高考数学总复习 65合情推理与演绎推理配套试题 理 新人教B版
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
高中数学新人教B版选修1-2演绎推理
怕丹；辿盲雀匕吒二:门『2届［对应学生用书P16］2. 1.2 演绎推理入n碁料看下面两个问题⑴一切奇数都不能被2整除，22012+ 1是奇数，所以22012+ 1不能被2整除；(2) 两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面.问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么？提示：都说的一般原理.问题2：第二句又说的是什么？提示：都说的特殊示例.问题3:第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断.1 .演绎推理(1) 定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程」常叫做演绎推理.(2) 特征：当前提为真时，结论必然为真.2. 演绎推理规则演绎推理的一般模式为“三段论”，包括：(1) 大前提--- 已知的一般原理；(2) 小前提一一所研究的特殊情况；(3) 结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.［归纳*升华■领悟］-------------------------------- '1. 演绎推理的前提是一般性的原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.2. 演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.3. 应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.高掀琴点题组化.名师一点就通［对应学生用书P16］£ZBI |三种演绎推理的形式［例1］选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程.⑴函数y= sin x（x€ R）是周期函数；（2）k>1 时，一k—. k—1> k+ 1 —,k;⑶若n € Z,求证n2—n为偶数.［思路点拨］对应三种规则的应用格式，不同的问题可采用不同的推理规则，这里（1）用三段论推理，（2）用传递性关系推理，（3）用完全归纳推理.［精解详析］（1）三段论推理：三角函数是周期函数，（大前提）y= sin x（x € R）是三角函数，（小前提）所以y= sin x（x € R）是周期函数.（结论）⑵传递性关系推理：k>1时，.k—，刁 =乔士二>那> 乔龄=皿—托（3）完全归纳推理：J n2—n= n（n—1）,•••当n为偶数时，n2—n为偶数，当n为奇数时，n—1为偶数，n2—n为偶数，• n€ Z时，n2—n为偶数.［一点通］对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系（放缩法）或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理.根据定理证题，往往用三段论推理.必力越值弟制必々1. 选择合适的推理规则写出下列推理过程:（1）75是奇数.⑵平面a, 已知直线I // a, I // aCl = m,贝V l // m.解：（1）三段论推理：一切奇数都不能被2整除.（大前提）75不能被2整除.（小前提）75是奇数.（结论）⑵传递性关系推理：如图，在a内任取点P（P?m）,由I// a,• P?l,则I与点P确定一平面与a相交，设交线为a,则a// I,同理, 在B内任取一点Q（Q?m）, I 与点Q确定一平面与B交于b,则I // b,从而a / b.由P€ a, P?m,「. a B,而b? B,••• a// B，又a? a, aA B=m,「. a / m,「. I // m,三段论在证明几何问题中的应用|［例2］已知：在梯形ABCD中(如图),DC = DA , AD // BC,求证：CA平分/ BCD(用三段论证明).4 Z>观察图形DC = DA? 7 1 = 7 2AD // BC? 7 1 = 7 3f7 2 = 7 3［精解详析］：•等腰三角形两底角相等，........................................ 大前提△ ADC是等腰三角形，/ 1和/ 2是两个底角，................................... 小前提•••/ 1 = 7 2,........................................................................................................................... 结论•• •两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，................................. 大前提7 1和/ 3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，.............................. 小前提•••7 1 = 7 3, ............................................................................................................................. 结论•.•等于同一个角的两个角相等，................................................ 大前提7 2=7 1,7 3=7 1, .................................................................................................................. 小前提• 7 2=7 3,即CA平分7 BCD, ............................................................................................ 结论［一点通］(1)三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P,(2)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据-------------- 大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提.2. 有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b//平面a,直线a?平面a,则直线b//直线a.这个结论显然是错误的，这是因为()A .大前提错误B .小前提错误C.推理形式错误 D .非以上错误解析：大前提错误，导致结论必然错误.答案：A3. 在四边形ABCD中，AB= CD , BC= AD，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理.证明：⑴连接AC.因为如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，'-..................................................... 大前提而厶ABC和厶CDA的三边对应相等，............................................ 小前提则这两个三角形全等. ............................................................ 结论(2) 因为全等三角形的对应角相等................................................ 大前提而厶ABC和厶CDA全等，且/ 1、/ 2是对应角，.................................. 小前提所以/ 1 = / 2. ...................................................................................................................... 结论(3) 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，..... 大前提直线AB, DC被直线AC所截，内错角/ 1 = / 2, ............................ 小前提(已证)贝U AB // DC. ........................................................................................................................ 结论同理有：BC // AD.(4) 如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，............ 大前提四边形ABCD中，两组对边分别平行， ............................................ 小前提则四边形ABCD是平行四边形. .................................................. 结论x—2 [例3] (12分)已知函数f(x) = a x+丄彳(a> 1)，求证：函数f(x)在(—1,+^ )上为增函X I I数.［精解详析］设X i , X 2是(-1 ,)上的任意两实数，且 X i V X 2, x i — 2则 f(X 1)-f(X 2)=aX 1+R —=ax 1— ax 2+ 3~X _X ,(6 分)(X1+1 (x2 + 1 )■/ a > 1，且 x 1 <x 2,「. ax 1< ax 2, x 1 — x 2v 0.又 T X 1 > — 1 , X 2 > — 1 , —(X 1 + 1)(X 2+ 1) > 0. (10 分) 二 f(X 1) — f(X 2) < O.「. f(X 1)< f(X 2). •••函数f(x)在(-1,+^ )上为增函数. (12分)［一点通］(1)很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理.⑵在解题过程中常省略大前提， 本例3的大前提是增函数的定义， 小前提是y = f(x)在 (- 1,+)上符合增函数的定义.2X— 1 、,4.求证：函数 f(x)= 2%+ 1是奇函数.证明：f(x)的定义域为R.2 x— 1对任意 x € R , f( — x) = — x .,2 + 1 1 — 2X 2X — 1 ==—和=—f(x)， 所以f(x)是奇函数.15.