勾股定理及弦图题库
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
初中数学勾股定理之“赵爽弦图”模型(解析版)
勾股定理之“赵爽弦图”模型【知识梳理】“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.【考点剖析】一．选择题(共2小题)1如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC= 6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.76B.72C.68D.52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：A．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB=10，EF=2，则AH的长为()A.62B.82C.6D.8【分析】由题意得，设AH=DE=CF=BG=x，则AE=DF=CG=BH=2+x，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．AB=10，EF=2，∴设AH=DE=CF=BG=x，则AE=DF=CG=BH=2+x，在Rt△AHB中，AB2=AH2+BH2，即102=x2+(x+2)2，整理得，x2+2x-48=0，解得：x1=6，x2=-8(不符合题意，舍去)，∴AH=6．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质，根据题意得到线段的关系，然后根据勾股定理列出方程并求解是解题关键．二．填空题(共4小题)3“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为 7 ．【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2= 107，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵(a+b)2=107，∴a2+2ab+b2=107，∵大正方形的面积为57，∴2ab=107-57=50，∴小正方形的面积为57-50=7，故小正方形的边长为7．故答案为：7．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．4如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt △ABF 中，∠AFB =90°，AF =4，AB =5．四边形EFGH 的面积是1．【分析】四边形EFGH 的面积=四边形ABCD 的面积-四个全等直角三角形的面积．直角三角形的面积需利用勾股定理求出直角边后解答．【解答】解：因为AB =5，所以S 正方形ABCD =5×5=25．Rt △ABF 中，AF =4，AB =5，则BF =52-42=3，所以S Rt △ABF =12×3×4=6，四个直角三角形的面积为：6×4=24，四边形EFGH 的面积是25-24=1．故答案为1【点评】此题主要考查了勾股定理，以及正方形面积、三角形面积，难易程度适中．5如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm ，则图中五个正方形A 、B 、C 、D 、E 的面积和为98cm 2．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：设正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是a 、b 、c 、d ，则正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)+72=x2+y2+72=72+72=98(cm2)．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．6图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(2)所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为1cm2 ；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是76cm．【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解；②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解．【解答】解：图①，小正方形的面积=(6-5)2=1cm2；图②，外围直角三角形的斜边=122+52=13cm，周长=4×(13+6)=4×19=76cm，即，需要彩带的长度至少是76cm．故答案为：1cm2，76cm．【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．三．解答题(共3小题)7如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；(2)如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S2= 163 ．【分析】(1)由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为(a -b )2，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为c 2-4×12ab ，以此即可证明；(2)设正方形MNKT 的面积为x ，八个全等的直角三角形的面积均为y ，可得S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ，则S 1+S 2+S 3=12y +3x =16，根据整体思想即可求出S 2=4y +x =163．【解答】(1)证明：S 小正方形=a -b 2=a 2-2ab +b 2，另一方面S 小正方形=c 2-4×12ab =c 2-2ab ，即a 2-2ab +b 2=c 2-2ab ，则a 2+b 2=c 2；(2)解：设正方形MNKT 的面积为x ，八个全等的直角三角形的面积均为y ，∵S 1+S 2+S 3=16，∴S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=12y +3x =16，∴4y +x =163，∴S 2=4y +x =163．故答案为：163．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键．8我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：(1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；(2)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =4，BC =3，求CD 的长度．【分析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．(2)先由勾股定理求出AB 的长，再根据三角形的面积求CD 的长即可．【解答】解：(1)∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为：(b -a )2，∴c 2=4×12ab +(a -b )2=2ab +a 2-2ab +b 2即c2=a2+b2．(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴由勾股定理，得：AB=AC2+BC2=42+32=5∵CD⊥AB，∴S△ABC=12AC•BC=12AB•CD∴CD=4×35=125．【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用，属于基本题型．9图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC=5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．(1)这个风车至少需要绕着中心旋转90°才能和本身重合；(2)求这个风车的外围周长(图乙中的实线)．【分析】(1)根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．(2)在直角△ABC中，已知BC，AB，根据勾股定理即可计算AC的长，AC=7，故求得BD即可计算风车的外围周长．【解答】解：(1)：∵360°÷4=90°，∴该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．(2)在直角△BCD中，BD为斜边，已知BC=5，AB=74，由勾股定理得：AC=7，CD=7+5=12，∴BD=52+122=13，∵风车的外围周长为4(BD+AD)=4(13+5)=72．【点评】本题考查了旋转角的定义及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正确的计算BD是解题的关键．【过关检测】一．选择题(共10小题)10(2022春•东城区期末)如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.72B.52C.80D.76【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．11(2021秋•邳州市期中)公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为()A.1B.3C.4D.9【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾a=3，弦c=5，∴股b=52-32=4，∴小正方形的边长=4-3=1，∴小正方形的面积=12=1，故选：A．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．