电磁场与电磁波理论PPT第1章
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电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
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? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
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位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
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位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
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A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
A ( B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波 谢处方课件_1
A A(ex cos e y cos ez cos )
e A ex cos e y cos ez cos
x
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
5
2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
B
A B
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
y
ey
13
4、坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系
e
ex
ez
e
ey
e
ex
e ez
er
cos sin
sin cos
0
e
0
e
0 0 1
ez
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
3
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
A 矢量的代数表示： e A A e A A A 矢量的大小或模： A A 矢量的单位矢量： e A A
A B B A ——矢量的标积符合交换律 AB
B
A
矢量 A与 B 的夹角
A B 0
A // B
A B AB
e x e y e y ez e z e x 0
ex ex e y e y e z ez 1
作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
电磁场与电磁波基础(第1章)
2013-7-17 电磁场与电磁波基础 6
●法国物理学家 查利· 奥古斯丁· 库仑
（Charles Augustin de Coulomb 1736～1806） 电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多 物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利· 奥古斯 丁· 库仑就是其中影响力非常巨大的一员。 1785年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库 仑定律。同年，他在给法国科学院的《电力定律》的论文中详 细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。
我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例 如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地 球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的 感觉说明空间分布着一个温度场等等。 场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的 每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理 量来描述。 当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关 时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间 的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的 分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的 基本概念。
电磁场与电磁波基础 （第2版）
Fundamentals of Electromagnetic Fields and Waves
电子工业出版社
2013-7-17 电磁场与电磁波基础 1
前
言
电磁场与电磁波理论是近代自然科学中，理论相对最完整 、应用最广泛的支柱学科之一。电磁场与电磁波技术已遍及人 类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个 领域。 人类对电磁现象的认识源远流长，但其知识与应用开始形 成系统化和理论化则始于18世纪，伽伐尼、伏打、高斯、富兰 克林、卡文迪什、库仑等著名科学家对电磁现象所作的卓有成 效的研究启动了电磁世界这一巨轮的运转。 19世纪是电磁研究蓬勃开展的时代，法拉第、欧姆、傅立 叶、基尔霍夫、奥斯特、安培、毕奥、萨伐尔、麦克斯韦、斯 托克斯、汤姆森、赫兹、楞次、雅可比、西门，单单从这些名 字和科学家的阵容，你就可以感受到这一时期的电磁科学取得 了多么辉煌的成就。
●法国物理学家 查利· 奥古斯丁· 库仑
（Charles Augustin de Coulomb 1736～1806） 电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多 物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利· 奥古斯 丁· 库仑就是其中影响力非常巨大的一员。 1785年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库 仑定律。同年，他在给法国科学院的《电力定律》的论文中详 细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。
我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例 如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地 球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的 感觉说明空间分布着一个温度场等等。 场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的 每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理 量来描述。 当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关 时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间 的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的 分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的 基本概念。
电磁场与电磁波基础 （第2版）
Fundamentals of Electromagnetic Fields and Waves
电子工业出版社
2013-7-17 电磁场与电磁波基础 1
前
言
电磁场与电磁波理论是近代自然科学中，理论相对最完整 、应用最广泛的支柱学科之一。电磁场与电磁波技术已遍及人 类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个 领域。 人类对电磁现象的认识源远流长，但其知识与应用开始形 成系统化和理论化则始于18世纪，伽伐尼、伏打、高斯、富兰 克林、卡文迪什、库仑等著名科学家对电磁现象所作的卓有成 效的研究启动了电磁世界这一巨轮的运转。 19世纪是电磁研究蓬勃开展的时代，法拉第、欧姆、傅立 叶、基尔霍夫、奥斯特、安培、毕奥、萨伐尔、麦克斯韦、斯 托克斯、汤姆森、赫兹、楞次、雅可比、西门，单单从这些名 字和科学家的阵容，你就可以感受到这一时期的电磁科学取得 了多么辉煌的成就。
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积：写成
A B
其值为： A B AB cos
A
点积的性质：
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)； F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数（标量场）通常用笛卡 尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则，多个矢量可以进 行矢量相加，反过来，一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积：写成 r F M 其值为： r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质：
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微， cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦， 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在，且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
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（1.2.3）
1-36
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 对比两个矢量的标量积
（1.1.36） ♥ 方向导数的另一种表示形式
1-37
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度（gradient）
♥ 标量场 的梯度 ——大小等于标量函数 在该点的最大方向的导数值，方向指向使函数值增加最快 的方向。
