1.3.2奇偶性(第二课时)
1.3.2函数的奇偶性(优质课)
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
教材36页练习：
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有 f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有 f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课后作业
1.教材39页习题1.3 A组第6题B组第3题 2.教辅第19页~20页 3.教辅练习册第8页 1.3.3 奇偶性 4.教材第40页~41页实习作业
1.3.2 奇偶性
情景导入
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少 具有对称特征的美丽图像,比如 y = x2, y = 1 等函数图像.
x f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称 本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
当∴只x需∈要[0，先+画∞出) 时f(，x)在[0，+∞)的图象， 再f (根x)据对 x称2 性2，x 可3画 出( x整个1)图2 象4 ..
.4.y.
由图象可知：
必修1课件1.3.2 奇偶性
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若 存在，这样的函数有何特征？ f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？ 思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么 f(0)的 值如何？ f(0)=0 思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常数，那 么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？ 思考5:常数函数
2
思考3:二次函数 f ( x) ax bx c 是偶函数的条
件是什么？
一次函数 f ( x) kx b是奇函数的条件是什么？ b=0
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x (3) f ( x) 5 (5) f ( x) x 1
(2) f ( x) x 1
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) f ( x) x
y o
2
(2) f ( x) | x |
y o x
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共 同特征？ 思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)， f(3)与f(-3)有什么关系？
思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称， 则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？
y
相等
0
x
例3.已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，f ( x) x 3x
2
求当 x 0 时f(x)的解析式.
《函数奇偶性》公开课教案
公开课教案授课内容：1.3.2 函数的奇偶性教学设计授课班级：14学前教育2班授课类型：新授课授课时间：课时：1教材分析：函数的奇偶性选自高等教育出版社基础模块第二章第三节《函数的性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。
从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。
而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。
因此，本节课的内容是十分重要的。
学情分析：授课对象为高一学前教育（2）班的学生，从学生现有的学习能力来看，具有一定的分析问题和解决问题的能力学生只有少数，但是他们也能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。
教学目标：1.知识与技能目标：通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。
2. 过程与方法目标：通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。
3.情感态度与价值观目标：在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
教学重难点：重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。
难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
教法分析：为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。
在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。
教学过程： 一、 复习旧知（1）点Ｐ（ a, b)关于 x 轴的对称点的坐标为P'（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；（2）点Ｐ（ a, b)关于 y 轴的对称点的坐标为P'（ - a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数；（3）点Ｐ（ a, b) 关于原点 对称点的坐标为P'（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数．二、 新课导入通过课件展示两组具有对称性的图片，让学生感受生活中的对称美。
高中数学1.3.2函数奇偶性优秀课件
〔3〕能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗 ？ 例如：对于函数 f(x)=x，有：
f(-3)=-3=-f(3);
f(-2)=-2=-f(2);
f(-1)=-1=-f(1).
实际上，对于函数f(x)=x定义域R内任意的一个x ，都有f(x)=-x=-f(x).这时我们称函数f(x)=x为奇函数.
同样我们也能说明函数f(x)=
1 x
也是奇函数.
定义2
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数.
定义的说明
〔1)由定义知，假设x是定义域中的一个数值，那么 –x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一 个必不可少的条件是定义域关于原点对称.例如， f(x)=x2在〔-∞，+∞〕上是偶函数，但 f(x)=x2在[-1 ，2]上无奇偶性.
