巧用三余弦定理解题教程文件
高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理
三余弦定理和三正弦定理1.三余弦定理（又叫最小角定理）（1）设点A为平面α上一点，过A点的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α上的任意直线，那么∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值=斜线与平面所成角1θ的余弦值⨯射影与平面内直线夹角的余弦值。
（2）定理证明：（3）说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线θ是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
与平面所成角12.设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ（如图）.（1）定理证明：如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！例1. (1994全国)如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求面DBC1与面CBC1所成的二面角度数。
例2. (1986上海)已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3.点P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=7时，求二面角P－AC－B的大小。
例 3.已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角A-BD-C(如下图)。
( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD-B的大小。
例4.（2012四川）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作与平面成角的平面并与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为_________________。
高中数学余弦定理应用解题技巧
高中数学余弦定理应用解题技巧在高中数学中，余弦定理是一个非常重要的定理，它在解决三角形相关问题时起到了关键作用。
本文将介绍余弦定理的应用解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
余弦定理的表达形式为：c² = a² + b²- 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角C的对边。
首先，我们来看一个典型的应用题：【例题】已知三角形ABC，边长分别为AB=5cm，AC=7cm，夹角BAC=60°，求BC的长度。
解析：根据余弦定理，我们可以得到BC的长度。
代入已知条件，得到c² = a²+ b² - 2abcosC，即BC² = 5² + 7² - 2×5×7×cos60°。
计算得到BC² = 25 + 49 - 70×0.5，即BC² = 74 - 35，最终得到BC² = 39。
因此，BC ≈ 6.24cm。
这个例题中，我们通过余弦定理求解了三角形的边长，其中关键的一步是计算cos60°。
在这里，我们需要知道常见角度的余弦值，例如cos60°=0.5，cos30°=0.866等。
因此，熟练掌握常见角度的余弦值是解题的关键。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：【例题】已知三角形ABC，边长分别为AB=8cm，BC=5cm，夹角ACB=120°，求夹角BAC的大小。
解析：根据余弦定理，我们可以得到cosC = (a² + b² - c²) / 2ab。
代入已知条件，得到cosBAC = (8² + 5² - 10²) / (2×8×5)，即cosBAC = (64 + 25 - 100) / 80。
高中数学立体几何有何妙招？三正弦、三余弦定理帮你快速解题
高中数学立体几何有何妙招？三正弦、三余弦定理帮你快速解题如何学好高中数学，本质教育有三条重要的原则：一，巩固基础知识，简单的题目做得又快又对；二，学习李泽宇三招，有逻辑地思考那些难题；三，改掉错误习惯，避免运算错误、看错题目等毛病。
本质教育李泽宇三招TM1. 翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
翻译要求“信、达、雅”不能扭曲原文的意思。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
2. 特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
3. 盯住目标：把目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用！定理若已知二面角其中一个半平面内某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值点击加载图片点击加载图片点击加载图片点击加载图片通过这一简单的结论，我们可以秒杀一些立体几何的题目。
如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单！实战演示接下来，我们用1道经典的高考题（后期高考立体几何大多以此为母题）来展示一下这2个公式的简便性与实用性，希望同学们仔细理解。
点击加载图片点击加载图片点击加载图片结论通过上面的对比分析可以看出：如果利用好这个公式，我们就能多一条翻译的路径，可简化很多繁琐的运算，即可迅速解出答案，如果是在考试中就能大幅提高解题速度，提高考试成绩，学好高中数学如果利用好这个公式，我们就能多一条思考的路径。
巧用三余弦定理解题