12(2021春•长垣市期末)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是()A.1：2B.1：4C.1：5D.1：10【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长=22+42=25，∴小正方形面积大正方形面积=22252=420=15．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．13(2022秋•青秀区校级期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为()A.12B.13C.14D.15【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b=5，∵(a+b)2=(a-b)2+4ab=5+4ab=21，∴ab=4，∴大正方形的面积=4×12ab+5=13，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14(2022秋•南岸区校级期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()A. B. C. D.【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+(b -a )2=a 2+b 2，∴a 2+b 2=c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：(a +b )2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2=2ab +c 2，∴(a +b )2=2ab +c 2，∴a 2+b 2=c 2，故B 选项能证明勾股定理；C 、梯形的面积为：12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab ×2+12c 2=ab +12c 2，∴ab +12c 2=12(a 2+b 2)+ab ，∴a 2+b 2=c 2，故C 选项能证明勾股定理；D 、大正方形的面积为：(a +b )2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，∴D 选项不能证明勾股定理．故选：D ．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．15(2022秋•平湖市期末)在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD 内部，其中点M ，N ，P ，Q 分别在长方形的边AB ，BC ，CD 和AD 上，若AB =7，BC =8，则小正方形的边长为()A.5B.6C.7D.22【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x ，较小的直角边为y ，根据AB =7，BC =8，列出二元一次方程组，求出x 和y ，再求出边长即可．【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x ，较小的直角边为y ，∵AB =7，BC =8，∴3x+y=73x+2y=8 ，解得x=2 y=1 ，∴小正方形的边长为22+12=5．故选A．【点评】本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．16(2022秋•鄄城县校级月考)如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是()A.16cm2B.25cm2C.30cm2D.169cm2【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，∴直角三角形①的面积=12×5×12=30(cm2)，故选：C．【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．17(2021秋•鹿城区校级期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，分别以AC，BC，AB 为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1=4，则S3为()A.8B.16C.43D.43+4【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【解答】解：∵S1=AC2=4，∴AC=2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，∴S3=AB2=16，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．18(2022秋•温州期末)如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG=5，则小正方形的面积为()A.15B.16C.20D.25【分析】由等腰三角形性质可得出BF=CF，利用HL可证得Rt△ABF≌Rt△DCF(HL)，得出AB=AD =2AF，根据余角的性质得出∠BAG=∠ABF，进而推出CF=BF=2AG=10，利用面积法求得BN= 8，再运用勾股定理求得CN=4，即可求得答案．【解答】解：设小正方形为EHMN，如图，∵四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=90°，CF∥AG，∵△BCF为等腰三角形，且BF>AB=BC，CF>CD=BC，∴BF=CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，AB=CD BF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△DCF(HL)，∴∠AFB=∠CFD，AF=DF，∴AB=AD=2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD=∠DAG，∴∠AFB=∠DAG，∴AG=FG，∵∠AFB+∠ABF=90°，∠DAG+∠BAG=90°，∴∠BAG=∠ABF，∴AG=BG，∴CF=BF=2AG=10，在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，∴(2AF)2+AF2=102，∴AF=25，∴AB=BC=45，∵S△BCF=12BC•AB=12CF•BN，∴BN=BC⋅ABCF =45×4510=8，∴CN=BC2-BN2=452-82=4，∵△ABM≌△BCN，∴BM=CN=4，∴MN=BN-BM=8-4=4，∴S正方形EHMN=(MN)2=42=16，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键．19(2022春•南浔区期末)赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形(如图所示)．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI=2，CI=1，S2=5S1，则GI的值是()A.105B.9202 C.58D.34【分析】如图，连接DG，先由已知条件分别求得S2=CD2=32=9，S1=95，小正方形边长为355，再由勾股定理得：EG=EH2+HG2=3105，设AE=BF=CG=DH=x，则AF=BG=CH=DE=x+355，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2，即9=x2+(x+355)2，进而得AE=BF=CG=DH=x=355=EH，再得CH垂直平分ED，再由三角形的“三线合一”得∠DGH=∠HGE=45°进而得∠DGI=90°最后由勾股定理得：GI=DI2-DG2=22-31052=105，即得选项A．【解答】解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE=BF=CG=DH，AF=BG=CH=DE，CH⊥DE，∵DI=2，CI=1，∴CD=DI+CI=2+1=3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2=CD2=32=9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2=5S1，∴S1=95，∴EF=FG=GH=HE=355，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE=45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG=EH2+HG2=3105，设AE=BF=CG=DH=x，则AF=BG=CH=DE=x+35 5，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2，即9=x2+(x+355)2，解得：x1=355，x2=-655(不合题意，舍去)，即AE=BF=CG=DH=x=355，∴DH=EH=355，∴CH垂直平分ED，∴DG=EG=3105，∴∠DGH=∠HGE=45°，∴∠DGE=45°+45°=90°，∴∠DGI=90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI=DI2-DG2=22-31052=105，故选：A．【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，线段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，关键是巧添辅助线构等腰直角三角形，顺利实现求得答案．二．填空题(共7小题)20(2022秋•锡山区期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12．以AB为一边在△ABC 的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为139．【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，由勾股定理知，AB=AC2+BC2=13．故S阴影=S正方形ABDE-S△ABC=132-12×5×12=169-30=139．