三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用
巧用三线三角余弦公式妙解立体几何题
巧用三线三角余弦公式妙解立体几何题
王峰
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2008(000)003
【摘要】若直线AB是平面α的一条斜线，A’B’是AB在平面α内的射影，l 为平面α内不同于A’B’的一条直线，且AB与l的夹角为θ，A’B’与l的夹角为θ1，AB与平面α所成的角为θ2，则易知cosθ=cosθ1·cosθ2，为了便于学生记忆和灵活使用，笔者不妨将此公式称为三线三角余弦公式，
【总页数】3页(P42-44)
【作者】王峰
【作者单位】安徽省临泉一中,236400
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.巧用延伸性知识代数法妙解几何题 [J], 李咪丽;
2.巧用旋转法，妙解几何题 [J], 杨永琴;
3.巧用仿射变换妙解高考解析几何题 [J], 彭耿铃
4.巧用仿射变换妙解高考解析几何题 [J], 彭耿铃
5.巧用曲线系方程妙解解析几何题 [J], 刘海涛
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
高考数学立体几何的解题技巧
2019年高考数学立体几何的解题技巧1.平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合找寻证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加协助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中运用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2.空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算.(3)二面角①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3.空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：常常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能干脆作出公垂线的状况下，可转化为线面距离求解(这种状况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”干脆求距离;有时干脆利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4.熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。
弄清晰棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。
5.平面图形的翻折、立体图形的绽开等一类问题，要留意翻折前、绽开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。
高考数学-三余弦(正弦)定理的妙用
三余弦（正弦）定理的妙用一、三余弦定理（最小角定理、爪子定理）（1）定理：设点A 为平面α上一点，过A 点的斜线在平面α上的射影为BO ，BC 为平面α上的任意直线，那么OBA OBC ABC ∠⋅∠=∠cos cos cos即斜线与平面一条直线夹角β的余弦值等于斜线与平面所成角α的余弦值乘以射影与平面内直线夹角θ的余弦值，θαβcos cos cos ⋅=（为了便于记忆，我们约定：β为斜线角，α为线面角，θ为射影角）（2）定理证明：如上图，OAB ∆、OBC ∆、ABC ∆均为直角三角形，AB BC =βcos ，AB BO =αcos ，BOBC =θcos ，易知θαβcos cos cos ⋅=，得证 （3）定理说明：这三个角中，角β是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线与平面所成角α是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
二、三正弦定理（最大角定理）：（1）定理：设二面角N AB M --的度数为γ，在平面M 上有一条射线AC ，它和棱AB 所成的角为β，和平面N 所成的角为α，则γβαsin sin sin ⋅=（为了便于记忆，我们约定：β为线棱角，α为线面角，γ为二面角）（2）定理证明：如图，⊥CO 平面N ，AB OB ⊥，AB BC ⊥，OBC ∆、OAC ∆、ABC ∆均为直角三角形，BC OC =γsin ，ACBC =βsin ，ACOC =αsin ，易得：γβαsin sin sin ⋅=。
（3）定理说明：由γβαsin sin sin ⋅=且1sin ≤β知：γαsin sin ≤，γα≤，所以二面角的半平面M 内的任意一条直线与另一个半平面N 所成的线面角不大于二面角，即二面角是线面角中最大的角。
知识应用：例1.（2016年4月浙江省数学学考试题第16题）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111C B A ABC -中，P 是棱BC 上的动点。
高考复习冲刺专题--三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用
淘宝上博约书斋店铺（唯一正版）《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》对高考压轴题作了深度分析，给出了精彩的点评、变式和拓展。
三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用
1.（2019全国1卷文科第16题）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到
∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．
【解析】如上图，由对称性知45o OCD ∠=，由三余弦定理得