已知｛a n ｝是各项均为正数的等差数列.lg a 1，lg a 2，lg成等差数列，又b n = —(n=1,2,3，…).证明：｛b n ｝为等比数列.证明：■/ lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列， • 2lg a 2= lg a 1 + lg a 4，即即 a ^= a^. 若｛a n ｝的公差为d ，则(a 1 + d)2= a 1(a 1 + 3d)， a 1d = d 2， 从而 d(d — a 1) = 0.① 若d = 0，｛a n ｝为常数列，相应｛b n ｝也是常数列，此时｛b n ｝是首项为正数，公比为 1的等比数列.ax 2—X 2— 2X + 1=aX [ — ax ? +X 1— 2 X + 1 X 2—2 X + 1②若d = a1工0，1 1 则 a 2n = a i + (2n — 1)d = 2n d , b n =一 = ZTT7.a 2n 2 d1 i这时｛b n ｝是首项b i = 2d ，公比为2的等比数列•综上，｛b n ｝为等比数列.合情推理演绎推理区别思维方法归纳、类比三段论、传递性关系、完全归纳推理形式 由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提 下，得到的结论一定正确作用具有猜测和发现结论，探索和提供 思路的作用，禾U 于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明1 •给出下面一段演绎推理: 有理数是真分数・整数是有理数 ............................................................... 小前提 整数是真分数 .................................................................... 结 论结论显然是错误的，是因为 （ ）A .大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .非以上错误解析：推理形式没有错误，小前提也没有错误，可见大前提错误.举反例，如 2是有理数，但不是真分数.课下训练经典化*贵在純类旁通［对应学生用书P19］大前提答案：A2.中东地区石油储量非常丰富，根据新疆地区与中东地区的地貌相似的特点，在新疆克拉玛依发现了震惊世界的大油田，若将发现油田这一过程看作推理，则最符合哪一类推理形式（）A .三段论推理B .归纳推理C.传递性关系推理 D •类比推理解析：由各推理的特征知，该推理为类比推理.答案：D3•下面几种推理过程是演绎推理的是（）A •两条直线平行，同旁内角互补，如果/ A与/B是两条平行直线的同旁内角，则/A+Z B= 180 °B .某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C. 由三角形的性质，推测四面体的性质D. 在数列｛a n｝中，a i= 1, a n= * a n-1 + 0^ （n》2），由此归纳出｛a n｝的通项公式解析：B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理.答案：A4. 下列三句话按"三段论”模式排列顺序正确的是（）①y= cos x（x € R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y= cos x（x € R）是周期函数.A .①②③B .②①③C.②③① D .③②①解析：按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③答案：B5. 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半. 所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是.解析："钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理.答案：完全归纳推理6. 已知推理：“因为△ ABC的三边长依次为3,4,5,所以△ ABC是直角三角形”. 若将其恢复成完整的三段论，则大前提是.解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提:△ ABC的三边长依次为3,4,5满足32+ 42= 52;结论：△ ABC是直角三角形.答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形7. 如图，四棱锥P —ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD，点E在棱PB 上.求证：平面AEC丄平面PDB证明：•••四边形ABCD是正方形,••• AC丄BD.•/ PD丄底面ABCD ,•PD 丄AC.•AC丄平面PDB, AC?平面AEC.•平面AEC丄平面PDB.&已知函数f(x)对任意x, y€ R 都有f(x+ y)= f(x)+ f(y)，且当x> 0 时，f(x) v 0, f(1) =—2.(1)求证：f(x)为奇函数；⑵求f(x)在［—3,3］上的最大值和最小值. 解：⑴证明：因为x、y€ R时，f(x+y) = f(x) + f(y),所以令x= y= 0得，f(0) = f(0) + f(0) = 2f(0), 所以f(0) = 0.令y = —x,贝U f(x—x)= f(x) + f( —x) = 0, 所以f( —x)=—f(x),所以f(x)为奇函数.⑵设X1、R 且％v X2 ,f(X2)—f(X1) = f(x2) + f( —X1)= f(x2—x1), 因为x>0 时，f(x) v0,所以f(X2 —X1)v 0 ,即f(x2)—f(X1) V 0,所以f(x)为减函数，所以f(x)在［—3,3］上的最大值为f(—3),最小值为f(3).因为f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) = —6,f( —3) = —f(3) = 6,所以函数f(x)在［—3,3］上的最大值为6,最小值为一6.。
高考数学总复习 7.4合情推理与演绎推理配套文档 理 新人教b版
§7.4 合情推理与演绎推理1． 合情推理2. 常叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 3．“三段论”可以表示为①大前提：M 是P ； ②小前提：S 是M ； ③结论：S 是P .1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N ＋)．( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a＝6b a(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6. ( √ ) 2． 数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )A ．28B ．32C ．33D ．27答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32.3． 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的后四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125答案 A解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N ＋，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2013＝4×501＋9，所以52 013与59后四位数字相同为3125. 4． (2013·陕西)观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.5． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一 归纳推理例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．思维启迪 解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明． 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝131x ＋3＋132x ＋3＝(31x＋3)＋(32x＋3)(31x＋3)(32x＋3)＝31x＋32x＋23321xx+＋3(31x＋32x)＋3＝31x＋32x＋233(31x＋32x)＋2×3＝31x＋32x＋233(31x＋32x＋23)＝33.思维升华(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．(1)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为______________________．(2)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，经计算得f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，则有________．答案(1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81(2)f(2n)>n＋22(n≥2，n∈N＋)解析(1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.(2)由题意得f(22)>42，f(23)>52，f(24)>62，f(25)>72，所以当n≥2时，有f(2n)>n＋22.故填f(2n)>n＋22(n≥2，n∈N＋)．题型二类比推理例2已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则a m＋n＝nb－man－m.类比等差数列{a n}的上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N＋)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到b m＋n＝________.思维启迪 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算． 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(1)给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 答案 (1)B (2)a 2＋b 2＋c 22解析 (1)①②错误，③正确．(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径． 