2012年线性代数考卷
线性代数概率统计2012A卷答案
滁州学院2012/2013学年度第二学期期末考试试卷答案经济管理类(本科)专业 2012级《线性代数与概率统计C 》A 卷（时间120分钟）一、选择题（每小题3分,共15分）1、若1112132122233132332a a a a a a a a a =,则212223111213313233222a a a a a a a a a =（ C ）。
(A) 2- (B) 2 (C) 4- (D) 42、1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2001P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2434B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ C ）。
(A) B AP = (B) 1B AP -= (C) B PA = (D) 1B P A -= 3、在向量组1234αααα，，，中，若123ααα，，线性相关，则（ B ）。
(A) 3α可以由12, αα线性表示 (B) 1234αααα，，，线性相关 (C)4α可以由123ααα，，线性表示 (D) 12, αα线性无关4、若线性方程组m n A x b ⨯=无解，则下列结论正确的是（ C ）。
(A) (,)()R A b R A n =< (B) (,)()R A b R A n == (C) (,)()1R A b R A =+ (D) (,)()2R A b R A =+5、设123,,X X X （）为来自总体2(X N ，） m s 的样本，则下列估计量为m 的无偏估计的是（ A ）。
(A)123(23)6X X X ++ (B)123(432)X X X ++ (C)123(433)12X X X ++ (D)123(534)15X X X ++二、填空题（每小题3分，共15分）1、已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3， 则23A A += 720 。
2、已知()()0.4,()0.5P A P B P A B ===U ，则(|)P A B = 3/4 。
3、3个球随机放入4个盒子中，每个盒内最多只有1球的概率为 3/8 。
2012年1月(A卷解答)
2012年1月(A卷解答)2011~2012学年秋季学期线性代数（B ）(A 卷)课程考试试题（解答）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1. 设,A B 都是n 阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 A B ==-，，则AB 2= 62 n-⨯．2．若向量组T T T123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t ααα===线性相关，则t = 5 ．3. 设n 阶矩阵A 与B 相似，且3A E +不可逆，则B 的一个特征值为 3 -．4．设3阶矩阵A 的特征值互不相同, 若行列式||0=A , 则A 的秩为 2 ．5. 若二次型()()222212312332f x ,x ,x x t x t x =+--是正定的，那么t 取值范围为 20 t <．二、 选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．已知四阶行列式312D 201321=-，则13332A A +的值为【 C 】．（其中ijA 为行列式D 中元素a ij 的代数余子式．）(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3． 2． 设12,,,sa a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,sk k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠，则12,,,sa a a 线性无关；(B) 若12,,,sa a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,sk k k 都有s s k a k ak a 1122,0+++=；(C) 12,,,sa a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D) 若12,,,sa a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 3. 设3阶矩阵A 的特征值为123221λλλ==-=，，，对应的特征向量依次为123,,p p p ，令()123,,P =p p p ，则1-PAP =【 D 】．(A) 200020001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(D)200020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4. 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则Ax b=的通解为【 A 】． (A)k k k k R 112212121()(,)2ααββ+++∈； (B)k k k k R 112212121()(,)2ααββ++-∈;(C)k k k k R 1122112(,)ββα++∈； (D)11!ni n i==∑10分四、（本题满分10分）设矩阵300011014A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，361123B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足B X AX +=2，求矩阵X .解答：由BX AX +=2得，(2)A E X B-=4分1100(2)021011A E -⎛⎫⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭8分1(2)X A E B -=-=100021011⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭361123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭364132⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭10分 或1003610036(2,)01111 010410122300132A E B r ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，X =364132⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭．五、（本题满分14分，第1题10分，第2题4分）1. 已知非齐次线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩ ；（1）求参数的值为何值时，方程组无解，有无穷多解，有惟一解；（2）并在有解时，求其解． 2. 设矩阵1234(,,,)αααα=A ，矩阵A的秩()3R =A ，且234,ααα=+12βαα=-+3α4α-，求方程β=Ax 的通解．解答：1. 对增广矩阵进行行初等变换，得 11011101(,)1011 0110110021A b r a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，3分 （1）21a b =≠，时，方程组无解； 4分2a ≠时，方程组有惟一解；5分21a b ==，时，方程组有无穷多解解；6分 （2）惟一解为1231121212b x a b x a b x a -⎧=+⎪-⎪-⎪=⎨-⎪-⎪=⎪-⎩8分21a b ==，时，11011011(,)1011 0110110000A b r a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为1110()10x k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分2．