11.3..32.2 奇奇偶偶性性
省xx树人 魏基华
观察下面三张图片，它们有什么共同特征？
观察函数f(x)=x2和f(x)= |x|图象并思考：
〔1〕这两个函数图象有什么共同特征？ 〔2〕填函数值对应表,它们是如何表达这些特征的？
x f(x)=x2
-3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 01 4 9
题：
的图象答复以下
〔1〕这两个函数图象有什么共同特征？
〔2〕填函数值对应表：
No
Image
x f(x)=x
Байду номын сангаас
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=
1 x
13
1 2
1.3.2 奇偶性
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.图1-3-2-1②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这表1表2③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f (x )=x 2,x ∈［-1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f (x )=x 和f (x )=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数. ③利用函数的解析式来描述.④偶函数的性质：图象关于y 轴对称.⑤函数f (x )=x 2,x ∈［-1,2］的图象关于y 轴不对称；对定义域［-1,2］内x =2，f (-2)不存在， 即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定也在定义域内，即f (-x )=f (x )不恒成立. ⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质. 讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y 轴对称. ②表1表2这两个函数的解析式都满足： f (-3)=f (3);f (-2)=f (2);f (-1)=f (1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f (-x )=f (x ).③一般地，对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么f (x )就叫做偶函数. ④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么f (x )就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性: （1）f (x )=x 4； （2）f (x )=x 5； （3）f (x )=x +x1；（4）f (x )=21x.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x ). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (-x )=(-x )4=x 4=f (x )， 所以函数f (x )=x 4是偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (-x )=(-x )5=-x 5=-f (x ), 所以函数f (x )=x 4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-x +x-1=-(x +x1)=-f (x )，所以函数f (x )=x +x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (-x )=)(12x -=21x=f (x )，所以函数f (x )= 21x是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (-x )与f (x )的关系； ③作出相应结论：若f (-x )=f (x )或f (-x )-f (x )=0,则f (x )是偶函数； 若f (-x )=-f (x )或f (-x )+f (x )=0,则f (x )是奇函数. 变式训练2006辽宁高考，理2设f (x )是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f (x )f (-x )是奇函数 B.f (x )|f (-x )|是奇函数 C.f (x )-f (-x )是偶函数 D.f (x )+f (-x )是偶函数分析:A 中设F(x )=f (x )f (-x ),则F(-x )=f (-x )f (x )=F(x )，即函数F(x )=f (x )f (-x )为偶函数； B 中设F(x )=f (x )|f (-x )|，F(-x )=f (-x )|f (x )|，此时F(x )与F(-x )的关系不能确定，即函数F(x )=f (x )|f (-x )|的奇偶性不确定；C 中设F(x )=f (x )-f (-x ),F(-x )=f (-x )-f (x )=-F(x )，即函数F(x )=f (x )-f (-x )为奇函数；D 中设F(x )=f (x )+f (-x )，F(-x )=f (-x )+f (x )=F(x )，即函数F(x )=f (x )+f (-x )为偶函数. 答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(-∞,0)时，f (x )=x -x 4，则当x ∈(0,+∞)时，f (x )=_______.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f (x )=f (-x )，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值. 分析:当x ∈(0,+∞)时，则-x <0. 又∵当x ∈(-∞,0)时，f (x )=x -x 4，∴f (x )=(-x )-(-x )4=-x -x 4. 答案：-x -x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值. 变式训练已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x 2+3x ，求f (x ).解：当x =0时，f (-0)=-f (0)，则f (0)=0； 当x <0时，-x >0，由于函数f (x )是奇函数，则 f (x )=-f (-x )=-［(-x )2+3x -］=-x 2+3x ， 综上所得，f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+.0,,0,0,0,3232x x x x x x x 思路2例1判断下列函数的奇偶性. （1）f (x )=x 2,x ∈［-1,2］; （2）f (x )=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x.活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (-x )与f (x )的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x ∈R ，有2x1+>2x =|x |≥-x ，则2x 1++x >0.则函数的定义域是R .解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f (x )=x 2,x ∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，并不关于原点对称,函数f (x )=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f （2）＝0，f （－2）＝0, ∴f （2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）. ∴f （－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）. ∴f （x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R . ∵f (-x )+f (x )=111111112222+++-++++-+--+x xx x x xx x=)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x xx xx x x x=)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x xx xx x x x x x=0,∴f （－x ）＝－f （x ）. ∴f （x ）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (-x )与f (x )或-f (x )是否相等；（2）当f (-x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (-x )＝-f (x )时，此函数是奇函数；（3）当f (-x )＝f (x )且f (-x )＝-f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f (-x )≠f (x )且f (-x )≠-f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数. 