题型三 演绎推理例3 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上．小前提是f (x )＝－a a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称． (1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )， 它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a ＝－a ·a xa ＋a ·a x＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称．(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.思维启迪 从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10,24)．解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________． 思维启迪 直接类比可得．解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1yb 2＝1， x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案x 0x a 2－y 0yb 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为_________________．思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证．解析 类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)，…，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)]．以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2) ＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)． 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确．方法与技巧1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．失误与防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A．28 B．76 C．123 D．199答案 C解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.2．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于()A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+（n-1）.又∵1*1=1,∴n*1=n.3．下列推理是归纳推理的是()A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4． 已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论 答案 B解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提． 5． 若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·(1)2n n q-，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·12n q -，即{d n }为等比数列，故选D.二、填空题6． 仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ●○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________． 答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7． 若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________． 答案x 7x ＋8 x (2n －1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝xx ＋2，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)，∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝x x ＋2(x x ＋2＋2)＝x3x ＋4.f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x 3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x7x ＋8.由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1， 故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.8． 在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________．答案BE EA ＝S △BCDS △ACD解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等， 故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCDS △ACD. 三、解答题9． 已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)由于a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 解如图所示，由射影定理 AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．2． 设 是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A对运算 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭． 3． 平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________．答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．4． 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)．证明： (1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故{S nn }是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)5． 对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)．解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)．(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2，f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。
年高中数学人教B版选修2-2同步训练：2.1 合情推理与演绎推理
2.1 合情推理与演绎推理1、某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班;丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日2、如果甲去旅游,那么乙、丙和丁将一起去.据此,下列结论正确的是( )A.如果甲没去旅游,那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去.B.如果乙、丙、丁都去旅游,那么甲也去.C.如果丙没去旅游,那么甲和丁不会都去.D.如果丁没去旅游,那么乙和丙不会都去.3、有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数;则12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4、如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是( )A.2B.4C.6D.85、下面几种推理是类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果A∠和B∠是两条平行直线的同旁内角，则∠+∠=︒180A BB.依据圆中与圆心距离相等的两条弦长相等，推测球中与球心距离相等的两截面圆的面积相等C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D.一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除 6、若等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则数列{}n S n 为等差数列,公差为2d.类似地,若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ,前n 项积为n T ,则等比数列的公比为( ) A.2qB.2q7、设函数()f x =n 项和公式的推导方法计算(5)(4)(3)...(0)(1)...