由()3R A =知，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含一个非零的解向量．由于234,ααα=+，则有123401(,,,)011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα，于是0111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是齐次线性方程组Ax =基础解系． 2分由12βαα=-+3α4α-，则有123411(,,,)11⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ααααβ，3分于是1111η*⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是方程β=Ax 的特解，故β=Ax 的通解为()x k k R ξη*=+∈． 4分六、（本题满分14分）已知二次型T 21221232313(,,)222(0)f x x x x Ax =ax x x bx x b =+-+>，其中f 的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12．(1) 求a ，b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解答：(1) 二次型f的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭2分设A 的特征值为iλ（1, 2, 3i =）． 由题设条件，有1232(2)1a λλλ++=++-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=-，解得1, 2a b ==．4分(2) 矩阵A 的特征多项式()21020202(3)22A E λλλλλλ--=-=--+--，所以A的特征值122λλ==，33λ=-． 7分对于122λλ==，解齐次线性方程组(2)0A E x -=，得对应的特征向量T1(2,0,1)a =， T2(0,1,0)a =．9分 对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0A+E x =，得对应的特征向量T3(1,0,2)a=-． 10分由于1a ，2a ，3a 已是正交向量组，只需将1a ，2a ，3a 单位化，由此得T155β=，T2(0,1,0)β=，T355β=．令矩阵()123055,,010055Q βββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪ ⎝，则Q 为正交矩阵．在正交变换=X QY 下，有T 200020003Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭，13分且二次型f的标准形为222123223f y y y =+-．14分七、（本题满分12分，每小题各6分）证明下列各题： 1. 若向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，那么它们的线性组合11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k kk k +++=；2. 设A 是n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，12,ηη是A的属于特征值1λ的两个线性无关的特征向量，3η是A的属于特征值2λ的特征向量，证明：123,,ηηη线性无关．证：1. 向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，则(1,2,3,4)iA b i ξ==， 2分于是，11223344112233441234() (),A k k k k k A k A k A k A k k k k b ξξξξξξξξ+++=+++=+++4分 故11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k k k k +++=． 6分 2. 令1122330k k k ηηη++=． (1)2分用A 左乘上式得1122330k A k A k A ηηη++=，由111212323,,A A A ηληηληηλη===得，1112123230k k k ληληλη++=． (2)1(1)(2)λ⨯-得3123()0k λλη-=，由12λλ≠，30η≠，知30k =，代入(1)得11220k k ηη+=，4分 再由12,ηη线性无关知，120k k ==，故123,,ηηη线性无关． 6分八、（本题满分6分）设A 为3阶实对称矩阵，且A 的秩()2R A =，已知111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求： A 的所有特征值及每一个特征第 11 页 共 11 页 11 值所对应的特征向量．解答：由111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得，111100, 001111A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则11λ=-是A 的特征值，p k k 110(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭是与之对应的特征向量， 2分21λ=是A 的特征值，p k k 210(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭是与之对应的特征向量． 4分 由()2R A =知，30λ=是A 的特征值．设与30λ=对应的特征向量为1323x p x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于A 为3阶实对称矩阵，故3p 分别与12, p p 正交，于是有121200x x x x -=⎧⎨+=⎩，则p k k 301(0)0⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭ ．6分。
线性代数2012-2013历年(攀枝花学院,附答案)
2012～2013 学年度第 二 学期《线性代数》试卷（ A 卷）适用年级专业：2012级理工、经管类本科教学班 考 试 形 式：（ ）开卷、（ √ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序数为_________________.2、已知四阶行列式D 的第二行元素分别为 1,0,2,1-，他们的代数余子式分别为2,2,1,1-，则 行列式D =____________.3、设A 为4阶方阵，且2A =，则*A -= .4、设A 是43⨯矩阵，且线性方程组Ax b =有唯一解，则A 的列向量组线性 .5、如果一个二次型的标准型为2221235x x x -+，则此二次型的秩为 . 二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、若n 阶矩阵A 互换第一, 二行后得矩阵B , 则必有（ ）.()0=+B A A ； ()0=AB B ； ()0=+B A C ； ()0=AB D .2、设,,A B C 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若E ABC =，则下列各式中总成立的是（ ）.()A BCA E =； ()B A C B E =； ()C BAC E =； ()D CBA E =.3、 设0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组， 那么下列叙述正确的是（ ）.()A 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解; ()B 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解;()C 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解; ()D 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解.4、设4阶矩阵A 的特征值为2、2、3、-1，则A =（ ）.