相似三角形的判定定理(AA)
三角形相似判定
4．如图，在Rt∆ABC中，∠BAC = 90º，AD⊥BC于D， DE⊥AC于E，则图中与∆ABC相似的三角形有( ) D A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
5．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点， CM的延长线交AB于点N，则S∆DMN：S四边形ANME等 于( A ) A．1：5 C．2：5 B．1：4 D．2：7
本节课我们复习了三角形相似的 判定，并通过与三角形全等的判 定的比较，便于同学们更牢固的 记忆。另外，通过习题的训练同 学们可以熟练的运用这些判定。
A A’
B
C
B’
C’
定理： 定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 ， 那么这两个直角三角形相似 。 A A’
B
C
B’
C’
知识对比：
相似三角形的判断与全等三角形的判断的对比判定
全等三角形 判 断
相似三角形
相似三角形的判断与全等三角形的判断的对比判定
B
C
B’
C’
判定定理二： 两边对应成比例且夹角相等， 判定定理二： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 A
A’
B
C
B’
C’
判定定理三： 三边对应成比例，两三角形相似 判定定理三： 三边对应成比例， 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的 三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 三条边对形 ABCD中，AB//CD， 所以∆AEF∽∆CDF， 又因为AE：EB = 1： 3，所以AE：AB = 1： 4，即AE：CD = 1：4， 则S∆AEF：S∆CDF = (1：4)2 = 1：16，故
相似三角形判定复习(三)
⇒△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ⇒ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
二、探索题
1、条件探索型 、
维 要 严 密
如图， ABCD中 BC延长 7.如图，在□ABCD中，G是BC延长 线上一点，AG与BD交于点E,与 交于点E, 线上一点，AG与BD交于点E,与DC 交于点F 交于点 F ， 则图中相似三角形共 有（ ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
8.【04宁波】如图，已知点P是边长为 宁波】如图，已知点P 宁波 4的正方形 的正方形ABCD内一点，且PB=3 内一点， 的正方形 内一点 BF⊥BP垂足是 请在射线 上找一点 垂足是B请在射线 ⊥ 垂足是 请在射线BF上找一点 M，使以点 、M、C为顶点的三角形 ，使以点B、 、 ．为顶点的三角形 与△ABP相似 相似 D A 则BM= P
M F
2 C
2.如图， 2.如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 如图 ABC的AB边上的一点， 边上的一点 2 AB=12 AC=15， =12， AB， AC上取一点 上取一点E AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一点E， ADE与 ABC相似 相似， AE的长 的长。 使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
相似三角形的判定定理(AA)
B
例题分析
例1.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD
A D
O
P B
C
变式１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P， 结论还成立吗？ A
B
O
C
P D
变式２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什 么结论？
A
O
C
P D
1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C 求证：DA· AC=AB· AE 证明： ∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AC :AE=AB :AD ∴ DA · AC=AB · AE
27.2
相似三角形的判定
判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B C B' C' A A'
口答
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？ B
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
例1.已知：如图， ∠AED=∠ABC，
求证： AB · AD=AE · AC A D A E D
E
B C B
C
∵ ∠AED=∠ABC， ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △AED
∴ AB :AE=AC :AD
∴ AB · AD=AE · AC
已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
D
o
①
30
o
30 30
o
30
o
三角形中的相似关系与判定方法
三角形中的相似关系与判定方法在几何学中，相似是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能不相等的大小。
在三角形中，我们常常遇到相似关系，并且有特定的判定方法来确认它们是否相似。
本文将探讨三角形中的相似关系及其相应的判定方法。
一、三角形的相似关系三角形的相似关系是指两个或多个三角形具有相同的形状，其对应的角度相等、对应的边长成比例。
当两个三角形相似时，我们可以推断它们的相似性质，例如角度对应相等、边长成比例等。
在三角形ABC与三角形DEF中，若满足以下条件，可以确定它们相似：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、三角形相似的判定方法在几何学中，我们可以利用以下几种方法来判定三角形相似：1. AA相似法则（角-角相似法则）若两个三角形的两个角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
2. SAS相似法则（边-角-边相似法则）若两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似法则（边-边-边相似法则）若两个三角形的所有边对应成比例，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