cos cos cos PCD PCO OCD ∠=∠∠，即
1cos 22PCO =∠，所以cos 2PCO ∠=。
则PO OC ==。
2.（2017全国3卷理科第16题）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC
的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所称角的最大值为60°；
其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）
【解析】过M 作b 的垂线，则AM 与MN 所成的角为AM 与a 所成的角，由三余弦公式得CMN CMN AMC AMN ∠⨯=∠⋅∠=∠cos 2
2cos cos cos ，若所成角为60°，则有CMN ∠⨯=cos 2
221，则CMN ∠045=，CM 平分角BCE ∠，所以此时AM 与两直线所成的角都为60°。
高中数学立体几何有何妙招？三正弦、三余弦定理帮你快速解题
高中数学立体几何有何妙招？三正弦、三余弦定理帮你快速解题如何学好高中数学，本质教育有三条重要的原则：一，巩固基础知识，简单的题目做得又快又对；二，学习李泽宇三招，有逻辑地思考那些难题；三，改掉错误习惯，避免运算错误、看错题目等毛病。
本质教育李泽宇三招TM1. 翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
翻译要求“信、达、雅”不能扭曲原文的意思。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
2. 特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
3. 盯住目标：把目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用！定理若已知二面角其中一个半平面内某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值点击加载图片点击加载图片点击加载图片点击加载图片通过这一简单的结论，我们可以秒杀一些立体几何的题目。
如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单！实战演示接下来，我们用1道经典的高考题（后期高考立体几何大多以此为母题）来展示一下这2个公式的简便性与实用性，希望同学们仔细理解。
点击加载图片点击加载图片点击加载图片结论通过上面的对比分析可以看出：如果利用好这个公式，我们就能多一条翻译的路径，可简化很多繁琐的运算，即可迅速解出答案，如果是在考试中就能大幅提高解题速度，提高考试成绩，学好高中数学如果利用好这个公式，我们就能多一条思考的路径。
余弦定理在立体几何中的妙用
余弦定理在立体几何中的妙用1.引言1.1 概述余弦定理是立体几何中一项非常重要且妙用广泛的定理，它是三角形中的一个关键定理。
通过利用余弦定理，我们可以解决各种与三角形有关的问题，如计算边长、角度，判断三角形的形状等。
此外，余弦定理还能够拓展到解决立体几何问题中，为我们提供了解决空间中的各种几何难题的有力工具。
在本文中，我们将分析余弦定理的定义和公式，并重点讨论它在解决立体几何问题中的应用。
通过具体的例子和推导过程，我们将展示余弦定理的实际运用，并探讨其背后的原理和逻辑。
在接下来的章节中，我们将首先介绍余弦定理的定义和公式，以便读者了解其基本概念和数学表达方式。
然后，我们将探讨余弦定理在三角形中的应用，并通过实际问题进行演示和解答。
最后，我们将详细讨论余弦定理在解决立体几何问题中的妙用，并总结其优势和适用范围。
通过本文的阅读，读者将能够深入了解余弦定理在立体几何中的妙用，掌握利用余弦定理解决各类几何问题的方法和技巧。
希望本文能够为读者提供灵感和启示，帮助读者更好地应用余弦定理解决实际问题，进一步提升他们在几何学领域的知识和能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构部分主要介绍了本文的整体结构，帮助读者了解文章的大致内容安排。
本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了本文的主题和目的。
本文通过讨论余弦定理在立体几何中的应用，旨在探讨余弦定理在解决立体几何问题中的妙用。
引言部分也简要介绍了本文的结构，包含了概述、文章结构和目的三个小节。
正文部分是本文的主要内容，主要分为两个小节进行阐述。
首先是2.1节，介绍了余弦定理的定义和公式。
该部分将详细介绍余弦定理的概念和公式表达，为后续的应用部分做好准备。
接着是2.2节，重点探讨了余弦定理在三角形中的应用。
通过具体的例子和推理，阐述了余弦定理在解决三角形内角、边长关系等问题中的作用。
结论部分总结了本文的主要观点和内容，给出了余弦定理在解决立体几何问题中的妙用。
正、余弦定理在近年高考题中的应用
（Ⅰ）求索道 AB的长； （Ⅱ）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最 短； （Ⅲ）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分 钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 小结：本题难度不大，它是正弦定理在实际问题中的应 用，将实际问题转化为具体图形，具体数学问题，再通过求 解数学问题得出答案，主要考查了我们利用数学知识解决实 际问题的能力 . 3. 结语 通过对正、余弦定理在近年高考中的应用的讨论，可以 看出在解决边、角、判断三角形的形状、求解三角形的面积 等问题时往往会考虑正、余弦定理，但试题一般不会单独考 查公式的直接应用，需要我们灵活运用三角形的内角和定理、 三角恒等变换、三角形的面积公式及均值不等式等与正、余 弦定理综合解决 . 对于正、余弦定理的应用，有的需要我们 利用正、余弦定理将边角关系转化为纯粹的边的关系、角的 关系，然后得出结论，有的需要我们利用正、余弦定理求出 某个角、某条边的具体值，然后解决问题 . 此类问题往往考 查了合理利用公式的能力、计算能力和转化的数学思想，这 些与平时的积累是息息相关的 . 只有注意平时积累，才能在 考试中迅速解决问题，节约考试时间 .
