勾股定理与弦图
五年级 第一讲勾股定理(超二)
第一讲 勾股定理与弦图一．知识精讲勾股定理的概念勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方．即若a 、b 为直角边，c 为斜边，则222a b c +=．勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形．即△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，其中c 为最长边，若222a b c +=，则△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．勾股数能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=，a 、b 、c 为正整数时，称a 、b 、c 为一组勾股数．（1）每组勾股数的相同整数倍也是勾股数．（2）3、4、5是勾股数，又是三个连续整数，并不是所有三个连续整数都是勾股数．（3）常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等．勾股定理的证明外弦图 内弦图二．例题精讲勾股定理初步基础练习：（1）如图在直角三角形ABC 中,AB =6，BC =8，求AC =______________．D CB Ab a a a a b b b ccc c D C B A b a a a a b bb c c c c D CB A a a b b c c AB C a bcAB C（2）如图在直角三角形ABC中,AB=8，AC=17，求．BC=______________．AB C【例题1】一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为多少厘米？【例题2】如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）．【例题3】如图，四边形ABCD各边的边长均已标在图中，其中∠A=90°，求四边形ABCD的面积．勾股定理进阶【例题4】假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（下图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？【例题5】矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10.求CE的长。
小学勾股定理与弦图基础知识点
小学勾股定理与弦图基础知识点
小学勾股定理与弦图基础知识点
（一）勾股定理
1、勾股定理
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。
2、勾股定理的证明
如图，从两个大小相等的正方形中（边长都是a+b），减去4块一样的直角三角形后（直角三角形直角边为a、b，斜边为c），剩下的面积应该是相等的，所以得到：在直角三角形中，两个直角边和斜边满足一下数量关系
a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]=c[sup]2[/sup]（其中a、b为直角边，c为斜边）。
勾股定理与弦图
印发类通知范例范文尊敬的各位老师、同学们：大家好！我是XXX学校的XXX，今天我代表学校向大家发出一项重要通知。
鉴于我们学校即将迎来即将到来的XXX活动，为使活动顺利进行，加强组织和管理，我们特向全校师生发布以下通知：一、活动背景及目的XX活动是我校的重要学习与交流活动，旨在倡导团结友爱、共享知识的精神，为广大同学提供一个展示才艺、交流经验的平台。
二、活动时间及地点时间：XX年XX月XX日（星期X）下午X点至X点地点：校内礼堂三、活动内容本次活动由以下项目组成：1.文艺表演：各班级准备一台精彩绝伦的文艺表演，时长不超过X分钟，内容包括歌曲、舞蹈、小品等。
各班级可根据自身特点及兴趣进行选择，创造性展示。
2.才艺展示：学校将组织才艺展示活动，邀请同学们展示自己的特长，例如：乐器演奏、书法、绘画等。
同时，活动将邀请专业人士进行现场点评和指导。
四、组织准备1.各班级需自行组织并策划文艺表演节目，并于X年X月X日前报备给活动筹备组。
届时，请提交节目名称、表演形式、参与人员名单等信息。
2.各班级参赛人员需提前练习并做好准备工作，确保表演达到优秀水平。
3.各班级参赛人员在活动当日需准时到达活动现场，活动前请将音乐、道具等需要用到的物品统一交给工作人员。
五、展示规范1.文艺表演时长不得超过指定时间，否则将进行扣分处理。
2.参与才艺展示的同学需提前将需要用到的器材和道具准备齐全，确保展示质量。
六、奖惩机制1.文艺表演将评选“最佳表演奖”、“最具创意奖”等奖项，并为获奖班级颁发奖杯及证书。
2.才艺展示将评选“最佳才艺奖”、“最佳表现奖”等奖项，并为获奖同学颁发奖状。
七、注意事项1.参赛同学需尊重他人，注意礼仪，文艺表演内容不得含有低级趣味、不健康等内容。
2.活动过程中，大家要保持场内秩序，听从工作人员安排和指示。
