石头,剪刀,布 - 三人博弈共27页
合集下载
北师大版九年级数学上册课件 3-1-2 利用概率判断游戏的公平性
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中，和为7的
6 1
结果最多，有6种，其概率为
＝ ，所以如果我是游戏者，我会选择
36 6
数字7.
例3 同时抛掷2枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别
是1，2，···，6.试分别计算如下各随机事件的概率.
36
(2)抛出点数之和等于12的结果仅有(6,6)这1种，所以抛出的点
1
数之和等于12的这个事件发生的概率为 .
36
归纳总结
当一次试验要涉及两个因素（例如
掷两个骰子）并且可能出现的结果数目
较多时，为不重不漏地列出所有可能结
果，通常采用列表法.
例4 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球
红2
（红2，白） （红2，红1）
（红1，红2）
归纳总结
什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
➢当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时
，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.
➢当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就
不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常
用树形图.
随堂练习
1．一个不透明的布袋中装有分别标有数字1，2，3，4
九年级数学上册第25章概率初步培优专题四“树”“表”帮你求概率
(1)请用树状图或列表的方法表示出游戏的所有可能结果． (2)求出双方打平的概率． (3)游戏公平吗？如果不公平，你认为对谁有利？
第七页，共二十六页。
解：(1)所有可能结果列表如下：
小亮
小明
石头
石头
(石头，石头)
剪刀
(剪刀，石头)
布
(布，石头)
总共有 9 种等可能结果．
剪刀
(石头，剪刀) (剪刀，剪刀) (布，剪刀)
布
(石头，布) (剪刀，布) (布，布)
第八页，共二十六页。
(2)双方打平的情况有 3 种，P(双方打平)＝39＝13. (3)游戏对双方公平． 小明胜的情况有 3 种，小亮胜的情况有 3 种， ∴P(小明胜)＝93＝31，P(小亮胜)＝39＝13. ∵P(小明胜)＝P(小亮胜)，∴游戏对双方公平．
(1)请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果； (2)求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程 x2－4x＋3＝0 的解的概率．
第四页，共二十六页。
图1
第五页，共二十六页。
解：(1)列表如下：
1
2
3
4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
第二十四页，共二十六页。
当 a＝1，b＝1 时，Δ＝b2－4ac＝－3<0，此时 ax2＋bx＋1＝0 无实数根； 当 a＝1，b＝3 时，Δ＝b2－4ac＝5>0，此时 ax2＋bx＋1＝0 有两个不相等 的实数根； 当 a＝1，b＝2 时，Δ＝b2－4ac＝0，此时 ax2＋bx＋1＝0 有两个相等的实 数根， ∴P(甲获胜)＝95，P(乙获胜)＝1－59＝49， ∴P(甲获胜)>P(乙获胜)， ∴这样的游戏规则不公平．
第七页，共二十六页。
解：(1)所有可能结果列表如下：
小亮
小明
石头
石头
(石头，石头)
剪刀
(剪刀，石头)
布
(布，石头)
总共有 9 种等可能结果．
剪刀
(石头，剪刀) (剪刀，剪刀) (布，剪刀)
布
(石头，布) (剪刀，布) (布，布)
第八页，共二十六页。
(2)双方打平的情况有 3 种，P(双方打平)＝39＝13. (3)游戏对双方公平． 小明胜的情况有 3 种，小亮胜的情况有 3 种， ∴P(小明胜)＝93＝31，P(小亮胜)＝39＝13. ∵P(小明胜)＝P(小亮胜)，∴游戏对双方公平．
(1)请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果； (2)求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程 x2－4x＋3＝0 的解的概率．