正、余弦定理在近年高考题中的应用
摘 要： 正、余弦定理是高中数学的重要组成部分，
本文主要对近年全国各省高考题中的相关问题进行相应的
分析，并结合试题的特点及常规思路提出了一些复习建议
.
1. 引言
正、余弦定理是高中数学中三角函数知识的重要组成部
分，又是高考考查的重点之一，在近年高考题中占有一定的
地位 . 我们往往以正、 余弦定理为工具， 结合三角恒等变换，
有可能，并且每年试题的题量都相对较稳定 . 从近几年的情
况来看，正、余弦定理往往运用于解答题中的某一个问中，
三余弦公式的推导及其应用
精品三余弦公式的推导及其应用——教材研究1.公式的推证及两个重要推论命题：设OB ⊥平面α，B 为垂足，OA 是平面α的斜线，A 为斜足.∠OAB=1θ，l 是平面α内的任一直线，l 与AB 所成的角为2θ，l 与OA 所成的角为θ，如图1. 则：21cos cos cos θθθ= （三余弦公式）.证法1：过斜足A 引l 的平行线AC ，则∠OAC=θ,∠BAC=2θ.再过B 作BC ⊥AC ，连OC ，则易知AC ⊥OC ，由直角三角形中三角函数的定义有：AB ACOA AB OA AC ===21cos ,cos ,cos θθθ ∴ 21cos cos cos θθθ=. 证法2：设1|AO |=，则11cos cos |AO ||AB |θθ== ,∴ 212cos cos cos ||||θθθ== . 又∵ θθcos cos ||||==，∴ 21cos cos cos θθθ⋅=.由于0＜θ1＜90°. 所以cos θ1≠0，则0cos 0cos 2=⇔=θθ，由此可得： 推论1：0209090=⇔=θθ——此即三垂线及其逆定理.又由于0＜2cos θ＜1 所以θcos ＜cos θ1，从而θ1＜θ，由此可得：推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.2.公式的应用举例§2.1.在几何论证方面的应用：例1.求证:将长方体截取一角后的截面是锐角三角形.证明：如图2，设四面体SABC 是长方体截取一角，则易知： AS ⊥平面BSC ，由三余弦公式知：cos ∠ABC= cos ∠ABS ·cos ∠CBS ，∵ ∠CBS ，∠ABS 都是锐角 ∴ cos ∠ABS, cos ∠CBS 都大于0，从而cos ∠ABC 大于0. 又∵ ∠ABC 是三角形的一内角, ∴ ∠ABC 是锐角.同理可得：∠BAC 、∠BCA 也都是锐角.故 三角形ABC 是锐角三角形. 注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想①：已知平面βα⊥，直线AB 与α、β所成的角分别为21,θθ，则21θθ+（ ）. A.等于90°， B.小于90°， C.不大于90°， D.不小于90°.θθ2OA B C l α θ1 图1A SBC 图2精品§2.2利用它处理与线面所成角有关的问题：例2.PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）. A.21 ， B.36 ， C.33 ， D.23.解：如图3，∵ ∠CPB=∠APC=60° ∴ PC 在平面APB 上的射影PD 是∠APB 的角平分线，即∠DPB=30°.由三余弦公式得： cos60°=cos30°·cos ∠DPC 则cos ∠DPC=33.即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33.故选C.例3.有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点 B 的正东北方向，照射B 点的光线与地面成60°角，求该光线与岸边所成角的余弦值. 解：如图4，设AD 为探照灯，BC 为河岸，则AD 由已知有：∠ABC=45°，∠ABD=60°. cos ∠DBC=cos45°·cos60°=42.即 灯光与岸边所成角的余弦值是42.想一想②：设正四面体ABCD 的棱长为a ，求点A 到平面BCD 的距离AO 及其体积.【引申】通常情况下θ与θ2是锐角.若θ与θ2同为钝角时，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.例4.如图5.在直二面角βα——l 的棱l 上有点A,在内各有一条射线AB 、AC ，它们与l 均成45°的角，且AB 在平面α内， AC 在平面β内，求∠BAC 的大小.解：（1）当AB 、AC 是如图所示状态时，∵ 二面角βα——l 是直二面角， ∴ βα⊥. 过B 作BD 垂直l 于D ，由三余弦公式得: cos ∠BAC =cos45°·cos45°=21, ∴ ∠BAC=60°. （2）当AC 是如图所示AC 1状态时，cos ∠BAC =cos45°·cos135°= -21 ∴ ∠BAC=120° 综上知 ∠BAC=60°或120°. 例5.已知正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是边AD 、BC 上的点，MN ∥AB,MN ∩AC=O.