4. 直角三角形相似定理在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边长度成比例，则可以判定它们相似。
即在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF，则可以推断直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。
5. 平行线分比定理若两个或更多平行线截取的线段成比例，则可以判定三角形相似。
相似三角形判定复习(一)
A E
C
二、证明题： 证明题： 1.D为 ABC中AB边上一点 边上一点， 1.D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. A 2=AD AB. 求证： 求证：AC =AD·AB. 2.△ABC中 BAC是直角 是直角， 2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC BC的直线 边中点M而垂直于斜边BC的直线 CA的延长线于 的延长线于E AB于D,连 交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. 求证： 求证：① △ MAD ∽△ MEA B ② AM2=MD · ME D 如图，AB∥CD，AO=OB， 3. 如图，AB∥CD，AO=OB， E DF=FB，DF交AC于 DF=FB，DF交AC于E， 求证： 求证：ED2=EO · EC. A
复习（ 复习（一）
一、相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：
A'
定理1 两角对应相等，两三角形相似。 定理1：两角对应相等，两三角形相似。 ∠A' ∠A= ∠A ⇒△ABC∽△A'B'C' B' ABC∽△ B C C' ∠B' ∠B= ∠B A 定理2 两组边的比相等且夹角相等， 定理2：两组边的比相等且夹角相等， 两三角形相似。 两三角形相似。 AB BC = ABC∽△ B C A 'B ' B ' C ' ⇒ △ABC∽△A'B'C' ∠B' ∠B= ∠B B C 定理3 三组边的比相等，两三角形相似。 定理3：三组边的比相等，两三角形相似。
解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC D ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC B △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC
相似三角形的判定定理
相似三角形的判定定理：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理：[1](1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.性质定理编辑(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形的周长比等于相似比；(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.[2]判定方法编辑预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
判定定理常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
第06讲-相似三角形的判定(教案)
-举例：比较AAA与AA判定定理的区别，通过构造不同类型的三角形来展示各自的应用场景。
-难点三：在实际问题中灵活运用相似三角形的判定定理，这需要学生具备较强的观察力和逻辑思维能力。
-运用相似三角形的判定解决实际问题，将理论知识转化为实际应用能力。
-例：通过具体例题，如给定三角形的两边及夹角，判定另一三角形是否与之相似，并解释判定过程。
2.教学难点
-难点一：理解相似三角形的性质，特别是对应角相等、对应边成比例的概念。学生需要通过直观的图形和具体例题来加深理解。
-举例：解释为什么相似三角形的对应角相等，对应边成比例，并通过动态演示或模型展示来辅助理解。
4.课程总结时，我发现有些学生对相似三角形在实际生活中的应用还不够熟悉。在今后的教学中，我会增加一些与实际生活紧密相关的案例，让学生们更好地理解相似三角形的应用场景。
5.另外，我还注意到个别学生在课堂上的参与度不高，可能是对课程内容兴趣不足或基础知识掌握不牢固。针对这一问题，我将在课后主动与这些学生交流，了解他们的困难和需求，针对性地给予辅导和帮助。
第06讲-相似三角形的判定（教案）
一、教学内容
第06讲-相似三角形的判定
教材章节：人教版九年级数学下册，第四章“几何图形的相似性”，第二节“相似三角形的判定”。
内容：
1.掌握相似三角形的定义及性质。
2.学习并掌握AAA（角角角）相似判定定理、AA（角角）相似判定定理、SAS（边角边）相似判定定理。
3.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题。
-举例：解决实际问题，如测量不便于直接ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量的物体长度，通过相似三角形的性质和判定定理来间接计算。
相似三角形的判定定理(AA)
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B C B' C' A A'
口答
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？ B
D
o
①
30
o
30 30
o
30
o
E
B
30
E
o
E
o
A
o
A
50
D C ③
50
o
70
F
55
o
D
F
C ④
基础演练
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A’ A B
A
C
D A B
(1)
C B’ A’
C’
(2)
D
A
E
E C
B
(3)
C
B’
C’
B
(4)
2.如图所示，∠B=∠C，尝试找出 所有的相似三角形，并简单说明理由. A
证明：
D E B C
∵∠AED=∠ABC ∠DAE=∠BAC
∴ △ABC ∽ △AED
变式一
已知：如图， ∠AED=∠ABC，
AB AC 求证： AE AD
A D 证明： ∵ ∠AED=∠ABC， ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △AED
AB AC ∴ AE AD
E
B
C
变式二 已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
似
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？
画一个三角形 ，使三个角分别为60°， 45°,75° 。
①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②判断这两个三角形相似吗?