(5)(6)f f f f f f f -+-+-++++++的值为( )C.8、已知数列{}n b 为等比数列, 52b =,则912392b b b b ⋅⋅=,若数列{}n a 为等差数列,52a =,则数列{}n a 的类似结论为( )A. 912392a a a a ⋅⋅=B. 912392a a a a ++++=C. 123929a a a a ⋅⋅=⨯D. 123929a a a a ++++=⨯9、在平面几何中，有如下结论：正ABC △的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =( ) A.164B.127C.19D.1810、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得x ==（ ）A. 3B. C. 6D. 11、观察下列各式：22222322221231;623512;6347123;64591234;6⨯⨯=⨯⨯+=⨯⨯++=⨯⨯+++=照此规律，当*N n ∈时，2222123...n ++++= .12、《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: ==则按照以上规律,若=有 “穿墙术”,则n =__________.13、设ABC △的三边长分别为a ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++；类比这个结论可知：四面体P ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，则R =__________.14、已知推理:“因为ABC △的三边长依次为3,4,5,所以ABC △是直角三角形”.若将其恢复成完整的“三段论”,则大前提是__________.15、在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则(1)正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的_________. (2)证明你的结论是正确的.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：112~日期之和为78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26, 甲在1日和3日都有值班,故甲余下的两天只能是10号和12号; 而乙在8日和9日都有值班,8917+=, 所以11号只能是丙去值班了.余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天, 显然,6号只可能是丙去值班了2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：A解析：试题分析:当1a >时,指数函数x y a =是增函数;当01a <<时,指数函数x y a =是减函数,故说“指数函数x y a =是增函数”是错误的。
安徽省高考数学一轮复习 6.5 合情推理与演绎推理课后自测 理
6.5 合情推理与演绎推理课后自测理(见学生用书第305页)A组基础训练一、选择题1．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】 C2．如图6－5－2是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )图6－5－2【解析】观察五角星三个阴影顶角的规律，易知选A.【答案】 A3．已知21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6，…，以此类推，第5个等式为( )A．24×1×3×5×7＝5×6×7×8B．25×1×3×5×7×9＝5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9＝6×7×8×9×10D．25×1×3×5×7×9＝6×7×8×9×10【解析】根据所给等式的规律知25＝2×1×3×5×7×9＝6×7×8×9×10，故选D.【答案】 D4．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( )A.63a B.64a C.33a D.34a 【解析】 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，每个面的面积为34a 2，正四面体的体积为212a 3，则有13×34a 2(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝212a 3，得h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a. 【答案】 A5．(2014·南昌调研)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49【解析】 ∵72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543， (7)(n ∈Z ，且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，又∵2 011＝502×4＋3，∴72 011与73的末两位相同，未两位数字为43.【答案】 B 二、填空题6．设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f(2n)≥n ＋22.【答案】 f(2n)≥n ＋227．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点；……请观察上面的命题，猜想出命题n(n 是正整数)为：________.【解析】 根据命题1,2,3的规律知，命题n 为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n3x的一个交点．【答案】 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n3x的一个交点8．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：________.【解析】 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”【答案】 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n 三、解答题9．已知函数f(x)＝x21＋x2，(1)分别求f(2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015.【解】 (1)∵f(x)＝x21＋x2，∴f(2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1. (2)由(1)猜想f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，证明：f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)可得， 原式＝f(1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 2 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝f(1)＋2 014＝12＋2 014＝4 0292.10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.(2)归纳三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.B 组 能力提升1．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q>1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 5·b 8<b 4·b 7 【解析】 ∵(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7) ＝(b 4＋b 4q 4)－(b 4q ＋b 4q 3)＝b 4(1＋q 4－q －q 3)＝b 4(q －1)(q 3－1)>0， ∴b 4＋b 8>b 5＋b 7，故选A. 【答案】 A2．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m ；现已知等比数列{b n }(b≠0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b(m≠n，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.【解析】 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －amn －m 可以类比等比数列中的n －m b nam ，故b m ＋n ＝n －m b nam . 【答案】 n －m b nam3．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】 如图所示，根据面积相等得 AB·AC＝BC·AD， ∴AD ＝AB·AC BC ，∴AD 2＝AB 2AC2BC2，∴1AD 2＝BC 2AB 2AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明如下：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF. ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD. ∴AB ⊥AF.在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。
人教B版高考数学选修1-2同步练习题 第2章 2.1.1 合情推理
§2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一 推理 1．推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理． 2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理． 知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体． 以上属于什么推理？答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征． 梳理 归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程． (2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的12.可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积， (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.该推理属于什么推理？ 答案 类比推理． 梳理 类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × ) 2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )类型一 归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n(n ∈N ＋)个等式可为_____________________________________________． (2)已知f(x)＝x 1－x，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n ∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n ∈N ＋)的表达式为________．