现正方形ABCD 沿MN 折成直二面角(如图6), 设AM=BN=x （0＜x ＜4），问.当MN 平行移动时, ∠AOC 是否发生变化?试说明理由. 解：此题的常规方法是：通过计算，将AO 、OC 、P CABD 图3东图4AB C DC 1βα l 图5ABN M O C D D C NM A BO 图6精品AC 分别用x 表示出来，然后由余弦定理算出cos ∠AOC= -21是常数(计算量较大).从而得出结论.若换个角度来看：则易知：∠NOC=45°, ∠NOA=135°,由三余弦公式有：cos ∠AOC =cos45°·cos135°= -21，可很快可得结论. 点评：由以上几例可以看出，在涉及直线与平面所成角的问题时.若能充分利用三余弦公式，可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.想一想③：如图7.把正方形ABCD 沿对角线AC 折成 直二面角B —AC —D ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， O 是正方形的中心，求折起后∠EOF 的大小.§2.3.利用它处理与两异面直线所成角有关的问题：例6.如图8所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1C 1、C 1C 上，且33FC ,31EC 11==,求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.解：∵ A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ∴ A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角为45°.又∵33FC ,31EC 11==, ∴ ∠EFC 1=30° 即EF 与C 1C所成角为30°, 亦即EF 与B 1B 所成角为30°.设A 1B 与EF 所成角为θ，则由三余弦公式可得：cos θ= cos450·cos30°=46 . ∴ 异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为46.例7.已知异面直线a 、b 所成的角为θ=60°，点P 为空间任意一点.（1）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=45°的直线有几条？ （2）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=60°的直线有几条？ （3）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=70°的直线有几条？ 解：（1）如图9，过点O 引异面直线a 、b 的平行线OA 、OB ，则问题转换为求过点P 与OA 、OB 所成的角均为45°的直线的条数. ∵ OP 与OA 、OB 成等角45° ∴ OP 在由OA 、OB 确定的 平面α内的射影OD 是∠AOB 的平分线，即∠DOB=30°. 由三余弦公式可得：cos ∠POB = cos45°·cos ∠POD, cos45°= cos30°·cos ∠POD ，30cos 45cos cos =∠⇒POD ＜1，∴ 这样的直线OP 如图9存在一条，又由对称性在l 的另一侧也存在一条.FB F AE DMOAE DB C MO图7 ABC DD 1A 1B 1C 1F E 图8 OPADBa bα图9l精品再考虑到∠AOBD 的补角的情形，由三余弦公式，cos45° = cos60°·cos ∠POD 1,106cos 45cos cos =∠⇒POD ＞1, ∴ 此种情形的直线不存在. 综上所述知，满足条件的直线有2条.（2）同（1）的分析，满足条件的直线存在与否就是看等式：0030cos 60cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 60cos cos =∠POD =1（只1条）,从而知满足条件的直线有3条.（3）∵ 0030cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）, ∴ 满足条件的直线有4条.点评：一般地，设异面直线a 、b 所成的角为θ，过P 且与a 、b 所成的等角为ϕ.则当：1°2coscos cos θϕ=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.2°2180coscos cos 01θϕ-=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.然后将上述1°、2°两种情形合并即可. 想一想④：设异面直线a 、b 所成的角为50°，点P 为空间任意一点,问过P 点与直线a 、b 所成的 角均为45°的直线有几条？