故答案为：139．【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．21(2022秋•德惠市期末)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是49．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．【解答】解：∵AE=5，AB=13，∴BF=AE=5，在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=12，∴小正方形的边长EF=12-5=7，∴小正方形EFGH的面积为7×7=49．故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22(2022秋•建邺区校级期中)将四个全等的直角三角形分别拼成正方形(如图1，2)，边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形(如图3)，其面积分别为S1，S2．则S1-S2= 12．【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b(a>b)，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b(a>b)，根据图1得：a+b=6，根据图2得：a-b=2，联立解得：a=4 b=2，∴S1=16，S2=4，则S1-S2=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系．23(2021秋•龙泉驿区校级月考)如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则(a +b )2的值是33．【分析】先由拼图列出关于面积的方程，再由勾股定理列一个直角三角形三边的方程并整理，最后把值整体代入和平方的展开式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 即可得出答案．【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，∴1+4×12ab =17a 2+b 2=172，即2ab =16a 2+b 2=17 ，∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =17+16=33．故答案为：33．【点评】这是一道勾股定理综合题，主要考查了拼图列方程，发现各个图形的面积和a ，b 的关系是解题关键．24(2022秋•金台区校级月考)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76．【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将AC 延长到点D ，连接BD ，根据题意，得CD =6×2=12，BC =5．∵∠BCD =90°∴BC 2+CD 2=BD 2，即52+122=BD 2∴BD =13∴AD +BD =6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．故答案为：76．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．25(2022秋•工业园区校级期中)如图，在弦图中，正方形ABCD 的对角线AC 与正方形EFHI 的对角线EH 交于点K ，对角线AC 交正方形EFHI 于G ，J 两点，记△GKH 面积为S 1，△JIC 面积为S 2，若AE =12，CD =410，则S 1+S 2的值为16．【分析】由题意可得AF =CI ，∠AFG =∠CIJ =90°，FH ∥EI ，即可证明△AFG ≌△CIJ ，FG =IJ ，再根据四边形EFHI 为正方形，得到△GHK ≌△JEK ，从而得到点K 为正方形EFHI 的中心，过点K 作KM ⊥FH 于点M ，由勾股定理得DE =4，FH =8，KM =4，设GH =a ，FG =b ，则a +b =FH =8，最后用a ，b 表示出S 1+S 2=2(a +b )，将a +b 的值代入即可求解．【解答】解：由题意可得，AF =CI ，∠AFG =∠CIJ =90°，FH ∥EI ，∵∠AGF =∠HGK ，∠IJC =∠KJE ，∵FH ∥EI ，∴∠HGK =∠KJE ，∴∠AGF =∠IJC ，在△AFG 和△CIJ 中，∠AGF =∠IJC ∠AFG =∠CIJ =90°AF =CI ，∴△AFG ≌△CIJ (AAS )，∴FG =IJ ，∵四边形EFHI 为正方形，∴EI -IJ =FH -FG ，即HG =EJ ，在△GHK 和△JEK 中，∠HGK =∠KJE ∠GKH =∠JKE HG =EJ，∴△GHK ≌△JEK (AAS )，∴HK =EK ，即点K 为正方形EFHI 的中心，如图，过点K 作KM ⊥FH 于点M ，∵AE=12，CD=410，∴BF=12，AD=410，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=AD2-AE2=4，∴AF=DE=4，EF=AE-AF=12-4=8，则FH=8，KM=4，设GH=a，FG=b，则a+b=FH=8，∴S1=12GH⋅MK=12a×4=2a，S2=S△AFG=12FG⋅AF=12b×4=2b，∴S1+S2=2a+2b=2(a+b)=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．26(2022秋•宁德期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP-S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是①③④.(填写序号)【分析】由全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式，结合“赵爽弦图”的特点，可以解决问题．【解答】解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG=AE，∠CGP=∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP=∠MAE，∴△CGP≌△AEM(ASA)，∴S△CGP=S△AEM，CP=ME，∴S△AFP-S△CGP=S四边形MEFP∵HE=GF，∴HM =PF ，∴S 四边形MEFP =S 四边形MHGP =12S 正方形EFGH=1，∴S △AFP -S △CGP =1，∵DH 2+CH 2=DC 2=9，∴(DH +CH )2=DH 2+CH 2+2DH •CH =9+2DH •CH ，∵CH -DH =HG ，∴(CH -DH )2=HG 2=2，∴CH 2+DH 2-2DH •CH =2，∴2DH •CH =7，∴(DH +CH )2=9+7=16，∴DH +CH =4，∵CH -DH =2，∴HC =4+22=2+22，故答案为：①③④．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式，关键是读懂“赵爽弦图”并灵活应用以上定理和公式．三．解答题(共2小题)27(2021秋•凤翔县期中)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c 2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab ×4+b -a 2，从而得到等式c 2=12ab ×4+b -a 2，化简便得结论a 2+b 2=c 2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题(1)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =3，BC =4，求CD 的长度．(2)如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB =4，AC =5，BC =6，设BD =x ，求x 的值．【分析】(1)先根据勾股定理先求出AB ，再根据“双求法”求出CD 的长度；(2)运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD ，德关于x 的方程求解．【解答】解：(1)在Rt △ABC 中AB =32+42=5，由面积的两种算法可得：12×3×4=12×5×CD ，解得：CD =125．(2)在Rt △ABD 中AD 2=42-x 2=16-x 2，在Rt △ADC 中AD 2=52-(6-x )2=-11+12x -x 2，所以16-x 2=-11+12x -x 2，解得x=2712=94．【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．28(2021春•利辛县期中)如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2=c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD =(a+b)2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=12×ab，再根据S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD =(a+b)2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=12×ab，∵S正方形ABCD =S正方形EFGH+4S△BEF，∴(a+b)2=c2+4×12×ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2．【点评】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键．。
勾股定理与弦图
印发类通知范例范文尊敬的各位老师、同学们：大家好！我是XXX学校的XXX，今天我代表学校向大家发出一项重要通知。
鉴于我们学校即将迎来即将到来的XXX活动，为使活动顺利进行，加强组织和管理，我们特向全校师生发布以下通知：一、活动背景及目的XX活动是我校的重要学习与交流活动，旨在倡导团结友爱、共享知识的精神，为广大同学提供一个展示才艺、交流经验的平台。
