商务统计学 8.7无交互作用双因素方差分析假设检验
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交互作用双因子方差分析
第16页/共35页
若H01 成立，即1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于SE 2
来说一定不应太大，倘若S A2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
第7页/共35页
于是 X ij ~ N uij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
， i 1,2,, r; j 1,2,, s
这表明，在因素 A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
1 rs
r i1
s
uij ——理论总均值
j 1
记：ui•
1 s
s
uij —因素A在i水平下的理论平均
j 1
记：u• j
1 r
r i 1
uij —因素B在j水平下的理论平均
第6页/共35页
显然
uij u ui• u u• j u uij ui• u• j u 记：i =ui• u
SE2 就基本上刻划了整个试验中随机因素作用的强 度，以它为尺度来比较各种效应的大小应该说是合理
的。
第15页/共35页
从矩估计的角度看， x 、xi•• 、x• j• 、 xij• 分别是 u 、ui• 、u• j 、uij 的估计值，因此， xi•• x 可作为i ui• u 的估计值； x• j• x 可作为 j u• j u 的估计值； xij• xi•• x• j• x 可作为rij uij ui• u• j u 的 估计值。
若H01 成立，即1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于SE 2
来说一定不应太大，倘若S A2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
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于是 X ij ~ N uij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
， i 1,2,, r; j 1,2,, s
这表明，在因素 A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
1 rs
r i1
s
uij ——理论总均值
j 1
记：ui•
1 s
s
uij —因素A在i水平下的理论平均
j 1
记：u• j
1 r
r i 1
uij —因素B在j水平下的理论平均
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显然
uij u ui• u u• j u uij ui• u• j u 记：i =ui• u
SE2 就基本上刻划了整个试验中随机因素作用的强 度，以它为尺度来比较各种效应的大小应该说是合理
的。
第15页/共35页
从矩估计的角度看， x 、xi•• 、x• j• 、 xij• 分别是 u 、ui• 、u• j 、uij 的估计值，因此， xi•• x 可作为i ui• u 的估计值； x• j• x 可作为 j u• j u 的估计值； xij• xi•• x• j• x 可作为rij uij ui• u• j u 的 估计值。
第二节 双因素方差分析 PPT课件
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
行因素的均方，记为MSR，计算公式为
MSR SSR k 1
列因素的均方，记为MSC ，计算公式为
MSC SSC r 1
误差项的均方，记为MSE ，计算公式为
MSE SSE (k 1)(r 1)
分析步骤
(构造检验的统计量)
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽
取的
3. 观察值是独立的
无交互作用的双因素方差分析 (无重复双因0
343
340
品牌2
345
368
363
330
品牌3
358
323
353
343
品牌4
288
280
298
260
地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
(提出假设)
• 提出假设
– 对行因素提出的假设为
• H0：m1 = m2 = … = mi = …= mk (mi为第i个水平的
平方和 自由度 误差来源
均方
(SS) (df) (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 SSR
MSR k-1 MSR
MSE
列因素 SSC
MSC r-1 MSC
MSE
误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
双因素方差分析
(例题分析)
商务统计学 8.6 无交互作用双因素方差分析问题描述
和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互 作用的双因素方差分析。 3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的 搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为 有交互作用的双因素方差分析。
无交互作用双因素方差分析应用实例
【例】企业订单的多少直接反映了企业生产的产品畅销程度，因此 企业订单数目的增减是企业经营者所关心的。一家企业经营者为了研 究产品的销售地区及外观设计对月订单数目的影响，记录了一月中不 同外观设计的一种产品在不同地区的订单数据。以此为基础，该经营 者想检验下这种产品的销售地区与外观设计是否对订单的数量有所影 响？
bj j
k
ai 0
i 1
j 1, 2,..., r
r
bj 0
j 1
无交互作用双因素方差分析问题描述
定义 ij ai bj (ij i j )
i 1, 2,..., k
水平 Ai 和水平 Bj 的交互效应
j 1, 2,..., r
(ab)ij ij i j
无交互作用双因素方差分析应用实例
因素
表 不同外观设计的产品在不同地区的订单数 （张）
外观设计 销售地区
北京 上海 深圳 西安 成都 兰州
设计方案I 700 597 697 543 600 618
设计方案II 516 450 357 552 302 389
