第十三章 卡方检验与方差分析

第一节
拟合优度检验
运用Z检验、t检验等讨论假设检验的问题，一般要求总体服从正 态分布，或者在大样本条件下可以利用渐近正态分布理论来描述抽 样分布。也就是说，我们都要直接或间接地假定对象总体具有已知 的分布形式，然后对总体的未知参数进行假设检验。如果不知道总 体的分布形式，就无法运用t检验法等对总体参数进行假设检验。 于是，这里有一个前面留下来的尚未讨论的问题很重要，就是怎样 检定总体是否具有正态或其他分布形式？拟合优度检验正是就这一 问题而言的检验方法。
2
应用举例
[例]
o2检验也适用于定类变量和定类变量的相关统计，即可以 2 用它检定λ 和τ 系数是否显著。就下表所示资料，试以 o 检
验检定性别与收入之间的相关程度是否显著(α 取0．001)。
[解]
故拒绝H0，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有显著 相关关系。
[例 ] 在某种流行病流行的时候，共有120个病人进行了治疗，其中40个病人按 标准剂量服用某种新药，另有40个病人按标准剂量的2倍服用了这种新药， 其余40个病人只按病状治疗(而不是按病因治疗)，治疗结果按迅速痊愈、 缓慢痊愈、未痊愈分为三类，最后交叉分类的情况列于下表，试问这三 种疗法之间有没有差别(α取0．05)。
P
i 1
c
i
2．拟合优度检验(比率拟合检验)


首先把问题表述成一般模式。设一总体包含c种可区别的个体。根据某种 理论或纯粹的假设，第i种个体出现的概率应为某个已知的数Pi(i＝1， 2，…，c),有Pi＞0， P ＝1。这一组概率(P1 ，P3 ，…，Pc)就构成 了我们的理论分布。现在在该总体中随机地抽取一个容量为 c n的样本，发 现其中第I 种个体的数目为fi (i＝1，2，…，c)，并有 f i ＝n。我们 i 1 要据此检验理论分布。 用概率论的语言可以这样说，设对象总体中随机变量X有c种取值。当X的 取值是xi时，按零假设，其总体分布等于理论分布，即 P( i)＝Pi (i＝1，2，…，c) 例如，就孟德尔的3∶1理论来说，c＝2，P(x1)＝3/4， P(x2)＝1/4。现 在从该总体中随机地抽取一个容量为n的样本，发现其中 xi(i＝1，2…，c) c 出现的次数为fi(i＝1，2，…，c)，并有 f i ＝n。知道了频数也就知
3．正态拟合检验
[例] 试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取α＝0．05。
[解]
第二节
无关联性检验
2检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列
联表检验。在上一章，我们曾多次提到过性别与收入高低有无关联的 问题，在实际中类似的问题很多。例如受教育程度与投票行为有无关 联?吸烟与寿命长短有无关联?家庭小孩多少与收入多少有无关联?受 教育时间长短与收入多少有无关联?血型与某种性格上的差异有无关 联?等等，把这类问题上升到一般，就是在列联表的基础上考察变量X 与Y有无关联。由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行 交互分类的，所以：
① 检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法无法比拟 的优点；
2
②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。
1、独立性、理论频数及自由度
应用此式，不必计算理论频数
计算与 o 这个检验统计量相联系 的自由度
2
算出 o统计量之值并定出其自由度后，就可以依前述的方法，在给定了显 著性水平之后，来对X，Y属性无关联的零假设进行检验了。
1．问题的导出


第十一章最后一节，我们将累计频数检验用于经验分布Байду номын сангаас 理论分布的比较，实际已经提供了拟合优度检验的一种方 2 法。 拟合优度检验与累计频数拟合优度检验相对应，在 χ 评估从经验上得到的频数和在一组特定的理论假设下期望 得到的频数之间是否存在显著差异时，是一种更普遍的检 验方法。 现在我们再来看看第七章提到的著名的孟德尔豌豆试验。 根据孟德尔提出的分离规律，纯种豌豆杂交后的子二代出 现分化，红花植株与白花植株的数目应为3∶1。但由于随 机性,观察结果与3∶1理论值总有些差距。因此有必要去考 察某一大小的差距是否已构成否定3∶l理论的充分根据。 这正是我们所讨论的拟合优度检验的问题。解决这类问题 的工具，是卡· 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的所 2 谓χ 检验法。
其中k1，k2，…，kc是适当选取的常数。仔细观察不难 发现，L值大，意味着经验分布与理论分布偏离大；L值 小，意味着经验分布与理论分布偏离小。当在某个选定 的水平上，经验分布显著偏离理论分布，那么对象总体 具有某种分布形式的零假设便被否定。
结论：

2 用 o 作为检定Ho成立的检验统计量，理论证明，当n足够大
[解]
H0：这三种疗法之间没有差别 H1：这三种疗法之间有差别
由于α＝0．05；自由度k＝(c―l)(r ―l)＝2×2＝4，查 表得临界值：
o2
分布
在零假设下，计算检验统计量，计算过程参见后表。
值越
大，经验分布与理论分布拟合程度越差，拟合优度检验由此得 名。
应用举例
[例] 孟德尔遗传定律表明：在纯种红花豌豆与白花豌豆杂交后所生的子二代 豌豆中，红花对白花之比为3：1。某次种植试验的结果为；红花豌豆176株， 白花豌豆48株。试在α＝0．05的显著性水平上，对孟德尔定律作拟合优度检 验。（参见下表）
c i 1 i
x

i 1
c fi fi 道了频率，即：x i 出现的频率为 n ，并有 ＝1。 i 1 n 现在我们就是要据此经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设。
拟合优度检验如何进行?
关键是确定合适的检验统计量以及该统计量所服从 的概率分布。这里不可避免地要引进某种人为因素 ，即人们设计出下面这样的综合性可比指标：
时，该统计量 服从 2 分布，它是一种具有已知的并制成表的概率 分布，因此对给定的显著性水平α，可求得临界值 较，进而作出检验结论。

2 2 ，与 o 比
2 显而易见，理论频数fe与观测频数fo越接近， o 统计值越小，经
验
分布与理论分布拟合程度越好。反之，fe与fo差距越大，
o2