2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期12.3、角的平分线的性质同步练习31
人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质教学设计
（2）已知一个角的度数，求这个角的平分线上的点到角的两边的距离。
2.提高拓展题：
（1）已知一个角的平分线，求这个角的度数。
（2）在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，若BD=6cm，CD=8cm，求角A的度数。
（3）证明：如果一个角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么这个角是直角。
人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解角的平分线的概念，掌握角的平分线的基本性质，能够准确画出角的平分线。
2.能够运用角的平分线性质解决相关问题，如等腰三角形的判定、角度的计算等。
3.通过对角的平分线性质的探究，提高学生的观察、分析、推理能力，培养学生的空间观念。
5.举例说明角的平分线在实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：
（1）如何画出角的平分线？
（2）角的平分线性质在实际问题中如何应用？
2.学生在小组内分享自己的思考和心得，相互交流，共同探讨。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.教师出示一些练习题，包括基础题和提高题，让学生独立完成。
1.教师出示一些生活中的图片，如剪刀、扇子、三角形纸片等，引导学生观察并思考：“这些图片中都有什么共同点？它们与我们今天要学习的数学知识有什么联系？”
2.学生观察后回答：这些图片中都包含了角，而且有些角的平分线很明显。
3.教师总结：是的，这些图片中的角都有平分线。那么，什么是角的平分线？它有什么性质？这就是我们今天要学习的内容。
3.实践应用题：
结合生活实际，找一找身边的角的平分线的例子，并说明其应用。
新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)课时同步习题(含答案)
12.3 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO＝∠EPOD 、PD ＝OD 3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定 21D A PO EB第2题图 第3题图 第4题图 5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）DCA EBF E O D C ABA 、11B 、5.5C 、7D 、3.5 8.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ） （A ）2cm 、2cm 、2cm ． （B ）3cm 、3cm 、3cm ．（C ）4cm 、4cm 、4cm ． （D ）2cm 、3cm 、5cm ．二、填空题 9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为 ．第9题图 第10题图 第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．第12题图 第13题图 第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为 ．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是 ．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为 ．17.如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为 ．第16题图 第17题图 第18题图18. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．三、解答题19．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C. 20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OCP 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F21.如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数；（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCN ．22. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，若∠A=90°，那么BC 、B A 、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．理由是：过点∴∠ACD+∠CAB=18的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．∵EF⊥AB EG⊥A G，。
人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》
人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版数学八年级上册的教学内容。
本节课主要让学生掌握角的平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
这一性质是几何中的基本概念，对于学生理解和掌握几何知识体系具有重要意义。
教材通过引入角的平分线，引导学生探究角的平分线的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。
但是，对于角的平分线的性质，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过引导、探究、实践等方式，帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握角的平分线的性质，能够运用角的平分线的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：角的平分线的性质。
2.难点：如何运用角的平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、设疑等方式，引导学生思考和探究角的平分线的性质。
2.实践操作法：学生通过实际操作，观察和总结角的平分线的性质。
3.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、几何模型等教学资源。
2.学生准备：笔记本、尺子、圆规等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本的课题，如：“在平面上有两个点A和B，如何找到一点C，使得AC=BC？”引导学生思考和探讨。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角的平分线的性质，引导学生观察和总结。
同时，教师可以通过实际操作，让学生直观地感受角的平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用角的平分线的性质解决实际问题。
八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版
《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
人教版数学八年级上册12.3.1角的平分线的性质教学设计
2.能力提升：完成课本练习题12.3.1第3、4题，培养学生运用角的平分线性质解决问题的能力。
-第3题：已知等腰三角形ABC，底边BC上的中线AD是角BAC的平分线，求证：AD垂直于BC。
-第4题：平行线l和m被第三条直线n所截，形成四个角，如果∠1是∠2的平分线，证明∠3等于∠4。
（三）情感态度与价值观
1.学生在探索角的平分线性质的过程中，体验数学发现的乐趣，激发学习数学的兴趣。