矢量与矢量相等
♥ 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 ♥ 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。
1-11
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量与标量的乘积
♥ 已给矢量 矢量 矢量 与标量 ，若矢量 的各分量分别等于 称为 。 的相应分量与标量 的乘积，则矢量 与标量 的乘积，记为 或
（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-38
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
2. 矢量场的散度(divergence)
3.直角坐标系中的散度表示式
4.散度的基本公式 例1.2.2
1-43
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量场的通量 (flux)
♥ 通量线或矢量线 —— 一系列有方向的曲线，该线上每一 点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度 代表该点矢量场的大小。 ♥ 通量 ——矢量场穿过曲面 的通量线的总数，它可表 示为矢量沿该曲面 的面积分。 （1.2.16）
◘ 矢量线可以汇聚于某一点，但是不 能相互交叉。
◘ 矢量场的矢量线所满足的微分方程
◘ 通常画的是矢量线的示意图
1-33
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.3 标量场的梯度 方向导数
1. 标量场的方向导数 2. 标量场的梯度 3. 梯度的基本公式 例1.3.1
1-34
《电磁场与电磁波理论》
速度、电场、 磁场……
◘ 标量场
◘ 矢量场
1-29
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.3 标量场的梯度 ♥方向导数
场的微分运算概述 1 2 3 4 场的基本概念 标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-30
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
♥ 在直角坐标系下 （1.1.18） （1.1.19）
♥ 负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。
1-12
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量加法和减法
（1.1.20） （1.1.21）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量加法和减法
♥ 矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。
不随位置坐标而改变。 随着位置坐标的改变而改变。
◘ 三种常用的正交坐标系的相互转换（》
第1章 矢量分析与场论
物理量的分类
物理量
与位置无关的量
时间、长度、 重量……
与位置有关的量 （场量）
标量场 （只有大小） 矢量场 （大小+方向）
温度、湿度、 电位……
1-19
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
♥ 矢量积只满足分配律，不满足交换律。
1-20
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
“右手法则”和“右手螺旋法则”
1-21
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积的特点
♥ 若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o ，则它们的标 量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积； ♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-6
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
1-7
《电磁场与电磁波理论》
1-32
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1 场的基本概念
♥ 矢量场的矢量线（通量线）——一系列有方向曲线。线上 每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线 密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场 中的磁力线。 ◘ 一般来说，矢量场中的每一点均有 一条矢量线通过，所以矢量线是充 满了整个矢量场所在的空间。
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1-16
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 （ the dot product）
♥ 两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这 两个矢量 之间夹角的余弦三者的乘积。 （1.1.26）
1-17
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1-2
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
基本要求
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度 以及拉普拉斯运算； ◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。
1-3
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1
矢量的代数运算
1.1.1 矢量与矢量的表示法
矢量的标量积
♥ 标量积满足交换律和分配律。
1-18
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
（the cross product）
♥ 两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以 及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直 于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。 （1.1.29）
♥ 圆柱坐标系的坐标 ♥ 圆柱坐标系的方向矢量
1-26
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
球面坐标系
♥ 球面坐标系的坐标 ♥ 球面坐标系的方向矢量
1-27
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
♥ 几点说明：
◘ 广义坐标系 —— （方向单位矢量）
◘ 广义柱坐标系
——
（方向单位矢量）
◘ 不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。 ◘ 线积分 ◘ ◘ 或 、面积分 或 和体积分 。
1-14
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
（1.1.24）
（1.1.25） ◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
1-15
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
3.矢量的标量积和矢量积 矢量的标量积
矢量的矢量积
“右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点
1-23
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2三种常用的正交坐标系 直角坐标系 圆柱坐标系
球面坐标系
几点说明
1-24
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
直角坐标系
♥ 直角坐标系的坐标 ♥ 直角坐标系的方向矢量
1-25
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
圆柱坐标系
1.1.2 矢量的代数运算
1-4
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1.1 矢量与矢量的表示法
1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量
1-5
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第1章 矢量分析与场论
主要内容 基本要求 三种常用的正交坐标系 1.1 1.2 物理量的分类
矢量的代数运算 场的微分运算
1.3
1.4
矢量的恒等式和基本定理
常用正交曲线坐标系
1-1
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
主要内容
第1章 矢量分析与场论
例1.3.1 试证明：（1） 式中， 和
；（2）
。
分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。
证明：（1）
1-41
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
（2）依梯度的基本公式
1-42
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.4
矢量场的通量和散度
1. 矢量场的通量 (flux)
零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂
直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-22
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
（1.1.33）
1-36
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 标量场的方向导数
♥ 对比两个矢量的标量积
（1.1.36） ♥ 方向导数的另一种表示形式
1-37
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度（gradient）