答案 (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x1－2n －1x解析 (1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(n ∈N ＋)个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(n ∈N ＋)个等式右边有n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(n ∈N ＋)个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .(2)∵f(x)＝x 1－x ，∴f 1(x)＝x1－x .又∵f n (x)＝f n －1(f n －1(x))，∴f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2×x 1－2x ＝x1－4x，f 4(x)＝f 3(f 3(x))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x1－8x，f 5(x)＝f 4(f 4(x))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x ＝x1－16x，∴根据前几项可以猜想f n (x)＝x1－2n －1x (n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若把“f n (x)＝f n －1(f n －1(x))”改为“f n (x)＝f(f n －1(x))”，其他条件不变，试猜想f n (x) (n ∈N ＋)的表达式．解 ∵f(x)＝x 1－x ，∴f 1(x)＝x 1－x .又∵f n (x)＝f(f n －1(x))，∴f 2(x)＝f(f 1(x))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 1－2x 1－x 1－2x ＝x1－3x ，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 1－3x 1－x 1－3x ＝x1－4x .因此，可以猜想f n (x)＝x1－nx(n ∈N ＋)．反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论． (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 (1)已知x>1，由不等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…，可以推广为( )A ．x n＋n x >nB ．x n＋n x >n ＋1C ．x n＋n ＋1x >n ＋1D ．x n＋n ＋1x>n(2)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …，照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2nπ2n ＋1－2＝__________.答案 (1)B (2)43×n ×(n ＋1)解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是x ，x 2，x 3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成x n ＋n x >n ＋1的形式，从而归纳出一般性结论：x n＋n x>n ＋1，故选B.(2)观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题角度2 几何中的归纳推理例2 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n答案 B解析 由已知图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个， 故选B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.类型二 类比推理例3 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？解 对平面凸四边形： S ＝12a 1h 1＋12a 2h 2＋12a 3h 3＋12a 4h 4 ＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4) ＝k2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)， 所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk ；类比在三棱锥中，V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4 ＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4) ＝K3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)． 故H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论． (2)平面图形与空间图形的类比如下：跟踪训练3 (1)若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝12nn (n ∈N ＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝___(n ∈N ＋)也是等比数列． 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．(2)如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b·cosC＋c·cosB，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cosα＋S 2·cosβ＋S 3·cosγ.1．有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色．两种彩旗排成一行： ???????????????????????????…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( ) A ．111B ．89C ．133D ．67 答案 D解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形答案 C解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2答案 B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5.在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a·3＝b·3，则a ＝b ”类比出“若a·0＝b·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“若(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a ＋b)n＝a n＋b n” 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( ) A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． 4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.6．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9答案 D7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 8．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 由题意可得f(3)＝f(1)＋f(2)，f(4)＝f(2)＋f(3)，f(5)＝f(3)＋f(4)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18，f(7)＝f(5)＋f(6)＝29，f(8)＝f(6)＋f(7)＝47，f(9)＝f(7)＋f(8)＝76，f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.二、填空题9．正整数按下表的规律排列，则上起第2017行，左起第2018列的数应为________________．考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 2017×2018解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2018列的第一个数为20172＋1，由连线规律可知，上起第2017行，左起第2018列的数应为20172＋2017＝2017×2018.10．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________________________________.答案 若a ＋b ＝20(a ≠b)，则a ＋b<210，a ，b 为正实数11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx)′＝－sinx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.考点 归纳推理题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 －g(x)解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列{a n}的通项公式为a n＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n解析根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝OA21＋A1A22＝12＋12＝2，a3＝OA3＝OA22＋A2A23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n＝n.三、解答题13．设a>0，且a≠1，f(x)＝1a x＋a.(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．解(1)f(0)＋f(1)＝11＋a ＋1a＋a＝1a＝aa，f(－1)＋f(2)＝1a－1＋a＋1a2＋a＝1a＝aa.(2)由(1)归纳得对一切实数x，有f(x)＋f(1－x)＝a a.证明：f(x)＋f(1－x)＝1a x＋a ＋1a1－x＋a＝1a x＋a＋a xa(a＋a x)＝a＋a xa(a＋a x)＝1a＝aa.四、探究与拓展14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 30解析 观察题图易得∴a ＝21，b ＝9，∴a ＋b ＝30.15．如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．解 类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB， 有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC证明如下：如图(2)，设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h.则h ′h ＝PC ′PC， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △PA ′B ′·h′13S △PAB ·h ＝PA ′·PB′·h′PA·PB·h ＝PA ′·PB′·PC′PA·PB·PC .。
