统计学之假设检验与方差分析

6-13
❖ 【例6-3】假定，根据例6-2的结果，计算该问题的 P-值，并做出判断。
解：查标准正态概率表，当z=2.29时，阴影面积为 0.9890，尾部面积为1–0.9890=0.011，由对称性可 知，当z= –2.29时，左侧面积为0.011。
0.011≤α/2=0.025
0.011这个数字意味着，假若我们反复抽取 n=100的样本，在100个样本中仅有可能出现一个使 检验统计量等于或小于–2.29的样本。该事件发生的 概率小于给定的显著性水平，所以，可以判断 μ=150的假定是错误的，也就是说，根据观测的样6-14 本，有理由表明总体的与150克的差异是显著存在
净重1x50克的技术标准控制操作。现从生产线
抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重 量为 =149.8克，样本标准差s=0.872克。 问该生产线的装袋净重的期望值是否为150克 （即问生产线是否处于控制状态）?
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❖ 所谓假设检验，就是事先对总体的参数 或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽 取的样本信息来判断这个假设（原假设）是 否合理，即判断总体的真实情况与原假设是 否存在显著的系统性差异，所以假设检验又 被称为显著性检验。
❖ （二）临界值规则
假设检验中，还有另外一种做出结论的方法：
根据所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线
的尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，
称作临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值
作比较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为
拒绝域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所
划定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，
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【例 6-2】构造例 6-1 的检验统计量，并计算相应的
样本观测值。
解： H0 : 150 ， H1 : 150 。 由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态
分布，所以其简单随机样本的均值 x 也服从正态分
布。我们把 x标准化成为标准正态变量
Z x E(x) ~ N (0 , 1) V (x)
则认为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论
的方法，我们称之为临界值规则。
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❖ 显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在 做检验的时候，只用其中一个规则即可。
❖ P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。 这主要是：第一，它更加简捷；第二，在值 规则的检验结论中，对于犯第一类错误的概 率的表述更加精确。
❖ 推荐使用P-值规则。
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❖ 【例6-4】假定，根据例6-2的结果，用临界 值规则做出判断。
H1:150。 6-7
三、检验统计量
❖ 所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计 算的用于检验原假设是否成立的随机变量。
❖ 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数， 以便在“总体参数等于某数值”的假定下研 究样本统计量的观测结果。
❖ 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有 已知的分布，从而便于计算出现某种特定的 观测结果的概率。
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一个完整的假设检验过程，包括以下几个步 骤： ❖ （1）提出假设； ❖ （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计
算统计量的具体数值； ❖ （3）规定显著性水平，建立检验规则； ❖ （4）做出判断。
6-6
❖ 原假设二一、般用原H假0表设示，与通备常是择设假定设总体参数
等于某值，或服从某个分布函数等；备择假 设是与原假设互相排斥的假设，原假设与备 择假设不可能同时成立。所谓假设检验问题 实 设H质0上，就则是意要味判着断接H受0是备否择正假确设，H若1 。拒绝原假 ❖ 如在例6-1中，我们可以提出两个假设：假设 平均袋装咖啡重量与所要控制的标准没有显 著差异，记为 H0:150；假设平均袋装咖啡 重量与所要控制的标准有显著差异，记为
（6.1）
由第五章可知，Ｅ（ x ）= 。由于原假设是
=150，在原假设为真时，式（6.1）可以写作
Z x 150 ~ N (0 , 1) V (x)
（6.2） 6-9
仍然由第五章可知，V（ x ）=σ2/n，以及
t x 150 ~ t(n 1) s2 n
（6.3）
式（6.3）中的 t 就是本例所要构造的检验统计量。
❖ 在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻 辑是：如果在原假设正确的前提下，检验统 计量的样本观测值的出现属于小概率事件， 那么可以认为原假设不可信，从而否定它， 转而接受备择假设。
6-11
❖ 至于小概率的标准是多大？这要根据实际问 题而定。假设检验中，称这一标准为显著性 水平，用来表示α，在应用中，通常取α=0.01， α=0.05。一般来说，犯第一类错误可能造成 的损失越大，α的取值应当越小。
❖ 对假设检验问题做出判断可依据两种规则： 一是P-值规则；二是临界值规则。
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❖ （一）P-值规则 所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大
于或小于)具体样本观测值的概率。如果P-值
小于所给定的显著性水平，则认为原假设不 太可能成立；如果P-值大于所给定的标准， 则认为没有充分的证据否定原假设。
统计学导论
曾五一 肖红叶 主编
6-1
第六章 假设检验与方差分析
❖ 第一节 假设检验的基本原理 ❖ 第二节 总体均值的假设检验 ❖ 第三节 总体比例的假设检验 ❖ 第四节 单因子方差分析 ❖ 第五节 双因子方差分析 ❖ 第六节 Excel在假设检验与方差分析
中的应用
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第一节 假设检验的基本原理
由于t 分布在自由度 30情形下可用标准正态分布来
近似，而本例中 n=100，自由度 n―1 远大于 30，故式
（6.3）近似服从标准正态分布。根据样本数据计算
z 149.8 150 2.29 0.8722 100
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四、显著性水平、P-值与临界值
❖ 小概率事件在单独一次的试验中基本上不会 发生，可以不予考虑。
❖ 一、什么是假设检验 ❖ 二、原假设与备择假设 ❖ 三、检验统计量 ❖ 四、显著性水平、P-值与临界值 ❖ 五、双侧检验和单侧检验 ❖ 六、假设检验的两类错误 ❖ 七、关于假设检验结论的理解
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一、什么是假设检验
❖ 【例6-1】假定咖啡的分袋包装生产线的装袋 重量服从正态分布N（μ,σ2）。生产线按每袋