二、活动时间及地点时间：XX年XX月XX日（星期X）下午X点至X点地点：校内礼堂三、活动内容本次活动由以下项目组成：1.文艺表演：各班级准备一台精彩绝伦的文艺表演，时长不超过X分钟，内容包括歌曲、舞蹈、小品等。
各班级可根据自身特点及兴趣进行选择，创造性展示。
2.才艺展示：学校将组织才艺展示活动，邀请同学们展示自己的特长，例如：乐器演奏、书法、绘画等。
同时，活动将邀请专业人士进行现场点评和指导。
四、组织准备1.各班级需自行组织并策划文艺表演节目，并于X年X月X日前报备给活动筹备组。
届时，请提交节目名称、表演形式、参与人员名单等信息。
2.各班级参赛人员需提前练习并做好准备工作，确保表演达到优秀水平。
3.各班级参赛人员在活动当日需准时到达活动现场，活动前请将音乐、道具等需要用到的物品统一交给工作人员。
五、展示规范1.文艺表演时长不得超过指定时间，否则将进行扣分处理。
2.参与才艺展示的同学需提前将需要用到的器材和道具准备齐全，确保展示质量。
六、奖惩机制1.文艺表演将评选“最佳表演奖”、“最具创意奖”等奖项，并为获奖班级颁发奖杯及证书。
2.才艺展示将评选“最佳才艺奖”、“最佳表现奖”等奖项，并为获奖同学颁发奖状。
七、注意事项1.参赛同学需尊重他人，注意礼仪，文艺表演内容不得含有低级趣味、不健康等内容。
2.活动过程中，大家要保持场内秩序，听从工作人员安排和指示。
3.参与活动的同学请保持手机静音，避免影响他人观看。
最后，希望每位同学能够充分准备，尽情展示自己的才艺，共同度过一个难忘的活动体验。
勾股定理测试试题及答案
边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
三、解答题
21．在等边 ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点， EDF 120, DE 与线段 AB 相交于点 E, DF 与射线 AC 相交于点 F ．
19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦 图”（如图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中
正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，正方形 MNKT 的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ，若 S1 S2 S3 15 ，则 S2 的值是__________．
______________．
17．如图，Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AB=5，BC=4，斜边 AB 的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D，连接 AD，线段 CD 的长为_________．
18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边 AB 上的一点，要使 AE＝3，BE＝1，P 为 AC 上的动 点，则 PB＋PE 的最小值为____________．
为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
二、填空题
11．如图，AB＝12，AB⊥BC 于点 B， AB⊥AD 于点 A，AD＝5，BC＝10，E 是 CD 的中点， 则 AE 的长是____ ___．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y 轴的正半轴 上，且 OA1=A1A2=1，以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3，以 OA3 为直角边作 第三个等腰直角三角形 OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形 OA2018A2019，则点 A2019 的坐标为________．
勾股定理难题50道
勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。
专题16勾股定理与弦图问题-2021-2022学年八年级数学上(原卷版)【北师大版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25B．19C．13D．1692．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝243．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．9cm2B．36cm2C．27cm2D．45cm24．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）A．10B．8C．7D．55．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．187．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．214B ．215 C ．225 D ．2238．（2019秋•丹东期末）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）A ．121B ．144C ．169D ．1969．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1010．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．3二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a 和b，那么（a+b）2的值为．12．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为．13．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4√3EF，则正方形ABCD的面积为．14．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于．15．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．16．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若S 1S 2=32，则nm 的值为 ．17．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝10；②xy ＝2；③x −y =√2；④x +2y =4√2．其中说法正确的有 ．（只填序号）18．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC ＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝．（用含字母的代数式表示）因为S四边形ABCD＝S△ACD+＝+12 ab；S四边形ABCD＝S△ADB+=12c2+；所以+12ab=12c2+；所以．22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC ＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．23．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：方法一：S＝．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+S AEF+S△ABE＝ab+12b2−12a2+12c2．（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．24．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．。
勾股定理专题训练试题精选五附答案
勾股定理专题训练试题精选（五）一．填空题（共30小题）1．（2012•泰州模拟）如图，在3×3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，点A是其中的一个格点（小正方形的顶点），若再另外找2个格点B、C，使∠BAC=45°，则这样的角共有_________个．2．（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_________．3．（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为_________．4．（2009•攀枝花）如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．5．（2009•惠安县质检）如图所示，正方形OBB1C的边长为1，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则对角线OB6的长是_________．6．（2009•都江堰市一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于_________．7．（2009•潮阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为_________．8．（2008•新疆）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为_________．（精确到0.01）9．（2004•黄冈）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依此类推，若正方形①的边长为64cm，则第④个正方形的边长为_________cm．10．（2008•金华）把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是_________cm2．11．