2.学生通过解决实际问题，体会数学在生活中的应用，增强数学学习的实用性。
3.学生在小组合作中，学会尊重他人，倾听他人意基础上，培养严谨、细致的学习态度，提高自信心。
b.练习二：结合其他几何知识，解决综合问题，提高学生的综合运用能力。
c.教师对学生的练习进行评价，及时反馈，指导学生改进。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结本节课所学知识，形成知识体系。
2.教学方法：教师引导学生进行回顾、总结，提炼知识点。
3.教学过程：
a.教师提问：“本节课我们学习了哪些内容？角的平分线的性质是什么？”
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际问题引入本节课内容，激发学生学习兴趣。
（2）运用探究式教学法，引导学生观察、操作、探索，发现角的平分线性质。
（3）组织小组合作，让学生在交流讨论中巩固知识，提高解决问题的能力。
（4）通过练习和总结，巩固所学知识，形成知识体系。
2.教学策略：
（1）差异化教学：针对学生的认知水平和空间想象力差异，设计不同难度的问题，使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提升。
3.实践应用：结合实际情境，设计一道角的平分线相关的实际问题，要求学生运用本节课所学知识解决。
及反思人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质优秀教学案例
在总结归纳环节，我会邀请几名学生代表分享他们小组的讨论成果，通过学生的讲解，总结出角的平分线的性质以及应用方法。我还会对学生的讲解进行点评，补充和强调重点知识点，确保每位学生都能对角的平分线有清晰的认识。
（五）作业小结
为了巩固学生对本节课知识的学习，我会布置以下作业：
1.完成课本上的练习题，巩固角的平分线的性质。
（二）过程与方法
1.采用自主探究、小组合作的学习方式，引导学生主动发现角的平分线的性质，培养他们的观察、分析、归纳能力。
2.通过问题引导，让学生在解决具体几何问题时，学会运用角的平分线性质，提高解题效率。
3.设计丰富的教学活动，如讨论、展示、练习等，让学生在实践中掌握角的平分线相关知识，提高他们的实际操作能力。
4.注重数学方法的传授，让学生在学习过程中掌握几何图形的基本分析方法，培养他们的几何思维。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学几何学科的兴趣，使他们感受到数学学习的乐趣，培养他们的学习自信心。
2.培养学生面对几何问题时，勇于挑战、积极思考的良好品质，使他们养成独立解决问题的习惯。
3.通过对角的平分线的学习，让学生认识到几何知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的学习责任感。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究角的平分线性质。设计一系列具有启发性的问题，如：“角的平分线是什么？”“角的平分线有什么性质？”“如何运用角的平分线性质解决实际问题？”等。通过这些问题，激发学生的好奇心，让他们在解决问题的过程中，掌握角的平分线相关知识。
（三）小组合作
（二）问题导向，激发学生思维
本案例采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究角的平分线性质。设计具有启发性的问题，激发学生的好奇心，培养他们的逻辑思维和几何直观。在解决问题的过程中，学生能够逐步掌握角的平分线相关知识，提高解决问题的能力。
人教版八年级数学上册教学设计：12.3角的平分线的性质
4.关注学生的个体差异，针对不同学生的困难给予有针对性的指导，使他们在学习过程中都能得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-角的平分线的定义及其性质的理解与应用。
-尺规作图方法绘制角的平分线。
3.课后作业：布置与本节课相关的课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对角的平分线性质的理解和应用，以及提高他们的几何作图能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
-完成课本第123页的练习题1、2、3，要求学生通过这些题目，加强对角的平分线定义和性质的记忆。
-绘制一个任意角的平分线，并标注出关键步骤，以锻炼学生的尺规作图技能。
-在解决与角的平分线相关的问题时，需要注意哪些方面？
2.汇报交流：每个小组派代表汇报讨论成果，其他小组进行评价、补充。
3.教师点评：针对学生的讨论，给予积极的评价和指导，强调角的平分线在实际问题中的应用。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对角的平分线的性质和尺规作图方法，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
-注重学生的自评和互评，鼓励学生积极参与，勇于提出自己的观点和疑问。
-定期进行总结性评价，了解学生对角的平分线知识掌握的程度，为后续教学提供参考。
4.教学拓展：
-结合实际生活，设计富有挑战性的几何问题，提高学生的应用意识和创新能力。
-引导学生探索角的平分线在其他几何问题中的应用，如三角形内角平分线的性质等。
2.学生练习：学生在课堂上独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.交流反馈：学生互相批改练习，共同讨论解题方法，教师针对共性问题进行讲解。
人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版
人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．64．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则＝；（2）若∠3＝∠4，则＝．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝cm．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝cm．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1∠2．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．参考答案一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D、正确．故选：D．2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝1.5cm，∵BD＝3cm，∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．6【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，∴结论不正确的是AE＝CE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE．故选：C．6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，∴P在∠COD的角平分线上，即∠1＝∠2，故选：B．7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD＝∠BOD．故选：B．8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．故选：D．9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；③任何一个命题都有逆命题，正确；④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．故选：A．10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．故选：B．11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；B、OD＝OE，正确；C、DPO＝∠EPO，正确；D、错误．故选：D．