即: 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的
三个角对应相等，那么这两个三角形_相___似___．
猜想: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
B
∴ AB2 = AD ·AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C 求证：DA·AC=AB·AE
证明：
∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC
D
E
∴ △ABC ∽ △ADE
A
∴ AC :AE=AB :AD
∴ DA ·AC=AB ·AE
B
C
3.已知如图， ∠ABD=∠C
常用的成比例的线段：
AC BC ABCD AC2 AD AB
BC2 BD AB
CD2 AD DB
2、已知：如图，BD、CE是△ABC的高， 请找出图中所有的相似三角形并说明理由。
A E
D
B
C
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900， BD⊥AC于D
问：若E是BC中点，ED的延 长线交BA的延长线于F，
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。
方法4：两边对应成比例且夹角。
方法5：通过两角对应相等。
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
C
A
D
B
常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B
C B' C'
口答
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
①
30o
30o
①
B E
A
D
AD=2 ,AC=8，求AB
B
C
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD ·AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
A
2 1
A
C
O
B
C
A
C
D
O
D
E
B
CA
B D
A
D
E
BB
C
课堂小结
相似三角形的识别方法有那些？
解：相似三角形有 (1)ΔABE∽ΔACD；
B
D
E
O
1
2
C
如图所示，∠B=∠C，尝试找出
所有的相似三角形，并简单说明理由.A
解：相似三角形有 (1)ΔABE∽ΔACD； (2)ΔBOD∽ΔCOE；
B
D
E
O
1
2
C
2、判断题：
基础演练
⑴ 所有的直角三角形都相似 .
⑵ 所有的等边三角形都相似.
⑶ 所有的等腰直角三角形都相似.
27.2
相似三角形的判定
温故
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。
方法4：两边对应成比例且夹角。
观察你与老师的直角三角尺(300与600) ,会相似吗？
这两个三角形的三个内角的 大小有什么关系？
相
三个内角对应相等。
⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
（× ） （√ ） （√ ）
（× ）
顶角相 底角相
等
等
顶角与底角 相等
思考 (1)如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它
们是否一定相似?有一对顶角对应相等呢?
(2)有一个角等于300的两个等腰三角形是否相似? 等于1200呢?
如果，当∠ＡＣＤ满足什么条件时， △ＡＣＤ∽△ＡＢＣ？
60o
50o
A
D 50o 70o FC③B30oA
C
A
55o
C
D
30o
F ②
E E
B 30o
D
F
④
基础演练
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A’
B
A
A
C
B A
C B’
(1)
A’
B
(C3)B’
D C’
C’
B
(2)
D
(4)
E A
E C
2.如图所示，∠B=∠C，尝试找出
所有的相似三角形，并简单说明理由. A
求证：AB : AC=DF : BF
F
A
D
B
C
E
A D
OP
B C
已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °
求证：AD·AB= AE·AC
A
D E
B
C
练习1. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
答案： ∠ＡＣＤ＝ ∠ＡＢＣ Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
例1.已知：如图， ∠AED=∠ABC，
求证： AB ·AD=AE ·AC
E
A
D E
D A
B
C
B
C
∵ ∠AED=∠ABC， ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △AED ∴ AB :AE=AC :AD ∴ AB ·AD=AE ·AC
例题分析
例1.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA·PB=PC·PD