则是指在一个任意三角形ABC中，三个角的余弦值与对应边长的平方的比例呈反比
关系。
即对于三角形ABC的三个角A、B、C和对边a、b、c，有以下关系：
c² = a² + b² - 2ab*cosC
其中，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理的应用十分广泛，可以用来求解未知边长或角度，
判断三角形的形状，以及解决各种实际问题，如测量不便的三角形的边长等。
正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时起着重要的作用。
它们不仅是数学课堂上的重点内容，也是在实际生活中运用数学解决问题的有效工具。
通过掌握正弦定理和余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，提高解题的准确性和效率。
因此，对于初中生来说，掌握正弦定理和余弦定理是十分重要的。
三角函数中的正弦定理与余弦定理
三角函数中的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中常用的一种函数，在几何学中也起着重要的作用。
本文将探讨三角函数中的两个关键定理：正弦定理和余弦定理。
这两个定理在解决各种三角形问题时非常有用，通过它们可以计算出未知的边长和角度。
一、正弦定理正弦定理是一个关于三角形边长和角度之间关系的定理，它适用于所有的三角形。
正弦定理表达的是三角形中一个角的正弦值与其对边的比例关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个定理的一种形式是：a/sinA = 2R其中，R是三角形外接圆的半径。
正弦定理的应用非常广泛，例如可以通过已知两边和一个角度，求解未知边长或者角度。
同时，它也常用于解决三角形的面积问题。
二、余弦定理余弦定理是另一个与三角形边长和角度之间关系的定理，与正弦定理相比，余弦定理更加灵活，适用于各种类型的三角形。
余弦定理表达的是三角形中一个角的余弦值与其对边的平方和其他两边的乘积之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么余弦定理可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC余弦定理的应用非常广泛，可以通过已知三边求解未知角度或者通过已知两边和一个夹角求解未知边长。
三、正弦定理与余弦定理的关系正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时可以互相补充使用。
根据正弦定理，我们可以求解任意一个角的正弦值，通过求解余弦，我们可以得知其他两个角的余弦值。
进而，我们可以通过余弦定理求解三角形的边长。
例如，在解决三角形的边长问题时，我们可以首先使用正弦定理求解一个角的正弦值，然后使用余弦定理求解其他两个角的余弦值。
通过已知角度的余弦值，我们可以应用余弦定理求解未知边长。
在实际应用中，我们常常需要通过这两个定理来解决与三角形相关的问题。
三角函数的正弦定理与余弦定理
三角函数的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中一门重要的分支，在几何学、物理学等领域有广泛的应用。
其中，正弦定理与余弦定理是三角函数的重要定理之一，可以用于求解各种三角形的边长和角度。
本文将分别介绍正弦定理与余弦定理的概念与应用。
一、正弦定理正弦定理是用来求解三角形的边长与角度之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R其中，R为该三角形外接圆的半径。
利用正弦定理，我们可以在已知两边和一个夹角的情况下，求解出第三条边的长度，或者在已知三边长度的情况下，求解出三个角度的大小。
这在实际问题求解中非常有用。
例如，已知一个三角形的两条边分别为3和4，夹角为60°，我们可以利用正弦定理来求解第三条边的长度。
根据正弦定理可知：a/sinA = b/sinB = c/sinC那么代入已知条件，我们可以得到：3/sin60° = c/sinC进而可以得到：c = (3 * sinC) / sin60°通过计算，我们可以求得c的值。
二、余弦定理余弦定理是用来求解三角形的边长和角度之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC利用余弦定理，我们可以在已知两边和一个夹角的情况下，求解出第三条边的长度，或者在已知三边长度的情况下，求解出三个角度的大小。
例如，我们已知一个三角形的两条边分别为3和4，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。
根据余弦定理可知：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC代入已知条件，我们可以得到：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 * 3 * 4 * cos60°通过计算，我们可以求得c的值。
三余弦定理
三余弦定理 内容:若平面的一条斜线与这个平面所成角为α,平面内的一条直线与这条斜线及其射影所成的锐角(或直角)分别为γβ,,则有γαβcos cos cos ⋅=。
α定理概述设A 为面上一点,过A 的直线AO 在面上的射影为AB,AC 为面上的一条直线,那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为:cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC 与∠OAB 只能就是锐角)通俗点说就就是,cos 平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos 斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos 平面斜线与斜线射影夹角(OAB).又叫最小角定理或爪子定理,可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角.定理证明如上图,自点O 作OB⊥AB 于点B,过B 作BC⊥AC 于C,连OC,则由线线垂直,线面垂直,面面垂直易知△ABC、△AOC、△ABO 均为直角三角形.cos θ1=AB∶OA,cos θ2=AC∶AB,cos θ=AC∶OA,不难验证:cos θ=cos θ1×cos θ2.三正弦定理该定理从老版高中教材人教版《数学》必修第二册(下A),P35的例1:“河堤斜面与水平面所成的二面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤脚水平线AB 的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走10m 时人升高了多少？”抽象出来的一般结论.定理概述设二面角M －AB －N 的度数为α,在平面M 上有一条射线AC,它与棱AB 所成角为β,与平面N 所成的角为γ,则sin γ=sin α·sin β(如图)三正弦定理示意图定理证明如上图,过C作CO⊥平面N于点O,过O作直线OB⊥二面角的棱于点B,连OA,CB,则易知△CAO,△CBO,△ABC均为直角三角形.于就是,sinγ=CO︰AC,sinα=sin∠CBO=CO︰BC,sinβ=sin∠BAC=BC︰AC.由此容易推得sinγ=sinα·sinβ定理应用编辑如果将三正弦定理与三余弦定理联合起来,用于解答立体几何综合题,您会发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线！例1如图,已知A1B1C1－ABC就是正三棱柱,D就是AC中点,若AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数、(1994年全国高考理科数学23题)三正弦定理应用之例1题图三正弦定理应用之例1解答例2已知Rt△ABC的两直角边AC=2,BC=3.P为斜边AB上一点,现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B(如下图),当AB=√7时,求二面角P－AC－B大小.(上海市1986年高考试题,难度系数0、28)三正弦定理应用之例2题图三正弦定理应用之例2解答三余弦定理定理应用如果将三余弦定理与三正弦定理联合起来使用,用于解答立体几何综合题,您会发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线！例1 如图,已知A1B1C1－ABC就是正三棱柱,D就是AC中点,若AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数、(1994年全国高考理科数学23题)三余弦定理应用例题1三余弦定理应用例题1解答例2 已知Rt△ABC的两直角边AC=2,BC=3.P为斜边AB上一点,现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B(如下图),当AB=√7时,求二面角P－AC－B大小.(上海市1986年高考试题,难度系数0、28)三余弦定理应用例题2三余弦定理应用例题2解答例3.已知菱形ABCD的边长为1,∠BAD=60°,现沿对角线BD将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如图6).( 1)求异面直线AC与BD所成的角;( 2)求二面角A-CD-B的大小.三余弦定理应用例题3。