判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f (-x )+f (x )来判断f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )是否成立.变式训练2007河南开封一模，文10函数f (x )=x 2－2ax +a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数 分析：函数f (x )=x 2－2ax +a 的对称轴是直线x =a ， 由于函数f (x )在开区间（－∞，1）上有最小值，所以直线x =a 位于区间（－∞，1）内，即a <1.g (x )＝xx f )(=x +xa -2，下面用定义法判断函数g (x )在区间（1，+∞）上的单调性. 设1<x 1<x 2， 则g (x 1)-g (x 2)=(x 1+-1x a 2)-(x 2+-2x a 2)=(x 1-x 2)+(1x a 2x a -)=(x 1-x 2)(121x x a -)=(x 1-x 2)2121x x a x x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a <1，∴x 1x 2>a .∴x 1x 2-a >0.∴g (x 1)-g (x 2)<0. ∴g (x 1)<g (x 2).∴函数g (x )在区间（1，+∞）上是增函数，函数g (x )在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D例2已知函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)，且当x >1时f (x )>0,f (2)=1， （1）求证：f (x )是偶函数； （2）求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数； （3）试比较f (25-)与f (47)的大小.活动：（1）转化为证明f (-x )=f (x )，利用赋值法证明f (-x )=f (x )；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f (25-)和f (47)转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x 1=x 2=1，得f (1)=2f (1)，∴f (1)=0. 令x 1=x 2=-1，得f (1)=f ［-1×(-1)］=f (-1)+f (-1)，∴2f (-1)=0. ∴f (-1)=0.∴f (-x )=f (-1·x )=f (-1)+f (x )=f (x ). ∴f (x )是偶函数. （2）设x 2>x 1>0，则f (x 2)-f (x 1)=f (x 1·12x x )-f (x 1)=f (x 1)+f (12x x )-f (x 1)=f (12x x).∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f (12x x )>0，即f (x 2)-f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1).∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f (x )是偶函数，则有f (25-)＝f (25).由（2）知f (x )在(0,+∞)上是增函数，则f (25)>f (47).∴f (25)>f (47).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f (x )是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y ,f (x )都满足f (xy )=yf (x )+xf (y ). （1）求f (1)、f (-1)的值；（2）判断f (x )的奇偶性，并说明理由.分析：（1）利用赋值法，令x =y =1得f (1)的值，令x =y =－1，得f (-1)的值；（2）利用定义法证明f (x )是奇函数，要借助于赋值法得f (-x )=-f (x ). 解：（1）∵f (x )对任意x 、y 都有f (x ·y )=yf (x )+xf (y )， ∴令x =y =1时，有f (1·1)=1·f (1)+1·f (1). ∴f (1)=0.∴令x =y =－1时，有f ［(-1)·(-1)］=(-1)·f (-1)+(-1)·f (-1). ∴f (－1)=0.（2）是奇函数.∵f (x )对任意x 、y 都有f (x ·y )=yf (x )+xf (y )， ∴令y =－1,有f (-x )=-f (x )+xf (-1). 将f (-1)=0代入得f (-x )=-f (x )， ∴函数f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练课本P 36练习1、2. ［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y =f (x )是奇函数.若f (-2)+f (-1)-3=f (1)+f (2)+3，则f (1)+f (2)=_____. 分析：∵函数y =f (x )是奇函数，∴f (-2)=-f (2),f (-1)=-f (1). ∴-f (2)-f (1)-3=f (1)+f (2)+3.∴2［f (1)+f (2)］=-6.∴f (1)+f (2)=-3. 答案：-32.f （x ）=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a =_________，b =________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称, ∴a －1+2a =0.∴a =31.∴f （x ）=31x 2+bx +1+b .又∵f （x ）是偶函数，∴b =0.答案：31 03.2006山东高考，理6已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=－f (x ),则f (6)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 分析:f (6)=f (4+2)=-f (4)=-f (2+2)=f (2)=f (2+0)=-f (0). 又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∴f (6)＝0.故选B. 答案：B拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y =kx (k ≠0)是奇函数； 反比例函数y =xk (k ≠0)是奇函数；一次函数y =kx +b (k ≠0)，当b =0时是奇函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数； 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)，当b =0时是偶函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业课本P 39习题1.3A 组6，B 组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P 32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)； 函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数. 4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则 f (x 1)-f (x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1). ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )=-2x +1在R 上是减函数. 