A O P αl BA O1θ2θθPQ α巧用“三余弦定理”解题“三余弦定理”的内容：如图１，直线AO 是平面α 的斜线，AQ 是AO 在平面内的射影，直线AP 在平面α内.设21,,θθθ=∠=∠=∠QAP OAQ OAP ，有以下结论：21cos cos cos θθθ⋅=.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图１应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影.2. 明确三角：斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ.3. 定理运算.例 1.如图２,已知AO 是平面α的一条斜线,OB ⊥α,B 是垂足,AP 是α内一直线,∠OAP=60o ,∠BAP=45o ,求斜线AO 与平面α所成的角.分析：AP 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，所以21,,θθθ=∠=∠=∠BAP OAB OAP ，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略. 略解： 点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解.图２ 变式1：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o ,求直线AO 与AP 所成的角； 分析：同例1.变式2：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o , l //AP, 求直线AO 与l 所成的角；分析：因为l //AP ，直线AO 与AP 所成的角同AO 与l 所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，然后斜线 AO 与“内线”l所成为θ，斜线AO 与射影AB 所成的角为1θ，射影AB 与“内线”l 所成的角为2θ, 问题迎刃而解.例2．如图３，在棱长为1正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和CC 1的中点，求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.C 1A 1B 1D 1 F EP ABCDE分析：直线BA 1是平面BCC 1B 1的斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可.解：由题意可知，直线BA 1是平面BCC1B1的斜线，BB1是BA 1在平面内的射影，EF 为平面内的直线，所以BA 1与EF 所成的角为θ，111θ=∠BC A ，EF 与BB 1所成的角为2θ 图３又因为21cos cos cos θθθ⋅=，451=θ，452=θ，所以21cos =θ 即异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为21 点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ，明确了“三角”，公式的应用水到渠成.变式：若E 、F 是B 1C 1和CC 1上的点，满足EC 1=31，FC 1= 33，求异面直线A 1B 与EF所成角的余弦值.分析：明确“三线”，直线BA 1是斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，然后按规则找出“三角”，定理计算即可.图４ 图５练习：1.如图４，S 是△ ABC 所在平面外一点，SA ，SB ，SC 两两垂直，求证： △ ABC 是锐角三角形2.如图５，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形， ∠BAD=90o ，AD//BC ，AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o ，且AE ⊥PD ，E 为垂足,求异面直线AE 与CD 所成角的大小“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得事半功倍的效果，提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的例题，然后举一反三，学以致用.BACS。
高中数学必修二 6 4 3 余弦定理、正弦定理(第3课时)余弦定理、正弦定理应用举例 教学设计
【新教材】6.4.3 余弦定理、正弦定理教学设计（人教A版）第3课时余弦定理、正弦定理应用举例三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语方向角从指定方向线到 目标方向线 的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)方 位角 从正北的方向线按 顺 时针到目标方向线所转过的水平角四、典例分析、举一反三题型一 测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线 上 方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB ＝3)sin 45sin105＝5(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++＝10 3 n mile. 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ，∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A ，B 两点之间的距离不能直接测量时，求AB 的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C ，使得A ，B 与C 之间的距离可直接测量，测出AC ＝b ，BC ＝a 以及∠ACB ＝γ，利用余弦定理得：AB ＝a 2＋b 2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B 同侧的点C ，测出BC ＝a 以及∠ABC 和∠ACB ，先使用内角和定理求出∠BAC ，再利用正弦定理求出AB .(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C ，D ，测出CD ＝m ，∠ACB ，∠BCD ，∠ADC ，∠ADB ，再在△BCD 中求出BC ，在△ADC 中求出AC ，最后在△ABC 中，由余弦定理求出AB .跟踪训练三1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．【答案】A ，B 两点间的距离为64km. 【解析】∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32.在△BCD 中，∠DBC ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