第四页，共二十六页。
图1
第五页，共二十六页。
解：(1)列表如下：
1
2
3
4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
第二十四页，共二十六页。
当 a＝1，b＝1 时，Δ＝b2－4ac＝－3<0，此时 ax2＋bx＋1＝0 无实数根； 当 a＝1，b＝3 时，Δ＝b2－4ac＝5>0，此时 ax2＋bx＋1＝0 有两个不相等 的实数根； 当 a＝1，b＝2 时，Δ＝b2－4ac＝0，此时 ax2＋bx＋1＝0 有两个相等的实 数根， ∴P(甲获胜)＝95，P(乙获胜)＝1－59＝49， ∴P(甲获胜)>P(乙获胜)， ∴这样的游戏规则不公平．
第1次课：博弈论引论
战国时代，齐王与大臣田忌赛马
赛马规则：
两人各有三匹马，分为上、中、下三等 比赛分三场举行，每次两人各出一匹马参赛 每次输者给赢者一千两黄金
马的优劣：
同级马中齐王的马比田忌的马跑得快 田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马快
Lesson 1 Slide 3
引例 0-2：田忌赛马
田忌采用孙膑的主意，用如下策略：
博弈的分类
按照参与者是否串通，分为
合作博弈（Cooperative Game） 非合作博弈（Non-Cooperative Game）
按参与者行动有无先后顺序 静态博弈
动态博弈
按参与人对博弈信息的了解状况 完全信息博弈
不完全信息博弈
Lesson 1 Slide 10
非合作博弈的分类
我们可以用下面的表格来形象地描述按上 述两种分类方法得出的复合分类
本课程无教材，希望认真听讲，做好笔记 本课程不布置课外作业，但可能会有随堂作业 结课考试采用开卷形式，题目主要参照讲课时的例题 对选修本课的同学有如下要求：
按时出席 不违反课堂纪律 通过结课考试
Lesson 1 Slide 15
参考书目
1. 罗伯特· 吉本斯著, 高峰译, 《博弈论基础》 , 中国社会 科学出版社, 1999 2. 张维迎著, 《博弈论与信息经济学》, 上海人民出版社, 1996 3. 施锡铨著, 《博弈论》, 上海财经大学出版社, 2000 4. Robert Gibbons, 《Game Theory for Applied Economists》, Princeton University Press, 1992 5. James W. Friedman, 《Game Theory with Applications to Economics（2nd Edition）》, Oxford University Press, 1991 6. 谢识予主编, 《经济博弈论习题指南》, 复旦大学出版 社, 2003
赛马规则：
两人各有三匹马，分为上、中、下三等 比赛分三场举行，每次两人各出一匹马参赛 每次输者给赢者一千两黄金
马的优劣：
同级马中齐王的马比田忌的马跑得快 田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马快
Lesson 1 Slide 3
引例 0-2：田忌赛马
田忌采用孙膑的主意，用如下策略：
博弈的分类
按照参与者是否串通，分为
合作博弈（Cooperative Game） 非合作博弈（Non-Cooperative Game）
按参与者行动有无先后顺序 静态博弈
动态博弈
按参与人对博弈信息的了解状况 完全信息博弈
不完全信息博弈
Lesson 1 Slide 10
非合作博弈的分类
我们可以用下面的表格来形象地描述按上 述两种分类方法得出的复合分类
本课程无教材，希望认真听讲，做好笔记 本课程不布置课外作业，但可能会有随堂作业 结课考试采用开卷形式，题目主要参照讲课时的例题 对选修本课的同学有如下要求：
按时出席 不违反课堂纪律 通过结课考试
Lesson 1 Slide 15
参考书目
1. 罗伯特· 吉本斯著, 高峰译, 《博弈论基础》 , 中国社会 科学出版社, 1999 2. 张维迎著, 《博弈论与信息经济学》, 上海人民出版社, 1996 3. 施锡铨著, 《博弈论》, 上海财经大学出版社, 2000 4. Robert Gibbons, 《Game Theory for Applied Economists》, Princeton University Press, 1992 5. James W. Friedman, 《Game Theory with Applications to Economics（2nd Edition）》, Oxford University Press, 1991 6. 谢识予主编, 《经济博弈论习题指南》, 复旦大学出版 社, 2003