5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）, 所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x =－（x 3－2x ）=－f （x ）, 所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数. （3）对于函数f (x )=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有 f （－x ）=xx -+-1)(2=xx 12+-=－f （x ）,所以函数f (x )=xx 12+-为奇函数.（4）对于函数f (x )=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=(-x )2+1=x 2+1=f （x ）, 所以函数f (x )=x 2+1为偶函数.2.f (x )的图象如图1-3-2-4所示，g (x )的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5(课本P 39习题1.3)A 组1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞).函数y =f (x )在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数.（2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y =f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数.图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f (x 1)-f (x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2). ∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f (x 1)>f (x 2).∴函数f (x )在(-∞,0)上是减函数. （2）设0<x 1<x 2，则有 f (x 1)-f (x 2)=(111x -)-(121x-)=21x11x -=2121x x x x -.∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0. ∴f (x 1)<f (x 2).∴函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ） =m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y =mx +b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数. 同理可证一次函数y =mx +b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y =mx +b 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y =mx +b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y =502x-+162x -2100=501-(x 2-8100x )-2100=501-(x -4050)2+307 050.由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f (x )的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x xB 组1.（1）函数f (x )在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g (x )在［2,4］上为增函数. （2）函数f (x )的最小值为－1，函数g (x )的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y =x2330x -=21(30x -3x 2)=23-(x -5)2+275.所以当x =5时，y 有最大值275,即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，∴f (-x 1)<f (-x 2).∵函数f (x )是偶函数，∴f (-x )=f (x ).∴f (x 1)<f (x 2).∴函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.(课本P 44复习参考题)A 组1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a =0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a =－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a =1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x ,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x ,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）};A∩C={（x ,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅； B∩C ={（x ,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x ,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B ）∪（B∩C ）={(0,0),(53,59-)}.6.(1)要使函数有意义,必须|x |-2≥0,即x ≤-2或x ≥2,所以函数的定义域为{x |x ≤-2或x ≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x ≥2.所以函数的定义域为{x ｜x ≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x ≥4，且x ≠5. 所以函数的定义域为{x ｜x ≥4，且x ≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-a a =12+a ; （2）f （a +1）=)1(1)1(1+++-a a =a a +-2.8.（1）∵f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211x x -+，∴f （－x ）=f （x ）.（2）∵f （x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f （x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f (x )的对称轴是直线x =8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k ≤40或k ≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞). 10.（1）函数y =x -2是偶函数；（2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a ≥0}.3.∵（A ∪B ）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}， ∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5;f （－3）=－3×（－3－4）=21;f （a +1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a5.证明：（1）f )2(21x x +=a ·221x x ++b =22221bab bax x+++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］，∴f （221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］.（2）g （221x x +）=（221x x +）2+a ·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0,∴g （221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］.6.（1）奇函数f （x ）在［－b ,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b ,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f (-x )=f (x )⇔f (x )是偶函数，f (-x )=-f (x )⇔f (x )是奇函数.