三余弦公式的推导及其应用
精品三余弦公式的推导及其应用——教材研究1.公式的推证及两个重要推论命题：设OB ⊥平面α，B 为垂足，OA 是平面α的斜线，A 为斜足.∠OAB=1θ，l 是平面α内的任一直线，l 与AB 所成的角为2θ，l 与OA 所成的角为θ，如图1. 则：21cos cos cos θθθ= （三余弦公式）.证法1：过斜足A 引l 的平行线AC ，则∠OAC=θ,∠BAC=2θ.再过B 作BC ⊥AC ，连OC ，则易知AC ⊥OC ，由直角三角形中三角函数的定义有：AB ACOA AB OA AC ===21cos ,cos ,cos θθθ ∴ 21cos cos cos θθθ=. 证法2：设1|AO |=，则11cos cos |AO ||AB |θθ== ,∴ 212cos cos cos ||||θθθ== . 又∵ θθcos cos ||||==，∴ 21cos cos cos θθθ⋅=.由于0＜θ1＜90°. 所以cos θ1≠0，则0cos 0cos 2=⇔=θθ，由此可得： 推论1：0209090=⇔=θθ——此即三垂线及其逆定理.又由于0＜2cos θ＜1 所以θcos ＜cos θ1，从而θ1＜θ，由此可得：推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.2.公式的应用举例§2.1.在几何论证方面的应用：例1.求证:将长方体截取一角后的截面是锐角三角形.证明：如图2，设四面体SABC 是长方体截取一角，则易知： AS ⊥平面BSC ，由三余弦公式知：cos ∠ABC= cos ∠ABS ·cos ∠CBS ，∵ ∠CBS ，∠ABS 都是锐角 ∴ cos ∠ABS, cos ∠CBS 都大于0，从而cos ∠ABC 大于0. 又∵ ∠ABC 是三角形的一内角, ∴ ∠ABC 是锐角.同理可得：∠BAC 、∠BCA 也都是锐角.故 三角形ABC 是锐角三角形. 注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想①：已知平面βα⊥，直线AB 与α、β所成的角分别为21,θθ，则21θθ+（ ）. A.等于90°， B.小于90°， C.不大于90°， D.不小于90°.θθ2OA B C l α θ1 图1A SBC 图2精品§2.2利用它处理与线面所成角有关的问题：例2.PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）. A.21 ， B.36 ， C.33 ， D.23.解：如图3，∵ ∠CPB=∠APC=60° ∴ PC 在平面APB 上的射影PD 是∠APB 的角平分线，即∠DPB=30°.由三余弦公式得： cos60°=cos30°·cos ∠DPC 则cos ∠DPC=33.即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33.故选C.例3.有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点 B 的正东北方向，照射B 点的光线与地面成60°角，求该光线与岸边所成角的余弦值. 解：如图4，设AD 为探照灯，BC 为河岸，则AD 由已知有：∠ABC=45°，∠ABD=60°. cos ∠DBC=cos45°·cos60°=42.即 灯光与岸边所成角的余弦值是42.想一想②：设正四面体ABCD 的棱长为a ，求点A 到平面BCD 的距离AO 及其体积.【引申】通常情况下θ与θ2是锐角.若θ与θ2同为钝角时，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.例4.如图5.在直二面角βα——l 的棱l 上有点A,在内各有一条射线AB 、AC ，它们与l 均成45°的角，且AB 在平面α内， AC 在平面β内，求∠BAC 的大小.解：（1）当AB 、AC 是如图所示状态时，∵ 二面角βα——l 是直二面角， ∴ βα⊥. 过B 作BD 垂直l 于D ，由三余弦公式得: cos ∠BAC =cos45°·cos45°=21, ∴ ∠BAC=60°. （2）当AC 是如图所示AC 1状态时，cos ∠BAC =cos45°·cos135°= -21 ∴ ∠BAC=120° 综上知 ∠BAC=60°或120°. 例5.已知正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是边AD 、BC 上的点，MN ∥AB,MN ∩AC=O.现正方形ABCD 沿MN 折成直二面角(如图6), 设AM=BN=x （0＜x ＜4），问.当MN 平行移动时, ∠AOC 是否发生变化?试说明理由. 解：此题的常规方法是：通过计算，将AO 、OC 、P CABD 图3东图4AB C DC 1βα l 图5ABN M O C D D C NM A BO 图6精品AC 分别用x 表示出来，然后由余弦定理算出cos ∠AOC= -21是常数(计算量较大).从而得出结论.若换个角度来看：则易知：∠NOC=45°, ∠NOA=135°,由三余弦公式有：cos ∠AOC =cos45°·cos135°= -21，可很快可得结论. 点评：由以上几例可以看出，在涉及直线与平面所成角的问题时.若能充分利用三余弦公式，可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.想一想③：如图7.把正方形ABCD 沿对角线AC 折成 直二面角B —AC —D ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， O 是正方形的中心，求折起后∠EOF 的大小.§2.3.利用它处理与两异面直线所成角有关的问题：例6.如图8所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1C 1、C 1C 上，且33FC ,31EC 11==,求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.解：∵ A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ∴ A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角为45°.