博弈论
策略式表达又称为标准式表达，在这种表 策略式表达又称为标准式表达， 达中，所有参人同时选择自己的策略， 达中，所有参人同时选择自己的策略，所有参与 人选择的策略一起决定每个参与人的得益。 人选择的策略一起决定每个参与人的得益。 值得强调的是， 值得强调的是，这里参与人同时选择的是 策略” 而不是“行动” “策略”,而不是“行动”。 在静态博弈中,参与人只选择一次, 在静态博弈中,参与人只选择一次,所以策 略就等同于行动了。而在动态博弈中， 略就等同于行动了。而在动态博弈中，策略是参 与人在各个阶段的行动的全面计划。 与人在各个阶段的行动的全面计划。
“智猪斗智” 智猪斗智” 智猪斗智
笼子里面有两只猪，一只大，一只小。 笼子里面有两只猪，一只大，一只小。笼子很 一头有一个踏板， 长，一头有一个踏板，另一头是饲料的出口和 食槽。每踩一下踏板， 食槽。每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另 一边的投食口就会落下少量的食物。 一边的投食口就会落下少量的食物。如果有一 只猪去踩踏板， 只猪去踩踏板，另一只猪就有机会抢先吃到另 一边落下的食物。当小猪踩动踏板时， 一边落下的食物。当小猪踩动踏板时，大猪会 在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物； 在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物；若 是大猪踩动了踏板， 是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落 下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。 下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。
如果定量地来看，踩一下踏板，将有相当于10个单位的猪食流进 如果定量地来看，踩一下踏板，将有相当于10个单位的猪食流进 10 食槽，但是踩完踏板之后跑到食槽所需要付出的“劳动” 食槽，但是踩完踏板之后跑到食槽所需要付出的“劳动”，要消耗 相当于2个单位的猪食。 相当于2个单位的猪食。 如果两只猪同时踩踏板，再一起跑到食槽吃，大猪吃到7个单位， 如果两只猪同时踩踏板，再一起跑到食槽吃，大猪吃到7个单位， 小猪吃到3个单位，减去劳动耗费各自2个单位，大猪净得益5 小猪吃到3个单位，减去劳动耗费各自2个单位，大猪净得益5个单 小猪净得益1个单位。 位，小猪净得益1个单位。 如果大猪踩踏板，小猪等着先吃，大猪再赶过去吃，大猪吃到6 如果大猪踩踏板，小猪等着先吃，大猪再赶过去吃，大猪吃到6个 单位，去掉踩踏板的劳动耗费2个单位净得4个单位，小猪也吃到4 单位，去掉踩踏板的劳动耗费2个单位净得4个单位，小猪也吃到4 个单位。 个单位。 如果小猪踩踏板，大猪等着先吃，大猪吃到9个单位，小猪吃到1 如果小猪踩踏板，大猪等着先吃，大猪吃到9个单位，小猪吃到1 个单位，再减去踩踏板的劳动耗费，小猪是净亏损1个单位。 个单位，再减去踩踏板的劳动耗费，小猪是净亏损1个单位。 如果大家都等待，结果是谁都吃不到。 如果大家都等待，结果是谁都吃不到。
《博弈论》课程ppt课件
10
图1 进攻与防守的基本式 G={N, S, u}，其中N=（1,2)， Si={(0,2),(1,1),(2,0)}，ui (s1, s2) = ri，i = 1, 2。
守方 (0,2) (1,1) (2,0)
(0,2)
攻方 (1,1)
失败，成功
成功，失败
成功，失败
失败，成功
成功，失败
成功，失败
《博弈论》课程
（一）什么是博弈论
我们首先看几个例子。 例1 石头、剪刀、布
猪八戒
石头 石头 孙悟空 剪刀 布 未定，未定 找水，休息 休息，找水 剪刀 休息，找水 未定，未定 找水，休息 布 找水，休息 休息，找水 未定，未定
2
例2 诺曼底登陆
德军
加来设防 加来登陆 盟军
诺曼底登陆 成功，失败
诺曼பைடு நூலகம்设防 成功，失败
9
例4 进攻与防守 双方争夺一个据点，有两条进攻路线X和Y， 攻方有两个军，而防守方也有两个军，只有 当守方的兵力不少于攻方时，才能击退进攻， 否则据点将会失守。首先可知守方的防守方 案（即策略）为(0,2)，(1,1)，(2,0)，即在X 线路和Y线路驻扎军队数，同样可以到的攻 方的进攻方案(0,2)，(1,1)和(2,0)。容易看出， 行动并非策略，策略是行动方案。