人教B版高中数学选修合情推理同步练习
合情推理与演绎推理测试题（选修1-2）试卷满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共100分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选n a A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =L '1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x5.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6.函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A. 18B.14C. 12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+ab b a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 59.设 ()|1|||f x x x =--, 则1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 110.已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是 A.{2,3} B. {-1, 6} C. {2} D. {6}11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.14.在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状.15.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.16.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求)(x f 的最大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 090<.第Ⅱ卷（共50分）三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。
高中数学新人教B版选修1-2合情推理
■orER ZHANG合情推理与演绎推理2.12抽象问謹情境化 新知无师自通推理.归纳推理（乙）（乙）[对应学生用书P11]（3）推理一般分为合情推理与演绎推理图（甲 推理2.合情推理（1）根据一个或几个已知事实（或假设）得岀一个判断，这种思维方式就是推理1.推理的概念与分类合情推理提示：由图知：a i = OA i = 1前提为真时，结论可能为真的推理, 叫做合情推理.常用的合情推理有归纳推理和类比 问题1:图（甲）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 A 7A 8= 1,把图（乙）中的（2）推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实 （或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结 ______直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1, OA 2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA 1= A 1A 2= A 2A 3试计算 a 1, a 2, a 3, a 4的值 OA n 的长度构成数列{a n }a 2 = OA 2 = J OA 2 + A 1A 2= , 12+ 12= J 2, a 3 = OA 3 = \/OA 2 + A 2A 3 = ^（x/2 J + 12 = V 3a4 = OA4 = OA3 + A3A4 = ® 2 + 1 =申=2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a.}的通项公式a n吗？提示：能猜想出a n= n.(n € N +)问题3:直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论.归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程.⑵归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).mro 类比推理已知三角形的如下性质(1) 三角形的两边之和大于第三边；1(2) 三角形的面积等于高与底乘积的2.问题1:试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.1(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的3.问题2:以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征.问题3:以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是.归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理.类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).［归纳-升华-领悟］----------------------------- 、1. 归纳推理的特点：(1) 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2) 归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.2. 类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现.⑵类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能.3. 归纳推理和类比推理都属于合情推理.运駅/点巫也也：T-W总瑟［对应学生用书P12］数、式中的归纳推理［例1］根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式:(1) a i = 1, a n + 1 = 2a n+ 1(n€ N +);. a n(2) a1 = 1, a n+1 = ~(n€ N + ).1十a n［思路点拨］由a1求a 由a2求af由a3求af分析a2、a3、a4的结构特征猜想通项公式［精解详析］(1)由a n + 1 = 2a n+ 1 及a〔= =1 得a2= 2 x 1 + 1 = 3,a3= 2X 3 + 1 = 7, a4= 2X 7 + 1 = 15,a5= 2X 15+ 1 = 31.由a1= 1 = 21—1, a2= 3= 22—1,a3= 7= 23—1, a4= 15 = 24—1, a5= 31 = 25—1, 可归纳猜想a n= 2n—1(n€ N +).⑵当n = 1 时，a1= 1，由a n+1= an (n € N +)得1 + a nB A W01a i 1 a2=1 + a i = 2， a 22 1a3=右==3，1+ 2 1 a 331 a4=右=4. 1+ 31可归纳猜想：｛a n ｝的通项公式a n = n［一点通］归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1) 通过条件求得数列中的前几项；(2) 观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式.1. 将全体正整数排成一个三角形数阵：4 5 6 7 89 1011 1213 1415根据以上排列规律，数阵中第 n 行(n 》3)的从左到右的第3个数是.解析：前1行共1个数； 前2行共1 + 2= 3个数； 前3行共1 + 2+ 3= 6个数；前4行共1 + 2+ 3+ 4= 10个数； 前5行共1 + 2+ 3+ 4+ 5= 15个数；前 n — 1 行共 1 + 2+ 3+ 4+ - + (n — 1)= 因此，第n 行第3个数是全体正整数中第答案： 2 n — n +62•在数列｛a n ｝中，a 1= 1且S n , 5+1,23成等差数列，计算 生，S 4并猜想S n 的表达式.解：依题意得 2S n + 1= S n + 2S 1, S 1 = a 1 = 1. 当 n = 1 时，2S 2= S| + 2S 1,个数.c 3 3…£ = 一 S*i = —；2 2 1 23 7当 n = 2 时，2S 3= S 2 + 2S i =㊁ + 2 =㊁；Ss =4；7 15当 n = 3 时，2S 4= S 3 + 2S i = 4 + 2 =才,B. 31D . 36［思路点拨］解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块 “公共”的有菱形纹正六边形.［精解详析］法一：有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 + 5X (6 — 1)= 31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需 6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块"公共”的菱形纹正六边形 )，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为： 6 + 5X (6 —1)= 31.