(4)f (-x )=f (x )⇔f (x )-f (-x )=0,f (-x )=-f (x )⇔f (x )+f (-x )=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y =f (x )和y =g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y =f ［g (x )］是偶函数，如果函数y =f (x )和y =g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y =f ［g (x )］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y =f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ,b )和(-b ,-a )上具有相同的单调性；如果函数y =f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ,b )和(-b ,-a )上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f (x )=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.(8)若f (x )是(-a ,a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0；若函数f (x )是偶函数，则f (x )=f (-x )=f (|x |)=f (-|x |).若函数y =f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )=0.。
1.3.2奇偶性
(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
(奇 )
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [1, 2]； x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)；
教学设计 §1.3.2函数的奇偶性教学设计
§1．3．2函数的奇偶性一．教学目标1．知识教学目标：进一步理解函数的奇偶性概念及其几何意义；会判断函数的奇偶性.2．能力训练目标：培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力；加强观察、化归、转化能力的训练．3.德育渗透目标：培养学生探索问题、发现规律、归纳概括能力；培养学生辩证思维及审美能力.二．教学重点和难点：教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式三．教学用具 投影仪四．教学过程（一）复习回顾1．函数的奇偶性定义：注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． ③具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．2. 利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．（二）典型例题例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈- （2）32()1x x f x x -=- 例2．判断下列函数的奇偶性（1）()2432x x x f += （2）()x x x f 23-=（3）()12+=x x f （4）()x x x f -++=44（5）()0=x f例3已知()x f 是定义在[]a a 2,1-上的奇函数，求a 的值. 例4设奇函数()x f 的定义域为[]5,5-，当[]5,0∈x 时，函数()x f y =的图象如图所示，则使函数值0<y 的x 的取值集合为例5．已知()f x 是偶函数，在（0，+∞）上是减函数,判断在（－∞，0）上是增函数还是减函数,并证明你的判断．如果()f x 是奇函数呢？偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（三）课堂小结1.奇函数、偶函数的定义2.奇函数、偶函数图象的对称性3.判断函数奇偶性的步骤和方法（四）课后作业优化设计《奇偶性》章节练习题。
1.3.2 奇偶性第二课时 课件(人教A版必修1)
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0<x<2 0<3x<2 x<1 2
0<x<2 0<x<2 3 ⇔ 1 x< 2
1 ，∴0<x< . 2
1 即不等式解集为x|0<x<2
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第2课时 奇偶性的应用
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1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用． 2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合 问题．
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自学导引
0 1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__. 2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有 增 最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且 最小值－M 有__________. 3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则 增函数 有f(x)在(0，＋∞)上是_______．
点评：函数单调性的实质是自变量的变化与函 数变化的内在统一性，解答这类题的思路是：先由 函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子， 然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
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2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x) 单调递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围． 解：∵g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数， 且在[0,2]上单调递减，∴g(x)在[－2,0]上单调递增， 又∵g(1－m)<g(m)，
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学习目标
2分钟
1.熟练利用函数的奇偶性定义判别函数
奇偶性； 2.能利用函数性质解决一些简单的综合 题； 3.小组互动，高效展示，培养学生科学、 严谨的研究态度。
应用举例
25分钟
例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x>0时，f(x)=-2x2+3x+1,求： (1)f(x); (2)当x<0时，f(x)的解析式； (3)f(x)在R上的解析式.
例2 设函数f(x)是定义在R上的奇函数， 且在区间（﹣∞，0]上是减函数，实数a 满足不等式f（3a² +a﹣3）<f(3a² -2a)的取 值范围.
例3 设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间 [-2,0]上单调递减，若f(1-m)<f(m),求实数 m的取值范围.
高效Байду номын сангаас示
8分钟
目标： 展示问题 课本36页练习1题(1)(3) 展示位置 前黑板 展示 小组 2组
（1）规范认真， 脱稿展示; （2）不但要展示 解题过程，更重要 的是展示规律方法、 注意的问题、拓展； 其他同学讨论完毕 总结完善，较好学 生注意拓展，不浪 费一分钟； （3）小组长要检 查落实，力争全部 达标；
课本36页练习1题(2)(4) 课本36页练习2题
学案33页例2
前黑板 后黑板
后黑板
4组 6组
13组
学案34页例3
学案34页例4
后黑板
后黑板
1组
5组
课堂评价
科代表和班委： 1.回扣目标 总结收获 2.评出优秀小组和个人
课外作业
1.课本45页B组6、7题；
2.定义在（-1,1）上的奇函数f(x) 在整个定义域上是减函数，若 f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数a的取值 范围.