正是由于博弈论将博弈如何出现均衡列为核心， 因而博弈论对于各门社会科学而言，就具有了方 法论意义，成为各门学科的有力分析工具。
6
（二）博弈表达的科学式
（1）博弈的策略式
如何将博弈表示成一种便于研究和分析的形式显然 是很重要的。如果用参与者、策略和收益函数来 科学地描述一个博弈，就称为博弈表达的策略式 （或基本式、标准式）。
石头、剪刀、布
竭诚为您提供优质文档/双击可除石头、剪刀、布
今天早上，妈妈买回三样早点：一根棍子面包、一只土司面包、一只的热狗。
热狗散发着诱人的清香，我们都想吃。
为了公平，我们便用石头、剪刀、布的方法：谁先赢，谁先选。
第一局爸爸赢了。
“哎，吃不到热狗了！”我难过地想。
但出乎意料的，爸爸拿起那根棍子面包肯了起来。
我吐了吐舌头，嘿，真怪！第二局妈妈赢了。
我叹了一口气，想：“妈妈说她最爱吃热狗了，她一定会拿热狗。
”可妈妈却拿起土司面包默默地吃了起来。
我拿起香喷喷的热狗，咬了一大口，恩，真好吃！我边吃边想：“爸爸妈妈也喜欢吃热狗，他们为什么不拿这只香喷喷的热狗呢？”。
石头,剪刀,布 - 三人博弈
当然，也可以用MATLAB 去求解，运行结果跟前面的理论分析 是一样的，截图如下： M文件
主函数及结果
拓展问题： 假定三人游戏中，任意两人可以组成联盟呢，如果是 多人呢？ 给出一种情况：
2
石头
3
石头
剪刀
布
0,0,0
1.石头：
剪刀 布
2,-1,-1
0,0,0
0,0,0
-2,1,1
（”Rock, Scissor,Paper”for three people）
我现在要求是三个人玩呢？
拆分成三个二维矩阵：对于某一局中人1有 2
石头
3
石头
剪刀
布
0,0,0 1,-1,1 -1,1,-1 3
石头
1,1,-1 1,-1,-1 0,0,0
剪刀
-1,-1,1 0,0,0 -1,1,1
布
石头：
剪刀 布
2
石头 剪刀： 剪刀
-1,1,1 -1,-1,1
-1,1,-1 0,0,0
0,0,0 1,1,-1布Leabharlann 0,0,01,-1,1
1,-1,-1
2
石头
3
石头
剪刀
布
1,-1,-1
0,0,0
1,-1,1
布：
剪刀
布
0,0,0
1,1,-1
-1,1,1
-1,-1,1
-1,1,-1
0,0,0
进一步分析： 局中人的选择和盈利是对称的，所以我们考虑的局中人1怎么选让自己 的盈利最大，对于2和3也是一样的
2 认罪 不认罪
认罪 1 不认罪
-8 -10
-8 0
0 -1
-10 -1
剪刀·石头·布靠的是运气吗？古人博弈智慧的完美体现!
剪刀·石头·布靠的是运气吗？古人博弈智慧的完美体现！本文导读：如果说上一篇的娃娃机游戏拼的是赌博运气，那么古老而又简单的猜丁壳游戏则靠的是博弈的智慧。
猜丁壳就是我们俗称的剪刀石头布游戏，这个游戏的主要目的是为了解决争议，因为三者相互制约，因此不论平局几次，总会有胜负的时候。
关于这个游戏的起源，有很多说法。
第一种是中国起源说。
明朝人谢肇涮在《五杂俎》中说，最早的石头、剪刀、布的起源是汉朝的手势令与豁拳。
后来这种游戏演变为今天的石头、剪刀、布的猜拳游戏。
这个游戏是在江户时代由中国传入长崎，故称为“长崎拳”。
主要作为酒席上大人玩的游戏，后来被广泛使用，传到日本后被称为“石头、剪刀、纸”。
另外一种是日本起源说。
这种说法认为石头、剪刀、布起源于19世纪的日本，日本国立民族学博物馆所出版的文中甚至摆出了许多相关资料。
后来到了明治时期，这种游戏传入中国，到了二十世纪，开始传到了欧洲与美国，而欧美都称剪刀、石头、布的游戏为”日本游戏”，法国人称剪刀、石头、布为”Jeu Japonaj s”(即日本游戏的意思)。
但这一现象产生的原因，是因为到了二十世纪，日本人大量西化，同时日本人到世界各国游历，向欧美推广了这个游戏，这便使得很多欧美人都认为剪刀、石头、布就是日本的游戏。
然而，这并不能说明这个游戏的起源就是日本。
美剧《老友记》中玩石头剪刀布的演员们只不过，两个说法都不是很确定，到现在也没有个结论。
但有一点是可以肯定的，就是中国在很早以前就已经有了猜拳的游戏，这猜拳一般与行酒令差不多。
《全唐诗》卷八七九有“招手令”的描写：“亚其虎膺，曲其松根，以蹲鸱间虎膺之下，以钩戟差玉柱之旁。
潜虬阔玉柱三分，奇兵阔潜虬一寸。
死其三洛，生其五峰。
”王昆吾先生对此作了注解：“先把手掌(虎膺)张开，然后把指关节弯曲。
然后将大拇指(蹲鸱)折放在手掌下面，将食指(钩戟)指尖折放在中指(玉柱)旁边。
然后分开无名指(潜虬)和小指(奇兵)：无名指距中指三分，小指距无名指一寸。