()A 6； ()B -6； ()C 12； ()D -12.5、设矩阵A 为正交阵，下列说法错误的是（ ）.()A T A A =； ()B E AA T =； ()C A 的列向量为单位向量；()D 11A =-或.三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式 1123112312131231D --=--.2、已知11112121,3321111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 求TB A .3、已知2110112132X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X .4、已知齐次线性方程组0Ax =有非零解, 其中142t A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求t 的值.四、证明题（共8分）已知向量组321,,βββ线性无关，若向量组321,,ααα满足：3211βββα+-= ，3212βββα-+= ，3213βββα++-= ；判断向量组321,,ααα的线性相关性.五、（共 10分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=6063324208421221A 对应的列向量组的秩，并 求一个最大无关组 .六、（共 10分）设三元非齐次线性方程组b Ax =,若()2R A =,且12(1,1,2,0),(0,1,1,0)T T ηη=-=是两个已知解向量,求b Ax =的通解.七、（共 10分）已知方阵0111110a A b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为1231, 2.λλλ===-1）求b a ,的值；2）判断A 是否可以对角化.八、（共 10分）已知二次型：323121232221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++= ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵Q .一、填空题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每小题 2分，共 10 分）1、12;2、1;3、8;4、无关;5、3.二、选择题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每题2分，共 10分）1、C ；2、A;3、D ；4、D ；5、A ；三、计算题[三基类][教师答题时间： 15 分钟]（每题8分，共32分），1、解：由1123112312131231D --=--=11231123512131231--- …………（2分）……………（6分）2、解： TB A =111131*********⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭…………（3分）283770-⎛⎫=⎪⎝⎭. …………（5分）3、解： 12110112132X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭…………（3分） 211011121323-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭…………（3分） 41135123⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. ……………（2分）4、解： 由 1042t A -==, …………（5分）即 240t +=, …………（2分）得 2t =-. ……………（1分）四、证明题[三基类] [教师答题时间： 5分钟]（8分）证明：由123123111(,,)(,,)111111αααβββ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……（2分） 由04≠=A ，A 可逆，故两个向量组可相互线性表出,因此两个向量组等价. ………（3分） 由向量组321,,βββ线性无关，得123(,,)3R βββ=,有123123(,,)(,,)3R R αααβββ==, ………（2分） 故向量组321,,ααα线性无关 . ………（1分）五、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−0000000012001221rA ，……（4分）故向量组的秩为2， ……（3分）最大无关组为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0282. ……（3分）六、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解: 由()2R A =得0Ax =的基础解系含一个非零向量, ......（4分）故T T T（4分） （2分）七、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：1）由已知, 0;1 2.b A a b =⎧⎪⎨=--=-⎪⎩……………（3分）得 1,0.a b =-= ………(2分)2）当1λ=时，由111111111000111000A E λ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ……（2分） 得 ()1R A E -=，故1λ=对应两个线性无关的特征向量，……(2分) 故 A 可以对角化. …………（1分）八、 [综合型] [教师答题时间：10分钟]（10分）解: 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=333351315A ………………………………(2分)令0)9)(4(=--=-λλλλE A 得9,4,0321===λλλ。
2012年1月自学考试02198线性代数试题和答案
线性代数---2012年1月1.若矩阵A满足Aˆ2-5A=E，则矩阵（A-5E）ˆ-1=A、A-5EB、A+5EC、AD、-A正确答案：C解析：2.设矩阵A是2阶方阵,且det（A）=3,则det（5A）=A、3B、15C、25D、75正确答案：D解析：3.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A（X-E）B=B,则矩阵X=A、E+Aˆ-1B、E+AC、E+Bˆ-1D、E+B正确答案：A解析：4.A、图中AB、图中BC、图中CD、图中D正确答案：D解析：5.设αˇ1,αˇ2,…,αˇk是n维列向量,则αˇ1,αˇ2,…αˇk线性无关的充分必要条件是A、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意两个向量线性无关B、存在一组不全为0的数lˇ1,lˇ2,…,lˇk,使得lˇ1αˇ1+lˇ2αˇ2+…+lˇkαˇk≠0C、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中存在一个向量不能由其余向量线性表示D、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示正确答案：D解析：6.设α=（aˇ1,aˇ2,aˇ3）,β=（bˇ1,bˇ2,bˇ3）,其中aˇ1,aˇ2,aˇ3不全为0,且bˇ1,bˇ2,bˇ3不全为0,则αˇTβ的秩为B、1C、2D、3正确答案：B解析：7.A、图中AB、图中BC、图中CD、图中D正确答案：B解析：8.设三阶方阵A的特征值分别为1/2，1/4，3，则Aˆ-1的特征值为A、2，4，1/3B、1/2,1/4,1/3C、1/2,1/4,3D、2，4，3正确答案：A解析：9.A、图中AB、图中BC、图中CD、图中D正确答案：C解析：10.以下关于正定矩阵叙述正确的是A、正定矩阵的特征值一定大于零B、正定矩阵的行列式一定小于零C、正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D、正定矩阵的差一定是正定矩阵正确答案：A解析：11.设det（A）=-1,det（B）=2,且A，B为同阶方阵，则det（（AB）ˆ3）=_____。