又∵33FC ,31EC 11==, ∴ ∠EFC 1=30° 即EF 与C 1C所成角为30°, 亦即EF 与B 1B 所成角为30°.设A 1B 与EF 所成角为θ，则由三余弦公式可得：cos θ= cos450·cos30°=46 . ∴ 异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为46.例7.已知异面直线a 、b 所成的角为θ=60°，点P 为空间任意一点.（1）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=45°的直线有几条？ （2）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=60°的直线有几条？ （3）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=70°的直线有几条？ 解：（1）如图9，过点O 引异面直线a 、b 的平行线OA 、OB ，则问题转换为求过点P 与OA 、OB 所成的角均为45°的直线的条数. ∵ OP 与OA 、OB 成等角45° ∴ OP 在由OA 、OB 确定的 平面α内的射影OD 是∠AOB 的平分线，即∠DOB=30°. 由三余弦公式可得：cos ∠POB = cos45°·cos ∠POD, cos45°= cos30°·cos ∠POD ，30cos 45cos cos =∠⇒POD ＜1，∴ 这样的直线OP 如图9存在一条，又由对称性在l 的另一侧也存在一条.FB F AE DMOAE DB C MO图7 ABC DD 1A 1B 1C 1F E 图8 OPADBa bα图9l精品再考虑到∠AOBD 的补角的情形，由三余弦公式，cos45° = cos60°·cos ∠POD 1,106cos 45cos cos =∠⇒POD ＞1, ∴ 此种情形的直线不存在. 综上所述知，满足条件的直线有2条.（2）同（1）的分析，满足条件的直线存在与否就是看等式：0030cos 60cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 60cos cos =∠POD =1（只1条）,从而知满足条件的直线有3条.（3）∵ 0030cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）, ∴ 满足条件的直线有4条.点评：一般地，设异面直线a 、b 所成的角为θ，过P 且与a 、b 所成的等角为ϕ.则当：1°2coscos cos θϕ=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.2°2180coscos cos 01θϕ-=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.然后将上述1°、2°两种情形合并即可. 想一想④：设异面直线a 、b 所成的角为50°，点P 为空间任意一点,问过P 点与直线a 、b 所成的 角均为45°的直线有几条？变式:(09重庆高考)已知二面角βα—— 的大小为θ1=50°，点P 为空间任意一点,过P 且与平面α和平面β所成的角均为ϕ1=25°的直线的条数为( )A 、2,B 、3,C 、4,D 、5. 解:如图10.过点P 分别作平面α、β的垂线PA 、PB. 设由垂线PA 、PB 确定的平面与 交于点O ，则易知：AO ⊥ ，BO ⊥ ，即∠AOB 为二面角βα—— 的平面角. ∴∠AOB=50°，则∠APB=130°.又∵过P 的直线与平面α和平面β所成的角均为25°，∴ 问题转化为为过点P 与PA 、PB 均成65°的直线的条数问题了. 由例4（3）我们已知满足条件的直线有3条.故选B.点评：一般地，此类问题可转化为θ=180°-θ1，ϕ=90°-ϕ1时,例4的情形.PB AOα β图10AF EBC B CAFE图11精品【练习】1.如图11.在Rt △ABC 中，AB=BC ，E 、F 分别是AC ，AB 的中点，以EF 为棱把它折成直二面角A —EF —BC ， 设∠AEC=α，求cos α.并将此与上述例5及想一想③ 进行比较.2.已知平面α内有∠xoy=60°，OA 是α的斜线，且OA=10，∠Aox=∠Aoy=45°，则A 到平面α的距离为（ ）.3.在三棱锥D —ABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°,AC=BC ，求异面直线AB 与CD 所成的角.【部分问题参考答案】想一想① 解析:如图,过A 、B 分别作棱的垂线AC 、BD∠ABC=1θ，∠BAD=2θ,又设∠ABD=θ，由最小角定理知，θ而=+2θθ90°，则 ≤+21θθ90°， 故选C.想一想② 解：∵ 四面体ABCD 是正四面体 ∴ AB 在底面BCD 上的射影是∠CBD 的角平分线，如图，由三余弦公式得：cos60°=cos ∠ABO ·cos30°， ∴ cos ∠ABO=33.于是sin ∠ABO=36 ， ∴ AO=36a.其体积为：32122433631a a a V ABCD =⋅⋅=. 想一想③ 解:过点E 作EM ⊥AC 于M ，∵ 在折叠的过程中，∠EOA=45°, ∠FOA=135°, 没有发生变化，由三余弦公式, cos ∠EOF=cos45°·cos135°= -21， ∴ ∠EOF=120°. 想一想④ 提示:2条. 【练习】1.提示:120°，此问题与例4等实质上是一致的.2.解：设OA 与平面α所成的角为θ，则由三余弦公式可得:cos 45°= cos30°·cos θ , ∴ cos θ=33sin 36=⇒θ.故 点A 到平面α的距离为：3310.3.解：∵ DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°, AC=BC ，不妨设AC=BC=1. 则可求得AD=315 ,从而 cos ∠ACD=515. 又∵∠BAC=45°,DA B C图12A BC DO图14 DABC图15∴设AB与AC成45°角,设AB与CD所成的角为θ,30.由三余弦公式可得：cosθ= cos∠ACD·cos 45°=10 .精品。
6.4.3第三课时余弦定理、正弦定理应用举例PPT课件(人教版)
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
D.α＋β＝180°
解析 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β，故应选B.