设计方案III 720 567 515 560 420 502
无交互作用双因素方差分析问题描述
1.无交互作用双因素方差分析应用实例 2.无交互作用双因素方差分析问题描述
双因素方差分析
双因素方差分析（Two-way Analysis of Variance） 用来研究两个因素对因变量取值是否会产生显著影响。
无交互作用双因素方差分析应用实例
【例】企业订单的多少直接反映了企业生产的产品畅销程度，因此 企业订单数目的增减是企业经营者所关心的。一家企业经营者为了研 究产品的销售地区及外观设计对月订单数目的影响，记录了一月中不 同外观设计的一种产品在不同地区的订单数据。以此为基础，该经营 者想检验下这种产品的销售地区与外观设计是否对订单的数量有所影 响？
bj j
k
ai 0
i 1
j 1, 2,..., r
r
bj 0
j 1
无交互作用双因素方差分析问题描述
定义 ij ai bj (ij i j )
i 1, 2,..., k
水平 Ai 和水平 Bj 的交互效应
j 1, 2,..., r
(ab)ij ij i j
无交互作用双因素方差分析应用实例
因素
表 不同外观设计的产品在不同地区的订单数 （张）
外观设计 销售地区
北京 上海 深圳 西安 成都 兰州
设计方案I 700 597 697 543 600 618
设计方案II 516 450 357 552 302 389
设计方案III 720 567 515 560 420 502
无交互作用双因素方差分析问题描述
1.无交互作用双因素方差分析应用实例 2.无交互作用双因素方差分析问题描述
双因素方差分析
双因素方差分析（Two-way Analysis of Variance） 用来研究两个因素对因变量取值是否会产生显著影响。
商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验
i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中， 鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值 下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt
双因素方差分析
双因素方差分析
在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。
采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、接受该产品。
若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区则是影响因素B。
对因素A和因素B 同时进行分析，就属于双因素方差分析的内容，双因素方差分析是对影响因素进行检验，究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B 的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
6-3无交互作用双因素方差分析-精选文档
F值 Fcale
4.34 0.36
F临界值 Fcrif
6.94 6.94
11
6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；
射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析 通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
7
1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平 时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。 2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi 与其他不等 3、确定可接受的α风险系数 α=0.05 4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公 式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。
12
SS SS A B R ( ) 100% 64.7% R ( ) 100% 5.4% A B SS SS T T SS e R ( ) 100% 64.7% e SS T R 为 A, B 因素和残差占总体平方 和的比率
13
2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
r s
2 SS ( x x ) 1 . 051 ij T i 1j 1
10
4）计算SSe。
SSe=SST-SSA-SSB=0.314
双因素无重复试验方差分析
Xij i 1, 2, , r; j 1, 2, , s.
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
x11
x12
x1s
A2
x21
x22
x2 s
Ar
xr1
xr 2
xrs
假设 Xij～N (ij , 2 ), i 1,, r, j 1,, s.
各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
1
双因素无重复试验方差分析表
误差来源 平方和 自由度
均方
F 值 显著性
因素 A Leabharlann 素 B 误差 e 总和SA QA P r 1
MS A
SA r 1
FA
MS A MSE
SB QB P s 1
MSB
SB s 1
FB
MSB MSe
Se R QA QB P
(r 1)(s 1)
MSe
(r
Se 1)(s
1)
ST R P rs 1
例 在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进 剂（因素A）、四种不同份量的氧化锌（因素B）. 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下：
B1 B2
B3
B4
A1
32 35 35.5 38.5
A2
33.5 36.5 38 39.5
A3
36 37.5 39.5 43
问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
x11
x12
x1s
A2
x21
x22
x2 s
Ar
xr1
xr 2
xrs
假设 Xij～N (ij , 2 ), i 1,, r, j 1,, s.