自学考试线性代数2007-2012历年真题及答案
全国2012年10月自学考试线性代数试题请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。
选择题部分一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式1122=1a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式111222=a b c a b c -- A ．-1 B ．0C ．1D ．22．设矩阵123456709⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是A ．-14B ．-6C ．6D ．143．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A ED ．1=A4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设向量组T T12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是A ．(-1，-1，-1)TB ．(0，-1，-1)TC ．(-1，-1，0)TD ．(-1，0，-1)T6．齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.47．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A ．12αα-B ．12αα+C ．1212αα+D ．121122αα+8．若矩阵A 与对角矩阵111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，则A 2= A.EB.AC.-ED.2E9．设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3 D.910．二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为A ．2212z z -B ．2212z z + C ．21zD ．222123z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式123111321的值为______. 12.设矩阵011001000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A 2=______．13.若线性方程组12323323122(1)x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=-⎩无解，则数λ=______．14.设矩阵43012110⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=A P ,则PAP 2=______.15.向量组T T 12,-2,2,(4,8,8)k αα==-（）线性相关，则数k =______. 16.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则=A ______. 17.若A 为3阶矩阵，且19=A ，则-1(3)A =______． 18．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，r (B )=1,则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭E O B B 的秩为______．19．已知矩阵211121322⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是A 的属于特征值1的特征向量，则数k =______.20.二次型1212(,)6f x x x x =的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式a ba b D a a b b aba b+=++的值．22．设矩阵100112210,022222046A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求满足方程AX =B T 的矩阵X ．23.设向量组123411212142,,,30614431αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24．求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．求矩阵200020002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的全部特征值和特征向量．26．确定a ，b 的值，使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）27．设矩阵A 可逆，证明：A *可逆，且*11*--=（）（）A A ．全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（ ） A.若AB =0，则A=0或B=0 B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ） A. 111()AB A B ---=B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-= D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必 （ ） A.无解B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设12311102103A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ） A. 1A -B.２A C ．A ²D. T A8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝ 则1P AP -=（ ） A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（ ） A.A 与B 等阶 B. A 与B 合同 C ．A B =D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（ ） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5， 则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x =三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。
2012年10月 线代
A.（—1，—1，—1）TB.（0，—1，—1）T
C.（—1，—1，0）TD.（—1，0，—1）T
5.已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则r(AT)=
A.1B.2
C.3D.4
6.设 ， 是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是
5.C
解：A的列向量组线性无关，即r(A)=3,
考点：考察向量组的秩，书p100，定理3.3.5
6.D
解：由题知 ，故选D
考点：考察非齐次线性方程组的解得结构，书p119，性质1
7.B
解：齐次线性方程组的系数矩阵A= ,r(A)=2
考点：考察齐次线性方程组基础解系所含解向量个数，书p112，定理4.1.1
……6分
……9分
22.解因 ，故 可逆， ……4分
……9分
23.解 ……2分
……5分
向量组的秩为3……7分
为一个极大线性无关组（答案不惟一）……9分
24.解由
……2分
……5分
得到 ，故方程组有无穷多解……7分
通解为 ， 为任意常数……9分
25.解由
得 的3个特征值为 ……4分
当 时，由 ……6分
得基础解系
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D= 的值.