3.参与活动的同学请保持手机静音，避免影响他人观看。
最后，希望每位同学能够充分准备，尽情展示自己的才艺，共同度过一个难忘的活动体验。
弦图证明勾股定理
弦图证明勾股定理勾股定理（又译作“勾股论”或“勾股弦”），是古希腊数学家勾股在公元前三世纪时发现的三角形的一个定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直边的平方之和。
：两条直边的平方等于斜边的平方。
勾股定理可以证明有限多边形的公式以及圆形的面积与周长的关系等，是几何学的重要定理，也是三角形讨论的基础。
在上述定理称之为“勾股论”之前，有关数学家都是用弦图来证明勾股定理的，因此，有关勾股定理的证明也被称之为“弦图证明勾股定理”。
弦图证明勾股定理，是几何中最为强有力的证据之一，具有普遍性、精确度和易于演示的优点。
该证明的基本流程如下：首先，将一个正方形的边长放缩到其中的一条直边，就能得到一个直角三角形；其次，将正方形的边长复制到另外一条直边，从而得到另外一个直角三角形；最后，将两个直角三角形的两条直角相连合并，就能得到一个新的正方形，这正是斜边的平方等于两条直边的平方之和的勾股定理。
以上就是弦图证明勾股定理的基本流程，从而可以以图形的形式证明勾股定理，示范性更强而又更加易于理解。
弦图证明勾股定理可以证明有限多边形的公式，并能够证明圆形的面积和周长的关系。
这种特殊的弦图，称之为“等腰三角形弦图”。
其弦图的基本组成是一个等腰三角形的弦图。
在等腰三角形的弦图中，一条从外部接触点指向顶点的弦图是“等腰三角形弦图”的特殊形式。
通过改变三角形的边长，可以得出不同的等腰三角形，并将它们组合成一个正方形。
由于这种组合在改变边长时所形成的正方形是斜边的平方也等于两条直边的平方之和的勾股定理的定理，因此，这种组合方式可以用来证明勾股定理。
经过上述分析，我们可以清楚地看到，弦图是一种有着极大几何意义的图形，它可以用来证明各种形状的面积以及周平等两条边的公式，并且可以用它来证明勾股定理，它拥有普遍性、精确度和易于演示的几何学特性。
总之，弦图证明勾股定理，是几何学中最为强有力的证据之一，具有普遍性、精确度和易于演示的优点。
它不仅可以用来证明一些有限形状的面积公式，还可以证明勾股定理。
五年级思维--几何--勾股定理与弦图((思维拓展专项练习))学生版
课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。
即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
弦图证明勾股定理
弦图证明勾股定理
勾股定理是三角函数学中最著名的定理，它由古希腊数学家勾股提出，也就是说，在一个直角三角形中，斜边的平方等于它的两条直边的平方之和。
以下用弦图证明这一定理，以便更加清楚地理解它。
弦图是一种用来证明勾股定理的图形。
根据图形中等边三角形的定义，要证明勾股定理是简单的，只需要把三角形内的斜边视为弦图的弦，其余两条边就构成了弦图的圆弧。
然后，根据文献的内容，勾股定理可以用以下式子表达：
斜边的平方=两条直边的平方之和。
弦图证明勾股定理的方法很简单，只需要把直边的平方根取出来，然后把它们加在一起，就得到了斜边的平方根。
例如，有一个等边三角形，它有三条边，a,b,c；a和b是直边，c是斜边，根据勾股定理，c的平方等于a的平方加b的平方，即：
c^2 = a^2 + b^2
拿a=3，b=4为例，根据勾股定理，c = 5，因此：
c^2 = 3^2 + 4^2
= 9 + 16
= 25
根据勾股定理，c的平方等于25，可以得出c =25 = 5；证明了勾股定理是正确的。
从以上的讨论可以看出，勾股定理很容易证明，用弦图的方式更容易理解，而且它也可以用于更多的三角函数学中的问题。
此外，弦
图也可以用于证明其它的定理，如抛物线的定义，以及余弦定理，正弦定理等等。
总之，弦图是一种极为有效的图形计算方式，它使用简单、耐用，它可以很好地提供解决实际问题的思路，有助于更好地理解数学。
人教版勾股定理(12)
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
1 62 2
1 8（单位面积）
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
A
C
41431 2
2 5（面积单位）
B
图3-1
C A
B
图3-2
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
C
B
图3-1
C A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Sa+Sb=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
小学奥数 勾股定理 知识点+例题+练习 (分类全面)
勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。
★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。