各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
1
双因素无重复试验方差分析表
误差来源 平方和 自由度
均方
F 值 显著性
因素 A Leabharlann 素 B 误差 e 总和SA QA P r 1
MS A
SA r 1
FA
MS A MSE
SB QB P s 1
MSB
SB s 1
FB
MSB MSe
Se R QA QB P
(r 1)(s 1)
MSe
(r
Se 1)(s
1)
ST R P rs 1
例 在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进 剂（因素A）、四种不同份量的氧化锌（因素B）. 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下：
B1 B2
B3
B4
A1
32 35 35.5 38.5
A2
33.5 36.5 38 39.5
A3
36 37.5 39.5 43
问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
双因素方差分析
由于存在两个因素的影响，就产生一个新问题，两 因素对指标的影响是否正好是它们每个因素对指标的影 响的迭加?
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
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其中，X
1 kr
k i 1
r
X ij
j 1
是数据的总平均值
其中，X i
1 r
r
X ij为水平
j 1
其中，X j
1 k
k i 1
X ij为水平
下的样本均值 下的样本均值
kr
随机误差平方和 SSE
( X ij X i X j X )2
i1 j1
构建检验统计量
令
kr
SST
( X ij X )2
—
—
总计 SST kr 1
—
—
—
小结
1.提出假设 2.构建检验统计量 3.得出检验结论
思考练习
无交互作用双因素方差分析问题研究时构建的 检验统计量服从什么分布？相应的自由度是多少？
i1 j1
kr
kr
kr
( Xi X )2
( X j X )2 +
( X ij X i X j X )2
i1 j1
i1 j1
i1 j1
构建检验统计量
检验假设 成立时，有
检验假设 成立时，有
相互独立 相互独立
构建检验统计量 ，
构建统计量
FA
SSA
2
SSE 2
((k
(k 1) 1)(r 1))
P值
因素 A 因素 B
误差
SSA SSB SSE
SSA/(k 1)
k 1 FA
F (k 1, (k 1)(r 1))
SSE / ((k 1)(r 1))
r 1 FB
SSB /(r 1)
F (r 1, (k 1)(r 1))
SSE / ((k 1)(r 1))
(k 1)(r 1) —
界值 F
▪ 若FA>F(k-1,(k-1)(r-1))，则拒绝原假设H0 ，表明
所检验的行因素对观察值有显著影响
▪ 若FB>F (r-1,(k-1)(r-1))，则拒绝原假设H＇0，表明
所检验的列因素对观察值有显著影响
得出检验结论
表 无交互作用双因素方差分析表
差异来源 离差平方和 自由度
F值
F 临界值
方差分析假设检验无交互作用双因素
1.提出假设 2.构建检验统计量 3.得出检验结论
无交互作用双因素方差分析假设检验
在双因素方差分析中，若两个因素 A和 B的效应之 间是相互独立的，不存在相互关系，即因素 A和 B放
在一起对因变量取值的影响恰好等于它们各自对因变 量取值影响的和，则为无交互作用双因素方差分析。
i1 j1
kr
kr
X
2 ij
2X
xij krX 2
i1 j1
i1 j1
kr
X
2 ij
krX
2
i1 j1
k i 1
r j 1
X
2 ij
T2 kr
构建检验统计量
总离差平方和分解公式：
kr
证明：SST
( X ij X )2
i1 j1
kr
(( X i X ) + ( X j X ) + ( X ij X i X j X ))2
SSA/(k 1) SSE / ((k 1)(r 1))
MSA MSE
~
F (k
1, (k
1)(r
1))
FB
SSB
2
SSE 2
((k
(r 1) 1)(r 1))
SSB/(r 1) SSE / ((k 1)(r 1))
MSB MSE
~
F (r
1, (k
1)(r
1))
得出检验结论
将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F 进行比较，作出对原假设H0的决策 ▪ 根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临
提出假设
检验假设 H0 : a1 a2 ... ak 0
H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设 H0 : b1 b2 ... br 0
H1 : b1,b2 ,...,br不全为零
构建检验统计量
kr
总离差平方和 SST
( X ij X )2
i1 j1
组间离差平方和