答案：B［一点通］解决图形中归纳推理的方法(1) 从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2) 从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 数值发生了怎样的变化.猜想S n =2n - 12“-1 (n € N +).几何中的归纳推理 [例2]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(C . 32 第一牛图秦)第二个图案第三个图案- S A PBC + S A FAC + S ^PAB = S ^ABC ,3.如图，第n 个图形是由正（n + 2）边形“扩展”而来（n = 1,2,3，…），则第n 个图形中 的顶点个数为（）解析：第一个图形共有12= 3X 4个顶点，第二个图形共有20 = 4X 5个顶点，第三个图 形共有30= 5X 6个顶点，第四个图形共有 42= 6 X 7个顶点，故第n 个图形共有（n + 2）X （n+ 3）个顶点.答案：B 4.把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形（如下图），则第七个三角形数是.解析：第七个三角形数为 1 + 2 + 3+ 4+ 5 + 6 + 7= 28. 答案：28类比推理的应用［例3］ （12分）如图所示，在平面上，设 h a , h b , %分别是△ ABC 三条边上的高，P 为证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.A . (n + 1)(n + 2) C . n△ ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为P a , P b ，P c ，可以得到结论瓷+瓷+穿1［精解详析］1?BC p a；BC h a& PBCS^ABC’ ,△ 1 3同理, P b= S^PAC P c = FAB h b SS BC ' h c S^ ABC(2分)-S A PBC+S A FAC+S^PAB = S^ABC,类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 h a , h b ,h e ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离， P 为四面体内 任意一点，P到相应四个面的距离分别为 P a ，P b ，P e ，P d ，可以得到结 论計壯計h d =1.(8分)•' V p -BCD + V p - ACD + V p -ABD + V p -ABC = V A -BCD ，• P a +P b + 囚+ Pd • h a h b h e h dVp -BCD+Vp - ACD+Vp -ABD+Vp - ABC=1.V A -BCD［一点通］(1) 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元 素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2) 平面图形与空间图形类比如下：平面图形 占八、、线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体""暑値臬制"和5•实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质： a b = b a ， a b = b a ，(a + b) e = a c + b e ， (a + b) e = a e + b e. 则由①(a b) e = a (b e)，②若 0， a e = a b ，贝U b = e ，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？ 解：猜想：①(a b) e = a (b e)， ②若 a 工 0， a e = a b ，贝U b = e ，证明如下：1S ABCD P aP a 3 V P - BCD h a 1V A - BCD’BCD h aP b V P - ACD P e V P -ABD P d V p - ABCh b V A - BCD’h e V A -BCD 'h d V A -BCD’P »+ P e _ S A PBC + S A FAC + S A PABSx ABC1. （4分）同理,（10分） （12 分） h b h eA这两个结论都不正确.①式左边表示与e共线的向量，右边表示与a共线的向量，e与a不一定共线，就不一定相等.②a e= a b，|a||e| eos〈a，e>= |a| |b| eos〈a，b>，可得|e| eos〈a，e>= |b| eos〈a，b>，则c , b 在a 方向上的投影相等，b , c 不一定相等.6.如图所示，在△ ABC 中，a = b c os C + c c os B ,其中a , b , c 分别为角 A , B , C 的 对边•写出对空间四面体性质的猜想.解：如图所示，在四面体 P —ABC 中，S i ,色，S 3, S 分别表示△ PAB , △ PBC , △ PCA , △ ABC 的面积，a 3, 丫依次表示面FAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想 S = S i cos a+ S 2 cos 3+ S 3 cos 丫［方法-规律 —J 、结］ --------------------------1•用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事 例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.2•进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一 点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.3•多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. ⑵这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3) 这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.1. 观察下列各式： 1= 12,2+ 3+ 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6+ 7= 52,4+ 5 + 6 + 7+ 8+ 9+ 10 =72,…，可以得出的一般结论是( )2A . n +(n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n - 2) = n2B. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 2) = (2n — 1)2C. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 1) = n2D. n +(n + 1) + (n + 2) + …+ (3n — 1) = (2n — 1)解析：观察很容易发现规律： n +(n + 1) + (n + 2)+…+ (3n — 2) = (2n — 1)2.应用阪YINGYQNG课下训练经典化，贵衽触类旁通［对应学生用书P15］答案：B2. 已知｛b n｝为等比数列，b5 = 2,贝V Sb2b3…b g= 29若｛a n｝为等差数列，a5= 2,则｛a n｝的类似结论为()9. a i + a2+•…+ a9= 29A . a i a2a3…a?= 2BC. a i a2…a9 = 2x 9D. a i + a2+…+ a9= 2 x 9答案：D3 •用火柴棒摆“金，如图所示：鱼”①②③按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A. 6n —2B. 8n—2C. 6n + 2D. 8n+2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1= 8= 6 + 2.又a2= 14= 6X 2 + 2, a3= 20 = 6x 3 + 2,…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n + 2.答案：C4•平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A•空间中平行于同一直线的两直线平行B •空间中平行于同一平面的两直线平行C. 空间中平行于同一直线的两平面平行D. 空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比.答案：Dx5. (山东高考)设函数f(x)= ― (x>0)，观察：x I 2xfi(x)= f(x)= x + 2，xf2(x) = f(fl(x))= 3x+ 4，xf3(x) = f(f2(x))= 7x| 8，xf4(x)= f(f3(x))=亦x i品，根据以上事实，由归纳推理可得：当n € N +且n>2 时，f n(x)= f(f n-i(x))=.X —、 xf 2（x ） = 22— 1 x + 22，f3（x ）= 23- 1 X + 23， f4（x ） = 24— 1x + 24， X ____ f n （x ） = 2n — 1 x + 2n . 6. 给出下列推理: (1)三角形的内角和为(3 — 2) 180 °四边形的内角和为(4 — 2)180°五边形的内角和为(5 — 2) 180°所以凸n 边形的内角和为(n — 2) 180°;(2) 三角函数都是周期函数， y = tan x 是三角函数，所以y = tan x 是周期函数；(3) 狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的， 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4) 在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空 间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断.因为 (1)(3)都是归纳推理， ⑷是类比推理，而 ⑵不 符合合情推理的定义，所以⑴(3)(4)都是合情推理.答案：⑴⑶⑷17. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1 且 S n - 1+ S + 2 = 0(n > 2)，计算 S 1，S 2, S 3 , S 4,并猜想S n 的表达式.