22.设矩阵A= ,B= ,求满足方程AX=BT的矩阵X.
23.设向量组 , , , ,求该向量组的秩和一个极大线性无关组.
24.求解非齐次线性方程组 .(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)
25.求矩阵A= 的全部特征值和特征向量.
全国2012年7月高等教育自学考试线性代数试题
全国2012年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，T α表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，秩(A )表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A =032030257⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则|A |=( )A ．-12B ．0C ．12D ．212．设A =123[,,]ααα，其中(1,2,3)i i =α是三维列向量，若|A|=1，则1123[4,23,]-=αααα () A ．-24 B ．-12C ．12D ．243．设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是( )A ．若|AB |=0，则A =0或B =0 B ．若|AB |=0，则|A |=0或|B |=0C ．若AB =0，则A =0或B =0D ．若AB ≠0，则|A |≠0或|B |≠04．设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是( )A ．(AB )-1=A -1B -1 B ．(A +B )-1=A -1+B -1C ．11|()|||-=AB AB D ．|(A +B )-1|=|A -1|+|B -1|5．设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX =0必( )A ．无解B ．只有唯一解C ．有无穷解D ．不能确定6．设A =123111021003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩(A )=( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是．．正交阵的是( )A ．A -1B ．2AC ．A 2D ．A T8．设三阶矩阵A 有特征值0、1、2，其对应特征向量分别为ξ1、ξ2、ξ3， 令P =[ξ3，ξ1，2ξ2]，则P -1AP =( )A ．200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9．设A 、B 为同阶方阵，且秩(A )=秩(B )，则( )A ．A 与B 等阶 B ．A 与B 合同C ．|A |=|B |D ．A 与B 相似10．实二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是( ) A ．负定 B ．正定C ．半正定D ．不定二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
2012(秋)《线性代数A》期末试题B卷及参考解答
π
4
；
（C）
π
3
；
π
2
．
则矩阵 B 的特征值和特征向量分别是 5， 设 P 为可逆矩阵， Ax = λ x ≠ 0 ，B = P A P ，
−1 −1
．
（A） λ 和 x ； 解： （C） ．
（B） λ −1 和 x ；
（C） λ −1 和 P −1 x ；
（D） λ 和 Px ．
1 + a1
三、 （本题 10 分）计算下列行列式 Dn =
⎛ ⎞ = ⎜ ∏ ai ⎟ ⎝ i =1 ⎠
n
0 0 # 0
n 0 ⎛ n ⎞⎛ 1⎞ = ⎜ ∏ ai ⎟ ⎜1 + ∑ ⎟ 0 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ai ⎠ 0 1
四、 （本题 10 分）设 A 为 n 阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数 a ( a ≠ 0) ，证明 A 的逆矩阵 的每一行元素之和为 a −1 ． 证明：由题意有
1
"
1 1 #
， （ a1 a 2 " a n ≠ 0 ） ．
1 # 1
1 + a2 " # 1
" 1 + an
解：将第 2 行、第 3 行、 " 、第 n 行都减去第 1− a1 Dn = − a1 # − a1
1 a2 0 # 0
1 0 a3 # 0 1+ ∑
i =1 n
⎛ 1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ 1⎟ A⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ ， # # # ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
因此，
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一、单项选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1.下列矩阵不一定．．．
为方阵的是（ c ） （A ）对称矩阵 （B ）可逆矩阵 （C ）系数矩阵 （D ）对角矩阵
2.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2
列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则（ B ）
（A ）1C PAP -= （B ）1C P AP -= （C ）T C P AP = （D ）T C PAP = 3.设A 、B 是n 阶矩阵，下列结论正确的是（ D ） （A ）AB BA =； （B ）T ()T T AB =A B （C ）A B A B +=+ （D ）AB A B =
4.设A 是n 阶矩阵，关于A 的伴随矩阵*A 的描述，错误的是（ B ） （A ）*
*
AA A A A I == （B ）*
A A A = （C ）1
*
n A A
-= （D ）*
1
A A A
-=
5.设1111111111
1
1
k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且()3R A =，则k ＝（ B ） （A ）1 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 6．设r A R =)(，则下列描述正确的是（ C ）