（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=_________．12．已知在△ABC中，∠C=90°，D点在BC边上，且BD=，∠ADC=60°，若S ABD=S△ADC，则AB的长为_________．13．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x、y的正半轴上运动（可以与原点重合），则OB的最大长度为_________．14．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于_________．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE 的长为_________．16．等腰三角形两边长为2，5，P为底边上任一点，P到两腰距离之和是_________．17．在△ABC中，D是BC上一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是_________．18．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1_________∠2（填“＞”、“＜”或“=”）19．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长_________cm．20．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为_________．21．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是_________．22．在如图的正方形网格中作一个有两边长为有理数的锐角等腰三角形，并要求三角形的各个顶点均在格点上．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥CD交AB于点F，过点F作FG∥BC交AC于点G，…若BC、CD、DE、EF、…的长分别是a1、a2、a3、a4…，猜测a n=_________．24．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=12，点M分BC为BM：MC=1：2．则点D到直线AM的距离DE=_________．25．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为_________cm．26．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确结论是_________．27．如图△P1OA1、△P2A1A2、△P3A2A3、…△P2013A2012A2013是等腰直角三角形，点P1、P1、P1、…都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3、…A2012A2013都在x轴上，则A2013的坐标为_________．28．小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠2010次后所得到的等腰直角三角形（如图2011）的一条腰长为_________．29．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=，则△ABC的周长为_________．30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于E，D，若AC=6，BC=10，则DE的长为_________．勾股定理专题训练试题精选（五）参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2012•泰州模拟）如图，在3×3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，点A是其中的一个格点（小正方形的顶点），若再另外找2个格点B、C，使∠BAC=45°，则这样的角共有7个．考点：等腰直角三角形．专题：网格型．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可以作出4个45°角，再根据等腰直角三角形的锐角为45°，利用网格结构作等腰直角三角形的锐角为∠BAC又可以得到3个，然后即可得解．解答：解：如图所示，使∠BAC=45°的角共有7个．故答案为：7．点评：本题考查了等腰直角三角形，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的锐角等于45°，熟练掌握网格结构并作出相应角是解题的关键．2．（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为cm．考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．专题：压轴题．分析：连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．解答：解：连接EB，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=故答案为：cm．为何不可解，请说明理由点评：本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．3．（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为．考点：勾股定理；射影定理．专题：计算题．分析：先根据已知条件，利用勾股定理分别求出AB、AD的长，再根据射影定理求出AE的长，然后用AB减去AE即可得EB．解答：解：过D点作DH⊥AB，垂足为H，∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，∴AB==2．∵点D为腰BC中点，∴AD==，∵DE⊥AD，∠B=45°，∴DH=HB=，∴AD2=AH•AE，∴AE===，EB=AB﹣AE=2﹣=．故答案为：．点评：此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答关键是过D点作DH⊥AB，求出AE的长，这是此题的突破点，此题有点难度，属于中档题．4．（2009•攀枝花）如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为12．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：Rt△ABD中，AE是斜边BD上的中线，则BE=AE=DE，因此∠AEC=2∠B，由此可证得△AEC是等腰三角形，即AE=AC=6.5，由此可得到BD的长，进而可由勾股定理求出AB的值．解答：解：Rt△ABD中，E是BD的中点，则AE=BE=DE；∴∠B=∠BAE，即∠AED=2∠B；∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，即AE=AC=6.5；∴BD=2AE=13；由勾股定理，得：AB==12．点评：此题主要考查的是直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的综合应用能力；能够发现△AEC是等腰三角形，以此得到直角三角形的斜边长，是解答此题的关键．5．（2009•惠安县质检）如图所示，正方形OBB1C的边长为1，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则对角线OB6的长是8．专题：计算题；压轴题；规律型．分析：由正方形OBB1C得出∠OBB1=90°，OB=BB1=1，根据勾股定理求出OB1，同法可求OB2，OB3，OB4，OB5，OB6．即可得到所填答案．解答：解：正方形OBB1C的边长为1，在△OBB1中∠OBB1=90°，由勾股定理得：OB1==，同法可求：OB2=×=2，OB3=××=2，OB4=×××=4，OB5=4，OB6=8．故答案为：8．点评：本题考查了正方形的性质和勾股定理得知识点，解此题的关键是正确利用勾股定理求斜边长．6．（2009•都江堰市一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于．考点：勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据△ABE∽△ECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2，可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出．解答：解：设正方形的边长为x，BE的长为a∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∵∠B=∠C∴△ABE∽△ECF∴=，即=解得x=4a①在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴x2+a2=42②将①代入②，可得：a=∴正方形ABCD的面积为：x2=16a2=．点评：本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．注意后面可以直接这样x2+a2=42②，∴x2+（）2=42，x2+x2=42，x2=16，x2=．无需算出算出x．7．（2009•潮阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为6．考点：勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形．分析：运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．解答：解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．得∠A=∠ABE根据折叠，得∠ABE=∠CBE再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°∴CE=BE=2则AC=4+2=6．点评：此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．8．