解：当 n = 1 时，S 1= a 1= 1 ；1 1当 n = 2 时，&=一 2 一 S 1 = — 3，…S 2=—：； S 2 31 5 3当 n = 3 时，§ = — 2 — S 2= — 3，二 S 3=— 5；1 7 5当 n = 4 时，(=—2 — &=_?二 S 4=—刁.S 4 5 72n — 3解析：由已知可归纳如下:f l （x ） = 答案: X ___2n — 1 x + 2n x猜想：S n= —2n—1 (n€ N +).&已知椭圆具有以下性质：已知 M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，若直线 点P 的位置无关的定值. PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM , k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与 2 试对双曲线 x a 解：类似的性质为: 已知 M , N 是双曲线 2 y = 1(a > 0, b > 0)写出类似的性质，并加以证明. 2 x —2 a 2 -y2= 1(a > 0, b > 0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线 PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM ，k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点 M 、P 的坐标为(m , n), 2 2•••点M(m , n)在已知双曲线拿—y 2= 1上, 2 2 , 2 .m n 2 b 2 2•-孑-^= 1，得 n =尹-b ,(x . y),贝U N 点的坐标为(-m ,— n). 同理 y 2= O^x 2- b 2 2 2 二 y — n 2 —m 2). 2 2 y — n y +n y ― n 贝U k pM k PN = - = 2~x — m x + m x — m a x — m 2 2 2 b 2 x — m 2= -2 • ~2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【优化探究】（教师用书）2014高考数学总复习 6-5合情推理与演绎推理配套试题理新人教B版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年郑州模拟)已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.∴a＜b，其中，画线部分是演绎推理的( )A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．答案：B2．(2013年临沂模拟)已知x＞0，由不等式x＋1x≥2 x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a＝( ) A．2n B．n2C．3n D．n n解析：由条件可推测a＝n n.答案：D3．(2013年枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………A．809 B．852C．786 D．893解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.答案：A4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：只有③正确．答案：B5．如图是今年元宵节花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.答案：A二、填空题6．(2013年福州模拟)如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行．问：当n＝2 012时，第32行的第17个数是________．解析：每行第1个数分别是1,4,12,32，…，它的通项公式为a n ＝n ×2n －1，则第32行第1个数为a 32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2377．(2013年郑州模拟)二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr 3，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4.答案：2πr 48．(2013年延边检测)对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|O B →|·O A →＋|O A →|·O B →＝0，将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·O A →＋S △OCA ·O B →＋S △ABC ·O C →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体A BCD 内一点，则有________________________________________________________．解析：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：O 是四面体A BCD 内一点，则有V O BCD ·O A →＋V O ACD ·O B →＋V O ABD ·O C →＋V O ABC ·O D →＝0.答案：V O BCD ·O A →＋V O －ACD ·O B →＋V O ABD ·O C →＋V O ABC ·O D →＝09．(2013年台州联考)观察下列几个三角恒等式：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；②tan 5°tan 100°＋tan 100°tan (－15°)＋tan(－15°)tan 5°＝1；③tan 13°tan 35°＋tan 35°tan 42°＋tan 42°tan 13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为_______________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1三、解答题10．设{a n }是集合{2t ＋2s|0≤s ＜t ，且s ，t ∈Z}中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12……将数列{a n }中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，求这个三角形数表的第n 行的数字之和．解析：根据数列{a n }中的项与集合中的元素的关系，数列的第一项对应s ＝0，t ＝1，数列的第二项对应s ＝0，t ＝2，第三项对应s ＝1，t ＝2，第四项对应s ＝0，t ＝3，第五项对应s ＝1，t ＝3，第六项对应s ＝2，t ＝3……由此可得规律，数表中的第n 行对应t ＝n ，s ＝0,1,2,3，…，(n －1)．故第n 行的数字之和是(2n ＋20)＋(2n ＋21)＋(2n ＋22)＋…＋(2n ＋2n －1)＝n ·2n ＋1－2n 1－2＝(n ＋1)·2n －1. 11．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解析：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 12．(能力提升)如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．解析：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF . [因材施教·学生备选练习]1．(2013年泉州质检)数学与文学之间存在着许多奇妙的联系．诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88,454,7 337,43 534等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99，共9个；三位的回文数有101,111,121,131，…，969,979,989,999，共90个；四位的回文数有1 001,1 111,1 221，…，9 669,9 779，9 889，9 999，共90个； 由此推测十位的回文数总共有________个．解析：二位的回文数要求十位与个位上的数字相同，共9个；三位的回文数要求百位与个位上的数字相同，十位上的数字是任意的，共有90个；四位的回文数要求千位与个位上数字相同，百位与十位上数字相同，共90个；…；十位的回文数共9×10×10×10×10＝90 000个．答案：90 0002．(2013年长沙模拟)有以下命题：设an 1，an 2，…an m 是公差为d 的等差数列{a n }中任意m 项，若n 1＋n 2＋…＋n n m ＝p ＋r m (p ∈N *，r ∈N 且r ＜m )，则an 1＋an 2＋…＋an n m ＝a p ＋r m d ；特别地，当r ＝0时，称a p 为an 1，an 2，…an m 的等差平均项．(1)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，根据上述命题，则a 1，a 3，a 10，a 18的等差平均项为________； (2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设an 1，an 2，…，an m 是公比为q 的等比数列{a n }中任意m 项，若n 1＋n 2＋…＋n m m ＝p ＋r m(p ∈N *，r ∈N 且r ＜m )，则________；特别地，当r ＝0时，称a p 为an 1，an 2，…，an m 的等比平均项．解析：(1)∵a 1＋a 3＋a 10＋a 184＝2＋6＋20＋364＝16，∴a 1，a 3，a 10，a 18的等差平均项为a 8.(2)用m an 1an 2…an m 类比an 1＋an 2＋…＋an m m ，用a p q r m 类比a p ＋r md 可得， m an 1an 2…an m ＝a p q r m. 答案：(1)16 (2)m an 1an 2…an m ＝a p q r m3．(2013年蚌埠质检)已知2＋23＝223， 3＋38＝ 338， 4＋415＝4415，…， 若 7＋at ＝7a t，(a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________.解析：类比所给等式可知a ＝7，且7t ＋a ＝72·a ，即7t ＋7＝73，∴t ＝48.∴a ＋t ＝55. 答案：55。