♥ 标量场 的梯度 ——大小等于标量函数 在该点的最大方向的导数值，方向指向使函数值增加最快 的方向。
矢量与矢量相等
♥ 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 ♥ 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。
1-11
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量与标量的乘积
♥ 已给矢量 矢量 矢量 与标量 ，若矢量 的各分量分别等于 称为 。 的相应分量与标量 的乘积，则矢量 与标量 的乘积，记为 或
（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-38
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
2. 矢量场的散度(divergence)
3.直角坐标系中的散度表示式
4.散度的基本公式 例1.2.2
1-43
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量场的通量 (flux)
♥ 通量线或矢量线 —— 一系列有方向的曲线，该线上每一 点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度 代表该点矢量场的大小。 ♥ 通量 ——矢量场穿过曲面 的通量线的总数，它可表 示为矢量沿该曲面 的面积分。 （1.2.16）
◘ 矢量线可以汇聚于某一点，但是不 能相互交叉。
◘ 矢量场的矢量线所满足的微分方程
◘ 通常画的是矢量线的示意图
1-33
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.3 标量场的梯度 方向导数
1. 标量场的方向导数 2. 标量场的梯度 3. 梯度的基本公式 例1.3.1
1-34
《电磁场与电磁波理论》
速度、电场、 磁场……
◘ 标量场
◘ 矢量场
1-29
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.3 标量场的梯度 ♥方向导数
场的微分运算概述 1 2 3 4 场的基本概念 标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-30
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
♥ 在直角坐标系下 （1.1.18） （1.1.19）
♥ 负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。
1-12
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量加法和减法
（1.1.20） （1.1.21）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量加法和减法
♥ 矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。
不随位置坐标而改变。 随着位置坐标的改变而改变。
◘ 三种常用的正交坐标系的相互转换（》
第1章 矢量分析与场论
物理量的分类
物理量
与位置无关的量
时间、长度、 重量……
与位置有关的量 （场量）
标量场 （只有大小） 矢量场 （大小+方向）
温度、湿度、 电位……
1-19
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
♥ 矢量积只满足分配律，不满足交换律。
1-20
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
“右手法则”和“右手螺旋法则”
1-21
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积的特点
♥ 若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o ，则它们的标 量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积； ♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-6
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
1-7
《电磁场与电磁波理论》
1-32
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1 场的基本概念
♥ 矢量场的矢量线（通量线）——一系列有方向曲线。线上 每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线 密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场 中的磁力线。 ◘ 一般来说，矢量场中的每一点均有 一条矢量线通过，所以矢量线是充 满了整个矢量场所在的空间。
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1-16
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 （ the dot product）
♥ 两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这 两个矢量 之间夹角的余弦三者的乘积。 （1.1.26）
1-17
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1-2
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
基本要求
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度 以及拉普拉斯运算； ◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。
1-3
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1
矢量的代数运算
1.1.1 矢量与矢量的表示法
矢量的标量积
♥ 标量积满足交换律和分配律。
1-18
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第1章 矢量分析与场论
矢量的矢量积
（the cross product）
♥ 两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以 及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直 于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。 （1.1.29）
♥ 圆柱坐标系的坐标 ♥ 圆柱坐标系的方向矢量
1-26
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
球面坐标系
♥ 球面坐标系的坐标 ♥ 球面坐标系的方向矢量
1-27
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第1章 矢量分析与场论
♥ 几点说明：
◘ 广义坐标系 —— （方向单位矢量）
◘ 广义柱坐标系
——
（方向单位矢量）
◘ 不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。 ◘ 线积分 ◘ ◘ 或 、面积分 或 和体积分 。
1-14
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第1章 矢量分析与场论
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
（1.1.24）
（1.1.25） ◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
1-15
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第1章 矢量分析与场论
3.矢量的标量积和矢量积 矢量的标量积
矢量的矢量积
“右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点
1-23
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1.2三种常用的正交坐标系 直角坐标系 圆柱坐标系
球面坐标系
几点说明
1-24
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直角坐标系
♥ 直角坐标系的坐标 ♥ 直角坐标系的方向矢量
1-25
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圆柱坐标系
1.1.2 矢量的代数运算
1-4
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.1.1 矢量与矢量的表示法
1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量
1-5
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第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第1章 矢量分析与场论
主要内容 基本要求 三种常用的正交坐标系 1.1 1.2 物理量的分类
矢量的代数运算 场的微分运算
1.3
1.4
矢量的恒等式和基本定理
常用正交曲线坐标系
1-1
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
主要内容
第1章 矢量分析与场论
例1.3.1 试证明：（1） 式中， 和
；（2）
。
分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。
证明：（1）
1-41
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第1章 矢量分析与场论
（2）依梯度的基本公式
1-42
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1.4
矢量场的通量和散度
1. 矢量场的通量 (flux)
零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂
直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-22
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
（1.1.33）