变式:(09重庆高考)已知二面角βα—— 的大小为θ1=50°，点P 为空间任意一点,过P 且与平面α和平面β所成的角均为ϕ1=25°的直线的条数为( )A 、2,B 、3,C 、4,D 、5. 解:如图10.过点P 分别作平面α、β的垂线PA 、PB. 设由垂线PA 、PB 确定的平面与 交于点O ，则易知：AO ⊥ ，BO ⊥ ，即∠AOB 为二面角βα—— 的平面角. ∴∠AOB=50°，则∠APB=130°.又∵过P 的直线与平面α和平面β所成的角均为25°，∴ 问题转化为为过点P 与PA 、PB 均成65°的直线的条数问题了. 由例4（3）我们已知满足条件的直线有3条.故选B.点评：一般地，此类问题可转化为θ=180°-θ1，ϕ=90°-ϕ1时,例4的情形.PB AOα β图10AF EBC B CAFE图11精品【练习】1.如图11.在Rt △ABC 中，AB=BC ，E 、F 分别是AC ，AB 的中点，以EF 为棱把它折成直二面角A —EF —BC ， 设∠AEC=α，求cos α.并将此与上述例5及想一想③ 进行比较.2.已知平面α内有∠xoy=60°，OA 是α的斜线，且OA=10，∠Aox=∠Aoy=45°，则A 到平面α的距离为（ ）.3.在三棱锥D —ABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°,AC=BC ，求异面直线AB 与CD 所成的角.【部分问题参考答案】想一想① 解析:如图,过A 、B 分别作棱的垂线AC 、BD∠ABC=1θ，∠BAD=2θ,又设∠ABD=θ，由最小角定理知，θ而=+2θθ90°，则 ≤+21θθ90°， 故选C.想一想② 解：∵ 四面体ABCD 是正四面体 ∴ AB 在底面BCD 上的射影是∠CBD 的角平分线，如图，由三余弦公式得：cos60°=cos ∠ABO ·cos30°， ∴ cos ∠ABO=33.于是sin ∠ABO=36 ， ∴ AO=36a.其体积为：32122433631a a a V ABCD =⋅⋅=. 想一想③ 解:过点E 作EM ⊥AC 于M ，∵ 在折叠的过程中，∠EOA=45°, ∠FOA=135°, 没有发生变化，由三余弦公式, cos ∠EOF=cos45°·cos135°= -21， ∴ ∠EOF=120°. 想一想④ 提示:2条. 【练习】1.提示:120°，此问题与例4等实质上是一致的.2.解：设OA 与平面α所成的角为θ，则由三余弦公式可得:cos 45°= cos30°·cos θ , ∴ cos θ=33sin 36=⇒θ.故 点A 到平面α的距离为：3310.3.解：∵ DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°, AC=BC ，不妨设AC=BC=1. 则可求得AD=315 ,从而 cos ∠ACD=515. 又∵∠BAC=45°,DA B C图12A BC DO图14 DABC图15∴设AB与AC成45°角,设AB与CD所成的角为θ,30.由三余弦公式可得：cosθ= cos∠ACD·cos 45°=10 .精品。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
淘宝上博约书斋店铺（唯一正版）《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》对高考压轴题作了深度分析，给出了精彩的点评、变式和拓展。
《立体几何的微观深入和宏观把握》。
三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用
1.（2019全国1卷文科第16题）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到
∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．
【解析】如上图，由对称性知45o OCD ∠=，由三余弦定理得
cos cos cos PCD PCO OCD ∠=∠∠，即
1cos 22PCO =∠，所以cos 2PCO ∠=。
则PO OC ==。
2.（2017全国3卷理科第16题）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC
的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所称角的最大值为60°；
其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）
【解析】过M 作b 的垂线，则AM 与MN 所成的角为AM 与a 所成的角，由三余弦公式得CMN CMN AMC AMN ∠⨯=∠⋅∠=∠cos 2
2cos cos cos ，若所成角为60°，则有CMN ∠⨯=cos 2
221，则CMN ∠045=，CM 平分角BCE ∠，所以此时AM 与两直线所成的角都为60°。