（2008•新疆）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为 6.71．（精确到0.01）考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB==∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．故答案为：6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．9．（2004•黄冈）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依此类推，若正方形①的边长为64cm，则第④个正方形的边长为cm．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：第一个正方形的边长为64cm，则第二个正方形的边长为64×cm，第三个正方形的边长为64×（）2cm，依此类推，通过找规律求解．解答：解：根据题意：第一个正方形的边长为64cm；第二个正方形的边长为：×64=32；第三个正方形的边长为：×32=32；…此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长，所以第n个正方形的边长为64×（）n﹣1cm，则第4个正方形的边长为64×（）3=16cm．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．10．（2008•金华）把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是27cm2．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，∴=，cos∠ABC=cos30°==，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC=×AB=×12=6，∴BD=6，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴==，DF=3，∴S△BCD=BC•DF=×6×3=27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF除上述方法外，还可根据面积法列方程解答，同学们可以自己试一下．11．（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=1．考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理．分析：由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE=AC=1．解答：解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=，∴AC=AB=1，∵等边△ABD和等边△DCE，∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，∴∠ADC=∠BDE，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴BE=AC=1．点评：解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化．12．已知在△ABC中，∠C=90°，D点在BC边上，且BD=，∠ADC=60°，若S ABD=S△ADC，则AB的长为7．考点：勾股定理．专题：常规题型．分析：根据S ABD=S△ADC，可得BD=CD，即可求得AC，BC的长，根据勾股定理即可求得AB的长．解答：解：∵S ABD=S△ADC，∴BD=CD，∵∠ADC=60°，∴tan60°==，∴AC=，∴AB2=+=49，∴AB=7．点评：本题考查了勾股定理的运用，本题中熟练运用勾股定理是解题的关键．13．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x、y的正半轴上运动（可以与原点重合），则OB的最大长度为1+．考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．分析：Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．解答：解：作AC的中点D，连接OD、BD，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵BD==，OD=AD=AC=1，∴点B到原点O的最大距离为1+．故答案为：1+．点评：考查了勾股定理，三角形三边关系，能够理解在什么情况下，点B到原点O的距离最大．14．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于．考点：勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义．分析：根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边是5，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和是24，求得两条直角边的乘积是12．再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边分别是3，4，则cosθ=．解答：解：根据题意，大正方形边长==5，小正方形的边长=1．∴三角形的面积=（25﹣1）÷4=6．设三角形两直角边为a、b，则ab=6．又a2+b2=52联立解得所以cosθ=．点评：此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE 的长为4或6．考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．解答：解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG=∠CBE，∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，设CE=x，则AM=10﹣x，AD=12﹣（10﹣x）=2+x，DE=12﹣x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求△ABE≌△ABG即AG=AE=10是解题的关键．16．等腰三角形两边长为2，5，P为底边上任一点，P到两腰距离之和是．考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：连接AD，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC=S△ABD+S△ACD的值，再根据S△ABC=AB•CG，即可得到ED+FD=CG；然后利用三角形的面积求得CG的值．解答：解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点A作AH⊥BC于点H，连接AD．∵2+2＜5，∴等腰△ABC的腰AB=AC=5；∴AH==2；有∵AB=AC，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB•ED+AC•FD=AB•（ED+FD），∴ED+FD=CG；∵S△ABC=AB•CG=BC•AH，∴CG=，即ED+FD=；故答案是：．点评：本题综合考查了勾股定理、三角形的面积、等腰三角形的面积．解答此题的关键是求得ED+FD=CG．17．在△ABC中，D是BC上一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是36．考点：勾股定理．分析：要求△ABC的面积，由BC等于BD+DC，过A作边BC上的高AF，利用三角形的面积公式即可求出，下面来求AF的长，过C作CE垂直于AD，垂足为E，由AC=DC，根据等腰三角形的“三线合一”得到E为AD中点，由AD的长求出DE的长，在直角三角形CDE中，利用勾股定理求出CE的长，又AD的长，利用三角形的面积公式求出△ADC的面积，然后再由CD作为底，其高为AF，根据三角形的面积公式及求出的面积求出AF的长，最后由BC和高AF，利用三角形面积公式求出即可．解答：解：过A作AF⊥DC，过C作CE⊥AD，∵AC=DC=5，又AD=6，∴AE=DE=AD=3，在Rt△DEC中，根据勾股定理得：CE==4，∴S△ACD=AD•CE=×6×4=12，又S△ACD=DC•AF=×5•AF=12，解得AF=，又∵BD=10，则S△ABC=BC•AF=（BD+DC）•AF=×（10+5）×=36．故答案为：36．点评：此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式．作出BC边上的高AF，利用“等积法”求出高AF是解本题的关键．18．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1=∠2（填“＞”、“＜”或“=”）考点：等腰直角三角形；勾股定理．分析：先过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，利用勾股定理求出EF=BF=，再证明Rt△DCE与Rt△AFE相似即可得出答案．解答：解：过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，AB=3AD=AC=1，CD=2CE=BC=1，EB=2EF=BF=AF=AB﹣BF=3﹣=2，所以=，所以，Rt△DCE与Rt△AFE相似．所以，∠1=∠2．故填：=．点评：此题考查学生对等腰直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是过E 作EF⊥AB，这是此题的突破点，然后利用相似三角形即可证明，此题属于中档题．19．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长10cm．考点：角平分线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．解答：解：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故答案为：10．