答案 B
3.两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东
60°，则A，B之间的距离为( )
A. 2a km
B. 3a km
C.a km
D.2a km
解析 △ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝ 2a.
高中体育-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理
高中体育-三余弦定理(最小角定理)与三正
弦定理
三角形是几何学中一个重要的概念，而三余弦定理（最小角定理）和三正弦定理则是解决三角形相关问题时经常使用的重要工具。
本文将介绍这两个定理的概念和应用。
三余弦定理（最小角定理）
三余弦定理（最小角定理）是指一个三角形中的任意一条边的
平方等于其他两条边的平方和减去这两条边的乘积与这两条边的夹
角的余弦的乘积。
即：
ab^2 = ac^2 + bc^2 - 2ac * bc * cosA
其中，a、b、c为三角形的边长，A为边a对应的夹角。
根据
这个定理，我们可以通过已知两边和它们的夹角来推导出第三条边
的长度，或者通过已知三条边的长度来计算夹角的大小。
这个定理常用于解决关于三角形边长和夹角的问题，例如求解三角形的面积、判断三角形的形状等。
三正弦定理
三正弦定理是指在一个任意三角形中，三条边的长度与它们所对应的角的正弦之间的关系。
即：
a / sinA =
b / sinB =
c / sinC
这个定理可以帮助我们在已知一个三角形的两个角度和边长的情况下，求解出第三个角度或边长的数值。
三正弦定理常常用于求解不直角三角形的边长和角度，尤其是当我们只知道两个角度和一个边长时，可以通过这个定理计算出其他未知量。
总结：三余弦定理和三正弦定理是高中数学中与三角形相关的重要定理。
通过运用这两个定理，我们可以解决关于三角形的边长和夹角的各种问题，在几何学的学习中具有重要的应用价值。
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巧用三余弦定理解题
A
O
P α
l
B
A O
1θ2
θθ
P
Q α
巧用“三余弦定理”解题
“三余弦定理”的内容：如图１，直线AO 是平面α 的斜线，AQ 是AO 在平面内的射影，直线AP 在平面α内.设
21,,θθθ=∠=∠=∠QAP OAQ OAP ，有以下结
论：21cos cos cos θθθ
⋅=.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，
应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图１
应用“三余弦定理”解题的步骤如下：
1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影.
2. 明确三角：斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ.
3. 定理运算.
例1.如图２,已知AO 是平面α的一条斜线,OB ⊥α,B 是垂足,AP 是α内一直线,∠OAP=60o ,∠BAP=45o ,求斜线AO 与平面α所成的角.
分析：AP 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，所以21,,θθθ=∠=∠=∠BAP OAB OAP ，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.
略解：
点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解.
图２
变式1：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o ,求直线AO 与AP 所成的角； 分析：同例1.
变式2：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o , l //AP, 求直线AO 与l 所成的角； 分析：因为l //AP ，直线AO 与AP 所成的角同AO 与l 所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，然后斜线 AO 与“内线”l 所成为θ，斜线AO 与射影AB 所成的角为1θ，射影AB 与“内线”l 所成的角为2θ, 问题迎刃而解.
例2．如图３，在棱长为1正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和CC 1的中点，求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.
分析：直线BA 1是平面BCC 1B 1的斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可.
解：由题意可知，直线BA 1是平面BCC1B1的斜线，
BB1是BA 1在平面内的射影，EF 为平面内的直线，
所以BA 1与EF 所成的角为θ，111θ=∠BC A ，EF 与BB 1所成的角为2θ 图３
C 1 A
B
C
D
A 1
B 1
D 1
F
E
P
A
B
C
D
E
又因为21cos cos cos θθθ⋅=， 451=θ， 452=θ， 所以2
1cos =
θ 即异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为
2
1 点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ，明确了“三角”，公式的应用水到渠成.
变式：若E 、F 是B 1C 1和CC 1上的点，满足EC 1= 3
1
，FC 1= 33，求异面直线
A 1
B 与EF 所成角的余弦值.
分析：明确“三线”，直线BA 1是斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，然后按规则
找出“三角”，定理计算即可.
图４ 图５
练习：1.如图４，S 是△ ABC 所在平面外一点，SA ，SB ，SC 两两垂直，求证： △ ABC 是锐角三角形
2.如图５，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形， ∠BAD=90o ，AD//BC ，AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o ，且AE ⊥PD ，E 为垂足,求异面直线AE 与CD 所成角的大小
B
A
C
S
“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得事半功倍的效果，提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的例题，然后举一反三，学以致用.。