（A ）没有等于零的r-1阶子式； （B ） 有等于零的r 阶子式； （C ）至少有一个r 阶子式不为零； （D ）任何r 阶子式不等于零． 7.设A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（ A ） （A ）0A = （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）()R A n = （D ）A 的行向量组线性无关
8.设向量组,123,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ B ） （A ） ,,122331αααααα+++ （B ） ,,122331αααααα--- （C ） ,,122331222αααααα--- （D ）,,122331222αααααα+++
9. 关于向量组s ααα,,,21 的线性无关，错误的是（ C ） （A ）其中任何向量都不能由其余向量线性表出； （B ）向量组s ααα,,,21 的秩等于向量的个数s ；
（C ）存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα ； （D ）对任何一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ． 10．下列结论正确的是（ D ）
(A)若()R A n <，则n 元非齐次线性方程组AX b =有无穷多个解； (B)若()R A n <，则n 元非齐次线性方程组AX b =无解； (C)若()R A n =，则n 元非齐次线性方程组AX b =有唯一解；
(D)若()R A n <，则n 元非齐次线性方程组AX b =有无穷多个解或无解。
二、填空题（共10题，每小题3分，共30分）
1.设矩阵23A ⨯、m n B ⨯，若AB 有意义，则m = 3 ；
2.设1111,1111A B -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则AB = 0 ；
3. 设A 为3阶方阵，且det 4A =，则1T det(2)A -= 2 ；
4.设673048000A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，100020003B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则 ()R AB = 2 ；
5.若(1,0,1),(0,1,1),2,x αβαβ==---=且 则x ＝ (1,2,3) ；
6.若向量组123(1,0,0),(2,1,0),(1,3,9)k ααα===-线性相关，则k = 9 ；
7.设2A A =，则1()I A -+= ；
8.设A 是45´矩阵，且()R A =3，则齐次线性方程组0AX =的基础解系中所含向量为 2 个；
9.设A ，B 是6阶矩阵，且AB O =，则 ()()R A R B +≤ 6 ；
10.设α为3维列向量，T α是α的转置. 若111111111T αα-⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则ααT = 。
三、（8分）计算行列式
1
2222
22223222224
四、（12分）设123412111,3,2,00111αααα骣骣骣骣-鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑鼢鼢====珑珑鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑鼢鼢鼢鼢珑珑桫桫桫桫
，判断向量组的线性相关性，求它的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表出。
五、（14分）求非齐次线性方程组123412341
2341
024241
x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪
--+=⎨⎪--+=-⎩的通解。
六、（6分）设向量β可由向量组1α，2α，3α线性表出，且表示式唯一，证明向量组1α，
2α，3α线性无关。
标准答案及评分细则：(A
卷)
一、单项选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1.C ；
2.A ；
3.D ；
4. B ；
5.B ；6． C ；7. A ；8. B ；9. C ；10． D 二、填空题（共10题，每小题3分，共30分）
1. 3；
2.O ；
3. 2；
4. 2；
5. (1,2,3)；
6. 9；
7. 1
(2)2
I A -8. 2；9. 6；10.3
三、（8分）
解：
21
2221000222222
(1,3,4)223200102200i r r i --+=222402
4分 12
10000
22200100
0r r -+20
2
4=- 8分 四、（12分）
解：12341211(,,,)13200111A αααα骣-÷ç÷ç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷÷ç桫 121112111013011101110111011100000000骣骣骣----鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 桫
桫桫
8分 由()24R A =<，向量组的线性相关；
1234(,,,)2R αααα=； 一个最大无关组：12,αα；
312ααα=-+，4123ααα=-+。
12分
五、（14分）
解：（1）1111
11111
024241A --⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪---⎝⎭
111111111
10202
10202
1060630000
0----⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
1212
1010010100000-⎛⎫
⎪
→- ⎪ ⎪⎝
⎭
9分 （2）写出同解方程组
132412
12x x x x ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ （3）求特解 011
(,
,0,0)2
2
T η= （4）求导出组的基础解系 12(1,0,1,0),(0,1,0,1)ξξ== （5）通解 0112212,,X k k k k ηξξ=++∈ 14分
六、（6分）
证明：由β可由1α，2α，3α线性表出123(,,)X αααβ⇒=有解
再由表示式唯一123(,,)X αααβ⇒=唯一解 4分
123123(,,,)(,,)3R R αααβααα⇒==，
⇒1α，2α，3α线性无关。
6分。