点评：此题比较简单，利用的是角平分线的定义，平行线及等腰三角形的性质．20．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为2．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了．解答：解：易得△ABA1∽△BA1B1，∴相似比为A1B：AB=sin∠A=4：5，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，同理可得到其他三角形之间也是这个情况，那么所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2×=．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．21．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 3.125．考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．专题：计算题．分析：已知AB、BC的值，根据勾股定理即可求得AC的长度，根据对角线互相平分求得AO的值，根据∠CAD 的余弦函数值即可求得=，已知AC，AB，AD的值即可求得AE的长．解答：解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴AO=2.5，∵∠CAD的余弦值==，即=，解得：AE=3.125．故答案为：3.125．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的计算，考查了矩形对角线互相平分的性质，本题中根据∠CAD的余弦值求AE的值是解题的关键．22．在如图的正方形网格中作一个有两边长为有理数的锐角等腰三角形，并要求三角形的各个顶点均在格点上．考点：勾股定理；无理数；等腰三角形的性质．专题：作图题．分析：在网格中利用勾股定理中的勾三股四弦五作出腰长为5的等腰三角形即可．解答：解：如果使用已知线段作为等腰三角形的腰长，可画出一条腰长，但另一腰就无法画出，应利用勾三股四弦五画出两条边长为5的三角形．点评：本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理、无理数意义等知识．在正方形网格中画含有长为无理数的三角形，一定要结合勾股定理．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥CD交AB于点F，过点F作FG∥BC交AC于点G，…若BC、CD、DE、EF、…的长分别是a1、a2、a3、a4…，猜测a n=．考点：勾股定理；解直角三角形．专题：规律型．分析：根据勾股定理或三角函数容易求得BC==，CD==，DE==，EF==，…，依此规律可得a n的值．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1，∴BC==，易求CD==，DE==，EF==，…，故a n=．故答案为：．点评：考查了含30度角的直角三角形的性质，三角函数的知识，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．24．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=12，点M分BC为BM：MC=1：2．则点D到直线AM的距离DE=7.2．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．分析：设DE和BC交于F，先证出△ABM∽△FCD，求出AM的长，再利用△ABM∽△DEA，根据对应边成比例即可求出DE的值．解答：解：设DE和BC交于F，∵AB=3，AD=12，BM：MC=1：2∴BM=4，CM=8，∴AM==5，∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MAD，又∵∠B=∠E=90°，∴△ABM∽△AED，∴，∴DE=7.2．点评：此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了勾股定理，以及对顶角相等的知识．25．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为6cm．考点：等腰直角三角形．专题：应用题．分析：由题可知，进入圆水杯中的三角形PBC可看作是一个斜边为8cm的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为4cm，因此若使高为10cm容器中的水面与易拉罐相接触，由此可以求出水深．解答：解：如图，依题意得△PBC是一个斜边为8cm的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为4cm，∴水深至少应为10﹣4=6cm．点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到等腰直角三角形中，利用它的性质即可解答．26．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确结论是①④⑤．考点：等腰直角三角形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，从而可证∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正确；②，再由补割法可证④是正确的．判断③与⑤，①△DFE是等腰直角三角形；可得DE=DF，当DF⊥BC时，DF 最小，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的，个，故①④⑤正确．解答：解；连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴①正确；当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，因此②错误；∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴④是正确的；∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，∴③错误；当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，∴⑤正确．综上所述正确的有①④⑤．故答案为：①④⑤．点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．27．如图△P1OA1、△P2A1A2、△P3A2A3、…△P2013A2012A2013是等腰直角三角形，点P1、P1、P1、…都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3、…A2012A2013都在x轴上，则A2013的坐标为．考点：等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：解题方法．分析：由△P1OA1是等腰直角三角形，P1Q1⊥OA1，可得P1Q1=OQ1=Q1A1，其它三角形都具有同样的性质，易求A1（4，0），设P2Q2=a，∴OQ2=4+a，∴P2（4+a，a），代入，得a（a+4）=4，解得，所以A2的坐标为；同理可求其它各点的坐标．解答：解：∵△P1OA1是等腰直角三角形，P1Q1⊥OA1，∴P1Q1=OQ1=Q1A1，设P1Q1=x，则P1Q1=OQ1=Q1A1=x，∴P1（x，x），代入，得x=2，∴P1（2，2），∴OA1=4，∴A1（4，0），设P2Q2=a，∴OQ2=4+a，∴P2（4+a，a），代入，得a（a+4）=4，解得：，∴，∴，故A2的坐标为，同理：可求得，故A2013的坐标为．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及反比例函数的性质，解题关键是探寻各个点的横坐标的规律．28．小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠2010次后所得到的等腰直角三角形（如图2011）的一条腰长为．考点：等腰直角三角形；勾股定理．专题：规律型．分析：通过分别计算折叠两次后的等腰三角形的腰长，可以发现折叠n次的等腰三角形的腰长等于的n次方．问题可解．解答：解：等腰三角形的一条腰长为；第二次折叠后的等腰三角形的一条腰长为，即；…依此类推，小华连续将图1的等腰直角三角形折叠2010次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为．故答案为：．点评：此题主要考查勾股定理和等腰直角三角形的理解和掌握，关键是利用勾股定理分别计算出折叠两次后的等腰三角形的腰长，从中发现规律，此类题目难度较大，属于难题．29．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=，则△ABC的周长为6+2．考点：勾股定理；相似三角形的性质．分析：利用三角形相似，及射影定理可推出AB2=BD•BC，AC2=DC•BC，AD2=BD•DC，进而求解．解答：解：由题意可知，AD=，BC=，即BD+CD=2，BD•CD=AD2=，解之得，BD=，CD=，则AB2=BD•BC==4，则AB=2，同理，AC=4，则△ABC的周长为6+2．点评：熟练掌握勾股定理及相似三角形的定理及性质．30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于E，D，若AC=6，BC=10，则DE的长为14．。
第1章勾股定理(已整理)