二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为6．【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，∴点M到OB的距离＝6．故答案为：6．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝2cm．【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM ＝2cm，∴PN＝PM＝2cm．故答案为：2．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有①②．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，∴DA平分∠EDF；故①②正确，∵无法判定AD⊥BC且平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．故答案为：①②．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为3．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵BC＝5，BD＝2，∴CD＝5﹣2＝3，∵AD为角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝8cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵DE＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．故答案为：8．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE＝DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1＝∠2．【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2∴AD为∠BAC的平分线又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴由角平分线性质得DE＝DF．（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE，DF为点D到角两边的距离．又∵DE＝DF，∴由角平分线性质知AD为角平分线．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝2．【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，∴四边形CFOE是矩形；∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，∴OE＝OP＝OF，∴四边形CFOE是正方形，设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，∴OP＝OE＝2．故答案为2．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．【解答】解：点P如图所示．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．【解答】解：∵CE⊥P A，ED⊥PB，CE＝ED，∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，∴CD＝＝28，∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝28．答：D到AB的距离为28．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴AP平分∠BAC，即AQ，BM，CN交于一点P．。
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“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.
已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC.
求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，
∴DE =DF ，
在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩
⎨
⎧==CD AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ), ∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°， ∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°
例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，
∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,
A
B
C
D
图1-1
F
E D
C
B
A
图1-2
A
D
B
C
E
图2-1
∴∠2=∠1. 又∵AD ∥BC ，
∴∠ADC +∠BCD =180°， ∴∠DCE +∠CDE =90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4.
在△FDE 与△ADE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ）， ∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ， ∴CD =AD +BC .
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .
求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ， ∴PE =PD ，
在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
⎩
⎨
⎧==BP BP PD
PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ), ∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，
∴AB +BD +DC =BD +BE ， ∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
A
D
B C
E
F
1
234图2-2
A
B
C
D
P
1
2
N
图3-1
P
12
N
A
B
C
D E
图3-2
⎪⎩
⎪
⎨=∠=∠DC AE PDC PEA ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS), ∴∠PAE =∠PCD
又∵∠BAP +∠PAE =180°. ∴∠BAP +∠BCP =180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .
证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2
∴∠ACB ＝2∠E ， ∵∠ACB ＝2∠B ， ∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）, ∴AB =AE .
又AE =AC+CE =AC +DC ， ∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,
D
C
B A 12
图4-1
E
D
C
B A 12
图4-2
⎪⎩
⎪
⎨=∠=∠AD AD 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）, ∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ， ∴∠FDB ＝∠B ， ∴FD =FB .
∵AB =AF +FB =AC +FD ，
∴AB=AC+C D.
F
D
C
B
A 12
图4-3。