第一章勾股定理1探索勾股定理练习题1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.82.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶73.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.3题图 4题图 5题图4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25例1 例题2如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()2题图 3题图A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)23.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.131题图 3题图3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c 的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵b2+ab,又∵c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,∵=,又∵=,∴,∴a2+b2=c2.2一定是直角三角形吗？1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,252.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.424.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.【基础巩固】1.下列几组数中,是勾股数的是 ()A.5,6,7B.3,4,9C.5,3,6D.10,24,262.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 ()A.2 cm,6 cm,8 cmB.6 cm,8 cm,10 cmC.6 cm,8 cm,12 cmD.2 cm,8 cm,10 cm3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为()A.24 m2B.26 m2C.28 m2D.30 m24.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为.【能力提升】5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=.6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴ΔABC是直角三角形.(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为;(3)写出本题正确的解题过程.8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?3勾股定理的应用课后练习题1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是()A.12 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为.4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?【基础巩固】1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 ()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15πcm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是cm.4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是.5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.【能力提升】6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为()A.东偏南46°B.北偏西46°C.东偏南46°或西偏北46°D.无法确定7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.7题图 9题图 10题图8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)【拓展探究】11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.第一章勾股定理专题复习专题一勾股定理及其逆定理的基本用法【专题分析】勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.【针对训练1】等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.【针对训练2】如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.(1)求BC的长;(2)求四边形ABDC的面积.专题二勾股定理的应用【专题分析】在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.【针对训练3】如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.专题三数学思想方法(一)转化的思想方法【专题分析】我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.【针对训练4】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?(二)方程的思想方法【专题分析】方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.【针对训练5】如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.。
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勾股定理及弦图题库
这就是一个“弦图”。
“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。
三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。
【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多
少
【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方
形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，
则这6个小正方形的总面积是。
【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ
的面积是多少cm2?
【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，?APB的面积是
90cm2，?CPB的面积是48cm2。
请你回答：正方形ABCD的面积
是多少cm2
【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、
F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且
是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的
面积为1，则矩形ABCD的面积为
【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、
B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三
；
等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S
1
【例】（2009?安顺）下图是我国古代着名的“赵爽
弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围
成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为
6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数
学风车”，则这个风车的外围周长是——
【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的
直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.
①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______
【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．
请回答：
（ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长；
（ 2）求正方形MNPQ的面积．
（ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图15，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边△
RPQ，若S△RPQ=3，则AD的长为______
【例】如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（）
A．13 B．19 C．25 D．169 【例】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形
与大正方形的面积差是（）
【例】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最
大的正方形的边长为10cm，正方形A
2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是
cm2．
【例】如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为
cm．
【例】2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是
由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的
面积是13，小正方形的面积是1，则两条直角三角形的两条边的立方和等于。